共轭梯度法简介
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
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预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
matlab用共轭梯度法求解优化问题
标题：利用MATLAB中的共轭梯度法求解优化问题正文：一、概述在数学和工程领域中，优化问题是一个重要的研究领域。
优化问题的目标是寻找一个能够最大化或最小化某个函数的变量的数值，使得该函数达到最优值。
而共轭梯度法是一种常用的优化算法，能够有效地解决大规模的线性和非线性优化问题。
本文将介绍如何利用MATLAB中的共轭梯度法来求解优化问题。
二、共轭梯度法简介共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解无约束优化问题。
它是一种在局部搜索过程中利用历史信息的优化方法，通常用于求解大规模的线性和非线性优化问题。
共轭梯度法基于数学中的共轭梯度概念，通过迭代寻找下降最快的路径，从而逐步逼近最优解。
三、MATLAB中的共轭梯度法函数MATLAB提供了丰富的优化算法和函数，其中包括了共轭梯度法函数。
在MATLAB中，可以使用“fmincg”函数来调用共轭梯度法来求解无约束优化问题。
该函数可以接收目标函数、初始变量值和其他参数作为输入，并计算出最优解。
四、使用共轭梯度法求解优化问题的步骤1. 确定目标函数在使用共轭梯度法求解优化问题之前，首先需要确定目标函数。
目标函数可以是线性函数、非线性函数或者带有约束条件的函数。
在MATLAB中，需要将目标函数定义为一个函数句柄，并且确保该函数具有输入参数和输出数值。
2. 确定初始变量值在使用共轭梯度法求解优化问题时，需要提供初始的变量值。
这些初始变量值可以是任意的数值，但通常需要根据实际问题进行合理选择。
3. 调用共轭梯度法函数在确定了目标函数和初始变量值之后，可以调用MATLAB中的“fmincg”函数来求解优化问题。
该函数会根据目标函数、初始变量值和其他参数进行迭代计算，直到找到最优解为止。
4. 获取最优解可以通过“fmincg”函数的输出结果来获取最优解。
该结果通常包括最优变量值和最优目标函数值。
五、优化问题的案例分析下面以一个简单的优化问题为例，说明如何利用MATLAB中的共轭梯度法来求解。
hs共轭梯度法
hs共轭梯度法是求解线性方程组的一种方法，它是由Hestenes和Stiefel于1952年提出的。
它是CG（共轭梯度）算法的一种改进。
与标准CG算法不同，HS共轭梯度法在更新搜索方向时使用了类似于最速下降法的搜索方向，并通过使用Gram-Schmidt正交化方法来保证搜索方向的共轭性。
这样可以避免标准CG算法中出现的舒尔补矩阵的计算和存储问题，从而在求解大型线性方程组时更加高效。
HS共轭梯度法的优点是收敛速度更快，对于非对称矩阵也有一定的适用性。
但是它也有一些缺点，比如对于某些特殊的矩阵可能会出现数值不稳定等问题。
共轭梯度法与牛顿法和最速下降法的异同点
共轭梯度法与牛顿法和最速下降法都是优化算法中常见的方法，它们各有特点。
下面我将对这三种方法的异同点进行深入探讨。
1. 共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组以及最小化二次函数的问题。
它的特点在于每一步都是沿着一个共轭方向进行搜索，这使得它在相同迭代次数下相较于最速下降法更快地收敛。
与最速下降法相比，它的收敛速度更快。
2. 牛顿法牛顿法是一种较为常见的优化算法，它利用了函数的二阶导数信息来寻找极小值点。
它的优点在于可以快速收敛并且通常具有二次收敛性，但其缺点在于需要计算二阶导数信息，在高维情况下计算量大且计算复杂。
3. 最速下降法最速下降法是一种基本的优化方法，它是一种梯度下降法的特例，每一步沿着负梯度方向进行搜索。
它的优点在于实现简单并且易于理解，但相较于共轭梯度法和牛顿法，最速下降法的收敛速度通常较慢。
从以上对三种方法的描述可以看出，共轭梯度法、牛顿法和最速下降法在优化问题中各有优缺点。
共轭梯度法具有较快的收敛速度和不需要存储二阶导数信息的优点，但其对于非二次函数问题的适应性较差；牛顿法收敛速度快，但需要计算二阶导数信息，计算量大且复杂；最速下降法实现简单，但收敛速度相对较慢。
对于不同的优化问题，我们需要根据具体情况选择合适的算法。
在实际应用中，需要综合考虑问题的特点以及算法的优缺点，来选取最适合的优化算法。
这篇文章通过对共轭梯度法、牛顿法和最速下降法的分析，使我更深入地理解了这些优化算法的特点和应用范围。
我认为，在实际应用中，应该根据具体问题的特点来选择合适的算法，综合考虑收敛速度、计算复杂度以及存储需求等因素，以达到最优的优化效果。
希望这篇文章能够帮助你更全面、深刻和灵活地理解共轭梯度法、牛顿法和最速下降法。
优化算法是在计算机科学和数学领域中非常重要的研究方向。
在实际应用中，我们常常会面临需要最小化或最大化一个函数的问题，比如在机器学习、数据分析、工程优化等领域。
而共轭梯度法、牛顿法和最速下降法作为常见的优化算法，为我们解决这类问题提供了有效的工具。
共轭梯度法在优化问题中的应用
共轭梯度法在优化问题中的应用共轭梯度法是一种高效的优化算法，在许多优化问题中都得到了广泛的应用。
它是一种迭代方法，用于解决最小化二次函数的优化问题。
在本文中，我将介绍共轭梯度法的原理和算法，并探讨它在优化问题中的应用。
一、共轭梯度法的原理共轭梯度法的核心思想是通过迭代的方式，找到一个与之前迭代步骤方向相互垂直的搜索方向，以加快收敛速度。
