2020年浙江高考数学一轮复习：排列与组合

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2020年浙江高三数学总复习：排列与组合复习讲义

第二节排列与组合排列与组合1.概念(公式)理解(1)组合与排列问题都是从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的计数问题,它们的差别是:排列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序. (2)A mn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m 个因数相乘.(3)公式C m n=A A mn mm体现了组合数与排列数的关系.(4)当m,n 较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证明时,常用公式A m n=()!!n n m -或C m n =()!!!n m n m -. (5)当m>2n 时,常利用组合数的性质将计算C mn转化为计算C n m n-. 2.与排列(数)组合(数)有关的结论(1)若C x n=C y n,则x=y 或x+y=n.(2)A m n=n 11A m n --,A m n =C m n ·A m m.(3)C m m+1C m m ++2C m m ++…+C m n=11C m n ++.(4)(n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!-n!=n ·n!. (5)k C k n=n 11C k n --.1.若32A n=103A n,则n 等于( B )(A)1 (B)8 (C)9 (D)10 解析:32A n=103A n,所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2), 所以n=8. 2.若3C n=4C n,则()!3!3!n n -的值为( C )(A)1 (B)20 (C)35 (D)7 解析:由3C n=4C n,得n=7,可求出()!3!3!n n -=7654!3!4!⨯⨯⨯=765321⨯⨯⨯⨯=35. 3.有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)从中任取4张,共有种不同取法;(2)从中任取4张,排成一个四位数,共组成个不同的四位数.答案:(1)5 (2)1204.大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有种.(用数字作答)解析:先从3人中选择2人看成一个整体,有2C=3(种)方法,再将这个3整体和另1个人安排坐四部电梯,有2A=12(种)方法,则不同的乘坐方4式有3×12=36(种).答案:36考点一排列的应用问题【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.解:(1)从7人中选5人排列,有5A=7×6×5×4×3=2 520(种).7(2)法一分两步完成,先选3人站前排,有3A种方法,余下4人站后排,有44A种方法,7共有3A·44A=5 040(种).7法二 (分排问题直排法)前排3人,后排4人,可视为7人排成一排,其中前3人为前排,后4人为后排,排法有77A =5 040(种).(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有66A 种排列方法,共有5×66A =3 600(种).法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有26A 种排法,其他有55A 种排法,共有26A55A =3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有44A 种方法,再将女生全排列,有44A 种方法,共有44A ·44A =576(种).(5)(插空法)先排女生,有44A 种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有35A 种方法,共有44A ·35A =1 440(种).求解排列应用问题的主要方法1.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法数为( A ) (A)55A 46A -244A 45A (B)55A 46A -44A 45A (C)55A45A -244A 44A (D)55A45A -44A 44A 解析:四位男演员互不相邻可用插入法,有55A 46A 种排法,其中女演员甲站在两端的方法有244A45A ,因此所求排法数为55A 46A -244A 45A .故选A.2.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( B ) (A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种解析:分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有44A 种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有13C 种排法,其他3个节目有33A种排法,故有13C 33A 种排法.依分类加法计数原理,共有44A +13C 33A =42种编排方案.考点二组合的应用问题【例2】有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数少于男生; (2)某女生一定要担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.解:(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(35C 25C +45C 13C )种,排列方法有55A 种,所以满足题意的选法有(35C25C +45C 13C )·55A =5 400(种). (2)除去该女生后,即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表,有47A =840(种)选法.(3)先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有47C 种选法,排列方法有14C 44A 种,所以选法共有47C 14C 44A =3 360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有36C 种选法,该男生的安排方法有13C 种,其余3人全排列,有33A 种,因此满足题意的选法共有36C13C 33A =360(种).组合问题常见以下几个题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.(3)名额分配问题:将n 个名额分给m 个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n 个相同的小球放入m 个盒子里,每个盒子里至少有一个小球,其放法为将n 个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有11C m n --种放法,即名额分配问题隔板法.1.(2018·浙江杭州二中模拟)浙江省高考制度改革以来,学生可以从7门选考科目(物理、化学、生物、历史、地理、政治、技术)中任意选取3门作为自己的选考科目.目前报考C 学校的A 专业需要选考物理、技术、化学,报考C 学校的B 专业需要选考技术、政治、历史,同时报考A,B 专业只要考生的选考科目中有一门满足条件即可报考.甲同学想报考C 学校的A 和B 专业,则甲同学选择选考科目的方法共有( C )(A)15种 (B)19种 (C)27种 (D)31种解析:由已知可得,甲同学如果选了技术,那么他只要从剩下的6门科目中任意选2门即可,此时有26C =15(种)选法.若甲同学不选技术,那么他可以先从物理、化学中选择1门,再从政治、历史中选择1门,最后从剩下的2门中选择1门,此时有12C12C 12C =8(种)选法;或者同时选择物理和化学,再从政治和历史中选1门,此时有2种选法;或者同时选择政治和历史,再从物理和化学中选1门,也有2种选法.故甲同学选择选考科目的方法共有15+8+2+2=27(种),故选C.2.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有种.(用数字作答)解析:(分类讨论思想)上午测试安排有44A 种方式,下午测试分为:(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则该同学有13C 种安排方式,其余三位同学选1人测试“握力”,有13C 种安排方式,其余两人只有1种安排方式,则共有13C ·13C =9(种),因此安排方式共有44A (2+9)=264(种).答案:264考点三分组、分配问题【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解:(1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有16C 种选法;再从余下的5本中选2本,有25C 种选法;最后余下3本全选,有33C 种选法.故共有16C25C 33C =60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有16C 25C 33C 33A =360(种).(3)无序均匀分组问题. 分配方式有22264233C C C A=15(种).(4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人, 共有分配方式22264233C C C A·33A =26C24C 22C =90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有41162122C C C A =15(种).(6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式41162122C C C A ·33A =90(种).(7)直接分配问题.甲选1本,有16C 种方法;乙从余下的5本中选1本,有15C 种方法,余下4本留给丙,有44C 种方法,故共有分配方式16C15C 44C =30(种).(1)均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.(2)分配问题:先将元素分组,再将各组排列,或者逐一分配.1.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,则不同的分配方案有( D )(A)30种 (B)60种 (C)90种 (D)150种解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1两种情况, 第一种情况的分法有225322CC A =15(种),第二种情况的分法有35C =10(种),所以5名教师分成3组的分法有15+10=25(种), 3个组分配到3个班的分法有33A =6(种),由分步乘法计数原理知不同的分配方案有 25×6=150(种).故选D.2.某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每个部门安排两人,则不同的安排方案种数为( A )(A)60 (B)40 (C)120 (D)240 解析:由题意得,先将4名大学生平均分为两组,共有224222C C A =3(种)不同的分法,再将两组安排在其中的两个部门,共有3×25A =60(种)不同的安排方法.故选A.。

