正态分布详解
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】ISO 12640是由国际标准化组织ISO下设的印刷标准化委员会TC130制定的有关印前数据交换的系列标准，该系列标准的第一部分（ISO 12640-1）提供的是编码为8位CMYK网点面积值的图像，第二部分（ISO 12640-2）提供的是编码分别为16位XYZ值和16位RGB 值的自然图像与人工合成图像。
为了满足印刷、摄影等的需要，除了以上两个部分外，印刷标准化委员会TC130还开发了新的图像组ISO 12640-3标准，其使用D50照明体，可用于成像系统颜色复制、彩色图像输出设备、图像处理算法效果以及高清晰图像存储和传播编码技术等的评估。
图像组成ISO 12640-3标准图像组包括8幅自然图像（照片）和10幅由计算机制作的人工合成图像。
1.自然图像自然图像的分辨率为12像素/毫米，采用16位/通道的L*、a*、b*值，D50照明体。
8幅自然图像的缩略图如图1所示。
对于这8幅自然图像的描述和典型应用如表1所示。
2.人工合成图像人工合成图像包含8幅色谱和2幅渐变图。
(1)色谱ISO 12640-3中共有8幅色谱，每幅都包含很多用于构建参考色域的色块，如图2所示。
每个色域包含的色块都落在2个色相角内，并且间隔180°。
由于图像是8位的，因此色相角大小约能限制在±1°。
色谱给出了参考色域内L*间隔为10（从L*＝0到L*＝100）和Cab*间隔为10（从Cab*=0到当前参考色域的L*值下的最大Cab*）的样本。
每幅色谱的大小是275mm×137mm，每个色块的大小是10mm ×10mm，相近距离是1mm，灰背景的L*值为80。
(2)渐变图渐变图有2幅，如图3所示，a为全色域的，b为简化色域的。
所有的渐变图都有8个色相角，从0°到 315°，间隔为45°。
简化色域渐变图与全色域渐变图的区别在于，全色域渐变图的最小和最大明度分别为L*=0和L*=100，而简化色域渐变图的最小和最大明度则为L*=10和L*=90，彩度为全色域渐变图彩度的85%。
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布 同步课时练习题含答案解析
7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。
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标准正态分布的期望标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域的数据分析中都有着广泛的应用。
在正态分布中，期望是一个至关重要的参数，它能够帮助我们更好地理解数据的分布规律和特征。
本文将围绕标准正态分布的期望展开讨论，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，让我们来回顾一下正态分布的基本特征。
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋近于水平轴但永远不会与其相交。
正态分布的期望值μ决定了曲线的位置，而标准差σ则决定了曲线的宽窄。
在标准正态分布中，期望值μ=0，标准差σ=1，这使得标准正态分布具有许多便于计算和推导的特性。
期望是描述随机变量平均取值的一个重要指标。
在标准正态分布中，期望值为0意味着数据的中心位置位于分布的中心，这也是为什么正态分布曲线呈对称的钟形的原因。
换句话说，大部分的数据都集中在期望值附近，而离期望值越远的数值出现的概率就越小。
这一特性使得期望值成为了描述数据集中趋势的重要统计量。
在实际应用中，我们经常会用期望值来进行预测和决策。
以股票市场为例，假设某支股票的收盘价服从正态分布，我们可以利用期望值来预测未来的价格走势。
如果期望值为正，那么我们就可以预期股票价格将上涨；反之，如果期望值为负，那么我们就可以预期股票价格将下跌。
当然，这只是一个简单的例子，实际应用中可能会涉及更多的因素和复杂的计算。
除了用于预测和决策，期望值还在统计推断和假设检验中发挥着重要作用。
在假设检验中，我们常常需要利用样本数据的期望值来对总体的特征进行推断，从而进行统计决策。
期望值的大小和方向能够帮助我们判断样本数据与假设之间是否存在显著差异，从而进行科学合理的统计推断。
总之，标准正态分布的期望是一个非常重要的概念，它不仅能够帮助我们更好地理解数据的分布规律和特征，还能够在实际应用中发挥着重要作用。
通过对期望值的深入理解和灵活运用，我们能够更加准确地把握数据的特征和规律，为决策和推断提供科学依据。
第48讲 正态分布(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)
第48讲 正态分布一、单选题1．（2021·全国高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） A ．1 500名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名【答案】A 【详解】因为学生的数学成绩X 服从正态分布N (98，100)，则P (X >108)=12[1-P (88≤X ≤108)]=12[1-P (μ-σ≤X ≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865， 而0.15865×9455≈1500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 故选：A2．（2021·全国高二课时练习）关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D 【详解】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈，所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.3．（2021·全国高二课时练习）设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B 【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.4．（2021·全国高二课时练习）已知X ～N (0，1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ） A ．0.954 B ．0.046 C ．0.977 D ．0.023【答案】D 【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.95442＝0.022 8. 故选：D.5．（2021·全国高二课时练习）正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为（ ） A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2C ．P 1＞P 2D ．不确定【答案】A 【详解】根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等． 故选：A6．（2021·河北邢台·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若(21)(21)P c P c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．32B ．2C ．1D ．12【答案】A 【详解】由正态分布的对称性知，(21)33(21)c c +-=--，得32c =. 故选：A7．（2021·河北沧州·）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X （单位：cm ）的情况，得出()2100,10X N ~，随机测量一株水稻，其株高在()110,120（单位：cm ）范围内的概率为（ ）（附：若随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3174【答案】B 【详解】由题意得()901100.6826P X <<=，()801200.9544P X <<=，所以()0.95440.68261101200.13592P X -<<==，故选：B8．（2021·全国高二专题练习）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre 在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量,X 近似服从()29,N σ，若()100.91P X <=，则()8P X ≤= A ．0.09 B ．0.41C ．0.59D ．0.91【答案】A 【详解】()()()8101100.09P X P X P X ≤=≥=-<=，故选：A . 二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ） A ．曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交B ．当x >μ时，曲线下降，当x <μ时，曲线上升C ．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D ．曲线关于直线x ＝μ对称，且当x ＝μ时，位于最高点 【答案】ABD 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知：（1）曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交；故A 正确.（2）曲线关于直线对称，当x μ=时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D 正确.（3）当x μ<时，曲线上升，当x μ>时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近；故B 正确.（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C 错误. 故选：ABD.10．（2021·全国高二专题练习）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】ACD 【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差（或方差2σ）从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好. 故选：ACD.11．（2021·阳江市第一中学高二月考）已知()2~,X N μσ，()()021P X P X ≥+≥-=，且()20.3P X ≤-=，则（ ）A ．1μ=-B ．2μ=-C ．()200.4P X -≤≤=D ．()200.3P X -≤≤=【答案】AC 【详解】因为()()021P X P X ≥+≥-=，所以()()02P X P X ≥=≤-，所以1μ=-. 故()2010.320.4P X -≤≤=-⨯=. 故选：AC12．（2021·福建三明·高二期末）若随机变量()()()~0,2,N x P x ξφξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的有（ ） A ．()()1x x φφ-=- B ．()()22x x φφ= C ．()()21P x x ξφ<=- D ．()()22P x x ξφ>=-【答案】ACD 【详解】因为()~0,2N ξ，所以其正态曲线关于直线0x =对称，因为()()x P x φξ=≤，0x >，所以()()()1x P x x φξφ-=≤-=-，A 正确；因为()()()(),2222P x P x x x φξφξ==≤≤，所以()()22x x φφ=不一定成立，B 不正确； 因为()()()()1221P x P x x x x ξξφφ<=-<<=--=-，C 正确；因为()(P x P x ξξ>=>或)x ξ<-()()()122x x x φφφ=-+-=-，D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．（2021·全国高二单元测试）设随机变量ξ服从正态分布()43N ，，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a =______. 【答案】6 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，可得24,3μσ==， 又由()()51P a P a ξξ<-=>+，可得5x a =-和1x a =+关于4x =， 所以518a a -++=，解得6a =. 故答案为：6.14．（2021·福建福州三中高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()24P m P m ξξ≥-=≤+()m ∈R ，则μ=______． 【答案】3 【详解】 依题意可知()()2432m m μ-++==．故答案为：3.15．