在每一次迭代中，共轭梯度法根据当前的搜索方向更新搜索点，直到找到最优解或达到预定的收敛标准。
具体来说，共轭梯度法从一个初始搜索点开始，计算对应的梯度，并沿着负梯度方向进行搜索。
通过一定的方法找到一个与之前搜索方向相互垂直的新搜索方向，并以一定步长更新搜索点。
迭代过程将重复进行，直到满足收敛标准或达到最大迭代次数。
二、共轭梯度法的算法共轭梯度法的算法包括以下几个步骤：1. 初始化搜索点x0和梯度g0，设置迭代次数k=0。
2. 计算当前搜索方向d_k=-g_k（k为当前迭代次数）。
3. 通过一维搜索方法找到最佳步长α_k。
4. 更新搜索点x_k+1 = x_k + α_k * d_k。
5. 计算更新后的梯度g_k+1。
6. 判断是否满足收敛标准，若满足则算法停止，否则转到步骤7。
7. 计算新的搜索方向β_k+1。
8. 将迭代次数k更新为k+1，转到步骤3。
这个算法保证了每一次迭代中的搜索方向都是彼此相互垂直的，从而加快了收敛速度。
三、共轭梯度法的应用共轭梯度法在优化问题中有广泛的应用，特别是在二次规划、线性规划和非线性规划等领域。
在二次规划问题中，共轭梯度法可以高效地求解线性系统Ax=b，其中A是一个对称正定的矩阵。
由于共轭梯度法的特性，它只需要进行n 次迭代，其中n是问题的维度，就能得到精确的解。
这使得共轭梯度法在大规模线性系统求解中具有重要的应用价值。
在线性规划问题中，共轭梯度法可以用于求解带有线性约束的最小二乘问题。
共轭梯度法通过将线性约束转化为一系列的正交子空间，从而在求解最小二乘问题时能够更快地收敛。
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
一、什么是共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method），是一种用于求解线性方程组的迭代优化算法，它是一种搜索梯度的迭代算法。
共轭梯度法的基本思想是沿梯度的反方向搜索，并在每一步令搜索的方向接近更新的局部梯度。
它是一种非常有效的求解有约束的非线性优化问题的方法，是求解线性方程组的有效算法。
共轭梯度法可以看作是一种极小化函数的迭代方法，它最主要的思想是不断更新梯度的方向，从而寻找函数值最小的点。
二、共轭梯度法的原理
共轭梯度法是一种迭代优化算法，它以凸二次型函数为例，可以用来求解最小值问题。
它的基本思想是：
（1）首先求得函数的梯度，即每一步优化的搜索方向，使梯度变为最小；
（2）以梯度的反方向搜索，令搜索的方向接近更新的局部梯度，而不是与旧的梯度成正比的步长；
（3）逐步更新搜索的方向为新的梯度；
（4）重复这个过程，直到所有的自变量满足限制条件。
三、共轭梯度法的优缺点
共轭梯度法最大的优点是它具有收敛速度快，可以在有限的迭代步数内收敛到最优解；另外，它还具有计算量小，不需要计算精确的
Hessian矩阵的优点。
共轭梯度法的缺点是它不能用来求解非凸优化问题，因为它只能求解凸优化问题；另外，它也不能用于强不可约的优化问题。
共轭梯度法beamforming_理论说明
共轭梯度法beamforming 理论说明1. 引言1.1 概述共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种常用的优化算法，广泛应用于解决线性方程组和最优化问题。
Beamforming是一种利用信号处理技术来实现指向性传输和接收的方法，在通信、雷达等领域有着广泛的应用。
本篇长文将探讨共轭梯度法在Beamforming中的理论应用。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：首先介绍共轭梯度法的原理和基本思想，包括线性方程求解的问题、共轭梯度法的基本思想以及迭代过程与收敛性分析；然后，将详细阐述Beamforming的基本概念，包括信号传输和接收的需求、Beamforming技术在通信中的应用以及技术实现原理和方法；接着，我们将探究共轭梯度法在Beamforming中的具体应用，涵盖了优化问题表述、目标函数定义及优化过程说明以及基于共轭梯度法的Beamforming实例分析与结果讨论；最后总结主要研究发现并展望取得成果和应用前景，并提出后续研究工作的建议。
1.3 目的本文的目标是通过理论说明共轭梯度法在Beamforming中的应用，以深入探讨这一优化算法在指向性传输和接收技术中的实际效果。
通过对共轭梯度法及其在Beamforming中的应用进行分析，旨在提供有关该算法与通信技术结合方面的研究参考，为相关领域的学者和工程师提供新思路和解决问题的方法。
2. 共轭梯度法的原理2.1 线性方程求解的问题在讨论共轭梯度法的原理之前，我们首先来了解一下线性方程求解的问题。
线性方程组是由多个线性等式组成的方程组，如Ax = b，其中A为已知矩阵，x为待求解向量，b为已知向量。
线性方程求解即为找到满足该方程组的解x。
2.2 共轭梯度法的基本思想共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组Ax = b的迭代方法。
它基于以下基本思想：通过选择合适的搜索方向，将目标函数在各个搜索方向上取得最小值，并以此逼近实际的最优解。
共轭梯度法
共轭梯度法对物质的一种分析方法，共轭梯度分析法是近几十年发展起来的无损检测技术。
共轭梯度技术是将多种物理效应相结合，并且具有较高的检出率、分辨率和灵敏度，这是一种具有很大发展潜力的分析技术。
共轭梯度法主要包括：共轭电子效应、共轭磁效应、共轭梯度效应。
共轭梯度分析技术是一种高效的新型无损检测技术。
