中国石油大学《数值分析》2009--2010学年考试试题A卷及答案

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2009-2010年--中国石油大学(北京)--采油工程--期末试卷及答案

2009-2010学年中国石油大学（北京）《采油工程》期末考试卷专业名称姓名教材名称采油工程（一册）课时数 60一、名词解释（8×3分=24分）1、采油指数2、气举采油3、吸水指数4、沉没度5、原油的密闭集输6、滤失系数7、滑脱现象8、酸液有效作用距离二、绘图题（3×2分=6分）1、用图示意典型的油井IPR 曲线。

2、用图示意有气体影响和充不满影响的示功图。

3、用图示意酸浓度对酸—岩反应速度的影响。

三、简述题（6×5分=30分）1 简述气液两相垂直管流压力梯度方程的求解步骤（任选一种）。

2 简述深井泵（杆式泵或管式泵）的工作原理。

3 分析碳酸盐岩酸化生成物对地层的影响。

4 简述水处理的基本措施有哪些？5 简述无杆泵采油常用的泵有哪些？与有杆泵采油的区别？6 简述油库的分级？四、说明下列公式（2×4分=8分）1 )1(1790''2maxl r sn W W W P r L r +++=2 4221076.0GhL q w o μ-⨯= 要求：说明公式的物理意义，各物理量的含义及量纲。

五、判断题：（5×2分=10分）1、自喷井节点系统分析中，油井生产系统的节点分为普通节点、函数节点及解节点。

（）2、游梁式抽油机平衡采用游梁平衡、曲柄平衡及复合平衡三种方式。

（）3、原油在管路中的流态按雷诺数来划分。

雷诺数小于3000时，流态为层流，雷诺数大于3000时，流态为紊流。

（）4、填砂裂缝的导流能力是用裂缝宽度与裂缝长度的乘积来表述。

5、酸—岩复相反应中，H +向岩面的传递最快，所以化学反应速度也快。

注：“对”的打“√”，“错”的打“×”。

六、计算题（共17 分）1 某硬灰岩油层压裂层段深900米，地层压力为22×103 千帕，地层岩石抗拉强度为3.5×103 千帕，上覆岩石平均比重为2.3。

据该地区其它压裂井统计α=25千帕/米，求该井的破裂压力梯度并判断裂缝形态。

数值分析试题_A卷与答案

3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：
1
2
3
2
4
12
3
并估计误差。（10分）
四．试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）
五．用Newton法求的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
2）的值域是定义域的子集；（2分）
3）在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理，在内有根。（2分）
由牛顿迭代格式（4分）
取得，
（3分）
故取（1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为，且特征值为
青岛科技大学试题
__2014__年~__2015___年第一学期
课程名称：数值分析专业年级：2014级（研究生）
考生学号：考生姓名：
试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷√闭卷□
………………………………………………………………………………………………………
一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
则（1分）
2.证：牛顿迭代格式为（3分）

数值分析试题(卷)和答案解析

【试题__2009___年~__2010___年第一学期课程名称：数值分析专业年级： 2009级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。

i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(14)

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ C ）（A ）cos2y A x *=；（B ）cos2y Ax x *=；（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+；（D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是（ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案

f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)

中国石油大学2009至2010学年第二学期高等数学期中考试试题

中国石油大学2009至2010学年第二学期高等数学期中考试试题中国石油大学2009—2010学年第二学期《高等数学（2-2）》期中试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年5月 9日页号一二三四五总分得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。

一、填空题（）1.向量，向量的三个方向角均相等且为锐角，则= .2．曲线绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是___________ .本页满分42分本页得分3. 设函数有连续的二阶偏导数. 令，则＝ .4. 函数在处的最大变化率是___________ ，对应方向的方向余弦是 .5. 改变二次积分的积分次序得 .二、选择题（）1. 设直线L：，平面，则直线L（）(A) 垂直于平面；(B) 在平面上；(C) 平行于平面；(D) 与平面斜交.2．函数处偏导数存在是在该点可微的( )(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件；(C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .4. 下列说法正确的是 ( )(A) 两向量与平行的充要条件是存在唯一的实数，使得；本页满分10分本页得分(B) 二元函数的两个二阶偏导数在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微的必要条件.三、计算题(6+18+9+9=42分)1. 求直线在平面内的投影直线的方程.(6分)2. 设为空间曲线. 求（1）在平面内的投影曲线；（2）在点处切线方程与法平面方程；（3）原点到的最长和最短距离.（2+6+10=18分）3. 计算，且.（9分）4. 计算由和围成的空间体的体积.（9分）四、证明题（6+6=12分）1.设，证明：.2. 设，其中为连续函数，，证明：.参考答案本页满分18分本页得分本页满分18分本页得分本页满分12分本页得分一.填空题（每空5分共30分）二.选择题（每题4分共16分）1. A.2. B.3. A.4. C.三.计算题（6+18+9+9=42分）1.2.3. 4.四.证明题（6+6=12分）1.2.。

