高中数学人教版必修等比数列的前n项和教案(系列一)
人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答 大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。
人教A版高中数学必修五人教等比数列前n项和教案(1)(1)
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
第一课时 2.5等比数列的前n 项和教学要求：探索并掌握等比数列的前n 项和的公式；结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量；在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有关知识解决相应问题。
教学重点：等比数列的前n 项和的公式及应用教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导过程。
教学过程：一、复习准备：提问： 等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列的前n 项和公式；二、讲授新课：1. 教学：思考：一个细胞每分钟就变成两个，那么经过一个小时，它会分裂成多少个细胞呢？分析：11,a =公比221q ==，因为11n n a a q -=，一个小时有60分钟 5959601125764607523a a q ===思考：那么经过一个小时，一共有多少个细胞呢？()1231n n s a a a a =+++()211121.........2n n s a a q a q a q -⋅=+++()2q =()2121.........3n n qs a q a q a q ⋅=++()()31-=()111n n q s a a q -=-111(1)11n n n a a q a q s q q--==-- 又因为111n n n a q a q q a q -== 所以11n n a a q s q -=-，则602011212s -=-=1152921504 则一个小时一共有1152921504个细胞2. 练习：列1（解略）列2（解略）在等比数列{}n a 中：()1已知163,96,a a ==求6,q s ()2已知51,11,2q s =-=求15,a a 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==，则6s ？三、小结：等比数列的前n 项和公式四、作业：P66, 1题。
人教课标版高中数学必修5教案1-等比数列的前n项和(第1课时)
§2.5等比数列的前n 项和授课类型：新授课（2课时）教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
教学重点等比数列的前n 项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.公式的推导方法一：由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列前n项和的公式推导。
3. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。
2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。
3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。
4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。
七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。
2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。
等比数列前n项和教学教案
等比数列前n项和教学教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。
2. 引导学生掌握等比数列前n项和的公式，并能灵活运用。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学重点与难点1. 重点：等比数列的概念，等比数列前n项和的公式。
2. 难点：等比数列前n项和的公式的推导和灵活运用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究等比数列前n项和的公式。
2. 利用多媒体课件，形象直观地展示等比数列前n项和的过程。
3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握等比数列前n项和的运用。
四、教学准备1. 多媒体课件。
2. 教学素材（例题、练习题）。
五、教学过程1. 导入新课1.1 复习等比数列的概念和通项公式。
1.2 提问：等比数列的前n项和能否表示为一个公式？2. 探究等比数列前n项和的公式2.1 引导学生列出等比数列前n项和的表达式。
2.2 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
2.3 讲解公式的推导过程，让学生理解并掌握。
3. 例题讲解3.1 选取典型例题，讲解等比数列前n项和的运用。
3.2 引导学生跟着步骤一起解答，加深对公式的理解。
4. 课堂练习4.1 布置少量练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和指导。
5. 总结与拓展5.1 总结等比数列前n项和的特点和运用。
5.2 提出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
6. 课后作业6.1 布置适量作业，让学生进一步巩固等比数列前n项和的知识。
6.2 强调作业的完成质量和时间。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
八、教学评价1. 学生对等比数列前n项和的概念和公式的掌握程度。
2. 学生在练习题中的表现，以及运用等比数列前n项和解决实际问题的能力。
3. 学生对课后作业的完成情况。
九、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成。
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
等比数列的前n项和教学设计
等比数列的前n项和教学设计等比数列的前n项和教学设计篇1一、教材分析：等比数列的前n项和是高中数学必修五其次章第3.3节的内容。
它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的连续。
这局部内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在讨论等比数列的前n项和公式的推导及简洁应用，教学中注意公式的形成推导过程并充分提醒公式的构造特征和内在联系。
意在培育学生类比分析、分类争论、归纳推理、演绎推理等数学思想。
在高考中占有重要地位。
二、教学目标依据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：1.学问与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；把握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简洁问题。