2020年新课标版高考理数一轮复习：10.1排列、组合

专题十计数原理【真题典例】(2Dia®Z, 16, 4分｝故I, k 0 7.号中仆JFC亍fh M(u・ 4, <i 中任............................. Yttwaw农字的叫位■丄用就耘禅iO核心电去2”爼合一* 3,分丛卓曲汁数旦理.❷知识備备IM9列问堆的LTFAtei直察肌忧先底、拥綁法，懂窒桩.何搖床.2 QP2问鹰:小和吋打配冋也；必店肛均*ms.工播酬*辺許的灯汁啜用.❸思路分析ti£ -：解性 _____________________________.粮職建翻4牛航站这4许饭聘琬IIitM4l-故屮才o. 讪带「就的菲應崩,[ 稈出H园・章話"位貌的*敷]❹易错養示1.错解：从・，仏九7. HWMHK 打种方愉.Wh 2, 4, ft中任胞2乍览有氏料灯施.这4丫敢脚1磺逆何由芟救宁舸四I* '■炖宵1：「1；；：1斗网打这z術妙拆析：樹射》元*，m 仁族错的主UWW.Ttilffjtt字不權忌“0”+闪此*0" 元札” T-忖”屁脅祿位.KA “(T 人刊yOlT❺有法指导<先选后榨是辭答排刊*鉅音问昭的根亭方医.制川先遼研排法加善问爼冃需三堆叩叮左城.勒一举：逹兀荒，即选出捋斡枭件I的元索土蜡二排列.即耙选出的元秦技雯求旌忏排列；第三歩；即根据分歩乗堆计tt匝理、分塗imifc计数眾♦挥计算总髓❻能力要求|.AMMNK讨I和薛険些简草的实1障阿紙艸* ta合釈淡向唯的冥衍何题-❼命题總律1-醪专内客：汁盟限理-掛赳.爼爵-1 2■专SHtS式：以逢择融，填空尊为主，将排列、闱合奪合握率轴決一些实际问翡.也規常与豪敕好布列问皐WH结合.❽解答过程15秦见HM7.10.1 排列、组合挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点计数原理、排(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2018 课标I ,15,5分组合问题分类加法计数原理★★★11分析解读从近五年的考查情况来看，本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用，一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查，有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现•主要考查学生的逻辑推理能力•破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1. （2018四川德阳三校联考，7）从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A.48B.72C.90D.96答案D2. （2018广东中山一中第五次统测，7）从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.49C.56D.28答案 B3. 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进,Q 点处出，沿图中线路游览 A,B,C 三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O 外）的游览线路有（）D.48 种答案 D炼技法【方法集训】方法1求解排列问题的常用方法1. （2018安徽合肥调研性检测，9）用数字0,1,2,3,4 组成没有重复数字且大于 3 000的四位数,这样的四位数有（）A.250 个B.249 个C.48 个D.24 个答案 C2. （2017河南百校联考质检，7）甲、乙、丙、丁、戊、己 6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A.60B.96C.48D.72答案 C3. （2017江西八所重点中学联合模拟,13）摄像师要对已坐定一排照相的 5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为 ____________ .（用数字作答）答案 20C.12 种 A.6种B.8种方法2 分组、分配问题的求解策略1. （2018广东珠海模拟，7）将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球则不同放法共有（）A.480 种B.360 种C.240 种D.120 种答案 C2.（2017河南豫南九校2月联考，10）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共 8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72 种B.36 种C.24 种D.18 种答案 B过专题【五年高考】A 组统一命题课标卷题组1.（2017课标II ,6,5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种答案 D2. （2016课标1,5,5分）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）答案 BA.24B.183. （2016课标川,12,5分）定义规范01数列”a n｝如下:｛a n｝共有2m项，其中m项为0,m项为1, 且对任意k<2m,a i,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的规范01数列"共有（）A.18 个B.16 个C.14 个D.12 个答案C4. ______________________ （2018课标I ,15,5分）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）答案16B组自主命题省（区、市）卷题组1. （2014重庆,9,5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168答案B2. （2014安徽,8,5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对答案C3. （2018浙江,16,4分）从1,3,5,7,9 中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_________ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）答案 1 2604. （2017浙江,16,4分）从6男2女共8名学生中选出队长1 人,副队长1 人,普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________ 种不同的选法.（用数字作答）答案660C组教师专用题组1. （2015四川,6,5分）用数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个答案B2. （2014辽宁,6,5分）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144B.120C.72D.24答案D3. （2014四川,6,5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192 种B.216 种C.240 种D.288 种答案B4. （2014 广东,8,5 分）设集合A={（x 1,X2,X3,X4,X5）|x i € {-1,0,1},i=1,2,3,4,5}, 那么集合A 中满足条件1弓X1| + |X 2|+|X 3| + |X 4| + |X 5| W”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130答案D5. （2015广东,12,5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_________ 条毕业留言.（用数字作答）答案 1 5606. （2014北京,13,5分）把5件不同产品摆成一排•若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_________ 种.答案367. （2014浙江,14,4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖•将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有____________ 种（用数字作答）.答案60【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共35分）1. （2019届广东肇庆第一次统测,11）将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A B、C D共4所学校，每所学校至少一人，且甲不去A学校，则不同的分配方法有（）A.72 种B.108 种C.180 种D.360 种答案C2. （2018河北唐山二模,6）用两个1, 一个2, 一个0可组成不同四位数的个数是（）A.18B.16C.12D.9答案D3. （2018河南商丘二模,8）高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）A. X 种B. X54种C. X 种D. X54种答案D4. （2017江西新余二模,9）2017年3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A.34 种B.48 种C.96 种D.144 种答案C5. （2018福建福州二模，8）福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（）A.90 种B.180 种C.270 种D.360 种答案B6. （2018河南豫北名校联考，9）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18 种B.24 种C.48 种D.36 种答案B7. （2018山西长治二模，10）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1,2，「6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去•则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A.22 种B.24 种C.25 种D.36 种答案C二、填空题（每小题5分，共25分）8. （2019届河北衡水中学第一次摸底考试，15）由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有___________ 个.答案1209. （2019届山东青岛高三9月期初调研检测，15）将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_________ 种.答案1010. （2019届河南开封10月定位考试，15）从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为.答案3611. （2018山西太原第三次模拟,14）要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 __________ 种（用数字作答）.答案12012. （2017广东佛山二模，14）有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2 人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为_________ .答案12。