其主要优点在于：①不需要使用电子源；②同时利用共轭电子效应和共轭磁效应，可以消除多种原子的外层电子对核磁矩的屏蔽作用，同时，也降低了铁磁性物质的饱和磁化强度的影响；③能够实现对缺陷浓度较低的金属或非金属材料的快速检测。
共轭梯度技术是20世纪70年代发展起来的无损检测技术，它是利用一些特殊的元素（如铝、铅、铋等）与一些有色金属的原子形成离子，或在两者之间形成过渡族的元素（如汞、铊、铟等），从而达到产生强共轭的效果，再利用超声场或磁场改变他们的相互作用，而不改变他们的化学性质。
共轭梯度的基本原理：①共轭电子效应。
就是利用一些电负性比较强的元素作为原子核，因此他们最外层的电子被核外其他电子吸引，由于距离原子核较远，受到核外电子的排斥，所以核外电子浓度较小。
其电子从价带跃迁到导带，然后再跃迁回价带，所以他们不显电性。
反之，价带中的电子被导带中的电子所吸引，从而降低了价带的电子密度，增加了导带的电子密度，使得原子的核外电子浓度减少，同样会使原子的磁矩减弱。
因此，与这些元素形成化合物的非金属元素的电子都会向原子核附近集聚，从而影响原子的磁矩。
但是当原子序数越高，因为核外电子对核磁矩的屏蔽作用越弱，元素形成的化合物的稳定性越高，原子序数越高的元素的电子就越容易向原子核靠拢。
②共轭磁矩效应。
与电子的共轭电子效应相反，铁磁性物质的原子的核外电子轨道对外磁矩的影响相对比较大。
当这些原子处于磁化状态时，内层电子只能自旋平行，但是这个平行的自旋磁矩，会使这些原子的自旋磁矩大小相等，互相抵消，因此这些原子呈顺磁性。
但当这些原子处于非磁化状态时，内层电子的自旋磁矩可以取向不同，所以，铁磁性物质又显示出反铁磁性。
共轭梯度法
共轭梯度法共轭梯度法(also known as Pearson-Newman gradient method)是电化学反应动力学中一种很有用的技术，主要应用于分析化学、环境工程、农药学、微生物学等领域。
用共轭梯度法时，以活性高的配体替代催化剂上的固定配体(一般为固定相)，使原来的催化剂仍能发挥作用，但具有选择性更好、灵敏度更高、应用范围更广的特点，同时能降低毒性和提高催化活性，还可改善催化剂的稳定性。
共轭梯度法(reaction-coordinate density technique，缩写为coAPD)，是由美国著名的电化学家S.C.R.（赫维斯特）于1976年提出的，最早是应用于考察水溶液中蛋白质在二级胺诱导下的变性行为。
后来，此方法被用于研究Cu(I)-Zn(II)氧化偶联反应，可用于测定其它一些金属离子。
它能够选择性地催化多种反应，并且操作简便，灵敏度高，催化效率高。
它与同样是基于电极过程机理的原位催化比较，在原理上具有优越性。
对于活性组分分子内部的小的不均匀结构，可以采用共轭梯度法实现更精确的测量。
在这个技术中，如果采用共轭体系，一般可以考虑将其作为一个三电子体系，而与电子得失的量子化运动相联系，即以共振状态作为激发条件。
因此，实验装置也称之为共振极限溶剂。
目前，已经开发了一些共轭体系，其中主要包括共轭二烯体系、共轭异戊二烯体系、共轭二炔体系等。
根据不同的选择性要求，又可将它们划分成几类：双齿配体系列、共轭乙炔体系列、共轭苯炔体系列、共轭乙烯体系列、共轭苯乙炔体系列、双烯类配体系列。
由于选择性较高，该技术广泛用于化学反应机理及反应产物分析。
特别是随着计算机技术的迅速发展，其应用更加广泛。
例如，在定量方面，可以在很短的时间内给出定量结果，可以很快地绘制出实验曲线或计算出数据。
在这个技术中，反应机理以原子轨道理论为基础。
根据反应机理，按照共振条件进行合理的实验设计，通过电化学反应测定反应的产物或催化剂的量，并绘制电位-时间图，即可达到定性、定量的目的。
线性方程组的共轭梯度法
迭代过程
计算方程组的雅可比矩阵A和右端项b，得到线性方程组Ax=b。 计算初始残差r0=b-Ax0。 进行迭代，对于k=0,1,2,...,max_iter，执行以下步骤
迭代过程
01
1. 计算搜索方向pk=-Ak^T。
02
2. 在搜索方向pk上进行线搜索，找到步长λk，使得 Axk+1=b-λk*r^k最小化。
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定义
线性方程组是由一组线性方程组成的 数学模型，其中包含未知数和已知数。
分类
根据方程的系数矩阵和常数项矩阵， 线性方程组可以分为多种类型，如超 定方程组、欠定方程组和恰定方程组。
线性方程组的求解方法
直接法
通过消元或迭代等方法将方程组化为标准形式，然后 求解。
迭代法
通过不断迭代更新解的近似值，逐步逼近方程的解。
在金融工程中的应用
投资组合优化
共轭梯度法可以用于求解投资组合优化问题 ，以最大化投资收益或最小化风险。
期权定价
在期权定价模型中，共轭梯度法可以用于求解 Black-Scholes方程，以得到期权的合理价格。
风险管理
在风险管理方面，共轭梯度法可以用于求解 风险评估模型中的最优化问题，以评估和管 理金融风险。
解效率。
02
常用的预处理方法包括对角占优预处理、不完全LU
分解预处理等。
03
预处理技术可以消除原始方程组中的病态条件，降低
数值误差的放大效应。
自适应步长调整策略
自适应步长调整策略可以根据上 一步的搜索结果动态调整步长， 提高算法的稳定性和收敛速度。
常见的自适应步长调整策略包括 Armijo线搜索、Goldstein线搜
科学计算
共轭梯度法 c++
共轭梯度法c++一、共轭梯度法是一种优化算法，特别适用于解决对称正定矩阵的线性方程组。
它通过迭代的方式逐步逼近方程组的解，具有较快的收敛速度。
在C++中实现共轭梯度法可以为解决大规模线性系统提供高效的数值解。