2.过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的力量，培育学生从特别到一般的思维方法，渗透方程思想、分类争论思想及转化思想，优化思维品质。
3.情感与态度：通过自主探究，合作沟通，激发学生的求知欲，体验探究的艰辛，体会胜利的喜悦，感受思维的奇异美、构造的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简洁应用。
难点：等比数列的前项和公式的推导。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习供应了学问根底，具有承上启下的作用；从学问本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进展，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯穿；从学生认知水平来看，学生的探究力量和用数学语言沟通的力量还有待提高。
四、教法学法分析通过创设问题情境，组织学生争论，让学生在尝摸索索中不断地发觉问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信念和胜利感。
强调学问的严谨性的同时重学问的形成过程，五、教学过程（一）创设情境，引入新知从故事入手：传奇，波斯国王下令要奖赏国际象棋的创造者，创造者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在其次格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。
(完整版)等比数列求和教案
n项和（第一课时）课题：等比数列的前教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这q 这一特殊情况，学生也往往容易忽对学生的思维是一个突破，另外，对于1略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析62++22）能否逐一相加得结果？）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，, 那么我们能否利用这个关系而求出S n 呢？ ：提取公比q11212111--++++=n n qa qa q a q a a ）（21111-+++=n q a q a a q a ）（111--+=n n q a S q a学生思考，式n-1n-211111++a q =a +q(a +a q++a q )nn-1a ==a 呢？：利用等比定理==23a a 34a aa +⋅⋅⋅++3板书设计：六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。
高中数学新人教版A版精品教案《等比数列的前n项和》
等比数列的前n项和一、教学内容分析本课选自《数学必修5》（新人教版）第二章第5节第一课时。
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
2、通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
3、通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教学重点、难点教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。
等比数列的前n项和公式教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。
2. 引导学生通过探索、归纳等比数列的前n项和公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。
3. 能够运用等比数列的前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项与一个常数（比）的乘积。
2. 等比数列的前n项和的定义：等比数列的前n项和是指等比数列的前n项数值的和。
3. 等比数列的前n项和公式：通过探索、归纳，得出等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q)，其中a_1是首项，q是公比。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念，等比数列的前n项和的定义，等比数列的前n 项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列的前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、归纳等比数列的前n项和公式。
2. 运用多媒体课件辅助教学，直观展示等比数列的前n项和公式的推导过程。
3. 案例教学法，提供实际问题，让学生运用等比数列的前n项和公式解决。
五、教学过程1. 导入：通过复习等差数列的前n项和公式，引发学生对等比数列的前n项和公式的思考。
2. 新课讲解：讲解等比数列的概念，引导学生理解等比数列的前n项和的定义。
通过示例，让学生观察等比数列的前n项和的规律，引导学生探索等比数列的前n项和公式。
3. 公式推导：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列的前n项和公式。
在讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 公式讲解：讲解等比数列的前n项和公式的含义，让学生理解公式的推导过程。
5. 练习巩固：布置一些练习题，让学生运用等比数列的前n项和公式进行计算，巩固所学知识。
6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列的前n项和公式的应用。
7. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式的运用。
高中二年级下学期数学《等比数列的前n项和公式(1)》教学设计
四、课堂小结
本节课我们从等比数列的定义出发，应用错位相减法推导出了等比数列前n项和公式，在应用公式时，一定要注意区分公比是否为1，若公比不为1，也需要根据题目条件选择合适的公式进行计算.对于等比数列 的五个相关量 可知三求二.本节课主要应用类比、对比等数学思想方法.
追问3如何求等比数列的前 项和公式？
追问4（回忆）等差数列的前 项和公式是如何推导的？
回顾等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法.将推导过程复习一遍，引导学生分析：应用倒序相加法推导等差数列前n项和公式，主要是应用等差数列的性质：与首末两项等距的两项之和相等，即 ，这一性质的应用最大限度地消除了项与项之间的差异，而这一性质源于等差数列的定义.
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《等比数列的前n项和公式（1）》
教科书
书 名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社
教学目标
1.类比等差数列前n项和公式推导等比数列前n项和公式；
2.应用等比数列前n项和公式求解简单的等比数列求和问题.
设计意图：温故而知新，为本节课的学习作铺垫.