2020届高考数学一轮复习第56讲排列与组合

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5.【微点2】[2018·绍兴 [答模拟] 某单位安排5个人在6天中值班,每天1人,
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【备选理由】例1是站队排列背景下的排列问题,注重文字信直接法和间接法思考问题的不
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例4 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名师对数学卷的选择题、填空题
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[总结反思] 对于部分均分问题若有m组元素个数相等,则分组
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例5 A,B,C,D,E,F六人围坐在一会,A是会议的中心发言人,必须
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例5 A,B,C,D,E,F六人围坐在一圆桌上开会,A是会议的中心发人,必须坐最北面的椅子,B,C二
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了解排列、组合的概念,会用排
课前双基巩固
知识聚焦
1.排列与组合的概念
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2.排列数与组合数
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不同排列
课前双基巩固
对点演练题组一常识题
1.[教材改编] 世界华商大会的
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2.[教材改编] 甲、乙两人从4门
课程中各选修例题
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变式题 (1)[2018·黄山一模] 我行训练中,有5架“歼-15”飞机准之前着舰(不一
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[答案] (1)C (2)C

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.1 排列、组合 Word版含解析

专题十一计数原理【真题典例】11.1排列、组合挖命题【考情探究】分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2020年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.破考点【考点集训】考点排列、组合1.(2018浙江萧山九中12月月考,15)现有6本不同的数学资料书,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少要有1本,至多2本,可以剩余,则不同的分法种数为.(用数字作答)答案 1 2902.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,15)某单位安排5个人在六天中值班,每天1人,每人至少值班1天,共有种不同的值班方案.(用数字作答)答案 1 8003.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),16)现将7个不同的小球放入编号分别为1、2、3的三个盒子里,要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数,则符合要求的放法有种.(用数字作答)答案455炼技法【方法集训】方法排列组合综合问题的解题方法1.(2018浙江浙东北联盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元的,1个8元的,1个10元的(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种答案C2.(2018浙江杭州第一学期教学质检,16)有红,黄,蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各4个,都分别标有字母A,B,C,D.任意取出4个,字母各不相同且三种颜色齐全的取法有种(用数字作答).答案363.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,15)现有两本相同的语文书和两本相同的数学书,分发给三名学生,每名学生至少分得一本,则所有不同的分法有种(用数字作答).答案12过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点排列、组合1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2602.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6603.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60B组统一命题、省(区、市)卷题组考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 080C组教师专用题组考点排列、组合1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D2.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D3.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A4.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D6.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B8.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B9.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案B10.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b 的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C11.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B12.(2012课标,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A13.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 56014.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案3615.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案48016.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案59017.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,5)在1,2,3,4,5,6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中,各个数位上的数字之和为9的三位数共有()A.16个B.18个C.24个D.25个答案D2.(2018浙江宁波模拟(5月),7)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图所示的方格,要求有公共顶点的两个方格颜色不同,则不同的涂色方案有()A.48种B.72种C.96种D.216种答案C3.(2018浙江台州第一学期期末质检,6)有3位男生,3位女生和1位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共32分)4.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,15)将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有种.答案185.(2019届浙江名校协作体高三联考,16)用黑白两种颜色随机地染如下6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.答案206.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动,每个游戏最多有2人同时参与(如果有2人参与同一个游戏,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方法总数是.答案1207.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,15)一条笔直的公路的一侧有9根电线杆,现要移除2根,且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留,则不同的移除方法有种.答案218.(2018浙江宁波高三上学期期末,16)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于24的情况有种(请用数字作答).答案529.(2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),15)盒子里有6个完全相同的球,每次至少取出1个球(取出不放回),取完为止,则共有种不同的取法(用数字作答).答案3210.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),16)现有男、女乒乓球选手各9人,将这些选手配成男双、女双、混双各3对,每位选手均不能兼报两项或两项以上的项目,则配对方式的总数为(用数字作答).答案9 525 60011.(2018浙江重点中学12月联考,16)甲,乙,丙,丁四名同学做传递手帕游戏(每位同学传递到另一位同学手中,记传递1次),手帕从甲手中开始传递,经过5次传递后手帕回到甲手中,则不同的传递方法的种数为.(用数字作答)答案60。

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第十章第二节排列与组合

目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
直接法把符合条件的排列数直接列式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
找共性
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把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，捆绑法
同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，插空法
再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，
除法处理化的方法
看个性