二、共轭梯度法基本原理问题背景：考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是对称正定矩阵，b是已知向量。
迭代过程：共轭梯度法通过迭代寻找一个逼近解x_k，使得残差r_k = b - Ax_k 最小。
迭代过程中，每一步都保证搜索方向共轭于前一步的搜索方向。
算法步骤：初始化：选择初始解x_0，计算残差r_0 = b - Ax_0，初始化搜索方向p_0 = r_0。
迭代：对于每一步k，计算步长alpha_k，更新解x_k+1 = x_k + alpha_k * p_k，计算新的残差r_k+1，更新搜索方向p_k+1。
收敛检测：当残差足够小时，停止迭代。
共轭方向的选择：在每一步中，选择共轭搜索方向可以通过Gram-Schmidt正交化方法得到。
这样能够确保搜索方向之间是线性无关的。
三、C++中的共轭梯度法实现在C++中实现共轭梯度法需要考虑以下关键步骤：矩阵和向量表示：使用C++中的数组或矩阵库表示矩阵A和向量b。
迭代过程：实现共轭梯度法的迭代过程，包括更新解、计算残差、计算步长等。
共轭方向选择：使用Gram-Schmidt正交化方法确保搜索方向共轭。
收敛检测：制定合适的收敛准则，如残差的阈值，判断是否停止迭代。
以下是一个简化的C++示例代码，演示了共轭梯度法的基本实现：#include <iostream>#include <cmath>#include <vector>using namespace std;// 定义矩阵和向量类型typedef vector<vector<double>> Matrix;typedef vector<double> Vector;// 共轭梯度法实现Vector conjugateGradient(const Matrix& A, const Vector& b, const Vector& x0, double tolerance, int maxIterations) {int n = A.size();Vector x = x0;Vector r = b - multiply(A, x);Vector p = r;for (int k = 0; k < maxIterations; ++k) {double alpha = dot(r, r) / dot(p, multiply(A, p));x = x + alpha * p;Vector newR = r - alpha * multiply(A, p);double beta = dot(newR, newR) / dot(r, r);p = newR + beta * p;r = newR;// 收敛检测if (sqrt(dot(r, r)) < tolerance) {cout << "Converged after " << k + 1 << " iterations." << endl;break;}}return x;}// 辅助函数：向量点积double dot(const Vector& a, const Vector& b) {double result = 0.0;for (size_t i = 0; i < a.size(); ++i) {result += a[i] * b[i];}return result;}// 辅助函数：矩阵与向量相乘Vector multiply(const Matrix& A, const Vector& x) {int n = A.size();Vector result(n, 0.0);for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {result[i] += A[i][j] * x[j];}}return result;}int main() {// 示例用例Matrix A = {{4, 1}, {1, 3}};Vector b = {1, 2};Vector x0 = {0, 0};double tolerance = 1e-6;int maxIterations = 1000;// 调用共轭梯度法Vector solution = conjugateGradient(A, b, x0, tolerance, maxIterations);// 输出结果cout << "Solution: ";for (double value : solution) {cout << value << " ";}cout << endl;return 0;}这个简单的示例演示了如何使用C++实现共轭梯度法。
共轭梯度法
一．介绍共轭梯度法（Conjugate Gradient ）是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse 矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法中最关键的两点是，搜索方向)(k d 和最佳步长k α。
其基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d 关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X , 即)(min )()()(0)1(k dX f X f k k αλ+=>+如此下去, 得到序列{)(k X }。