（2021·全国高二单元测试）已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X <2c +2)=P (X >c +4)，则c =__．【答案】0 【详解】因随机变量X 服从正态分布N (3，1)，则它对应的正态密度曲线对称轴为x =3，又P (X <2c +2)=P (X >c +4)， 则由正态分布的对称性可得2c +2+c +4=6，解得c =0， 所以c =0. 故答案为：016．（2021·浙江丽水·高二课时练习）如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.【答案】3 1 【详解】()~,,N ξμσ()()23,1,E D ξμξσ∴====1σ∴=，故答案为3,1.四、解答题17．（2021·福建三明·高三模拟预测）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时. ∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.（2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)v N ，则70.5,14.5μσ==， （i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.18．（2021·重庆市清华中学校高三月考）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）【答案】（1）22.8吨；（2）51. 【详解】（1）由频数分布表得： 1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==，则28μσ=+， ()()()110.6827280.1586522P X P X P X μσμσμσ--<≤+-∴>=>+===，3200.1586550.76851⨯=≈，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.19．（2021·全国高二单元测试）设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min ）X ～N （50，102），乘地铁所需时间Y ～N （60，42），则 （1）若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E （ξ）.（已知P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544）【答案】（1）乘地铁；（2）分布列见解析，23.【详解】解：（1）乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==-- 因此在这种情况下应乘地铁. （2）ξ的取值为0，1，2.则P （ξ＝0）＝2426C C ＝25，P （ξ＝1）＝112426C C C ＝815，P （ξ＝2）＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×5+1×15+2×15＝3. 20．（2021·河南（理））市教育局举办了全市高中生关于创建文明城市的知识竞赛（满分120分），规定竞赛成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为非优秀.为了解竞赛成绩与学生课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了参加竞赛的60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：（2）若参加这次竞赛的高中生共有20000名，参赛学生的竞赛成绩()~90,100N ξ，试估计竞赛成绩大于110分的学生大约有多少人？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中na b c d =+++.~,N ξμσ时， 0.6826P μσξμσ-<≤+=，220.9544P μσξμσ-<≤+=.【答案】（1）有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关；（2）456人. 【详解】（1）∵()()()()()()2226022208101359.6437.8793030322814n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关.（2）由()~90,100N ξ，知：90μ=，10σ=. ∴()()()111021220.02282P P P ξξμσμσξμσ>=>+=--<≤+=⎡⎤⎣⎦，故竞赛成绩大于110分的学生约有200000.0228456⨯=，∴估计竞赛成绩大于110分的学生大约有456人.。
正态分布详解
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
下面我们不加证明地介绍有关二项分 布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫 佛－拉普拉斯定理. 它是第五章要介绍的 中心极限定理的一个最重要的特殊情况.
六、二项分布的正态近似
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Y n 服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
limP{ Ynnp x} x
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
2
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变
量 Y n 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布.
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
请看 街头
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
记作 X~N(,2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
请看演示 正态分布
二、正态分布 N(,2) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解概率分布公式大全-离散与连续分布函数详解概率分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其相应的概率。
根据随机变量的性质，概率分布可以分为离散分布和连续分布。
本文将详细介绍概率分布的概念、离散分布函数和连续分布函数的定义，并列举常见的概率分布公式作为参考。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量在概率论中，随机变量是指能够随机地产生不同数值的变量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
2. 概率分布概率分布是随机变量的每个可能取值与其相应的概率之间的关系。
通过概率分布，我们可以了解随机变量取值的可能性以及各个取值的概率大小。
二、离散分布函数离散分布函数用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的离散分布函数：1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了独立重复实验的结果，每次实验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验的成功概率，(nCk) 表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，常用于描述稀有事件的概率分布。
泊松分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生率，e为自然对数的底。
3. 几何分布（Geometric Distribution）几何分布描述了在一系列独立实验中，首次成功需要进行的实验次数的概率分布。
几何分布的概率分布函数如下：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)，其中p为每次实验的成功概率。
三、连续分布函数连续分布函数用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的连续分布函数：1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布（或高斯分布）是最常见的连续概率分布之一，常用于描述自然界和社会科学中的许多现象。
新高考数学复习知识点与题型专题讲解36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值一、多选题1．给出下列命题，其中正确命题为（）A ．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3，则回归直线的方程为0.25 2.5y x =+B ．随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则90n =C ．随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】ABD 【分析】利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A 选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B 选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C 选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3， 则回归直线方程为()30.252y x -=-，即0.25 2.5y x =+，A 选项正确； 对于B 选项，随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则()()()30120E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得9013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，B 选项正确；对于C 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()()0.5 1.50.34P X P X <=>=，C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越大，则两变量有关系的程度越大，即k 越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，故k 越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D 选项正确.故选：ABD. 2．若随机变量()0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( )A ．()()1x x φφ-=-B ．()()22x x φφ=C ．()()21P x x ξφ<=-D ．()()2P x x ξφ>=- 【答案】AC 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=，0)x >，由此可解决问题．【详解】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(]60,300，若使标准分X 服从正态分布N ()180,900，则下列说法正确的有( ). 参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．()2402700.0428P X <≤= 【答案】BC 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】选项A ；因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以这次考试标准分超过180分的约有110005002⨯=人，故本说法不正确； 选项B ：由正态分布N ()180,900，可知：180,30μσ==，所以()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，因此这次考试标准分在(]90,270内的人数约为10000.9973997⨯≈人，故本说法正确； 选项C ：因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以某个人标准分超过180分的概率为12， 因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为223113()(1)228C -=，故本说法正确； 选项D ：由题中所给的公式可知：()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=， ()()1202401802301802300.9545P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，所以由正态分布的性质可知：()()()11240270[90270120240](0.99730.9545)0.0214,22P X P X P X <≤=<≤-<≤=-=所以本说法不正确. 