计算方法2009-2010期末试卷A

2009—2010学年第二学期《计算方法》期末试卷A 答案一、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．下列设*x =0.03000为x =0.0300211的近似值，则*x 的有效数字的位数是：四位.2．已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123222421，则1A =7，∞A =7. 3．已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则差商 0123[,,,]f x x x x =-1/30.4．用二分法求0152)(3=--=x x x f 在]3,1[内的实根时，进行一步后根所在的区间为]2,1[，进行二步后根所在的区间为]2,5.1[5．为避免两近似数相减需对公式作等价变形，如下面公式当x (>0)很大时，该变为=二、用牛顿法求方程：2()2 3.1f x x x =--，在[2.5,3.5]内根的近似值，准确到三位有效数字解：牛顿迭代法可以写成221()2 3.1 3.1()2222n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-='-- --------------7分取初值为：03x =，则用牛顿法迭代可得：1x =12.1/4=3.0252x =3.02483x =3.02488 ------------------------------6分前四位已经不再改变，故近似值准确到三位有效数字为：3.02 -------2分2. 用Doolittle 法的紧凑格式求解矩阵方程：B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=115312221A ，114B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解：用Doolittle 分解矩阵A LU =122213511A ⎛⎫ ⎪=→ ⎪ ⎪⎝⎭122213511⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122231531⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭122231536⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭那么矩阵100210531L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 122031006U ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ -------------------------------------------8分令123[,,]T Y UX y y y ==，解 LY B =可得[1,1,6]T Y =-- ------------------4分解方程：UX Y =，可得[1,0,1]T X =- ------------------3分3. 用最小二乘法求拟合函数bxa x S y +==1)(使其解：Y a bx =+ ----------------------5分来拟合下面我们确定系数a,b 使521(,)()i i i I a b a bx Y ==+-∑达到最小，为此我们只需(,)0I a b a∂=∂ (,)0I a b b∂=∂ 这样我们得到方程组51()0i ii a bx Y =+-=∑ 51()0i ii i a bx Y x =+-=∑整理可得55115i i i i a b x Y ==+=∑∑5552111i ii i i i i a x b x Y x ===+=∑∑∑ ---------------------10分带入各个数据可得52741.5a b +=27199274a b +=解得a=3.23b=0.94 ------------------5分4. 已知函数)(x f y =的函数表用拉格朗日插值多项式求)5.2(f 的近似值．解：分别建立拉格朗日基函数1230010203()()()(2)(3)(5)()()()(02)(03)(05)x x x x x x x x x l x x x x x x ------==------ 023*******()()()(0)(3)(5)()()()(20)(23)(25)x x x x x x x x x l x x x x x x ------==------ 0132202123()()()(0)(2)(5)()()()(30)(32)(35)x x x x x x x x x l x x x x x x ------==------0123303132()()()(0)(2)(3)()()()(50)(52)(53)x x x x x x x x x l x x x x x x ------==------ ------------------------8分那么拉格朗日插值函数为3301230()259i i i L f x l l l l l ===+++∑ ----------------------------2分那么)5.2(f 的近似值为30123(2.5)259L l l l l =+++(2.52)(2.53)(2.55)(02)(03)(05)---=---(2.50)(2.53)(2.55)2(20)(23)(25)---+---(2.50)(2.52)(2.55)5(30)(32)(35)---+--- (2.50)(2.52)(2.53)9(50)(52)(53)---+--- = -0.02083+1.04167+2.60417-0.1875=3.4375 ----------------------------5分5. 设11()()I f f x dx -=⎰， 2()(1)(0)(1)I f af bf cf =-++，)()(2f I f I ≈确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。

2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案

2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、（8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
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⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分）证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3，得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示，设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

中国石油大学近三年高数期末试题及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分）（令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222，即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 20 %；第四章不定积分 14 %；第五章定积分及其应用 30 % . 第六章常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 14 %；第四章不定积分 15 %；第五章定积分及其应用 26 % . 第六章常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ，由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分）（2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ，切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ，即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点，故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工科类 )专业班级姓名A 卷学号开课系室基础数学系考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

