根轨迹性能分析(第四节)

*
n 0.9127 0.955 1.617 ( 2 0.955) 0.8463
1 2 0 0e 0.689 0 0 t s 3.5 n 3.5 0.808 4.33
例4 系统结构图如图所示。
（1）绘制当K*= 0→∞时系统的根轨迹； （2）使复极点对应的 0.5 (60o) 时的 K 及 l ? （3）估算系统动态性能指标( , ts)
设
l1, 2 n j 1 2 n
0.5
由根之和 C 0 2 4 6 2 n l3
l3 6 2 n 6 n
应有： D( s ) s( s 2)( s 4) K * s 3 6s 2 8s K *
*
注意传函简化后，系统 闭环增益发生变化，要 加上必要的环节，使其 保持不变。
针对本题，上述简化是错误的，因为非主导极点和闭环零点构成偶极子，可 相消，因此本系统可简化为
4n2 4 0.9127 ( s) 2 2 s 1.617s 0.9127 s 2n s n2
2 * s 5 s3 6 s 8 s K s 3 5s 2 s 2 8s s 2 5s 3s K * 3 s 15 K * 15 0
D( s) s 3 6s 2 8s K *
( s 5)(s 2 s 3)
l1,2 0.5 j1.6583
Ⅰ型系统： K p
K v K 0.525 Ka 0
单位斜坡给定作用下稳态误差：
1 ess 1.9 Kv
例3 已知系统结构图，K*= 0→∞，绘制系统根轨迹并确定：
(1) 复极点对应 0.5 (60o) 时的 K 值及闭环极点位置； (2) 当 l35 时，l1，2？相应 K? (3) 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts)。
与虚轴的交点：
j 2 , k gp 6
稳定范围
0 kg 6,0 K 3
④ 作图求ξ=0.5时三个闭环极点
arccos 60

s1, 2 0.33 j 0.58
s3 3 ( 0.33 j0.58) (0.33 j0.58) 2.34

3.08
d1 0.845
⑷ 当 K*=4 时， 估算系统动态指标( ,ts)
视 l1,2 为主导极点
l1, 2 0.808 j 0.509 l3 4.383
因此，忽略非主导极点，可将三阶将为二阶。
具体做法为：确定了闭环极点，再加上原系统的闭环零点，且不损 失信号的能量，要保持闭环增益不变。
自动控制原理
§4.4 利用根轨迹分析系统性能
系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。 根据根轨迹→求已知参数（一般为σ%、 tS）下的主导闭 环极点→分析系统性能。
稳定性分析
例1 已知系统结构图，K*= 0→∞，绘制系统根轨迹并确定：
使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围； 解. 绘制系统根轨迹
三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响
1.已知系统开环传递函数 ，增加 -p=-2或 -z=-2， Gk ( s) 讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。
Kg s( s 1)
增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移
增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移
①增加极点后， Kg 从 0→∞ ，两条根轨迹离开实轴，并进 入s右半平面，系统不稳定。
K g s1 p1 s1 p2 s1 p3 0.33 j 0.58 0.33 j 0.58 1 0.33 j 0.58 2 1.05
K
Kg 2
0.525
2.34 非主导极点与主导极点实部之比 7.（倍） 1 0.33 2.34 3.（倍） 5 模之比 0.667
D( s ) s 3 6s 2 8s K * s 2 1.617 s 0.9127 s 4.383 s 4.383
解根： l1, 2 0.808 j 0.509
l3 4.383
分离点 K * d d 2 d 4 d
d 0.845
2 ( s l1 )( s l2 )( s l3 ) ( s 2 2 n s n )( s 6 n ) 2 s 3 6 s 2 6 n s n (6 n )
比较系数 6 n 8
2 * ( 6 ) K n n
结论：
增加开环零点对根轨迹的影响： ① 改变了根轨迹在实轴上的分布； ② 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； ③ 可构成开环偶极子，改善系统性能； ④ 根轨迹曲线向左偏移，意味着闭环极点向左偏移虚轴， 稳定裕度好，快速性好，所加开环零点越靠近虚轴影响 越大。
增加开环极点对根轨迹的影响： ① 改变了根轨迹在实轴上的分布； ② 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； ③ 改变了根轨迹的分支数； ④ 根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点越 靠近虚轴影响越大。
K * ( s 4) s2 K* 解. (1) G( s ) s( s 2)(s 3) s 4 s( s 3)
(2) 当 0.5 (60o) 时
l1,2 1.5 j 2.598
K * l1 l1 3 1.52 2.5982 9
K K* 3 3
n 4 3
* K 8.3
解根：
K K * 8 1.0375 l1, 2 0.667 j1.1547 l 6 4.667 n 3
（2）已知实根，求复根，用大除法
（2） 当 l35 时，l1，2？相应 K?
s2 s 3
Gk (s)
Kg s 2 (s 10)
Leabharlann Baidu
p1 p2 0, p3 10
a.原系统：3个开环极点，无开环零点，结构不稳定 b. z1 (10,0) ， 稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈 衰减振荡 c. z1 (, 10) ，不稳定
∴引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。
说明：开环传函出现零、极点相消，并代表闭环传函会出现零、
极点相消，因此，要分析系统的动态性能，要回到原系统进行分
析。即本系统不能通过根轨迹的分布情况（只能体现两个根的情 况）对系统进行降阶处理。
(3)
K * ( s 4) K * ( s 4) s( s 2)(s 3) ( s ) * K ( s 2)[s( s 3) K * ] 1 s( s 3)
K Gk ( s) s( s 1)(0.5s 1)
解：
Kg 2K Gk (s) s(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
① 绘制根轨迹
②
分离点：
(0.422, j 0)
③
K g 0.422 p1 0.422 p2 0.422 p3 0.422 0.578 1.578 0.385
8 2.828
* K 48
使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围
依题，对应
3.08 K * 48
有： 3.08 K * 48 K 6 8 8 8
动态性能分析
应用根轨迹法，可以迅速确定在某一开环增益下的闭环极 点的位置，再补上闭环零点，从而得到相应的闭环传递函数。
∴-s1、 -s2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭 环主导极点。 ⑤ 性能分析 可根据由-s1、 -s2 所构成的二阶系统来估算三阶系统。
n s1 0.667, 0.5
% e
ts 3
1 2
16.3%
n