不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d 的解为)()()1(k k k k d X X α+=+其中，><><-=)()()()(,,k k k k kAd d Ad r α注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Ad d 可得：><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β 共轭梯度法的计算公式如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-==+------(k)(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(0)(0)d X X,,r ,,X r Xr d k k k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Ad r A b A b ααββ 二．程序框图定义矩阵A 和向量bAx=b定义x 的初值将x 代入计算公式误差到达精度要求Yes输出xNo 迭代出新的x 结束开始三．源码n=100;%矩阵阶数，可以按照题目需要更改syms x1 r1 d1A=zeros(n,n);b=zeros(n,1);b(1,1)=-1;b(n,1)=-1;for i=1:nA(i,i)=-2;endfor i=1:n-1A(i,i+1)=1;A(i+1,i)=1;endx1=zeros(n,1);for i=1:n*1000r1=b-A*x1;d1=r1;a=(r1'*d1)/(d1'*A*d1);x1=x1+a*d1;r2=b-A*x1;if(norm(x1)<=eps)breakendbb=-(r2'*A*d1)/(d1'*A*d1);d1=r2+bb*d1;enddisp([x1])四．结果矩阵A100阶的结果200阶的结果400阶的结果。
共轭梯度法的原理
共轭梯度法的原理共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，其原理是利用共轭方向的特性来加速收敛速度。
在实际问题中，线性方程组的求解是一项非常重要的任务，经常出现在科学计算、工程设计、物理模拟等领域。
共轭梯度法通过迭代的方式，逐步逼近方程组的解，从而提高求解效率和精度。
共轭梯度法的主要思想是将待求解的线性方程组转化为一个优化问题，通过最小化目标函数来找到最优解。
具体来说，假设有一个n 维向量x和一个n×n的矩阵A，以及一个n维向量b，我们需要求解Ax=b。
共轭梯度法的目标是找到一个n维向量x，使得目标函数f(x)最小化，其中f(x)=(1/2)x^TAx-x^Tb。
共轭梯度法的基本步骤如下：1. 初始化向量x0和残差r0=b-Ax0，设置迭代次数k=0。
2. 计算搜索方向d，d=rk+(k-1)βk-1d(k-1)，其中βk-1=(rk^Trk)/(rk-1^Trk-1)。
3. 计算步长αk，αk=(rk^Trk)/(d^TAd)。
4. 更新xk=xk-1+αkd，更新残差rk=rk-1-αkAd。
5. 如果残差rk的范数小于给定的收敛条件，或达到最大迭代次数，则停止迭代；否则，返回步骤2。
共轭梯度法的优点是具有快速收敛和内存占用少的特点。
由于每次迭代都在共轭方向上前进，可以避免了梯度下降法中的zigzag现象，从而加快了收敛速度。
此外，共轭梯度法只需要存储当前迭代的向量和矩阵乘积，而不需要存储所有的迭代历史，因此内存占用较小。
然而，共轭梯度法也存在一些限制和注意事项。
首先，共轭梯度法只适用于对称正定的矩阵A，否则可能出现收敛失败的情况。
其次，共轭梯度法对初始解的选择较为敏感，不同的初始解可能导致不同的收敛速度和精度。
此外，共轭梯度法在求解大规模问题时可能需要较长的迭代时间，因此对于大规模问题，需要考虑使用并行计算的方法来加速求解过程。
共轭梯度法是一种有效的线性方程组求解方法，通过利用共轭方向的特性，可以加快收敛速度和提高求解精度。
共轭梯度法
共轭梯度法对于任意形式的目标函数()f X ，在极值点*X 附近展开成泰勒级数，且取前三项，有()()()****2**1()...2TT f X f Xf X X X X X f X X X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≈+∇-+-∇-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因在极值点*X 处()*0f X ∇=，而()2**()f X H X ∇=为()f X 在*X 的二阶偏导数矩阵，即Hessian 矩阵，故()****1().().2T f X f X X X H X X X ⎡⎤⎡⎤≈+--⎣⎦⎣⎦ 对于二次函数来说，若令()()()2*2*2*221122,,f X f X f X a b c x x x x ∂∂∂===∂∂∂∂则()**1(),a b H X f X d b c ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦而—常数 则，得到()()()()()()()()()()()()()()11221212121122*1**112*2**12**112**1222****11122-1()+--2---1=+--2--1-2---2x x a b f X d x x x x b c x x a x x b x x d x x x x b x x c x x d a x x b x x x x c x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤≈⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦由上式可知，当12*1**2x x X X x x ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，得到目标函数的极小值()*1()f X f X d ==，当22(),,...f X d d =时，则有等值线族。