中国石油大学(华东)09高数2-1A答案

22 2
3
2．设平面图形 D 由 x2 + y2 ≤ 2x 与 y ≥ x 所确定，试求 D 绕直线 x = 2 旋转一周所生成的
旋转体的体积.
解：法一：V = V1 − V2
y
y= x
[ ] ∫ ∫ =
1
π 2 − (1 −
2
1 − y 2 ) dy −
1
π
(2
−
y)2
dy
0
0
[ ] ∫ = 2π 1 1 − y 2 − ( y − 1)2 dy 0
0
02
20
∫ =
−
1 2
te−t
2 −
0
2 0
e
−t
dt
-------2
= −e −2 − 1 e −t 2 = 1 − 3 e −2 2 022
--------2
∫ 2．计算不定积分 x sin xdx .
cos5 x
∫ ∫ ∫ 解：
x sin cos5
x x
dx
=
1 4
1 xd (cos4
2009—2010 学年第一学期《高等数学》（工科）期末试卷-A 卷答案
一．填空题（每小题 4 分，5 题共 20 分）：
1
1
1． lim(ex − x) x2 = e2 . x→0
∫ ( )( ) 2． 1 x 1+ x2005 ex − e−x dx = 4 .
−1
e
∫ 3．设函数 y = y(x) 由方程
（A） y∗ = Acos 2x ；
（B） y∗ = Ax cos 2x ；
（C） y∗ = Ax cos 2x + Bx sin 2x ；（D） y* = Asin 2x

中国石油大学(华东) 大物2-1 历年期末考试习题及答案

一、选择题（共 30 分）
1. （本题 3 分）（0602）质点作曲线运动， r 表示位置矢量， v 表示速度， a 表示加速度，S 表示路程， a t 表示切向加速度，下列表达式中，（1） dv / d t a ，（3） dS / d t v ，（C）只有（2）是对的． 2. （本题 3 分）（5030）关于力矩有以下几种说法：（1）对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量．（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零．（3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等．在上述说法中，（A）只有(2) 是正确的．（C）(2) 、(3) 是正确的． 3. （本题 3 分）（4057）有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分隔成两边，如果其中的一边装有 0.1 kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气的质量为：（A）（ 1 / 16 ）kg．（C） 1.6 kg． 4. （本题 3 分）（5332）若 f (v ) 为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，m 为分子质量，则的物理意义是（A）速率为 v 2 的各分子的总平动动能与速率为 v 1 的各分子的总平动动能之差．（B）速率为 v 2 的各分子的总平动动能与速率为 v 1 的各分子的总平动动能之和．（C）速率处在速率间隔 v 1 ~ v 2 之内的分子的平均平动动能．（B） 0.8 kg．（D） 3.2 kg．（B） (1) 、(2) 是正确的．（D） (1) 、(2) 、(3)都是正确的．（2） dr / dt v ，（4） dv / dt a t ．（B）只有（2）、（4）是对的．（D）只有（3）是对的．

工学数值分析试题

数值分析试题院系,专业：分数：姓名,学号：日期：2004.6. 注：计算题取小数点后四位。

1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f导出求积分3()f x dx-⎰的三点高斯型求积公式。

2. (15分)写出求解线性代数方程组123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。

3.(15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦，（1）试计算||||A ∞。

（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。

4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.8 1.5 1.8 2.0i i x y ⎧⎨⎩ 6.(20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩ （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。

（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。

（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。

7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A A δ-<时， A A δ+也可逆。

8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。

《微机原理》期末考试A卷(有答案)

1．试题可采用粘贴方式，请用B5纸打印，粘贴时不要超过边框。

2．本科课程的试题一般不留答题空间，答案写在专用答题纸上，专科课程试题一般要留答题空间，答案直接做在试卷上。

年级专业班级姓名学号考试时间年月日午订装线2009 ——2010 学年第 1 学期课程名称：微机原理及应用考试形式：（闭）考核方式：（考试）题号一二三四五总分得分评阅人签名一、单项选择题(每题 1分，共 15 分)1．若用户数据位于存储区10000H ～1FFFFH ，则该数据的段地址为__C____。

(A) 0100H (B) 1FFFH (C) 1000H (D) 0FFFH ２．8086 CPU 在响应中断时顺序将_____C_____内容压入堆栈。

(A) CS.IP.PSW (B) IP.CS.PSW(C) PSW.CS.IP (D) PSW.IP.CS３．设(10FF0H)=10H ，(10FFlH)=20H ，(10FF2H)=30H ，则从物理地址10FF1H 中取出一个字的内容是 B 。

(A) 存取时间 (B) 读周期 (C) 写周期 (D) 存取周期考场座号试卷类型 A 卷得分命题教师签名：汤定德系主任签名：徐根耀日期 2009.12.18３．试编写由8位某型号数模转换器产生锯齿波模拟信号的一段程序，设地址51CH 为计算机中译码器的输出，且该输出信号使数模转换器的CS 为低电平。