3 9( s ) 0.5 0.667
K * 15
K K * 8 15 8 1.875
（3）已知根轨迹增益，求所有的根，用试探法求出一根，再用大除法
（3） 当 K*=4 时， 求l1,2,3 令
K* G( s ) s( s 2)(s 4)
试根
K * l3 l3 2 l3 4 4
l3 4.383
d1 0.845;
* d
d 2 3.155
d 0.845
K d d 2 d 4 ④ 虚轴交点：

3.08
D( s ) s( s 2)( s 4) K * s 3 6s 2 8s K * 0
ImD( j ) 3 8 0 ReD( j ) 6 2 K * 0
其对应最佳阻尼系数为ξ=0.707 ；
4.若非主导极点与主导极点实部比 >5，且主导极点附近又无 闭环零点，则非主导极点可忽略。一般可近似将高阶系统 看成由共轭复数主导极点构成的二阶系统或由实数主导极 点组成的一阶系统。
5.闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，当某个零点zi与某个极点-pj非常接近，成为一对偶极子。可在系统中人为 引入适当的零点，以抵消对动态过程中有明显坏影响的极点， 从而提高性能指标。
当根轨迹仍在s左半平面时，Kg↑，β↑， ξ↓，振荡程度
↑，│ζωn│↓，衰减因子↓，快速性↓，动态性能↓。
②增加零点后，根轨迹始终在 s左半平面，最后变为两个
负实根，稳定性↑， β↓， ξ ↑，σ% ↓， tS ↓，动态性能↑ 。 ∴常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。
例 4.已知系统开环传递函数，讨论增加开环 零点对系统稳定性的影响。
由原系统可得，系统有一个闭环零点
K * (s 4) ( s ) s(s 2)(s 4) k *
原系统的闭环增益为4：可参考如下判定方法 系统稳定且在阶跃输入作用下，无稳态误差，因此可通过外给定单位阶跃信号 作用系统的稳态值进行判定。
因此，原系统可简化为以下的二阶系统 K=4
4 ( s 4) 0.9127 ( s) 2 s 1.617 s 0.9127
不做要求

9( s 4) ( s 2 3 s 9)( s 2)
闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系： 1.系统要稳定：闭环极点全部位于 s左半平面，与闭环零点无 关； 2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快； 3. 平稳性好：主导共轭复数极点位于 β=±45°等阻尼线上，
K* G( s ) s( s 2)(s 4)
① 实轴上的根轨迹：[-∞,-4], [-2,0] ② 渐近线：
a (2 4) 3 2 a 60, 180
1 1 ③ 分离点： 1 0 d d 2 d 4
整理得： 解根：
3d 2 12d 8 0
解.
K* G( s ) s( s 2)(s 4)
分离点：
d1 0.845
K d d 2 d 4
* d d 0.845

3.08
虚轴交点
8 2.828
* K 48
（1）复极点对应 0.5 时的 K 值及闭环极点位置 如本系统，可降阶为二阶系统的高阶系统，在已知复根的阻尼系数的前提下， 求三根的方法
利用拉斯变换确定系统的单位阶跃响应，再由阶跃响应求 得系统的各项性能指标。
工程上采用的方法（主导极点法）：利用主导极点的概念对高
阶系统进行近似分析，即用主导极点代替系统的全部闭环极点 来估算系统的性能指标。
例2：已知系统开环传递函数 ，求具有阻尼比ξ=0.5的共 轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能 指标。