二、探究新知Biblioteka 新课引入:【问题1】国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第 个格子里放上 颗麦粒，第 个格子里放上 颗麦粒，第 个格子里放上 颗麦粒， ……以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 倍，直到第 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求”.国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
人教课标版高中数学必修五《等比数列前n项和(第1课时)》教案(1)-新版
2.5等比数列前n 项和一、教学目标1．核心素养通过对等比数列前n 项和的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，并锻炼数学抽象能力.2．学习目标（1）能证明等比数列前n 项和公式.（2）掌握并运用等比数列前n 项和公式解决相应问题.3．学习重点等比数列前n 项和公式及其推导过程4．学习难点等比数列前n 项和公式的推导过程及公式的运用二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材，回忆等差数列前n 项和公式，思考：等比数列前n 项和是否和等差数列前n 项和一样，可用公式计算?公比为1时，怎样计算?公比不为1时，该怎样算? 任务2能证明等比数列前n 项和公式吗?2.预习自测一、选择题1．设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则（ ）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =- 答案:D.解析:【知识点:等比数列前n 项和】由题意可得n a n 2n a -,故选D2．已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ,5102,6,S S ==则1617181920______.a a a a a ++++= A.8 B.12 C.16 D.24 答案:C解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 ∵5105151020152,4,8,16,S S S S S S S =-=∴-=-=故选C.（二）课堂设计 1．知识回顾（1）等比数列概念.（2）等比数列通项公式及性质.2．问题探究问题探究一 等比数列前n 项和与前1+n 项和的关系 ●活动一 引经据典,从生活出发相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的 第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到放完64个格子为止.请给我足够的粮食来实现上述要求.”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？ ●活动二 迎难而上,列出算式第n 个格子中要放n a 粒麦粒,12-=n n a .将64个格子中放的麦粒数记为64S ,642164a a a S +⋅⋅⋅+=,利用等比数列通项公式得631064222+⋅⋅⋅++=S ●活动三 化繁为简,简化计算观察发现,计算式右边的每一项的2倍即是其后一项,因此642642222+⋅⋅⋅++=S 将631064222+⋅⋅⋅++=S 与642642222+⋅⋅⋅++=S 两式相减后得到126464-=S 这个数超过了191084.1⨯,假定千粒麦子的质量为40克,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,国王根本无能力满足发明者的要求.问题探究二 由特殊到一般,推导等比数列前n 项和计算式 ●活动一 引桥构建,列出计算式等比数列}{n a 中,前n 项和记为n S , ●活动二 观察特点,类比实例将111101-+⋅⋅⋅++=n n q a q a q a S 与n n q a q a q a qS 1211+⋅⋅⋅++=两式相减后可得11(1)1,,1,1n n n a q q S q S na q-≠===-.问题探究三 利用等比数列前n 项和计算式解决相应问题 ●活动一 初步运用,夯实基础例1 求等比数列,,4,2,1⋅⋅⋅从第五项到第十项的和 . 详解:.2,2,121===q a a 41241(12)1,2, 2.15,12a a q S ⨯-=====-102321)21(11010=--⨯=S .所以从第五项到第十项的和为1008. ●活动二 对比提升,能力提高例2 一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ,求n S 3. 解:12321223123,,n n n n n n S a a a a S a a a S a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,,2212n n a a a S +⋅⋅⋅++=3123n n S a a a =++⋅⋅⋅+, 故有21223221223,n n n n n n n n n n S S a a a S S a a a ++++-=++⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+,n n n n n a a a S S 3221223+⋅⋅⋅++=-++知n n n n n S S S 232,,--成公比为n q 的等比数列,故知n n n n n a a a S S 3221223+⋅⋅⋅++=-++=3, 所以633=n S .例3.给出下面的数表序列:222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3…）有n 行,表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍,记表n 中所有的数之和为n a ,例如25a =,317a =,449a =.则_______.n a = 答案:根据数表,易知,表n 中,有n 行数字 第一行有1个数字1,和为0112=⨯；第二行有两个数字2,该行的数字之和为22⨯； 第三行有3个数字22,该行的数字之和为232⨯; …第n 行中有n 个数字12n -,该行数字之和为12n n -⨯,所以表n 中所有的数之和为01211222322n n a n -=⨯+⨯+⨯++⨯L 所以12312 122232(1)22n n n a n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L 两式相减可得112312(12)1(2222)2121222(1)2112n n nn n n n n a n n n n ----=+++++-⨯=+-⨯=+--⨯=----L所以(1)21n n a n =-+.3．