故选：BC 【点睛】本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 4．下列判断正确的是（）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性可判断选项A ；由线面垂直可以得线线垂直，//m β，l m ⊥，l 与β位置关系不确定，无法得到//αβ，可判断选项B ；根据二项分布均值公式()E np ξ=求解可判断选项C ；由22am bm >可得到a b >，但反之不成立，可判断选项D. 【详解】对于A ：随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态密度曲线关于直线1x =对称，又因为()40.79P ξ≤=，所以()40.21P ξ>=，所以()20.21P ξ≤-=，故选项A 正确；对于B ：若//αβ，l ⊥α，则l ⊥β，又因为//m β，所以l m ⊥，若l m ⊥，当//m β时，l 与β位置关系不确定，所以无法得到//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故选项B 不正确； 对于C ：因为随机变量ξ服从二项分布14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1414E ξ=⨯=，故选项C 正确；对于D ：由22am bm >可得到a b >，但a b >，0m =时得不到22am bm >，故选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题. 5．下列说法中正确的是（）A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD 【分析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．下列说法正确的有（）A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，则(1)0.16P ξ=B ．设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若(1)(1)P X m P X m >+=>-，则3m =C ．设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)P X =等于316D ．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为54125【答案】AD 【分析】利用正态分布的对称性即可判断A 、B ；根据二项分布的概率公式可判断C 、D ； 【详解】对于A ，因为变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，所以(3)10.840.16P ξ≥=-=，因为关于2ξ=对称， 所以()(1)30.16P P ξξ=≥=，故A 正确；对于B ，因为(1)(1)P X m P X m >+=>-，所以须满足11m m +=-，等式不恒成立，故无论m 是任何实数，都不能使(1)(1)P X m P X m >+=>-，故B 错误；对于C ，因为随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则36336115(3)2216P X C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为223540.60.4125C ⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了正态分布的对称性应用、二项分布，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.二、单选题7．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （）A ．12B ．11010C ．14D ．12020【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=， 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布的性质，属于基础题. 9．已知随机变量()2~1,X N σ，()00.8P X ≥=，则()2P X >=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】A 【分析】 由()2~1,X N σ有随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，结合已知条件即可求()2P X >；【详解】 由()2~1,X N σ，知：随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，∴()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=； 故选：A 【点睛】本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于X μ=对称求概率，属于简单题； 10．己知随机变量()()2~100,0N ξσσ>，若()801200.8P ξ≤≤=，则()80P ξ<等于（）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B 【分析】由题知正态分布曲线的对称轴是直线100x =，利用曲线的特点即可计算出结果. 【详解】由题知此正态分布曲线的对称轴是直线100x =， 由正态分布的图象的对称性可知，()()180120800.12P P ξξ-≤≤<==.故选：B 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题. 11．已知随机变量()20,XN σ，若()010.4P X <<=，则()1P X >的值为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果 【详解】 由随机变量()20,XN σ，可得正态分布曲线的对称轴为0x =，又()010.4P X <<=，∴()()11201120.40.2P X P X >=-<<=-⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型. 12．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(24)P ξ-<<=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】D 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，得到正态曲线的对称轴，然后由(4)0.9P ξ<=，求得(4)(2)P P ξξ≥=<-，再利用正态曲线的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=， 故选：D 【点睛】本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．已知随机变量2~0(),N ξσ，且()10.3P ξ≥=，则0()1P ξ-≤≤=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5 【答案】A 【分析】根据题意，正态曲线是一个关于0x μ==对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可. 【详解】由题意，随机变量2~0(),N ξσ，()10.3P ξ≥=，则()10.3P ξ≤-=，所以，()()()11101110.30.30.222P P ξξ-≤≤=-≤≤=--=. 故选：A. 【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 14．设随机变量()0,1N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（）A ．12p +B ．1p -C ．12p -D ．12p - 【答案】D 【分析】 根据随机变量()0,1N ξ，正态曲线关于0x =对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于1-的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是12，即可求出结果. 【详解】 ∵随机变量()0,1N ξ，∴正态曲线关于0x =对称， ∵()1P p ξ>=，∴()1P p ξ<-=， ∴()1102P p ξ-<<=-， 故选：D . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题． 15．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.16．设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B 【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 17．设随机变量()2,N ξμσ，函数()22f x x x ξ=-+有零点的概率是0.5，则μ等于（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定 【答案】A 【分析】根据二次函数有零点，可得1ξ≤，(1)0.5P ξ≤=，根据正态分布知识可得()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 【详解】因为函数()22f x x x ξ=-+有零点，所以440ξ∆=-≥，即1ξ≤，所以(1)0.5P ξ≤=，又随机变量()2,N ξμσ，且()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（） A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744 【答案】C 【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X （单位：万）近似服从正态分布()210,0.8N ，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（） A ．29128B ．764C ．3964D ．31128【答案】A 【分析】由已知可得()1102P X ≥=，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解. 【详解】 解：()210,0.8XN ，得()1102P X ≥=.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为77756777711129222128P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题. 20．已知随机变量()2~3,(0)X N σσ>，若(6)0.8P X <=，则(0)P X <=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.7 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】随机变量()2~3,(0)X N σσ>，可得正态分布曲线的对称轴为3x =(0)1(6)10.80.2P X P X <=-<=-=故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，考查对称性的应用，属于基础题． 21．若随机变量()23,XN σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 【答案】A 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】 由于()23,XN σ，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.22．设()()1122~,,~,X N Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．1212,μμσσ><B ．1212,μμσσ<<C ．