排列与组合2020年高考数学一轮考点

2020年高考数学一轮考点专题57 排列与组合一、【知识精讲】1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质【注意点】1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.二、【典例精练】考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【解析】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A6 6＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).【解法小结】排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解析】 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C 234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C 334种或者C 335－C 234＝C 334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C 120C 215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C 120C 215种，选取3种假货有C 315种，共有选取方式C 120C 215＋C 315＝2100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C 335，选取3种假货有C 315种，因此共有选取方式 C 335－C 315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 【解法小结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 考点三分组、分配问题多维探究角度1 整体均分问题【例3－1】国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.【答案】90【解析】先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法.角度2 部分均分问题【例3－2】某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种B.90种C.120种D.150种【答案】 D【解析】分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C25C23C11 A22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C25C23C11A22·A33＝90种分派方法；另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C35C12C11A22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C35C12C11A22A33＝60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).角度3 不等分问题【例3－3】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24种B.30种C.48种D.60种【答案】 C【解析】B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.【解法小结】 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.三、【名校新题】1.(2019·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24【答案】 D【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.2．(2019·厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为( )A．C511 B．2C511C.A511A55D.A611A66【答案】 A【解析】共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C511种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排．3．(2019·厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为( )A．C511 B．2C511C.A511A55D.A611A66【答案】 A【解析】共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C511种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排．4.(2019·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )A.120B.240C.360D.480【答案】 C【解析】第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.5．(2019·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有( )A．250个 B．249个 C．48个 D．24个【答案】 C【解析】①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C.6.(2019·咸阳二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种【答案】【解析】共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种).7.(2019·佛山模拟)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】 B【解析】当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C 12A 34＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C 13A 34＝72个，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120个．选B.8.(2019·武汉模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ) A.34种 B.48种 C.96种 D.144种【答案】 C【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C 12种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A 22种情况，其余3人站剩余的3个位置，有A 33种情况，由分步乘法计数原理知共有4C 12A 22A 33＝96种.9.(2019·福州二模)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种【答案】 B【解析】根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案.10.(2019·山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法共有( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】 C【解析】 Ⅰ类：物理、化学、生物三科选一科，政治、历史、地理三科中选两科，有C 13C 23＝9种选法；Ⅱ类：物理、化学、生物三科选两科，政治、历史、地理三科中选一科，有C 13C 23＝9种选法，所以考生共有9＋9＝18种选考方法．故选C.11．(2019·陕西质检)将2名教师、4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种【答案】 A【解析】安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C12种方案；第二步安排学生，有C24种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有C1 2C24＝12(种)．故选A.12.(2019·福建漳州联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种【答案】 C【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96(种)．故选C.13.(2019·合肥模拟)现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为( )A．36 B．9 C．18 D．15【答案】 B【解析】分配方案为2,1,1，其中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有C13A22种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C13种分法．因此共有C13A22＋C13＝9种不同的分法．故选B.14.(2018·保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为( )A.8B.7C.6D.5【答案】 B【解析】根据题意，分2种情况：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A22＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7.15.(2019·惠州二调)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18 C．16 D．10【答案】 D【解析】分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.16.(2019·江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有( )A．12种 B．24种 C．18种 D．36种【答案】 D【解析】元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C23＝3种选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A24＝12种安排方法，则不同的乘坐方式有3×12 ＝36种．故选D.17.(2019·广州一模)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为( )A.35B.70C.165D.1 860【答案】 C【解析】根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C37＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C34＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C27＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C24＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C17＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法.18.(2019·开封模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答).【答案】 1 080【解析】若甲、乙同时参加，有C22C26C12A22A22＝120种，若甲、乙有一人参与，有C1 2C36A44＝960种，从而总共的发言顺序有1 080种.19.(2018·江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答).【答案】20【解析】从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种.故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案.20.(2019·湖北黄冈模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为________．【答案】60【解析】2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.21.(2019届山东青岛高三9月期初调研检测)将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.【答案】10【解析】按照放在“1”号盒子中的球的个数分类：（1）在“1”号中放1个，则在“2”号中放3个，方法数为种；（2）在“1”号中放2个，则在“2”号中也放2个，方法数为种。

浙江新高考数学文科一轮复习创新方案热点题型10.2排列与组合(含答案详析)

