第05节 析因设计的方差分析
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生物统计(技术)：析因设计的方差分析
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两种药物联合镇痛效果研究
例6 .2 观察A，B两种镇痛药物联合运用在 产妇分娩时的镇痛效果。A药取3个剂量：1.0m， 2.5mg，5.0mg；B药也取3个剂量：5μg，15μg ，30μg。共9个处理组。将27名产妇随机等分为9 组，每组3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时 间。分析A，B两药联合运用的镇痛效果。
3. 交互效应（interaction) 如果一个处理因素的单 独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅 度超出随即波动的程度，则称两因素间存在 交互作 用。
4
一、固定效应型两因素两水平的析因分析
5
固定效应型
a
SS A bn (x ix )2 i 1
b
SSB an (x j x )2 j 1
29
表6-15 退休人员家庭亲密度资料
医院 职业
家庭亲密度分值
n
甲A B
乙A B
丙A B
合计
76 88 75 75 64 78 70 70 60 77 72 72 12 60 51 64 79 69 73 72 68 65 74 72 68 12 57 70 88 68 81 67 74 70 65 72 70 88 12 56 65 70 71 58 54 69 66 58 60 64 68 12 73 71 81 79 65 69 77 68 86 63 60 83 12 64 71 70 59 80 57 59 72 65 63 56 63 12
72
X
X2
877 64647
815 55945
870 63996
759 48383
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两种药物联合镇痛效果研究
例6 .2 观察A，B两种镇痛药物联合运用在 产妇分娩时的镇痛效果。A药取3个剂量：1.0m， 2.5mg，5.0mg；B药也取3个剂量：5μg，15μg ，30μg。共9个处理组。将27名产妇随机等分为9 组，每组3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时 间。分析A，B两药联合运用的镇痛效果。
3. 交互效应（interaction) 如果一个处理因素的单 独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅 度超出随即波动的程度，则称两因素间存在 交互作 用。
4
一、固定效应型两因素两水平的析因分析
5
固定效应型
a
SS A bn (x ix )2 i 1
b
SSB an (x j x )2 j 1
29
表6-15 退休人员家庭亲密度资料
医院 职业
家庭亲密度分值
n
甲A B
乙A B
丙A B
合计
76 88 75 75 64 78 70 70 60 77 72 72 12 60 51 64 79 69 73 72 68 65 74 72 68 12 57 70 88 68 81 67 74 70 65 72 70 88 12 56 65 70 71 58 54 69 66 58 60 64 68 12 73 71 81 79 65 69 77 68 86 63 60 83 12 64 71 70 59 80 57 59 72 65 63 56 63 12
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X
X2
877 64647
815 55945
870 63996
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析因设计资料的方差分析
若将例11-1进行完全随机设计ANOVA （错！）
处理组 误差
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
A的效应
主效应
A的主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。
B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
完全随机的三因素2×2×2析因设计
例3：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药 剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应 如何？②二者间有无交互作用？
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
➢ 2个以上处理因素（factor）（分类变量） ➢ 每个因素2个以上水平（level） ➢ 每一种处理有2个以上重复（repeat）
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果(P239表11－5由SPSS计算）
建议：
原始数据作平方根反正弦变换后分析（考 虑ANOVA的条件）
此例平方根反正弦变换后的结论相同。
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）P241
➢ 交互作用（Interaction）：当某一因素的 单独效应随着另一因素变化而变化时，称 这两个因素间存在交互作用。
（如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…）
析因设计的优缺点
优点
不仅用来分试验的次数很多，如2因素， 各3水平5次重复需要试验为45次。
➢ 试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数；
析因设计的方差分析
SS SS SS 如AB的交互效应：AB=[(a1b1-a2b1)-(a1b2-a2b2)]/2=(0.