1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ>> 【答案】B 【分析】根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得12,σσ的关系. 【详解】由图可得：X 的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左， 结合正态分布密度曲线性质可得：1212,μμσσ<<.故选：B 【点睛】此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56% 【答案】C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（）A ．60B ．70C ．80D ．90 【答案】C 【分析】先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名. 【详解】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名. 故选：C. 【点睛】本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型. 25．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16 【答案】C 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 26．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，则()90P ξ≥=（） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1 【答案】D本题根据题意直接求在指定区间的概率即可. 【详解】解：因为数学成绩ξ服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，所以()()119016090(10.8)0.122P P ξξ≥=-<<=-=⎡⎤⎣⎦ 故选：D. 【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题. 27．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.2P ξ>=，则()01P ξ≤≤=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出()()010.52P P ξξ≤≤=->，由此可求得结果. 【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则()()200.2P P ξξ>=<=，因此，()()()010.500.520.50.20.3P P P ξξξ≤≤=-<=->=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.28．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 【答案】B 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4XN ，所以，()()020.3P X P X <=>=.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()280,N σ，且()75800.1P X <≤=.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（）A ．140B ．105C ．70D ．35 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性可知()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即可求得()850.50.10.4P X ≥=-=，再根据频数，频率和样本容量之间的关系即可求出该校数学成绩不低于85分的人数． 【详解】因为X 近似服从正态分布()280,N σ，所以()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即有()850.50.10.4P X ≥=-=，故该校数学成绩不低于85分的人数为3500.4140⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正态曲线的特点以及正态曲线的解析式的理解和运用，属于基础题． 30．已知某批零件的长度误差ξ（单位：mm ）服从正态分布()20,3N ，若()330.6826P ξ-<≤=，()660.9544P ξ-<≤=，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率()36ξ<≤=P （ ）A ．0.1359B ．0.2718C ．0.3174D ．0.0456 【答案】A 【分析】首先根据题意得到正态分布曲线的对称轴为0x =，从而得到()()()6633362ξξξ-<≤--<≤<≤=P P P ，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()20,3N ，对称轴为0x =，所以()()()6633360.13592ξξξ-<≤--<≤<≤==P P P .故选：A 【点睛】本题主要考查正态分布，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 31．已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，那么()24P X ≤≤的值为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.8 【答案】B 【分析】根据已知条件得出()()()2442P X P X P X ≤≤=≤-<，且有()20.5P X <=，由此可求得结果. 【详解】已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，则()20.5P X <=，根据正态密度曲线的对称性得出()()()24420.80.50.3P X P X P X ≤≤=≤-<=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644. 【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值； （ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p fp p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减； 所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.33．从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按[)75,85，[)85,105，[)105,115，[)115,125，[)125,135，[]135,145分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩X 服从正态分布()2,N µσ，其中µ，2σ分别为（Ⅰ）估中的x 和方差2s ，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）． 2.4≈．若()2,XN µσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=．【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587. 【分析】（Ⅰ）直接利用平均数和方差公式计算求解； （Ⅱ）分析得到()2~110,12X N ，再利用正态分布求解.【详解】（Ⅰ）由题意知：800.02900.091000.221100.331200.24x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.02110+⨯+⨯=，()()()22222300.02200.09100.2200.33100.24s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯22200.08300.02150+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，110x μ==，12σ==≈， 所以()2~110,12X N ，而()()981220.6827P X P X μσμσ-<<+=<<=， 所以()10.68271220.158652P X -==， 因此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数为0.15865100001587⨯≈． 【点睛】方法点睛：利用正态分布估计频数，一般先利用正态分布求出某范围内的概率p ，即得频数为np . 34．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得2 2.083 2.072K≈>，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量X 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=． 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题. 35．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值；（3）设特征量x 满足()2~,X N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()3.813.4P X <<.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑()()()121niii nii x x y y b xx ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-.1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2~,X N μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+；12x =时，ˆ 6.2y =；（3）0.8185. 【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出ˆb，ˆa ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955ii y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16ii y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(niinii x x y y r y y =--===≈--∑∑ .由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴ˆˆ9(0.56)712.92a y bx=-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=. 【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.36．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖。
高中数学高考总复习离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解