第二节摆列与组合考点一摆列问题[例 1] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数：(1)选此中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一同；(4)全体站成一排，男生不可以站在一同；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答 ] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全摆列，有A75＝ 2 520 种排法．(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 77＝ 5 040 种排法．(3)相邻问题 (捆绑法 ) ：男生一定站在一同，是男生的全摆列，有A 33种排法；女生一定站在一同，是女生的全摆列，有 A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 22种排法，依据分步乘法计数原理，共有 A 33·A44·A 22＝ 288 种排法．(4)不相邻问题 (插空法 )：先安排女生共有 A 44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A 53种排法，故共有 A 44·A 53＝1 440 种排法．(5)先安排甲，从除掉排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A 51＝ 5 种排法；再安排其余人，有 A 66＝ 720 种排法．所以共有A15·A 66＝ 3 600 种排法．【互动研究】本例中若全体站成一排，男生一定站在一同，有多少种排法？解：(捆绑法 )即把全部男生视为一个元素，与 4 名女生构成 5 个元素全摆列，故有 A 33·A 55＝ 720 种排法．【方法例律】1．解决摆列问题的主要方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑办理，即能够把相邻元素当作一个整体参加其余元素摆列，同时注意捆绑元素的内部摆列插空法不相邻问题插空办理，即先考虑不受限制的元素的摆列，再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中除法法定序问题除法办理的方法，可先不考虑次序限制，摆列后再除以定序元素的全摆列2．解决摆列类应用题的策略(1)特别元素 ( 或地点 )优先安排的方法，即先排特别元素或特别地点．(2)分排问题直排法办理．(3)“小公司”摆列问题中先集中后局部的办理方法．1． (2012 ·宁高考辽 )一排 9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A． 3× 3! B ．3× (3！ )3C． (3！ )4D． 9!分析：选C把一家三口当作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以知足题意的坐法种数为 A 33(A 33) 3＝ (3！ )4.2． (2014 南·充模拟 )将 5名实习教师分派到高一年级的 3 个班实习，每班起码 1 名，最多 2 名，则不一样的分派方案有()A．30 种B．90 种C． 180 种D． 270 种2222分析：选B选分组，再摆列．分组方法共有C5 C3，所以共有C5C3322·A 3＝ 90.A 2 A 2考点二组合问题[例 2] (1)若从 1,2,3，, ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A． 60B． 63C． 65(2)(2013 重·庆高考 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都起码有D． 665 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救1 人的选派方法种数是________(用数字作答 )．[自主解答](1)由于从1,2,3， ,，9 中共有 4 个不一样的偶数和5 个不一样的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C45＋ C44＋ C25C24＝66种不一样的取法．(2)按每科选派人数分为3,1,1 和 2,2,1 两类．入选派人数为3,1,1 时，有 3 类，共有 C33C41C51＋ C31C43C51＋ C31C41C53＝ 200 种选派方法．入选派人数为2,2,1 时，有 3 类，共有 C32C42C51＋ C32C41C52＋ C31C42C52＝ 390 种选派方法．故共有 590 种选派方法．[答案 ] (1)D(2)590【方法例律】1．解决组合应用题的一般思路第一整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；而后局部分步，用到分步乘法计数原理．2．组合问题的常有题型及解题思路常有题型有选派问题，抽样问题，图形问题，会合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在认真审题的基础上，分清问题能否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“ 分类” 仍是“ 分步” 解决，将复杂问题经过两个原理化归为简单问题．3．含有附带条件的组合问题的常用方法往常用直接法或间接法，应注意“ 起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解，关于波及“ 起码”“ 至多”等词的组合问题，既可考虑反面情况即间接求解，也能够分类研究进行直接求解．1．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法的种数为()A． 30 B ．35C． 42D． 48分析：选 A法一：分两种状况：(1)2 门 A,1 门 B，有 C32C41＝ 12种选法； (2)1门 A,2门B，有 C31C42＝ 3×6＝ 18 种选法．所以共有12＋ 18＝ 30 种选法．法二：清除法： A 类 3 门， B 类 4 门，共 7 门，选 3 门， A，B 各起码选 1 门，有 C73－C33－ C43＝35－ 1－ 4＝ 30 种选法．2．两人进行乒乓球竞赛，先赢3 局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况)种数为 ()A． 10B． 15C．20D．30分析：选 C分三种状况：恰巧打 3 局，有 2 种情况；恰巧打 4 局 (一人前 3局中赢 2局，输 1 局，第 4 局赢 )，共有 2C32＝ 6 种情况；恰巧打 5 局 (一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢 )，共有 2C42＝ 12 种情况．全部可能出现的情况种数为2＋ 6＋12＝ 20.高频考点考点三摆列与组合的综合应用1．摆列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热门，多以选择题或填空题的形式体现，试题难度不大，多为简单题或中档题．2．高考对摆列与组合综合应用题的考察主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特别元素 ( 地点 )问题；(4)多元问题等．[例 3](1)(2013烟·台模拟)有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中拿出 4 张卡片排成一行，假如拿出的 4 张卡片所标的数______种 (用数字作答)．字之和等于10，则不一样的排法共有(2)(2014西·安模拟)某地奥运火炬接力传达路线共分 6 段，传达活动分别由 6 名火炬手达成．假如第一棒火炬手只好从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只好从甲、乙两人________种 (用数字作答)．中产生，则不一样的传达方法共有[自主解答](1)拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10，共有三种状况：1144,2233,1234.所取卡片是1144 的共有 A 44种排法．所取卡片是2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是1234，则此中卡片颜色可为无红色， 1 张红色， 2 张红色， 3 张红色，全部是红色，共有 A 44＋C14A 44＋ C24A 44＋ C34A 44＋ A 44＝ 16A44种排法，所以共有 18A 44＝ 18× 4× 3× 2× 1＝ 432 种排法．(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A 44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有 A 44＋ A 44＋C21·A 44＝ 96 种方法．[答案 ] (1)432 (2)96摆列与组合综合问题的常有种类及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个有关元素视为一个元向来考虑，待整个问题排好以后，再考虑它们“ 内部” 的摆列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，而后把特定元素插在它们之间或两头的空当中，它与捆绑法有同样作用．(3)特别元素 ( 地点 )优先安排法．优先考虑问题中的特别元素或地点，而后再摆列其余一般元素或地点．(4)多元问题分类法．将切合条件的摆列分为几类，而每一类的摆列数较易求出，而后依据分类计数原理求出摆列总数．1． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为()82828282A． A C A D．A CA分析：选A相间问题用插空法，8 名学生先排，有 A 88种排法，产生9 个空， 2 位老师插空，有 A 92种排法，所以最后有 A 88A 92种排法．2．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数为()A． 360B． 288C．216D． 96分析：选 B先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有C32·A22·A 33·A 42种排法，再从中清除甲站两头的排法，所以所求排法种数为22322222－C3·A 2·A 3·A4－ 2C3·A 2·A2·A 3＝ 6× (6× 1224)＝ 288.3．将 4 名大学生疏派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，则不一样的分派方案有________ 种(用数字作答 ) ．分析：选出两人当作一个整体，再全摆列．共有C42·A33＝ 36 种分派方案．答案： 36———————————[讲堂概括——通法意会 ]———————————1 个辨别——摆列问题与组合问题的辨别方法辨别方法若互换某两个元素的地点对结果产生影响，则是摆列问题，即摆列问题与选用元素摆列次序有关若互换某两个元素的地点对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选用元素组合次序没关3 个注意点——求解摆列与组合问题的三个注意点(1)解摆列与组合综合题一般是先选后排，或充足利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后办理．(2)解受条件限制的组合题，往常用直接法(合理分类 )和间接法 (清除法 )来解决．分类标准应一致，防止出现重复或遗漏．(3)关于选择题要慎重办理，注意等价答案的不一样形式，办理这种选择题可采纳清除法剖析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．易误警告 (十二 )摆列与组合中的易错问题[典例 ]将6名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________种不一样的分法．[解题指导 ]将6名教师分到 3 所中学，相当于将 6 名教师分红 3 组，相当于 3 个不一样元素．[分析 ]将6名教师分组，分三步达成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有C33种取法．依据分步乘法计数原理，共有123C6C5C3＝ 60 种取法．再将这 3 组教师分派到 3 所中学，有 A 33＝ 6 种分法，故共有 60× 6＝360 种不一样的分法．[答案 ] 360[名师评论 ] 1.假如审题不认真，极易以为有 C61C52C33＝ 60 种分法．由于此题中并无明确指出哪一所学校1名、2名、3名．2．解决摆列与组合应用题应要点注意以下几点：(1)第一要分清楚是摆列问题仍是组合问题，不可以将二者混杂．(2)在解决问题时，必定要注意方法的明确性，不可以造成重复计数．(3)分类议论时，要注意分类标准确实定，应做到不重不漏．牙语在小语种提早招生考试中，某学校获取5 个介绍名额，此中俄语 1 名，而且日语和俄语都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下2 名，日语 2 名，西班3男2女共 5个介绍对象，则不一样的介绍方法的种数为()A． 20B． 22C． 24D． 36分析：选 C 3 个男生每个语种各介绍 1 个，共有 A 33A22种介绍方法；将 3 个男生疏为两2 2 23 2 2 2 2组，此中一组 2 个人，则共有 C3A 2A 2种介绍方法．所以共有 A 3A 2＋ C3A 2A 2＝24 种不一样的介绍方法．。

