三角函数求值域方法小结

三角函数求值域方法小结

冯樊 （襄阳市第二十四中学）

在高中数学中，三角函数的值域或最值问题是非常重要的内容之一，也是近几年来高考的一个热点问题，所以本文就其求值域的方法归纳如下：

一、转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。

例1. 求函数2sin 1

sin 2

x y x +=

-的值域。

解一：2sin 1sin 2x y x +=-=2 +5

sin 2

x -

∵1sin 1x -≤≤∴55

5sin 23

x -≤

≤--

∴1

33

y -≤≤

解二：由2sin 1sin 2x y x +=

-得21

sin 2

y x y +=-

∵|sin |1x ≤ ∴21

|

|12

y y +≤- ∴133y -≤≤

∴函数的值域为[3-，1

3

]

例2. 求函数y =

的值域。

解：由2sin x

y x

=

+得sin 2y x x y =-

)2(x y ϕϕ+=-为辅助角） ∴

sin()x ϕ+=

∵1sin()1x ϕ-≤+≤得

11-≤≤由此解得11y -≤≤

∴函数的值域为[1,1-]

例3. 已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++定义域是[0,]2π

，值域

是[5-，1]，求,a b 的值。

分析：本例为求参数的逆向问题，需先用倍角公式降次再利用利用正、余弦函数的有界性求解。

解：2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++=1cos 22sin 22

x

a x a

b -⋅

-++

sin 2cos22x a x a b =-++2sin(2)26

a x a

b π

=-+++

∵02x π≤≤ ∴1sin(2)126

x π

-≤+≤

∴当0a >时， ()3b f x a b ≤≤+ ∴5b =-，31a b += 此时2a =，5b =-；

当0a <时 ，3()a b f x b +≤≤ ∴35a b +=-，1b = 此时2a =-，1b =。

二、转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[1,1]-上的最值问题。 例4. 已知2223sin 2sin 2sin αβα+=，求22sin sin y αβ=+的值域。 解： ∵2223sin 2sin 2sin αβα+=

∴223sin sin sin 02βαα=-≥ ∴2

0sin 3

α≤≤

∴22sin sin y αβ=+=22231

sin sin sin sin sin 22

ααααα+-=-+

=211

(sin 1)22

α--+

由图象可知，2

[0,]3

是单调递增区间

∴当sin 0α=时，min 0y = 当2sin 3α=时，max 4

9

y =

∴所求函数的值域为4

[0,]9

。

例5. 求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值。(0a <≤ 分析：本题中sin cos x x +与sin cos x x ⋅同时出现，所以需要换元。 解： (sin )(cos )y x a x a =++2sin cos (sin cos )x x a x x a =⋅+++

令sin cos x x t +=，则[t ∈ ∴21

sin cos 2t x x -⋅=

故22

11()22

a y t a -=++

由a ∈知当t a =-时，2min

1

2

a y -=，

当t =

2max 12y a =++。

三.转化为利用函数的单调性最值问题。

例6. 求函数sin y x x =-在[,]2π

π上的最大值。

解： 容易判断sin y x x =-在[,]2π

π上为单调递增函数

∴当x π=时，max sin y πππ=-=。 例7. 求(1sin )(3sin )

2sin x x y x

++=

+的最值及相应的x 的集合。

解： (1sin )(3sin )2sin x x y x ++=+2(sin 2)1sin 2

x x +-=+1

(sin 2)sin 2x x =+-+

令sin 2(13)x t t +=≤≤，则1

()y f t t t

==-

设1213t t ≤<≤

则121212*********

()()()()()()0t t f t f t t t t t t t t t +-=---=-<

∴()f t 在[1,3]t ∈上单调递增

∴当1t =时，min ()0f t =，此时sin 1x =-，{|2,}2

x x x k k Z π

π∈=-

∈

当3t =时，max 8()3f t =，此时sin 1x =， {|2,}2

x x x k k Z π

π∈=+∈。