高中数学离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解一、选择题1．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 2．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A ．49B ．－19C ．23D ．593．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )A ．100人B ．125人C ．150人D ．200人 4．下列判断错误的是( )A ．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的；B ．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本；C ．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布；D ．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”． 5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．26．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元D ．1003元7．某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )A ．450元B ．900元C ．600元D ．675元8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A ．255256B ．9256C ．247256D ．7649．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A ．13B ．12 C．112 D ．1610．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 二、填空题11．如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．12．产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：两台机床中，较好的是________，这台机床较好的理由是________． 13．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）袋中原有白球的个数为________． （2）随机变量X 的数学期望E (X )＝________.14．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. 三、解答题15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望．16．高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．（1）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； （2）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；（3）求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)． （1）若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？（2）若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？（3）若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．参考答案1. [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.2. [解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 3. [解析] 由条件知，P (ξ>620)＝P (ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4.[答案] D 5．[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.6. [解析] ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×7.[解析] 摸到数字0的概率为14，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率分别为14×14＝116，故分布列为∴E (ξ)＝1000×14＋800×14＋600×14＋500×116＋400×116＋300×116＋0×116＝675.8. [解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128，P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.9. [解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·⎝⎛⎭⎫3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝12，即a ＝16，b ＝12时成立．10．[答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.11. [解析] 由题意得，ξ的可能取值为7,8,9,10. ∵P (ξ＝7)＝C 21C 22C 53＝15，P (ξ＝8)＝C 21C 22＋C 22C 11C 53＝310，P (ξ＝9)＝C 21C 21C 11C 53＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 53＝110，∴ξ的分布列为：E (ξ)＝15×7＋310×8＋25×9＋110×10＝425.12.[答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2) 13．[答案] (1)6 (2)107[解析] (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C n 2C 92＝512，即n (n －1)29×82＝512，化简得n 2－n －30＝0.解得n ＝6或n ＝－5(舍去)．故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23；P (X ＝2)＝3×69×8＝14；P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以X 的概率分布列为：所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.14．[答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4，又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.15．[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x ，y ，z ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.121－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)∵函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.16．[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M ，则P (M )＝A 4343＝38.(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N ，则P (N )＝C 42C 32A 2243＝916. (3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.则P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 31×3×343＝2764，P (ξ＝2)＝C 32×343＝964，P (ξ＝3)＝143＝164.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.17．[解析] (1)设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ， 则P (A )＝1－[P 6(5)＋P 6(6)]＝1－⎣⎡⎦⎤C 65⎝⎛⎭⎫235⎝⎛⎭⎫1－23＋C 66⎝⎛⎭⎫236＝1－256729＝473729. ∴A 队至多获胜4局的概率为473729.(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ，则P (B )＝C 63p 3(1－p )3. 当p ＝0或p ＝1时，显然有P (B )＝0.当0<p <1时，P (B )＝C 63p 3(1－p )3＝20·[p (1－p )]3≤20·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 223＝20·⎝⎛⎭⎫126＝516 当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时取等号．故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516.(3)若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P (ξ＝3)＝p 3，P (ξ＝4)＝C 32p 3(1－p )＝3p 3(1－p ) P (ξ＝5)＝C 42p 3(1－p )2＝6p 3(1－p )2， 所以ξ的分布列为：E (ξ)＝3p 3(10p 2－24p ＋15)．[点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A 队获胜包括：比赛三局，A 队全胜；比赛四局，A 队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．。
正态分布及其经典习的题目和问题详解01588
专题：正态分布[知识网络]1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题；3、通过实际问题,借助直观〔如实际问题的直观图〕,认识正态分布、曲线的特点与曲线所表示的意义. [典型例题]例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布,且E 〔X 〕=2.4,V 〔X 〕=1.44,如此二项分布的参数n,p 的值为 〔 〕 A ．n=4,p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8,p=0.3 D ．n=24,p=0.1答案：B.解析：()4.2==np X E ,()44.1)1(=-=p np X V .〔2〕正态曲线下、横轴上,从均数到∞+的面积为< >.A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B.解析：由正态曲线的特点知.〔3〕某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B.解析:数学成绩是X —N<80,102>,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭. 〔4〕从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________.∴E<X>=8.5.〔5〕如图,两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ,2为)(22x σμϕ,如此1μ2μ,1σ2σ〔填大于,小于〕答案：＜,＞.解析：由正态密度曲线图象的特征知.例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试,在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备中随机抽出3题进展测试,至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布与数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,如此P <A >=310361426C C C C +=321202060=+,P <B >=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立, 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3X 和Y,其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定.．"心动〞..答案：设取出的红球数为X,如此X —H 〔6,6,12〕,666612()k kC C P X k C -⋅==,其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y,如此Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-,故我们不该"心动〞. [课内练习]1．标准正态分布的均数与标准差分别为< >. A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A.解析：由标准正态分布的定义知.2．正态分布有两个参数μ与σ,< >相应的正态曲线的形状越扁平. A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C.