令2()f X d =，代入上式，则有()()()()112222****2111221()-2---2f X d d a x x b x x x x c x x ⎡⎤=≈+++⎢⎥⎣⎦所以目标函数()f X 在*X 点附近的等值线方程为()()()()112222****1122-2---0a x x b x x x x c x x d +++=式中，122()d d d =-=常数。
共轭梯度法
共轭梯度法简介共轭梯度法是一种迭代的最优化算法，用于求解线性方程组或求解非线性优化问题。
它在解决大规模线性方程组时表现出色，尤其适用于对称正定矩阵的问题。
共轭梯度法结合了最速下降法和共轭方向法的优点，能够在有限次数的迭代中快速收敛到最优解。
背景在数值计算和优化问题中，线性方程组的求解是一个常见且重要的问题。
例如，在图像处理、数据分析和机器学习等领域，我们经常需要求解一个大规模的线性方程组。
然而，传统的直接方法，如高斯消元法或LU分解，对于大规模问题往往计算量巨大，耗时较长。
因此，我们需要寻找一种高效的迭代方法来解决这些问题。
共轭梯度法的核心思想是通过一系列共轭的搜索方向来逼近最优解。
具体来说，对于一个对称正定的线性方程组Ax=b，共轭梯度法的步骤如下：1.初始化解向量x0和残差x0=x−xx0。
2.计算初始搜索方向x0=x0。
3.进行共轭梯度迭代：重复以下步骤n次或直到收敛为止。
a.计算步长$\\alpha_k=\\frac{r_k^Tr_k}{d_k^TAd_k}$。
b.更新解向量$x_{k+1}=x_k+\\alpha_kd_k$。
c.更新残差$r_{k+1}=r_k-\\alpha_kAd_k$。
d.计算新的搜索方向$d_{k+1}=r_{k+1}+\\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}d_k$。
共轭梯度法与其他迭代方法相比有以下特点：1.高效性：共轭梯度法能够在有限次数的迭代中收敛到最优解，尤其适用于对称正定矩阵。
相比于直接方法，其计算量较小，具有更高的计算效率。
2.无需存储完整矩阵：共轭梯度法只需知道矩阵A的乘法运算结果，不需要存储完整的矩阵。
这对于大规模问题是一个很大的优势。
3.不需要计算矩阵的特征值：相比于其他迭代方法，共轭梯度法不需要计算矩阵的特征值，因此在实际问题中更加实用。
算法应用共轭梯度法广泛应用于各个领域的优化问题和线性方程组求解问题，包括：1.图像处理：共轭梯度法用于图像恢复、图像去噪和图像分割等问题。
共轭梯度法反演
它们的线性组合构造出一组n个彼此共轭的向量。
2019年1月30日5时37分
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二、共轭梯度法反演的基本原理
2.3 共轭梯度法
共轭向量的构造
令d0 u0，当i 0时，使d i ui
显然，i k
ik d k
k 0
i 1
(6)
当i j时，d i、d j 关于A共轭，则有
T T T T
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二、共轭梯度法反演的基本原理
2.3 共轭梯度法
共轭向量的构造
设有一组n 维彼此关于n×n 的正定对称矩阵A共轭的
向量 d0 d1 ... dn1 ，能够使我们分别沿着这n个共轭 向量所指的方向各搜索一次,就可以达到极值点x*。
设有一组线性无关的向量u0 u1 ... un1 ,可以通过对
确定性非线性反演方法采用的反演策略是非线性问题的线
性化,主要利用目标函数的梯度信息,通过反复迭代,寻找反
演的最优解。
虽然统计类反演的最大优点是不完全依赖于初始猜测,理论
上在反演过程中不会陷入局部极值。但是,这类方法的计算 工作量巨大,效率很低。地球物理反演中涉及的模型参数成 百上千,就目前的计算条件来说,统计类方法仍然不能满足大 规模地球物理反演的要求。
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三、共轭梯度法的优缺点
计算效率比较
最速下降法 共轭梯度法
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三、共轭梯度法的优缺点
局 限 性
对于非线性反演问题的 目标函数，如: 二维情况下
( x13) x 2 ( x1 3) x 2 1 2 2 ( x1, x 2) 1 0.6e e 2
最速下降法(sd);共轭梯度法
最速下降法(sd);共轭梯度法
最速下降法(SD)和共轭梯度法(CG)都是求解非线性优化问题中的常用算法。
最速下降法是基于梯度方向的一种搜索方法，在每一步所需找到函数在当前点的最陡方向，并沿着该方向走一步，直到达到要求的精度为止。
该方法速度快，收敛性好，但容易陷入“zigzag”现象，即由于步长过大或过小，导致序列在搜索方向上反复飞奔而收敛缓慢，同时，最速下降法对函数“弯曲性”敏感，函数梯度变化太快时收敛缓慢。
共轭梯度法是一种基于梯度方向的线性搜索方法，其优势在于快速收敛，准确性高。
其核心思想是，由于函数在一般性条件下不是QUADRATIC FUNCTION，因此，图像往往不是一个明显的"碗状"，而是一个复杂的非线性图形。
在这种情况下，最速下降法很容易落入“zigzag”现象，收敛速度慢。
而共轭梯度法可以从不同方向进行极小值点的搜索，进而明显提高收敛速度。