新高考数学一轮复习教师用书：第10章 2 第2讲排列与组合

第2讲排列与组合1．排列、组合的定义排列的定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C m n＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！,0！＝1C mn ＝C n －mn ,C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ,则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修23P27A 组T7改编)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24解析：选D.“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.2．(选修23P19例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A ．8 B ．24 C ．48D ．120解析：选C.末位数字排法有A 12种,其他位置排法有A 34种,共有A 12A 34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.3．(选修23P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种,故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.[易错纠偏](1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体,不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有C26C35种方法；第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法,再与产品D,E全排列有A33种摆法,最后把产品C插空有C13种摆法,所以共有A22A33C13＝36(种)不同的摆法．答案：36排列应用题3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排,前排3人,后排4人；(3)全体站成一排,男、女各站在一起；(4)全体站成一排,男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A57＝2 520种排法．(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起,是男生的全排列,有A33种排法；女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素,有A22种排法,由分步乘法计数原理知,共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法,男生在4个女生隔成的五个空隙中安排共有A35种排法,故N＝A44·A35＝1 440(种)．(变问法)在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种,其余有A66种,故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙,再排其余5人,共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法[提醒] (1)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数,则含有2,3但它们不相邻的五位数有________个．解析：不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A34个,2,3去排四个空当,有A24个,即有A34A24个；而0在首位时,有A23A23个,即含有2,3,但它们不相邻的五位数有A34A24－A23A23＝252个．答案：252组合应用题要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”,可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法,其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可,共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从其余10人中任选5人有C510种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．(变问法)在本例条件下,求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男,1女4男,2女3男,由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为中档题．主要命题角度有：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．角度一相邻、相间问题(2020·杭州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C12种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C12A44A22＝96(种),故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】660角度三特殊元素(位置)问题(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生．如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为________．【解析】①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C12C13A33＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有C12A22A23＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】60解排列、组合综合应用问题的思路1．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C 24C 12C 11A 22＝6种,再分配给3个人,有A 33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C 23种分法,再分给4人有C 23A 24种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：603．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．解析：由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4；当个位是0时,有A 44＝24种,当个位是2时,有3A 33＝18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A 33＝12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2C 12A 22＝8种,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．答案：60 28核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题,在考试中不容易得分,在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,应注意的是只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生,将其平均分到3所学校去任教,有________种不同的分配方法．【解析】先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22A 33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A 33＝6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数),避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种．【答案】 900本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m ！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【解析】先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有C 16种选法；再从余下的5本中选2本,有C 25种选法；最后余下3本全选,有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有60A 33＝360种分配方法．【答案】 360对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时,任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！,所以x2－19x＋84＜0,解得7＜x＜12.又x≤8,x－2≥0,所以7＜x≤8,x∈N*,即x＝8.2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A．96 B．84C．60 D．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．共有A24＋2A34＋A44＝84.法二：按A－B－C－D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C14＝4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为( ) A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种,故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种),故选B.5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD,ABCE,ABDE,在每类情况中,获奖的情况有C24·A22＝12种,所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种．6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( ) A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．7．如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点,有C38种取法,再减去三点共线的情形即可,即C38－C35－C34＝42.8．(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有C23A22＝6种情况,②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C13＝3种情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法,故选B.10．设集合A＝{(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i＝1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|,t＝1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为－1或1,其他为0,所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为－1或1,其他为0,所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为－1或1,其他为0,所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3,从而,共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A36＝120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有1×120＝40(种)．3答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥,则共需C24＝6座桥,现只建其中3座,有C36种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C34种,则共有C36－C34＝16种建桥方案．法二：依题意,满足条件的建桥方案分两类．第一类,如图(2),此时有C 14种方法．第二类,如图(3),此时有12A 44＝12种方法．由分类加法计数原理得,共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n,则有,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m,n ∈N ＋,则m ＝3,n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A 有A 12＝2种结果,将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！,其中x∈R ,m 是正整数,且C 0x ＝1,这是组合数C m n (n,m 是正整数,且m≤n)的一种推广,则C3－15＝________；若x>0,则x ＝________时,C 3x （C 1x ）2取到最小值,该最小值为________．解析：由规定：C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680,由C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. 因为x>0,x ＋2x≥22,当且仅当x ＝2时,等号成立, 所以当x ＝2时,得最小值22－36. 答案：－680 2 22－36[综合题组练]1．已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测试方法．所以共有A 46·A 24·A 44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C 14·C 16·A 44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名,女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长,又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员,方法数为C 36,再选2名女运动员,方法数为C 24,共有C 36·C 24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C 49种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C 48种选法,其中不含女运动员的选法有C 45种,所以不选女队长时共有(C 48－C 45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n ＋kA k －1n ＝A k n ＋1(k≤n ,n ≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k≤m≤n ,n ≥0)．证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！, 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！, 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x∈Z|x≥10},集合B 是集合A 的子集,且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列,求第1 081个元素．解：将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个),因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个),因此第1 081个元素是4 012.。

2020届高三一轮复习理科数学课件排列与组合

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个排列中的元素相同，则这两个排列为相同排列．( × ) 解析当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列． (2)若两个组合相同，则其中的元素完全相同且顺序相同．( × )
解析两个组合相同只需两个组合的元素完全相同即可，无需顺序相同．
(2)排列数从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Amn .
2．组合与组合数 (1)组合从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 CCmn 表示．
(2)Cmn ＝ CCnn－m
(3)Cmn ＋Cmn －1＝ CCmn＋1 n，m∈N*且 m≤n
【必记结论】
1．排列与组合的比较
名称
排列组合Biblioteka 相同点都是从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，元素无重复
排列与顺序有关
组合与顺序无关
不同点两个排列相同，当且仅当这两个排两个组合相同，当且仅当这两
6．(2018·全国Ⅰ卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 1616 种．(用数字填写答案)
解析本题主要考查组合问题．方法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4(种)选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝ 12(种)选法．故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16(种)．方法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C36＝20(种)选法，其中选出的 3 人都是男生的选法有 C34＝4(种)，∴至少有 1 位女生入选的选法有 20－ 4＝16(种)．