解析：由正态密度曲线图象的特征知.3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ,那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ〔 〕 答案：C.解析：由方差的统计定义知.4．设),(~p n B ξ,()12=ξE ,()4=ξV ,如此n 的值是.答案：4.解析：()12==np E ξ,()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为34,两人独立解题.记X 为解出该题的人数,如此E 〔X 〕=.答案：1712.解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=. ∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=. 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,如此如下结论正确的答案是. <1>)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ <2>)0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ <3>)0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ <4>)0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：<1>,<2>,<4>.解析：(||)0P a ξ==.7．抛掷一颗骰子,设所得点数为X,如此V 〔X 〕=.答案：3512.解析：1(),1,2,,66P X k k ===,按定义计算得735(),()212E X V X ==.8．有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资与可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由. 答案： 由于E 〔甲〕=E 〔乙〕,V 〔甲〕<V 〔乙〕,应当选择甲单位.解析：E 〔甲〕=E 〔乙〕=1400,V 〔甲〕=40000,V 〔乙〕=160000.9．交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和〔设为ξ〕,求抽奖人获利的数学期望.答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和,如此ξ可能取的值为2,6,10.4528)2(21028===C C P ξ,4516)6(2101218===C C C P ξ,451)10(21022===C C P ξ 设η为抽奖者获利的可能值,如此5-=ξη,抽奖者获利的数学期望为 故,抽奖人获利的期望为-75.10．甲乙两人独立解某一道数学题,该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92. 〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1,乙为P 2. 1 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=,或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=. [作业本]A 组1．袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X 表示取出球的最大,如此E 〔X 〕等于 〔 〕A 、4B 、5C 、4.5D 、4.752．如下函数是正态分布密度函数的是 〔 〕 A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππ C ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B.解析：选项B 是标准正态分布密度函数.3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 〔 〕 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B.解析：22()x f x -=.4．正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5,那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点. 答案：0.2.解析：正态曲线关于直线x μ=对称,由题意知0.2μ=.5．一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,总分为120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为.答案：84；75.6.解析：设X 为该生选对试题个数,η为成绩,如此X ～B 〔50,0.7〕,η=3X ∴E<X>=40×0.7=28 V<X>=40×0.7×0.3=8.4故E<η>=E<3X>=3E<X>=84 V<η>=V<3X>=9V<X>=75.66．某人进展一个试验,假如试验成功如此停止,假如实验失败,再重新试验一次,假如试验三次均失败,如此放弃试验,假如此人每次试验成功的概率为32,求此人试验次数X 的分布列与期望和方差. 解：X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=,22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=.7．甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,假如他们独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X,如此EX=34,Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值与Y 的分布列与期望.答案：解：由可得),2(~s B X ,故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0,1,2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ,故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E 〔Y 〕=9.8．一软件开发商开发一种新的软件,投资50万元,开发成功的概率为0.9,假如开发不成功,如此只能收回10万元的资金,假如开发成功,投放市场前,召开一次新闻发布会,召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元,召开新闻发布会成功的概率为0.8,假如发布成功如此可以销售100万元,否如此将起到负面作用只能销售60万元,而不召开新闻发布会如此可能销售75万元.〔1〕求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. 〔2〕求开发商盈利的最大期望值. 答案：解：〔1〕设A="软件开发成功〞,B="新闻发布会召开成功〞 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P<AB>=P<A>P<B>=0.72. 〔2〕不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=⨯-+-⨯-=E <万元>； 召开新闻发布会盈利的期望值是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=⨯--⨯-⨯+⨯-+-⨯-=E 〔万元〕故开发商应该召开新闻发布会,且盈利的最大期望是24.8万元..B 组1．某产品的废品率为0.05,从中取出10个产品,其中的次品数X 的方差是 〔 〕 A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5答案：B.解析：X —B 〔10,0.05〕,()100.050.950.475V X =⨯⨯=.2．假如正态分布密度函数()212(),()x f x x R --=∈,如下判断正确的答案是 〔 〕A ．有最大值,也有最小值B ．有最大值,但没最小值C ．有最大值,但没最大值D ．无最大值和最小值 答案：B.3．在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 〔 〕A ．0．6826B ．0．3174C ．0．9544D ．0．9974 答案：C.解析：由X —N 〔100,36〕,故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=.4．袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得1分,假如取到一个红球如此得2分,用X 表示得分数,如此E 〔X 〕=________；V<X>= _________.答案：14；165.解析：由题意知,X 可取值是0,1,2,3,4.易得其概率分布如下：E<X>=0×6+1×3＋2×36＋3×6＋4×136＝149V<X>= 20×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2914⎪⎭⎫ ⎝⎛＝162165注：要求次品数的数学期望与方差,应先列出次品数X 的分布列.5．假如随机变量X 的概率分布密度函数是())(,221)(82,2R x ex x ∈=+-πϕσμ,如此)12(-X E =.答案：-5.解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-.6．一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数X 的均值、标准差. 解：∵X —B 1111(100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500E X V X ∴=⨯==⨯⨯-=X 的标准差0.04468σ==.7．某公司咨询热线 共有10路外线,经长期统计发现,在8点至10点这段时间内,外线同时使用情况如下表所示：假如这段时间内,公司只安排2位接线员〔一个接线员只能接一部 〕. 〔1〕求至少一路 号不能一次接通的概率；〔2〕在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间至少一路 不能一次接通,那么公司形象将受到损害,现在至少一路 不能一次接通的概率表示公司的"损害度〞,,求这种情况下公司形象的"损害度〞； 〔3〕求一周五个工作日的时间内,同时打入 数X 的数学期望.答案：解：〔1〕只安排2位接线员如此至少一路 号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； 〔2〕"损害度〞51245)43()41(2335=C ； 〔3〕一个工作日内这一时间内同时打入 数的期望是4.87,所以一周内5个工作日打入 数的期望是24.35..8．一批电池〔一节〕用于手电筒的服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？答案：解：电池的使用X —N<35.6,4.42>如此35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587.。
高二人数学选修练习课件正态分布(1)
身高、体重等生理指标评估
生理指标的正态分布
身高、体重等生理指标在人群中也呈 现出正态分布的特点。大多数人的指 标值接近平均值，极端值较少。
评估健康状况
医生可以根据身高、体重等生理指标 的正态分布情况，对患者的健康状况 进行评估。如果某个指标偏离正常值 范围过大，可能提示存在健康问题。
产品质量控制过程监控
在假设检验中，需要构造一个检验统计量，并根据显著性水平确定拒绝
域。如果检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设；否则接受原假设
。
方差分析（ANOVA）初步了解
方差分析概念
方差分析是一种用于比较多个总体均值是否有显著差异的 统计方法。它通过计算不同组间的方差和组内的方差来判 断各组均值是否存在显著差异。
对数正态分布
描述一个随机变量的对数服从正 态分布的情况。
幂律分布
描述大量数据中极少数极端值出现 概率较高的情况，如社交网络中的 “大V”现象。
关系
对数正态分布和幂律分布在某些情 况下具有相似的特性，如对极端值 的敏感性，但它们属于不同的概率 分布家族。
多元正态分布简介
01
02
03
多元正态分布
描述多个随机变量组成的 向量服从正态分布的情况 。
03
非参数统计方法与参数统计方法的比较
非参数统计方法和参数统计方法各有优缺点，应根据实际 情况进行选择和使用。一般来说，如果总体分布类型已知 且满足参数统计方法的假设条件，则优先使用参数统计方 法；否则可以考虑使用非参数统计方法进行推断。
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THANKS
参数关系