总 处 理 H0：染毒与不染毒的大鼠吞噬指数的总体均数相等 误 差
确定P值，作出推断结论
SS SS SS SS 01 ，提示染毒对吞噬指数有影响，可以降低大鼠吞噬指数。
其方法有很多种，析因设计就是其中的一种。
研究目的
当研究的因素不止一个时，这种研究设计就称为 多因素的实验设计 。其方法有很多种，析因设计 就是其中的一种。
研究目的：不仅分析单个因素不同水平效应之间 的差异，还要知道两个因素各水平间效应的相互 影响。
分析方法：采用多因素方差分析。
方差分析的根本思想
• 变异分解： --固定因子〔处理因素〕：A、B
定义3个列变量： 1个因变量〔y〕，2个处理因素分组变量 〔A，B〕,设置值标签。 主要分析过程
1〕Analyze ->General Linear Model ->Univariate ，弹出单变量对 话框：
--因变量名称：y --固定因子〔处理因素〕：A、B 2〕点击“模型〞按钮，弹出重复度量模型对话框。 --指定模型：本例选择全模型，即分析所有主效应及交 互效应〔系统默认〕。假设选择定制，可以自由选择进入 分析模型的主效应及交互效应。
假设i ：表示因素A的水平〔i=1，2，…，a〕， 指两个或多个研究因素间的效应互不独立，当某一因素在各水平间变化时，另一个或多个因素各水平的效应也相应地发生改变。
建立检验假设，确定检验水准 〔2〕A因素主效应的P>0.
4〕 Post Hocj〔：比照表〕按示钮：因素B的水平〔j=1，2，…，b〕，
相等 H1：给药与不给药的大鼠吞噬指数的总体均数
析因设计的方差分析
完全随机的三因素析因设计 方差分析表
战士主 观感觉 冷热等 级评分
计算两因素交叉分组的合计
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）
完全随机的两因素3×3析因设计
完全随机的两因素析因设计 方差分析表
A、B两药联合运用的镇痛时间 方差分析结果表
（三）三因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
主效应（main effectsБайду номын сангаас：某因素各单 独效应的平均效应
交互作用（Interaction）：某一因素效 应随着另一因素变化而变化的情况。（ 如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…
析因设计的优缺点 优点
可用来分析全部主效应，以及因素 间各级的交互作用
缺点
所需试验的次数很多，如2因素，各 3水平5次重复需要试验为45次
交互作用
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%，
两条直线相互平行 , 表示两因素交互 作用很小
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%， B因素（缝合时间）的主效应为22%， AB的交互作用表示为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
完全随机的两因素2×2析因设计
实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤 细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B 、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？
完全随机的三因素2×2×2析因设计
05方差分析
第五章 数值资料的统计推断(二)——方差分析5.1 方差分析的意义、应用条件及常见设计类型在一个分类变量（自变量）不同水平下或是在多个分类变量的水平组合下测量一个连续反应变量（因变量），这个反应变量的总变异可被解释为分类变量的效应（即主效应，如A ，B 分别表示由于分类变量A 和B 的不同水平引起的变异）或分类变量的组合产生的效应（即交互效应，如A*B 表示A 和B 的交互作用，或嵌套效应，如B(A)表示B 的效应嵌套在A 之下），余下的变异为随机误差;同时将总自由度ν分解为对应的各部分自由度之和。
例如在单因素完全随机设计方差分析中，方差分析的统计量为F 值，误差误差组间组间误差组间＝νν=/SS /SS MS MS F ，F 值服从F 分布，在一定的显著水平下，如果F 大于F 界值，说明该分类变量有统计学意义，即对应的各水平间的总体均数的差别有显著性，这就是方差分析的基本思想。
方差分析有三个应用条件∶①各样本是相互独立的；② 各样本数据来自正态总体；③各处理组总体方差相等即方差齐性。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换，使其基本达到正态和方差齐性。
常用的变量变换方法有平方根变换（如Poisson 分布的计数资料）、平方根反正弦变换（如服从二项分布的率的资料）、对数变换（标准差与均数之间成正比关系，各组CV 值比较接近时的资料）及倒数变换（标准差与其均数的平方成正比关系时的资料）。
方差分析的常用设计类型有完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、析因试验设计、正交设计、系统分组设计、裂区试验设计等。
5.2 多样本的正态性检验和方差齐性检验利用测得的三组大白鼠营养试验中每组测得12只大鼠的尿中氨氮的排出量x （mg/6天）建立SAS 数据集work .ex1，编写的SAS 程序如下：DATA EX1;DO GROUP=1 TO 3; DO I=1 TO 12; INPUT X@@; OUTPUT; END; END; CARDS;30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31 43 45 53 44 51 53 54 37 47 57 48 42 82 66 66 86 56 52 76 83 72 73 59 53 ; RUN;5.2.1 多样本的正态性检验例5.1对SAS数据集work.ex1中以group分组的三组数据x分别作正态性检验。
析因设计资料的方差分析
完全随机的方差分析 变异来源 SS df MS F P-value 总 7420 19 处理组 组间 2620 3 873.333 2.91111 0.06657 4800 16 300 误差 组内