课堂总结【知识梳理】等比数列{}n a 中共有n n S n q a a ,,,,1五个量,知道其中3个量就可以求出其余两个量.用公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q qq a q na S n n 表示.【重难点突破】（1）等比数列前n 项和的证明过程是在等式两端乘以公比后做差. （2）求等比数列前n 项和时应注意讨论公比q 是否等于1. （3）⋅⋅⋅--,,,232n n n n n S S S 成公比为n q 的等比数列.4．随堂检测一、选择题1．设首项为l,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则（ ）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =- 答案:D.解析:【知识点:等比数列前n 项和】根据前n 项和公式可得a a a a S n nn n q q 233132111-=--=--= 2．设{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和．已知2431,7a a S ⋅==,则5S ＝（ ）A.12 B.314 C.172 D.152答案:B解析:【知识点:等比数列前n 项和】由241a a ⋅=知a 21q 4=1,3S ,7=1a >0,q>0,由此解得1a =4,q=12.3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123456781,2,a a a a a a a a +++=+++=n S ＝15,则项数n 为（ ） A.12 B.14 C.15 D.16 答案:D.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 ∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴484128,,S S S S S --也成等比数列,设公比为q ,∵123456781,2a a a a a a a a +++=+++==8S S -S n =,则项数n =4×4=16,故选D ．4.等比数列{}n a 前n 项和n S ,1234,2,a a a 为等差数列,11a =,则4S 的值为（ ） A.7 B.8 C.15 D.16答案:C.解析:【知识点:等比数列前n项和】∵124,2, a a a2a=12a q=q2=∴q=2∴S=5．设()47103102222...2nf n+=+++++(n∈N*),则()f n等于（）A.27(8n－1)B.27(81+n－1)C.27(83+n－1)D.27(84+n－1)答案:D.解析:【知识点:等比数列前n项和,等差数列前n项和】由题意知,()f n是首项为2,公比为8的等比数列的前(n+4)项和,所以()f n=()42187n+--．故选D．（三）课后作业基础型自主突破一、选择题1.等比数列{}n a中,,243,952==aa则{}n a的前4项和为（）A.81B.120C.168D.192答案:B.解析:【知识点:等比数列前n项和】因为259,243a a==,所以13,3a q==,得S4=120,所以答案为B.2.等比数列{}n a 中, 452,5a a ==,则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 答案:C.解析:【知识点:等比数列前n 项和,对数运算性质】∵等比数列{a n }中42a =,55a =∴45a a =2×5=10,∴数列{}lg n a 的前8项和8S =128log log ...log a a a +++=lg （128...a a a ）=lg （45a a ）4=4lg （45a a ）=4lg10=4,故选C3.公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12312,,2a a a --成等差数列,若1a ＝1,则4S ＝（ ） A.－5 B.0 C.5 D.7 答案:A.解析:【知识点:等差数列性质,等比数列前n 项和】等比数列的基本量的计算:记等比数列{a n }的公比为q ,其中q ≠1,依题意有－2132a a a =-+,∴－1a q ＝－21a ＋1a q 2≠0,即q 2＋q －2＝0,又q ≠1,因此有q ＝－2,4S ＝－5,选A.4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若423S S =,则64S S =（ ） A.2B.73C.83D.3 答案:B.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】5.若{}n a 是由正数组成的等比数列,其前n 项和为n S ,已知241a a =且37S =,则5S =（ ）A.172 B.334 C.314 D.152答案:C解析:【知识点:等比数列通项公式,等比数列前n 项和】正数组成的等比数列,则q ＞0,且23241a a a ==,∴3a =1＞0；又S 3=7,解得6.等比数列{}n a 的前4项和为4,前12项和为28,则它的前8项和是（ ） A.﹣8 B.12 C.﹣8或12 D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 设等比数列{}n a 的公比为q ,则q≠1．∵前4项和为4,前12项和为28,∴4124,28S S ==．则8417q q ++=,解得4q =2．则它的前8项和8S =4×3=12．故选:B ．能力型师生共研 一、选择题1．等比数列}{n a 中,已知1234567820,10a a a a a a a a +++=+++=,则数列}{n a 的前16项和16S 为（ ） A.20B.752 C.1252D.752-答案:B.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 设等比数列的公比为q ．由123410,a a a a +++=,得45678,a a a a q +++=（123410,a a a a +++=）=10q 4=5⇒q 4=12．∴910111213141516a a a a a a a a +++++++==q 8（123410a a a a +++=）+q 12（123410a a a a +++=）=（q 8+q 12）（123410a a a a +++=）=32112210+⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.在等比数列{}n a 中,已知其前n 项和b n n S +=+21,则b 的值为（ ） A.1- B.1 C.2- D.2 答案:C.