高考数学一轮总复习第十章排列与组合

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，拓展提高均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．

2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第二节排列与组合

＝6(种)
分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6
＝36(种)不同的保送方案.
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2
名，一所3名，则有___3_6_0___种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与
搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近
处.那么不同的搜寻方案有
( B)
A.10种
B.40种
C.70种
D.80种
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意
挑出1位陪同，有C
1 5
种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位
搜寻远处，有C
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40
人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝
1 560(条)毕业留言.
5.已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则m＝____2____.
解析：由已知得，m的取值范围为
m|0≤m≤5，m∈Z

，原等
式可化为
毕业生平均分到3所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90(种)分派方法.
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、
乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
共有___3_6____种.
[解析]
先把4名学生分为2,1,1共3组，有
C24C12C11 A22
＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不

2020高考数学一轮复习第二讲排列与组合课件新人教版精品

●基础知识 1．排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A
(2009·全国Ⅰ，7)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A．150种 C．300种答案：D
B．180种 D．345种
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66 二、分类错误造成的混淆 2．在3000至8000中有__________个无重复数字的奇数．答案：1232
答案：24
【例3】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生 5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
[思路点拨] 从13人中选5人，与顺序无关是组合问题．
●回归教材 1．4·5·6·7·…·(n－1)·n等于
()
解析：由排列数公式知：4·5·6·…·(n－1)·n＝A，故选B.
答案：B
2．下列等式不正确的是
()
3．(教材改编题)从4名男生和3名女生中选出4人参加

高考数学一轮总复习课件：排列与组合

其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行：第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种；第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种；第三步：为这 3 人安排工作有 A33种．由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法．【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600

2023版高考数学一轮总复习10-1计数原理排列与组合习题

10.1 计数原理、排列与组合基础篇固本夯基考点计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种答案 C2.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种答案 C3.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B4.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有( )A.81个B.90个C.100个D.900个答案 B5.(2022届新疆莎车一中期中,7)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1200种答案 C6.(2022届哈尔滨六中期中,8)用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数,其中奇数不相邻且1、2必须相邻,则满足要求的六位数共有( )A.72个B.96个C.120个D.288个答案 A7.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道,乙不在2跑道的不同安排方法有( )A.12种B.14种C.16种D.18种答案 B8.(2020合肥模拟,6)为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( )A.24种B.36种C.48种D.64种答案 B9.(2021河南顶级名校月考,11)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种答案 B10.(2022届福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( )A.180B.240C.420D.480答案 C11.(2021宁夏顶级名校月考,14)4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每人随意取走一顶帽子,则4人取的都不是自己帽子的取法有种.答案912.(2022届成都石室中学10月月考,15)一条路上有10盏路灯,为节约资源,准备关闭其中的3盏.为安全起见,不能关闭两端的路灯,也不能关闭任意相邻的两盏路灯.则不同的关闭路灯的方法有种.答案20综合篇知能转换考法一排列问题的解决方法1.(2022届银川一中月考三,10)2021年1月18日,国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称,作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵,计划从中随机选取4个依次进行分析,若同时选中哪吒、赤兔,则哪吒和赤兔连续被分析,否则随机依次分析,则所有不同的分析情况有( )A.4704种B.2800种C.2688种D.3868种答案 A2.(2021皖江名校联盟,9)有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有( )A.288种B.144种C.72种D.36种答案 B3.(2021四川宜宾重点高中二诊,8)受新冠病毒肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )A.240种B.120种C.188种D.156种答案 B4.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12605.(2021河南部分重点高中联考,16)中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习,每种乐器安排一节,连排六节,并要求“土”与“匏”相邻排课,但均不与“竹”相邻排课,且“丝”不能排在第一节,则不同的排课方式的种数为.答案12966.(2022届江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为.(用数字作答)答案252007.(2022届陕西渭南联考,16)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则满足《诗经》排在后2节,《周易》和《礼记》分开安排的情形共有种.答案28考法二分组与分配问题的解题方法1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2020吉林松原实验中学八模,6)某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级,每班至少1人,则不同的安排方案共有( )A.150种B.120种C.240种D.540种答案 A3.(2022届重庆巴蜀中学月考,15)某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代,学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍,其中一支队伍分配有7个名额,余下三支队伍都有参赛名额,则这四支队伍的名额分配方案有种.答案844.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案165.(2020课标Ⅱ,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案366.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是.(用数字作答)答案1080。

(浙江专用)高考数学一轮复习专题十计数原理 10.1 计数原理与排列、组合试题(含解析)-人教版

专题十计数原理【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【真题探秘】§10.1计数原理与排列、组合基础篇固本夯基【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C2.在我国第一艘航空母舰“某某舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12综合篇知能转换【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019某某万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(2018某某某某调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B4.(2019某某嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020届某某某某执信中学10月月考,14)有6X卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4X,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2018某某某某二模,8)某某西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B7.(2019某某某某第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2018某某某某一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( )A.60种B.90种C.150种D.120种答案 B9.(2020届某某某某一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到某某“两日游”,若他们不同一天出现在某某,则他们出游的不同方案共有( )A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C【五年高考】考点计数原理、排列、组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015某某,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规X01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规X01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017某某,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2017某某,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6608.(2015某某,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C2.(2014某某,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B3.(2014某某,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C4.(2014某某,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2014某某,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D6.(2014某某,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B7.(2014某某,14,4分)在8X奖券中有一、二、三等奖各1X,其余5X无奖.将这8X奖券分配给4个人,每人2X,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案608.(2014,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案369.(2018某某,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时, f n(2)=n 2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n(2),f n(1), f n(0)的关系:f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n,从而得到f n(2)(n≥5)的表达式.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.2 100B.2 200C.2 160D.2 400答案 C2.(2020届某某某某一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种答案 C3.(2020届某某某某七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一X合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1 200种答案 C4.(2020届某某洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )A.192种B.240种C.432种D.528种答案 C5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C6.(2019某某金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48答案 A7.(2019某某某某一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A.6种B.9种C.12种D.36种答案 C8.(2018某某哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D9.(2019某某某某模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12B.24C.36D.48答案 D二、多项选择题(共5分)10.(改编题)下列说法正确的是( )A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A85种B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C85种D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C84种答案ABC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届某某夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届某某寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.答案3613.(2019某某某某中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案12014.(2020届某某东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去某某、某某、某某三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去某某的概率是.答案150;775。