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。 B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
A2
A3
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
2个以上处理因素（factor）（分类变量） 每个因素2个以上水平（level） 每一种处理有2个以上重复（repeat）
试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数； 若行ANOVA，要求观察值（效应指标）为 定量资料（独立、正态、等方差）。
A的主效应 B的主效应
A的效应
交互作用
AB (a2b2 a1b2 ) (a2b1 a1b1 ) 2 (8 4) 2 2
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%， 两条直线几乎相互 平行, 可以不考虑 两因素间存在交互 作用。
64 78 80 不用 28 31 23 完全随机的两因素2×2析因设计
例2：小鼠种别（A）、体重（B）和性别（C）对皮 内移植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3 ）问①A、B、C各自的主效应如何？②三者间有无交 互作用？
种别 A 昆明种 体重（ g ） 24 ～ 25 性别 雄性 0.7069 0.7854 0.3581 1.0838 0.9425 0.3335 0.0628 0.0942 0.0471 0.0126 0.0094 0.0125 雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
卫生统计学之析因设计的方差分析
两因素两水平 完全随机析因设计的方差分析
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过 率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后 时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
A 因素
缝合方法
B 因素
缝合时间
n Σx 均数
18
26
21
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的特点
➢ 2个以上（处理）因素（factor）（分类变 量）
➢ 2个以上水平（level） ➢ 2个以上重复（repeat） ➢ 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 ➢ 观察指标（观测值）为计量资料（独立、
正态、等方差）
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用？②两种药间有无交互作用
乙药
用
不用
甲药 用
73
47
不用
27
20
完全随机的两因素2×2析因设计
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效
乙药
用
不用
乙药单独效应
甲
用
73
47
26
药
不用
27
20
7
甲药单独效应 46
27
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）：其它因 素的水平固定为某一值时，某一因素不 同水平的差别
➢ 主效应（main effects）：某一因素各 水平间的平均差别 (即某因素各单独效 应的平均效应)
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过 率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后 时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
A 因素
缝合方法
B 因素
缝合时间
n Σx 均数
18
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资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的特点
➢ 2个以上（处理）因素（factor）（分类变 量）
➢ 2个以上水平（level） ➢ 2个以上重复（repeat） ➢ 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 ➢ 观察指标（观测值）为计量资料（独立、
正态、等方差）
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用？②两种药间有无交互作用
乙药
用
不用
甲药 用
73
47
不用
27
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完全随机的两因素2×2析因设计
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效
乙药
用
不用
乙药单独效应
甲
用
73
47
26
药
不用
27
20
7
甲药单独效应 46
27
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）：其它因 素的水平固定为某一值时，某一因素不 同水平的差别
➢ 主效应（main effects）：某一因素各 水平间的平均差别 (即某因素各单独效 应的平均效应)
05方差分析
结果。
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方差分析的前提条件
各样本是相互独立的随机样本
均服从正态分布
总体方差齐性。σ12= σ22 =σ32= σ42
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方差分析的基本思想
把全部观察值间的变异按照设计和需要分解
成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随 机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统 计学意义。
