三角函数求值域方法小结

三角函数求值域方法小结
冯樊 （襄阳市第二十四中学）
在高中数学中，三角函数的值域或最值问题是非常重要的内容之一，也是近几年来高考的一个热点问题，所以本文就其求值域的方法归纳如下：
一、转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。

例1. 求函数2sin 1
sin 2
x y x +=
-的值域。

解一：2sin 1sin 2x y x +=-=2 +5
sin 2
x -
∵1sin 1x -≤≤∴55
5sin 23
x -≤
≤--
∴1
33
y -≤≤
解二：由2sin 1sin 2x y x +=
-得21
sin 2
y x y +=-
∵|sin |1x ≤ ∴21
|
|12
y y +≤- ∴133y -≤≤
∴函数的值域为[3-，1
3
]
例2. 求函数y =
的值域。

解：由2sin x
y x
=
+得sin 2y x x y =-
)2(x y ϕϕ+=-为辅助角） ∴
sin()x ϕ+=
∵1sin()1x ϕ-≤+≤得
11-≤≤由此解得11y -≤≤
∴函数的值域为[1,1-]
例3. 已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++定义域是[0,]2π
，值域
是[5-，1]，求,a b 的值。

分析：本例为求参数的逆向问题，需先用倍角公式降次再利用利用正、余弦函数的有界性求解。

解：2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++=1cos 22sin 22
x
a x a
b -⋅
-++
sin 2cos22x a x a b =-++2sin(2)26
a x a
b π
=-+++
∵02x π≤≤ ∴1sin(2)126
x π
-≤+≤
∴当0a >时， ()3b f x a b ≤≤+ ∴5b =-，31a b += 此时2a =，5b =-；
当0a <时 ，3()a b f x b +≤≤ ∴35a b +=-，1b = 此时2a =-，1b =。

二、转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[1,1]-上的最值问题。

例4. 已知2223sin 2sin 2sin αβα+=，求22sin sin y αβ=+的值域。

解： ∵2223sin 2sin 2sin αβα+=
∴223sin sin sin 02βαα=-≥ ∴2
0sin 3
α≤≤
∴22sin sin y αβ=+=22231
sin sin sin sin sin 22
ααααα+-=-+
=211
(sin 1)22
α--+
由图象可知，2
[0,]3
是单调递增区间
∴当sin 0α=时，min 0y = 当2sin 3α=时，max 4
9
y =
∴所求函数的值域为4
[0,]9。

例5. 求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值。

(0a <≤ 分析：本题中sin cos x x +与sin cos x x ⋅同时出现，所以需要换元。

解： (sin )(cos )y x a x a =++2sin cos (sin cos )x x a x x a =⋅+++
令sin cos x x t +=，则[t ∈ ∴21
sin cos 2t x x -⋅=
故22
11()22
a y t a -=++
由a ∈知当t a =-时，2min
1
2
a y -=，
当t =
2max 12y a =++。

三.转化为利用函数的单调性最值问题。

例6. 求函数sin y x x =-在[,]2π
π上的最大值。

解： 容易判断sin y x x =-在[,]2π
π上为单调递增函数
∴当x π=时，max sin y πππ=-=。

例7. 求(1sin )(3sin )
2sin x x y x
++=
+的最值及相应的x 的集合。

解： (1sin )(3sin )2sin x x y x ++=+2(sin 2)1sin 2
x x +-=+1
(sin 2)sin 2x x =+-+
令sin 2(13)x t t +=≤≤，则1
()y f t t t
==-
设1213t t ≤<≤
则121212*********
()()()()()()0t t f t f t t t t t t t t t +-=---=-<
∴()f t 在[1,3]t ∈上单调递增
∴当1t =时，min ()0f t =，此时sin 1x =-，{|2,}2
x x x k k Z π
π∈=-
∈
当3t =时，max 8()3f t =，此时sin 1x =， {|2,}2
x x x k k Z π
π∈=+∈。