概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

第四章习题解答

1．设随机变量X ～B （30，

6

1），则E （X ）＝( D ). A.6

1

；

B.

65； C.6

25； D.5.

1

()3056

E X np ==⨯=

2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）.

A. 3；

B. 6；

C. 10；

D. 12.

()1()3E X E Y ==

因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y ==

3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______．

(10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==:

22()(())()18.4E X E X D X =+=

4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3

2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）.

解：

X 1 2 3 P

2/3

2/9

1/9

22113()233999

E X =

+⨯+⨯= 5．设X 的概率密度函数为

,

01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪⎩

其它

求2() ,().E X E X 解：12

20

1

()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞

==+-=⎰

⎰⎰,

12

22320

1

7

()()(2)6

E X x f x dx x dx x x dx +∞

-∞

==+-=

⎰

⎰⎰.

2214

()[()]()1.33E X E X D X =+=+=

2

4440

116()()d d 25

E X x f x x x x +∞-∞

===⎰

⎰

2422216464

()()[()]()5345

D X

E X E X =-=

-=

10．设随机变量X 的分布律为

X -1 0 1 2 P

1/5

1/2

1/5

1/10

求 D (X ).

解：22()()(())D X E X E X =-，1111

()101255105

E X =-⨯++⨯+⨯=,

22221114

()(1)01255105

E X =-⨯++⨯+⨯=,

224119

()()(())52525

D X

E X E X =-=

-=

. 11．设随机变量X 的概率密度函数为||1

()e 2

x f x -=，求D (X )．

解：1()()02

x

E X xf x dx xe dx +∞

+∞

--∞

-∞

===⎰

⎰

， 2

2

20

1()()222

x

E X x f x dx x e dx +∞

+∞

--∞

===⎰

⎰

， 22()()(())2D X E X E X =-=.

12．设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为

,

01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪⎩

其它 e ,0()0,y Y y f y -⎧≥=⎨⎩其它

求D (X )，D (Y )，D (X -Y )．

解：由本章习题5知()1E X =，27

()6

E X =

，于是有 221

()()(())6

D X

E X E X =-=

. 由(1)Y E :知()()1E X D X ==.

由于随机变量X ，Y 相互独立，所以

7()()()6

D X Y D X D Y -=+=

. 13．设D (X )=1,D (Y )=4,相关系数0.5XY ρ=，则cov(X ,Y )=___1____.

cov(X ,Y )=()()1D X D Y ρ=

14．设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为

1

sin()0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+≤≤≤≤

⎪=⎨⎪⎩

，，其它

求cov(X ,Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

22001sin()24

x x y dxdy ππ

π

=+=⎰⎰,

2

2

()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

222001sin()2x x y dxdy π

π=+⎰⎰

22011(cos +sin )2282

x x dx ππ

π==+-⎰, 2221()()[()]2162

D X

E X E X π

π=-=

+-. 由对称性 ()()4

E Y E X π

==

, 21()()2162

D Y D X π

π==

+-. 2200()()(,)12()sin()22

E XY xy f x y dxdy

xy x y dxdy ππ

π+∞

+∞

-∞

-∞

=-=+=⎰

⎰

⎰⎰，

cov(X ,Y )=22()()()().24

E XY E X E Y ππ

--=

-=-00461，

2221[()](2)=-0.2454.24162()()

XY D X D Y πππ

ρπ-=

=-+-

15．设二维随机变量(X , Y )有联合概率密度函数

1

(),02, 02

(,)8

0,

x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 试求E (X )，E (Y )，cov(X , Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

220017

()86

x x y dxdy =

+=⎰⎰,