（10分）CODE SEGMENTASSUME CS:CODE （2分） START:MOV CX,256 MOV AL,0MOV DX,51CH （2分）LOOP1:OUT DX,AL CALL DELAY INC AL LOOP LOOP1 JMP STARTCODE ENDS （5分） END START （1分）五、计算题（第1题5分、第2题10分，共15分）1．10010110 11010101（5分）解：根据“相异则或”的原则（2分），可得结果为01000011.（3分）2．00011001-00100000（要求有较详细的运算步骤）（10分）解：（5分）而11111001即为-7的补码（2分），故差应为10000111（3分）.得分订装线。

数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知x =0.004532是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差界为_______________。

2、数值微分公式()()'()i i i f x h f x f x h+-≈的截断误差为。

3、已知向量(1)Tx =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T H x =-。

H = 。

4、利用三点高斯求积公式11()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x d x f f f -≈-++⎰导出求积分4()f x dx ⎰的三点高斯求积公式。

5、42()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则(0)(1)__________.nkk k lx =+=∑7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。

L =_________. 9、设32()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。

10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的？________________________.function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0);if abs(x-x0)<0.00001, break end x0=x; end二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，（1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。

数值分析试题A09.1

中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知(0,1,,)k x k n = 是互异节点，()k l x 是对应节点的Lagrange 插值基函数， ()P x 是任意一个首项系数为1的1n +次多项式，则0()()()nkkk P x P x l x =-∑= 。

2、设分段多项式 3232, 01()21, 12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤⎪=⎨++-≤≤⎪⎩ 是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b = ，c = 。

3、如果A 是正交矩阵，则2()Cond A = 。

4、用x = 3.141作为π的近似值，则x 有位有效数字，其绝对误差限为。

5、数值积分公式[]33()(1)(2)2f x dx f f ≈+⎰是否为插值型求积公式：，其代数精度为。

6、下列matlab 程序中s2计算的是，并指明s1与s2的区别为。

其中：10;,x aex a a x R =⨯∈。

t=0;s2=1e14; for i=1:1e6temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表试利用重节点Newton 差商构造满足插值条件(0)1,(1)0,'(1)1,(2)1,P P P P ==== 的三次多项式()P x 。

（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量(2,0,2,1)T x =，试构造Householder 变换阵，使(0,0,,0)T Hx k =，其中k R ∈。

四、（12分）已知勒让德（Legendre ）正交多项式()201211,,312P P x P x ===-，试利用勒让德正交多项式在二次多项式类{}21,H span x =中求一个多项式()S x ，使其成为()[]11x f x e =-在，上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。

统计学期末考试试题

2009---2010学年第2学期统计学原理课程考核试卷（Ａ）一、填空题（每空1分，共15分）1、从统计方法的构成看，统计学可以分为和。

2、如果我们要研究某班学生的学习状况，则总体是，总体单位是_ _ 。

3、在某城市随机抽取13个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下：1080、750、1080、850、960、2000、1250、1080、760、1080、950、1080、660，则其众数为，中位数为。

4、当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值⎺x也服从正态分布，⎺x的数学期望为，方差为。

5、若身高与体重的直线相关系数为0.85，则体重与身高存在___ _____，产量与单位成本的直线相关系数为-0.91，则产量与单位成本存在。

6、参数估计的方法有和。

7. 进行假设检验的两类错误是和。

8．对回归系数的显著性检验，通常采用的是检验。

二、判断题，正确打“√”；错误打“×”。

（每题1分，共10分）1.统计学是数学的一个分支。

（）2、无论是概率抽样、非概率抽样，或是在全面性调查中，都有可能产生非抽样误差。

（）3、茎叶图主要用于顺序型数据的显示。

（）4、对一个正态总体进行抽样调查，不论样本容量大小如何，样本均值统计量总是服从正态分布的。

( )5、假设检验中要使α和β同时减少的唯一方法是减少样本容量。

（）6、根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。

（）7、总体参数以一定的概率落在置信区间中。

（）8、相关系数为+1时，说明两变量完全相关，相关系数为-1时，说明两个变量不相关。

（）9、直接对总体的未知分布进行估计的问题称为非参数估计；当总体分布类型已知，仅需对分布的未知参数进行估计的问题称为参数估计。

（）10、方差分析是为了推断多个总体的方差是否相等而进行的假设检验。

（）三、单项选择题（每小题1分，共 15分）1、指出下面的数据哪一个属于数值型数据（）。