总之，最速下降法适用于方向比较简单的情况，而共轭梯度法适用于方向较为复杂的情况。
根据不同的情况进行选择，可以有效地提高求解的效率和精度。
第四章 共轭梯度法
{ 偏导数的凸函数。 x k } 是由Fletcher-Reeves共轭梯度算法产生的迭代点列。则 { 1） f ( x k )} 为严格单调下降序列，且
lim f ( x k )
k
存在。
n
而
k 1
g k ( g k g k 1 )
T
d k 1 ( g k g k 1 )
T
gk gk g k 1 g k 1
T
T
共轭梯度法的迭代公式为：
x k 1 x k k d k （ d k 为共轭方向， k 为最佳步长因子）
对二次函数
k
gk dk dk Gdk
（4.7）
2)
k
g k 1 g k 1 gk gk
T
T
（Fletcher-Reeves公式）
（4.8）
3）
k
g k 1 ( g k 1 g k ) （Polak-Ribiere-Polyak 公式）
T
（4.9）
gk gk g k 1 g k 1 dk gk
T T
T
4）
m y
2 T 2 2
，使得
n
y f ( x ) y M y , y R , x L ,
其中 L x R n f ( x ) f ( x 0 ) 是有界水平集。
定理4.9 假定假设条件1和2满足，那么，每r步再开始的PRP和FR共轭梯度 法产生的迭代点列 x k n步二阶收敛，即存在常数c>0，使得
设 又设
fˆkr
0 表示应用到 fˆkr 上的共轭梯度法，并且令 d kr d kr g kr
共轭梯度法
又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组A尣＝ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，尣和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解尣*和求二次泛函(2)的极小值问题是等价的。
此处(尣,у)表示向量尣和у的内积。
由此，给定了初始向量尣，按某一方向去求(2)取极小值的点尣,就得到下一个迭代值尣,再由尣出发，求尣等等，这样来逼近尣*。
若取求极小值的方向为F在尣(k＝1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在尣处的梯度方向r和这一步的修正方向p所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向,即求极小值的方向p（其第一步仍取负梯度方向）。
计算公式为再逐次计算(k=1,2,…)。
可以证明当i≠j时，从而p,p形成一共轭向量组;r,r,…形成一正交向量组。
后者说明若没有舍入误差的话，至多n次迭代就可得到(1)的精确解。
然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r,r,…并不真正互相正交，而尣尣,…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。
近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。
特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。
其方法是选取一对称正定矩阵 B并进行三角分解，得B=LL T。
将方程组(1)化为hу＝b, (3)此处y＝l T尣,b＝l-1ƒ,h＝l-1Al-T,而。
再对(3)用共轭梯度法，计算公式为(k=0,1,2,…)适当选取B，当B 很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。
势函数的一种二阶偏微分方程。
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算法步骤—FR共轭梯度法 算法步骤 FR共轭梯度法 FR
共轭梯度法
Step1: Step2: Step3: Step4: Step5: Step6: Step7:
共轭梯度法
举例
参见 P187 例7.3.1.
共轭梯度法
收敛性分析
与Newton法相比，共轭梯度 法相比， 法相比 全局收敛性 法具有较弱的收敛条件. 法具有较弱的收敛条件
共轭方向法和共轭梯度法
问题1: 问题 如何建立有效的算法？ 如何建立有效的算法？ 从二次模型到一般模型. 从二次模型到一般模型
问题2: 什么Leabharlann 的算法有效呢？ 什么样的算法有效呢？ 问题 二次终止性. 二次终止性
简介
共轭方向法和共轭梯度法
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导 共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法， 数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储 数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点， 和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组 和计算Hesse矩阵并求逆的缺点， Hesse矩阵并求逆的缺点 最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一. 最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一.