2020年浙江高三数学总复习：排列与组合课时训练

第二节排列与组合课时训练【选题明细表】一、选择题1.若二，则x为(C )(A)3 (B)5(C)3或5 (D)以上都不对解析：答案为3或5,故选C.2.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本,共有不同分法(A )(A)种(B)'种(C)种(D) ' •'种解析:9个人中有6人被分到数学书，有3人被分到语文书，因为6本数学书相同且3本语文书相同故与顺序无关，只需从9人中选出3人严H J T-3给语文书剩下的6人均给数学书即可，即不同的分法共有二种.故选A.3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(C )(A) ' (C) (B) (D)解析：首先从后排的7人中抽2人，有种方法;再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有'种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是.故选C.4. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(C )3(A)3 X 3! (B)3 X (3!)(C)(3!) 4(D)9!解析：分成四个步骤完成，第1步三家全排列为'=3!,第2,3,4步对每家成员排序都是'=3!,根据分步乘法计数原理总数m=(3!) 4.故选C. 5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(B )(A)60 (B)48 (C)42 (D)36解析:用排除法,先不考虑甲不站两端.先排男生有'种,再把女生分两部分，然后在3个空中插空排列，共有居.屈.屈种然后排除甲站两端的/ ,共有排法种数-2 . = ( -2 )=6 X (12-4)=48.故选B.6. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（C ）（A）18 种（B）24 种（C）36 种（D）72 种解析：一个路口有3人的分配方法有（种）；两个路口各有2人的分配方法有’’（种）.所以由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为c詁加+空匚加=36（种）.7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张. 从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张,不同取法的种数为（C ）（A）232 （B）252 （C）472 （D）484解析:有一张红色的取法有••种;无红色的取法种数有-•,所以总的不同取法有•+ - =472（种）,故选C.8. 有大小形状完全相同的4个黑球,2个白球,放入如图所示的九个格子中，每个格子至多放入1个小球,相邻格子（即有公共边的两个正方形）中放入的小球不同色，则不同的放法共有（C ）（A）32 种（B）40 种（C）48 种（D）56 种解析:第一类，当4个黑球在4个顶角的位置时，白球放在除最中间后剩下4个格中任选两个，故有=6（种），如图.□回□□□0□0第二类，当有一个黑球在最中间时，其他三个黑球只能放在顶角位置，有=4（种）,当其中一个白球在顶角时，另一个白球只有2种放法,当白球不在顶角时，白球放在除顶角后剩下4个格中任选两个有=6种,故有4X （2+6）=32（种），如图.0□0□□0□0第三类，当4个黑球放在每外围三个格的中间时，白球从剩下5个格中任选两个有=10（种）,如图.□S□L□□0□根据分类加法计数原理，故有6+32+10=48（种）.故选C.二、填空题9.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________ 种,没有空盒的放法共有___________ 种.（用数字作答）2,1,1的3组，有 ''种.最后将3组球放入4个盒中的3个,分配方解析：把4个小球分成3组,每组至少1个,即分成小球个数分别为法有’种,因此,放法共有二X ' =144种.将4个不同的小球放入四个盒子中，没有空盒的放法共有=24种.答案：144 2410. （2018 •全国I卷）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 _______ 种.（用数字填写答案）解析:法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种，故共有+ =2X 6+4=16（种）.法二从2位女生,4位男生中选3人，共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16（种）.答案:1611. ______________________________________ 张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为______________________________________ .（用数字作答）解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有种排法；第三步:将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有2X 2X =24（种）.答案:2412. （2018 •嘉兴一中模拟）电影院一排有10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有__________ 种.解析：除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位,共可形成6个空，三人从6个空中选3个位置坐上去有种坐法,因为甲坐在中间，所以乙丙有'种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有• ’ =40（种）.答案:4013. 某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________ 种不同的抽调方法.解析：（分类法）：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车. 可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆,有种;一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆，有种；一类是从3个车队中各抽调1辆,有种.故共有+ + =84（种）抽调方法.答案:8414. （2018 •浙江卷）从1,3,5,7,9 中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 ________ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）解析:不含有0的四位数有x X ■ =720（个）.含有0的四位数有xxx' =540（个）.综上，四位数的个数为720+540=1 260.答案:1 26015. 将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数解析：先将5人分成三组（1,1,3或2,2,1两种形式）,再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空厂1厂1厂3厂2厂"2广1档中即可，故安排方式共有（八+「）•’.=900（种）.答案:900 三、解答题16. （1）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？⑵已知集合A二{5},B={1,2},C={1,3,4}, 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解:（1）法一每个学校至少一个名额，则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类:若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有X 2=42（种）;若分配到3所学校有=35（种）.所以共有7+42+35=84（种）方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有=84（种）不同方法.所以名额分配的方法共有84种.⑵①从集合B中取元素2时，确定=18（个）点.②当从集合B中取元素1,且从C中取元素1,则确定的不同点有X 1=3（个）.③当从B中取元素1,且从C中取出元素3或4,则确定的不同点有= 12（个）.所以由分类加法计数原理，共确定」+ + =33（个）不同点.17. 某市工商局对35件商品进行抽样检查，已知其中有15件假货.现从35件商品中选取3件.（1）其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34件商品中，选取2件有=561（种）, 所以某一件假货必须在内的不同取法有561种.⑵从34件可选商品中，选取3件,有=5 984（种），或者-=5 984（种）.所以某一件假货不能在内的不同取法有 5 984种.⑶从20件真货中选取1件,从15件假货中选取2件有-=2 100（种）,所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种.（4）选取2件假货有••，选取3件假货有种,所以共有选取方式=2 555（种）,至少有2件假货在内的不同取法有2 555种.（5）法一（直接法）有2件假货在内，不同的取法有••种,有1件假货在内，不同的取法有••种；没有假货在内有•种,因此共有选取方式+ + =6 090（种）.法二（间接法）选取3件的总数有，因此共有选取方式-= 6 545-455=6 090（种）.。

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