2020年浙江高考数学一轮复习：排列与组合

第三节排列与组合

1．排列与排列数

(1)排列：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.

2．组合与组合数

(1)组合：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.

3．排列数、组合数的公式及性质

[小题体验]

1．将8种不同的菜种任选4种种植在不同土质的4块地里，不同的种植方法有()

A ．24

B ．1 680

C ．70

D ．840

解析：选B 由题可得，不同的种植方法有A 4

8＝8×7×6×5＝1 680种．

2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．

解析：依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24种． 答案：24

3．(2019·舟山模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

解析：依题意得，满足题意的组成方法有C 12A 34＝48个．

答案：48

1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．

2．计算A m n 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )．

3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．

[小题纠偏]

1．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．

解析：由排列数公式可知

3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，

∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝2

3(舍去)，

∴x ＝5. 答案：5

2．已知圆上有9个点，则任取三点构成一个三角形，这样的三角形的个数为________． 解析：由题可得，三角形的个数为C 39＝9×8×73×2×1＝84. 答案：84

考点一 排列问题(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻．

解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．

(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．

法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．

(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．

[由题悟法]

求解排列应用问题的6种主要方法

[即时应用]

1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()

A．324 B．648

C．328 D．360

解析：选C首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，当0排在十位时，有A14A18＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A14·A28＝4×8×7＝224(个)，由分类加法计数

原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．

2．(2019·湖州调研)A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有______种．(用数字作答)

解析：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A24－A22种坐法，则共有A33(A24－A22)＝60种坐法．

答案：60

3．(2019·诸暨模拟)将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法有________种．解析：根据要求，小球的分类有1＋2＋6；1＋3＋5；2＋3＋4三类．所以满足要求的不同的放法有3A33＝18种．

答案：18

考点二组合问题(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员．

解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．

(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，

由分类加法计数原理可得总选法数为

C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．

法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．

[由题悟法]

1．解决组合应用题的2个步骤

(1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；

(2)局部分步用到分步乘法计数原理．

2．解决含有附加条件的组合问题的2种方法

通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研