共轭方向法和共轭梯度法
特点 (1) 建立在二次模型上，具有二次终止性． 建立在二次模型上，具有二次终止性． (2) 一种有效的算法，克服了最速下降法的锯齿现象， 一种有效的算法，克服了最速下降法的锯齿现象 锯齿现象， 又避免了牛顿法的计算量大和局部收敛性的缺点． 又避免了牛顿法的计算量大和局部收敛性的缺点． (3) 算法简单，易于编程，无需计算二阶导数，存储 算法简单，易于编程，无需计算二阶导数， 空间小等优点， 空间小等优点，是求解中等规模优化问题的主要 方法． 方法．
注
共轭梯度法
优点 收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单. 收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单. 适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题. 适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题. 缺点
收敛速度是线性的. 当 p 0 = −∇f ( X 0 ) 时，收敛速度是线性的 收敛速度 不如Newton法快 法快. 不如 法快
共轭梯度法
基本思想
CG的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已 的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合， 的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合 知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿着此组方向进行搜索， 知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿着此组方向进行搜索， 求出目标函数的极小点。 求出目标函数的极小点。
(1)最初是由计算数学家Hestenes和几何学家Stiefel于1952年 (1)最初是由计算数学家Hestenes和几何学家Stiefel于1952年 最初是由计算数学家Hestenes和几何学家Stiefel 为求正定系数矩阵线性方程组而独立提出的. 为求正定系数矩阵线性方程组而独立提出的.他们合作的著名 文章Method of conjugate gradients for solving linear systems 被认为是共轭梯度法的奠基性文章。 被认为是共轭梯度法的奠基性文章。 (2)1964年 Fletcher和Reeves将此方法推广到非线性最优化， (2)1964年，Fletcher和Reeves将此方法推广到非线性最优化， 1964 将此方法推广到非线性最优化 得到了求解一般函数极小值的共轭梯度法. 得到了求解一般函数极小值的共轭梯度法. 共轭梯度法的收敛性分析的早期工作主要由Fletcher Fletcher、 (3) 共轭梯度法的收敛性分析的早期工作主要由Fletcher、 Powell、Beale等学者给出 等学者给出. Powell、Beale等学者给出. (4) Nocedal、Gilbert、Nazareth、Al-Baali、Storey、 、 、 、 、 、 Dai、Yuan和Han等学者在收敛性方面得到了不少新成果 等学者在收敛性方面得到了不少新成果. 、 和 等学者在收敛性方面得到了不少新成果
共轭方向法
定义--共轭方向 定义--共轭方向 --
注： G = I , 则 若
因此, 因此 共轭是正交的推广． 定义--共轭方向法 定义--共轭方向法 --
是正交的， 是正交的，
共轭方向法
性质
特例
n
共轭方向法
算法步骤
Step1: Step2: Step3: Step4:
Step5:
共轭方向法
注意
由于R 由于 n中共扼方向最多有 n 个，因此在用上述二种方法求 解目标函数为非二次函数的无约束最优化问题(7.1.1)时，在 n 解目标函数为非二次函数的无约束最优化问题 时 步之后构造的搜索方向不再是共轭的， 步之后构造的搜索方向不再是共轭的，从而降低了收敛速度克 服的办法是重设初始点， 服的办法是重设初始点，即把经过 n 次迭代得到的 xn 作为初始 点重新迭代． 点重新迭代．
dk = −∇f ( xk ) + αk−1dk−1 , k = 1,2,..., n − 1.
定义--共轭梯度法 定义--共轭梯度法 -一
确定？ 确定？
共轭梯度法
共轭梯度法的形式 (A) 正定二次函数的无约束最优化问题的共轭梯度法形式
（Hestenes-Stiefel公式） 公式） 公式 消除Qd 消除 k 结合性质: 结合性质
特例
注
共轭方向法具有二次终止性
共轭梯度法
简介 共轭梯度法（ 共轭梯度法（conjugate gradient method, CG）是 ） 以共轭方向（ 以共轭方向（conjugate direction）作为搜索方向的一 ） 类算法。 法是由 法是由Hesteness和Stiefel于1952年为求解 类算法。CG法是由 和 于 年为求解 线性方程组而提出的。 线性方程组而提出的。后来用于求解无约束最优化问 它是一种重要的数学优化方法。 题，它是一种重要的数学优化方法。这种方法具有二 次终止性。 次终止性。
共轭梯度法
共轭梯度法的形式
一般最优 化问题的 共轭梯度 法形式
共轭梯度法
共轭梯度法的形式 (B) 一般无约束最优化问题的共轭梯度法形式
（1964） ） （1971） ） （1969） ）
共轭梯度法
说明
的上述三种形式，可分别绪出FR共轭梯度法 共轭梯度法、 根据 α k 的上述三种形式，可分别绪出 共轭梯度法、DM 共轭梯度法和PRP共轭梯度法．对于目标函数是正定二次函数 共轭梯度法． 共轭梯度法和 共轭梯度法 的无约束最优化问题(7. 和最优一维投索， 的无约束最优化问题 3. 3)和最优一维投索，这些方法是完全 和最优一维投索 等价的．但是， 等价的．但是，对于目标函数是非二次函数的无约束最优化问 题 (7. 1. 1)，它们所产生的按索方向是不同的． ，它们所产生的按索方向是不同的．