均值和标准差是正态分布的两个重要参数，它们共同决定了正态曲线的形态和 位置。当均值不变时，标准差越大，曲线越扁平；当标准差不变时，均值越大 ，曲线越向右移动。
人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》名师课件
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配套课后作业： 《正态分布》基础型 《正态分布》能力型 《正态分布》探究型 《正态分布》自助餐
正态分布
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（1）超几何分布. （2）频率分布直方图、折线图.
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 问题探究一 重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线
●活动一通过道尔顿板重复实验， 并画出小球在球槽内的 分布曲线.
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问题探究二 随机变量取值的概率与面积的关系 ●活动一 探讨随机变量取值与面积的关系 如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实
数a、b(a<b)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值 的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形 的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在 区间(a，b]上取值的概率．
1
e
(
x )2 2 2
,
x
R（
为常数，且
2
＞0 ），称ξ服从参数为 的正态分布，用ξ ～
表示.φ(x)的表达式可简记为
，它的密度曲线简
称为正态曲线.
（2）正态分布的期望与方差：若ξ ～
，则ξ的
期望与方差分别为：
.
（3）“3 ”原则.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点突破
（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决. （2）用“3σ”原则解题时，有时需要数形结合来解决.
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正态分布与标准正态分布公式的详解整理
正态分布与标准正态分布公式的详解整理正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最重要的概率分布之一。
正态分布的形状呈钟型曲线，分布的中心对称，因此也被称为钟形曲线。
正态分布在各个领域的应用非常广泛，特别是在自然科学、社会科学及工程技术方面。
一、正态分布的定义与特点正态分布的定义如下：若一个随机变量X服从正态分布（记作X~N(μ,σ^2)），则其概率密度函数为：f(x) = (1/(sqrt(2π)*σ)) * exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))其中，μ是分布的均值，σ^2 是方差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布的曲线是关于均值μ对称的，具有唯一的峰值，且下方与上方的面积相等。
2. 标准差越小，曲线越陡峭；标准差越大，曲线越平坦。
3. 正态分布的总体均值、中位数和众数都相等。
4. 正态分布的分布范围是(-∞, +∞)，但在实际应用中，一般只考虑3倍标准差内的数据，这部分数据占据了整个分布曲线的99.7%。
二、标准正态分布标准正态分布，又称标准高斯分布，是正态分布的一种特殊情况，均值μ为0，方差σ^2为1。
标准正态分布的概率密度函数为：φ(x) = (1/√(2π)) * exp(-x^2/2)标准正态分布在统计学中有着重要的应用。
为了方便计算和比较，通常将实际数据转化为标准正态分布进行处理。
三、正态分布与标准正态分布的转化将正态分布的随机变量X转化为标准正态分布的随机变量Z，可以通过计算Z的值来实现。
这一过程称为标准化。
标准化的公式如下：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准化后的随机变量，X为原始随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
通过标准化，我们可以将不同均值和标准差的正态分布转化为标准正态分布，方便进行比较和计算。
四、标准正态分布的应用标准正态分布广泛应用于统计学和假设检验中，常用于计算正态分布中某个特定范围内的概率。
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】ISO 12640是由国际标准化组织ISO下设的印刷标准化委员会TC130制定的有关印前数据交换的系列标准，该系列标准的第一部分（ISO 12640-1）提供的是编码为8位CMYK网点面积值的图像，第二部分（ISO 12640-2）提供的是编码分别为16位XYZ值和16位RGB 值的自然图像与人工合成图像。
为了满足印刷、摄影等的需要，除了以上两个部分外，印刷标准化委员会TC130还开发了新的图像组ISO 12640-3标准，其使用D50照明体，可用于成像系统颜色复制、彩色图像输出设备、图像处理算法效果以及高清晰图像存储和传播编码技术等的评估。
图像组成ISO 12640-3标准图像组包括8幅自然图像（照片）和10幅由计算机制作的人工合成图像。
1.自然图像自然图像的分辨率为12像素/毫米，采用16位/通道的L*、a*、b*值，D50照明体。
8幅自然图像的缩略图如图1所示。
对于这8幅自然图像的描述和典型应用如表1所示。
2.人工合成图像人工合成图像包含8幅色谱和2幅渐变图。
(1)色谱ISO 12640-3中共有8幅色谱，每幅都包含很多用于构建参考色域的色块，如图2所示。
每个色域包含的色块都落在2个色相角内，并且间隔180°。
由于图像是8位的，因此色相角大小约能限制在±1°。
色谱给出了参考色域内L*间隔为10（从L*＝0到L*＝100）和Cab*间隔为10（从Cab*=0到当前参考色域的L*值下的最大Cab*）的样本。
每幅色谱的大小是275mm×137mm，每个色块的大小是10mm ×10mm，相近距离是1mm，灰背景的L*值为80。
(2)渐变图渐变图有2幅，如图3所示，a为全色域的，b为简化色域的。
所有的渐变图都有8个色相角，从0°到 315°，间隔为45°。
简化色域渐变图与全色域渐变图的区别在于，全色域渐变图的最小和最大明度分别为L*=0和L*=100，而简化色域渐变图的最小和最大明度则为L*=10和L*=90，彩度为全色域渐变图彩度的85%。
正太分布的知识点总结
正太分布的知识点总结一、正态分布的定义正态分布又叫高斯分布，其数学表达式为：P(x) = (1 / (σ * √(2*π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))其中，P(x)表示随机变量x的概率密度函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差，π是圆周率。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为中心对称的。
2. 集中趋势：均值μ决定了正态分布的集中趋势，即大多数数据分布在均值附近。
3. 标准差：标准差σ决定了正态分布的数据分散程度，即σ越小，数据越集中；σ越大，数据越分散。
4. 68-95-99.7法则：大约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，大约95%的数据分布在均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据分布在均值的三个标准差范围内。
三、正态分布的应用1. 统计学：正态分布广泛应用于统计学中，用于描述人口的身高、智力分布等现象。
在假设检验和参数估计中也有重要应用。
2. 自然科学：在自然现象中，许多现象都能够很好地拟合成正态分布，例如物理学中的测量误差、生物学中的生长速度等。
3. 工程学：在工程学中，正态分布用于描述机械零部件的尺寸、材料的强度等参数。
4. 金融学：在金融市场中，股票价格的波动、交易量等经常符合正态分布，因此正态分布在金融学中有广泛的应用。
四、正态分布的参数估计和假设检验1. 参数估计：根据样本数据估计总体的均值和标准差，通常使用样本均值和样本标准差来估计总体的均值和标准差。
2. 假设检验：假设检验是统计学中常用的推断方法，正态分布在假设检验中有重要的应用。
常用的假设检验有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。
五、正态分布的标准化正态分布的标准化是将原始数据转换成标准正态分布的过程，这是为了便于比较和计算。
标准化的方法是将原始数据减去均值，然后除以标准差，即：Z = (X - μ) / σ。
六、正态分布的优缺点1. 优点：正态分布具有较好的数学性质，有严格的完全性和唯一性定理，因此在统计学中有广泛的应用。
第十章二项分布超几何分布正态分布详解演示文稿
则称离散型随机变量 X 服从超几何分布． 如：某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名
男生，4名女生，从中选出4个参加数学竞赛考试， 用X表示其中的男生人数，求X的分布列．
第十九页，共四十页。
例 1、某批产品成箱包装，每箱 5 件．一用户在购进 该批产品前先取出 3 箱，设取出的 3 箱中，第一、二、三箱 中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品． （1）在取出的 3 箱中，若该用户从每箱中任意抽 取 2 件产品进行检验，用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品 的件数，求 ξ 的分布列及数学期望． （2）在取出的 3 箱中，若该用户从第三箱中有放回 的抽取 3 次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；
第三页，共四十页。
于是得到随机变量 ξ 的概率分布列为
ξ0
1 … k …n
P C0np0qn C1np1qn－1 … Cknpkqn－k … Cnnpnq0
我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ～B(n，p) 其中 n，p 为参数，p 叫成功概率．
第四页，共四十页。
【例1】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游
戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加 甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分 布列与数学期望Eξ.
第八页，共四十页。
解析：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游 戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这 4 个人 中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)，则 P(Ai)＝Ci413i234－i.
CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
多元正态分布的定义与性质详解演示文稿
2. 风险函数
由于损失函数L与决策函数d(x)有关,而决策函数 是随机变量，因而损失函数也为随机变量。这样损失函 数与样本X的取值有关，因而需要构造一个更好的指标 来衡量决策函数的好坏. 这就是风险函数.
定义4.2 设样本空间和分布族分别为和F * ,决
策空间为,损失函数为L( , d )，决策函数为d( X ),
R( , d1) R( , d2 ),
且存在一些使得不等式严格成立，即R( , d1)
R(
,
d
2
)，则称决策函数d1一致优于d
，如果等式
2
成立即R( , d1)＝R(ห้องสมุดไป่ตู้, d2 ), ，则二者等价.
定义4.4 设D {d( X )}是一切定义在样本空间 上取值于决策空间上的决策函数的全体，若存 在一个决策函数d*( X )(d*( X ) D), 使得对任意一 个d( X ) D,都有
例4(p118) 设总体X服从正态分布N (, 2 ), 2为已知,
( X1, X2 , , Xn)T取自X的样本，试求参数点估计
和区间估计的决策函数.
解 根据上一章的结论，参数点估计的决策函数为
d( x)
x
1 n
n i 1
xi
参数区间估计的决策函数为
d ( x) [ x u
2
n
,
x
u
2
] n
决策 对每个统计问题的具体回答，就称为一个决策.
例如，参数的点估计，每一个估计值就是一个决策. 决策空间 一个统计问题中，可能选取得全部决策 组成的集合为决策空间，记为 R.