方差分析
analysis of variance, ANOVA
方差分析（Analysis of Variance ANOVA） 由英国统计学家R.A.Fisher提出。
Ronald Aylmer Fisher（1890-1962）出 生于英国伦敦，在剑桥大学攻读数学和物 理。他早年居无定所——在一家投资公司 任过职，在加拿大的一个农场工作过，在 英国的公立学校教过书。
组间 k 1
组内 N-k 组间 k 1
MS总
SS总
总
SS组间
MS组间
组间
SS组内
MS组内
组内
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MS组间 1 当H 0成立时 F ＝ MS组内 1 当H1成立时
17/68
完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计（completely randomized design ） 是将同质的的受试对象随机的分配到各处理组，再观 察其实验效应。属于单向方差分析（one way ANOVA） 第一实验组 n1
组，服用一个月后，测定血清总胆固醇
(mmol/L)，结果见表，试分析三组患者的总胆 固醇有无差别？
19/68
20/68
⑴建立检验假设 H0：三组患者的总胆固醇总体均数相等 H1：三组患者的总胆固醇总体均数不等或不全相等 (2)计算检验统计量F值 2
析因设计的方差分析
A2
A3
随机配伍的两因素3 随机配伍的两因素3×2析因设计
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
2002年12月 2002年12月
析因设计的特点
2个以上（处理）因素（factor）（分类变 个以上（处理）因素（ ）（分类变 个以上 ）（ 量） 2个以上水平（level） 个以上水平（ 个以上水平 ） 2个以上重复（repeat） 个以上重复（ 个以上重复 ） 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 每次试验涉及全部因素 即因素同时施加 观察指标（观测值）为计量资料（独立、 观察指标（观测值）为计量资料（独立、 正态、等方差） 正态、等方差）
配伍组编号 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 日注射量A A1 注射次数B B1（少） B2（多） 33.6 33.0 37.1 30.5 34.1 33.3 34.6 34.4 33.0 28.5 29.5 31.8 29.2 29.9 30.7 28.3 31.4 30.7 28.3 28.2 28.9 28.4 28.6 30.6
2002年12月 2002年12月
单独效应
B的效应
A的效应 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
2002年12月 2002年12月
主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。 B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
2002年12月 2002年12月
例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔 11轴突通过率（％）的影响， （％）的影响 轴突通过率（％）的影响，问①两种缝合方法间 有无差别？缝合后时间长短间有无差别？ 有无差别？缝合后时间长短间有无差别？②两者 间有无交互作用
方差分析-析因分析
2个或以上（处理）因素（factor）（分类变量）
2个或以上水平（level）
2个或以上重复（repeat）（样本数）
每次试验涉及全部因素,即因素同时施加
观察指标（观测值）为计量资料（独立、正态、等方差）
析因设计的特点
析因实验可分析多种交互作用；
01
二个因素间的交互作用称为一级交互作用，三个因素间的交互作用称为二级交互作用，四个因素间则称为三级交互作用，乃至更高级的交互作用。
PART 02பைடு நூலகம்
（三）三因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
完全随机的三因素析因设计方差分析表
表8
例8:战士主观感觉冷热等级评分
计算两因素交叉分组的合计
表8-2
表8
方差分析有两个因素,任务和时间，各两个水平：任务（A, B），时间（1，2）。所有被试均完成任务A和任务B，任务A和B时间随机分配为1或2。
02
例如观察三个因素的效应，其一级交互作用为：A×B，A×C与B×C，二级交互作用为A×B×C。
03
当析因实验设计因素与水平过多时，使交互作用分析内容繁多，计算复杂，带来专业解释困难，一般多用简单的析因实验。
04
单独效应（simple effects）：其它因素（factor）的水平（level）固定为某一值时，某一因素的效应
当双向方差分析拒绝无效假设时，需要进一步确定哪些水平间的效应差异存在统计学意义。
当交互作用无统计学意义时，可直接对处理因素各水平的平均值进行比较。
当交互作用有统计学意义时，必须用两因素各水平组合下的平均值进行比较。
03
下面仍以例9-2资料为例介绍采用Tukey 法进行多重比较的方法
04
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例10．6 外敷 浓度普鲁卡因缩短 ． 外敷1%浓度普鲁卡因缩短 第一产程试验的数据如表10.10。试 。 第一产程试验的数据如表 分析产程（h）与药物及年龄的关 分析产程（ 假设检验: Ho： Ho：用药与不用药产妇第一产程总体均数相同 H1： H1：用药与不用药产妇第一产程总体均数不相同
第五节 析因设计的方差分析
析因设计资料的总离均差平方和SS 析因设计资料的总离均差平方和 T 与自由度可以分解为以下4部分： 与自由度可以分解为以下 部分： 部分 SST=SSA+SSB+SSAB+SS e υT=υA+υB+υAB+υe
表示任意一个测量数据。 用X ijk表示任意一个测量数据。下标 的意义分别为： 的意义分别为： i(i=1，…，c)为A ， ， 为 因素的水平数； 因素的水平数；j(j=1,…,r)为B因素 为 因素 的水平数；k(k=1，…，n)为A，B 的水平数； ， ， 为 ， 因素不同水平组合下受试对象的序 号。