例如，设总体分布服从N (, 2 ), 对未知参数进行
估计，由于在(, )中取值，因而其决策空
人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》教学设计
2.4 正态分布一、教学目标1．核心素养:学习正态分布的过程中，更进一步的体会数形结合思想的作用.培养了学生们直观想象和数学建模的能力.2．学习目标（1）通过道尔顿板重复实验，画出正态分布密度曲线.（2）随机变量取值的概率与面积的关系．（3）3σ原则的探索3．学习重点正态分布曲线的定义及其曲线特点，利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.4．学习难点正态分布的概念及其实际应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P70－P75，思考：正态分布密度曲线的概念？正态分布的概念？任务2思考正态分布密度曲线与x轴之间的面积为多少？2．预习自测1．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是() A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响答案 A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)＝()A.15 B.14 C.13 D.12答案 D解析由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝1 2.3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.12＋p B.12－p C．1－2p D．1－p答案 B解析P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.（二）课堂设计1．知识回顾（1）几何分布.（2）频率分布直方图、折线图.2．问题探究问题探究一重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线●活动一通过道尔顿板重复实验，并画出小球在球槽内的分布曲线.问题探究二随机变量取值的概率与面积的关系．★▲●活动一探讨随机变量取值与面积的关系如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实数a、b(a<b)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间(a，b]上取值的概率．一般地，当随机变量在区间(－∞，a )上取值时，其取值的概率是正态曲线在x ＝a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图(2)．随机变量在(a ，＋∞)上取值的概率是正态曲线在x ＝a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解． ●活动二 在实际例子中的应用例题1 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】详解： 若X ～N (μ，σ2)，则其密度曲线关于X ＝μ对称，则P (X ≤μ)＝12. 点拨：随机变量取值的概率与面积的关系 问题探究三 3σ原则★▲ ●活动一 3σ原则含义的理解由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是4.56%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． ●活动二 3σ原则的实际应用设X ～N (1,32)，试求(1)P (－2<X ≤4)；(2)P (4<X ≤7)． 【知识点：正态分布的3σ原则；数学思想：数形结合】 详解：因为X ～N (1,32)，所以μ＝1，σ＝3. (1)P (－2<X ≤4)＝P (1－3<X ≤1＋3)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (4<X ≤7)＝12[P (－5<X ≤7)－P (－2<X ≤4)]＝12[P (1－6<X ≤1＋6)－P (1－3<X ≤1＋3)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 点拨：正态分布的3σ原则的反复使用. 3．课堂总结【知识梳理】（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.（2）正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . （3）标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .（4）正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.（5）“3σ”原则. 【重难点突破】（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决. （2）用“3σ”原则解题时，有时需要数形结合来解决. 4．随堂检测1．正态总体N (0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( ) A ．0.46 B ．0.997 4 C ．0.03 D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 D解：P (－2<ξ≤2)＝P (0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4， ∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997 4＝0.002 6.2．若随机变量η服从标准正态分布N (0,1)，则η在区间(－3,3]上取值的概率等于( ) A ．0.682 6 B ．0.954 4 C ．0.997 4 D ．0.317 4 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解：μ＝0，σ＝1，∴(－3,3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.997 4.4．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于()A．2 B．10 C. 2 D．可以是任意实数【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A5．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.2解：由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.6．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解：∵X～N(2.5,0.12)，∴μ＝2.5，σ＝0.1.∴X落在区间(2.4,2.6]中的概率为P(2.5－0.1<X≤2.5＋0.1)＝0.682 6.（三）课后作业基础型自主突破1．ξ的概率密度函数f(x)＝12πe－x－122，下列错误的是()A．P(ξ<1)＝P(ξ>1) B．P(－1≤ξ≤1)＝P(－1<ξ<1) C．f(x)的渐近线是x＝0 D．η＝ξ－1～N(0,1)答案 C2．正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R，其中μ<0的图像是()【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析因为μ<0，所以对称轴x＝μ位于y轴左侧．3．下列说法不正确的是()A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B．正态分布N(μ，σ2)的图像位于x轴上方C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D．函数f(x)＝12πe－x22(x∈R)的图像是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线答案 C解析并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布，还有些其他分布．4．如下图是正态分布N1(μ，σ21)，N2(μ，σ22)，N3(μ，σ23)相应的曲线，则有()A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1 C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”．5．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A．1 B．－1 C．0 D．与标准差有关6．设随机变量ξ～N (2,4)，则D (12ξ)的值等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 【知识点：正态分布】 答案 A解析 ∵ξ～N (2,4)，∴D (ξ)＝4. ∴D (12ξ)＝14D (ξ)＝14×4＝1. 能力型 师生共研7．在正态分布总体服从N (μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( ) A ．方差与标准差 B ．期望与方差 C ．平均数与标准差 D ．标准差与期望 答案 C解析 由正态分布概念可知C 正确．8．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不确定 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 C解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.9．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，则P 的值为( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．不确定与σ无关 答案 C解析 ∵P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，∴C ＝μ，且P ＝12.10．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 探究型 多维突破13．随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( ) A ．N (aμ，σ2) B ．N (0,1) C ．N (μa ，σ2a ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2) 【知识点：正态分布】 答案 D14．某中学共有210名学生，从中取60名学生成绩如下：成绩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数615211233【知识点：正态分布】解析 因为x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s 2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5， 以x ＝6，s ≈1.22作为总体预计平均成绩和标准差的估计值，即μ＝6，σ＝1.22， 则总体服从正态分布N (6,1.222)，所以，正态分布的概率密度函数式：μμ，σ(x )＝11.222πe －x －622×1.222 .自助餐1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1 B.32 C ．6 D ．36 答案 C解析 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析利用正态分布图像的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝() A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 B解析由正态密度函数的对称性知P(X>4)＝1－P2≤X≤42＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B.4．若随机变量ξ～N(0,1)，则P(|ξ|>3)等于()A．0.997 4 B．0.498 7 C．0.974 4 D．0.002 6【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 D5．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A6．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解析由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案12，0.954 4解析因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝12.而P(－2<ξ<2)＝P(－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.8．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 4.56%解析属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.810．设随机变量ξ～N(3,4)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，求c的值．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由ξ～N(3,4)可知，密度函数关于直线x＝3对称(如下图所示)，又P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，故有3－(c－2)＝(c＋2)－3，∴c＝3.11．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6.∴X>130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．12．设随机变量X服从正态分布X～N(8,1)，求P(5<X≤6)．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由已知得μ＝8，σ＝1，∵P(6<X≤10)＝0.954 4，P(5<X≤11)＝0.997 4，∴P(5<X≤6)＋P(10<X≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P(5<X≤6)＝P(10<X≤11)＝0.0432＝0.021 5.11/ 11。
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P(|Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内. 这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
再看一个应用正态分布的例子: 例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用(x)和( x)表示：
(x)
(x)
( x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
e 2 dt
2
( x)
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
所以 h 170 =2.33,
6
即 h=170+13.98 183.98
设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.
THE END！
服从正态分布 N (, 2 ) 的随机变量
X的概率密度是
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N (, 2 ) , X的分布函数是
F(x) 1
x
e
(t )2 2 2
dt
,
x
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直x)的值.
x
x
当-x<0时
(x) 1 (x)
若 X～N(0,1),
P(a X b) (b) (a)
若 X ~ N (, 2 ),
Y X
~N(0,1)
P(a X b) P(a Y b )
(b ) (a )
五、3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
也许很多人不相信，玩这种赌博游 戏十有八九是要输掉的，不少人总 想碰碰运气，然而中大奖的概率实 在是太低了。
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
它的依据是下面的定理：
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
四、正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2 ) 时，
统计过程控制
Statistical Process Control
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布.
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是给出 它的概率密度函数。
一、正态分布的定义
若 X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 2 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 2的正态分布.
记作 X ~ N (, 2 )
解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
因为X～N(170,62), X 170 ~ N (0,1)
6
故
P(X< h)=
( h 170) 6
0.99
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
红线是拟 合的正态 密度曲线
可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布。
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
除了我们在前面遇到过的身高外,在正 常条件下各种产品的质量指标，如零件的 尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量， 小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标 的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服 从或近似服从正态分布.
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布的特性
测定平均值 在中心线或平均值两侧呈现左右对称之
分布 极大值与极小值数量很小 常态曲线左右两尾与横轴渐渐靠近但不
相交 曲线下的面积总和为1
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.