解析:【知识点:等比数列前n 项和】n =1时, 14,S b =+,n ≥2时, 12n n n n a S S -=-=,n =1时,2=b +4,故b =-23.已知数列{}n a 满足a 1＝2,且对任意的正整数m 、n ,都有m n m n a a a +=⋅,若数列{}n a的前n 项和为S n ,则S n 等于（ ） A.122n +- B.22n - C.22n - D.122n +- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,等比数列前n 项和；数学思想:推理论证能力】A ．25B ．26C ．27D ．28答案：A.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,根据题意得27567534514S S a a q S S a a -+===-+,因为数列为正项数列,所以q =12,从而有,所以2log 6n a n =-,所以有2log 6n a n =-,所以数列2{|log |}n a 的前10项和等于543210123425+++++++++=,故选A ． 探究型多维突破 一、选择题1．设{}()*N n a n ∈是各项为正数的等比数列,q 是其公比,n K 是其前n 项的积,且87665K K K K K >=<，,则下列结论错误的是（ ） A.10<<q B.17=aC.59K K >D.6K 与7K 均为n K 的最大值 答案:C解析:【知识点:等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 由于1656>=a K K ,1767==a K K ,1878<=a K K,因此10<<q ,从第8项开始小于1,76,K K 均为n K 的最大值,()1287987659<==a a a a a a K K ,因此59K K <. 二、填空题1．已知数列{}n a 的各项均为正,n S 为其前n 项和,满足22n n S a =-,数列{}n b 为等差数列,且2102,10b b ==,则数列{}n n a b +的前n 项和n T =________. 答案:见解析解析:【知识点:等比数列与等差数列的综合；数学思想:推理论证能力,运算求解能力,应用意识】∵22n n S a =-,∴1122n n S a --=-,n ≥2, 两式相减,得122n n n a a a -=-,∴12n n a a -=,n ≥2, ∴{}n a 是公比为2的等比数列,∵11122a S a ==-,∴12a =,∴1222n n n a -=⋅=．数列{}n b 是等差数列,2102,10b b ==,所以公差d =1,所以()22n b b n d n =+-⨯=, ∴2n n n a b n +=+, ∴()()222121241222n n n n n n n T +-+++-=+=-. 自助餐 一、选择题1．一个由正数组成的等比数列,它的前4项和是前2项和的5倍,则此数列的公比为（ ）A.1B.2C.3D.4 答案:B.解析:【知识点:等比数列前n 项和】2．设等比数列{}n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则=45a S （ ） A.2 B.4C.831D.431 答案:C.解析:【知识点:等比数列通项公式,等比数列前n 项和】由等比数列的求和公式和通项公式可得:(),,2114531451522⨯=--=a S a a a S 3．等差数列{}n a 的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项之和是（ ） A.90 B.100 C.145 D.190 答案:B.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比数列的性质；数学思想:推理论证能力】 设等差数列{}n a 的公差d ≠0,∵2a 是1a 和5a 的等比中项,∴a 22=1a •5a ,∴（1a +d ）2=1a （1a +4d ）即（1+d ）2=1×（1+4d ）,解得d =2．则数列的前10项=100． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12n n S a +=,则n S ＝（ ）． A.2n －1B.13()2n - C.12()3n - D.112n - 答案:B.解析:【知识点:等比关系的确定,等比数列前n 项和；数学思想:推理论证能力】由12n n S a +=,()12n n n S S S +=-,即13n n S S +=,又11a =,所以n S ≠23=,所以S ,所以n S =⎪⎭⎫⎝⎛-231n5．已知等比数列{}n a ,231a a >=,则使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立的最大自然数n 为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C.解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 由231a a >=,231a a >=,则公比01q << 可知n ＞3时,有，，1=q a a a a 233nn =<-01得qa 211=,则有425111a a q q a ===,同理有241a a =,得0111115544332211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a a a a a所以不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大自然数n 为56．如下图,一单位正方体形积木,平放于桌面上,并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形,其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点,如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8,则正方体的个数至少是（ ）A.6B.7C.8D.10 答案:A解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 依题意,由下往上数,正方体的棱长依次为:1、12…成等比数列,公比.每一层正方体暴露在外的部分都是由四个侧面及上面的四个全等的等腰直角三角形构成.设正方体棱长为a ,则上面暴露的等腰直角三角形边长为2a.该层正方体暴露的面积s 与棱长a 的关系是:22144()22a s a =+⋅⋅292a =.若正方体个数为n ,则暴露的总面积为:22212912[1()(())]22n S -=++++219111[1()()]2222n -=++++ 11()921212n -=⋅-19[1()]2n =->8.所以245,6n n >≥. 二、填空题1．等比数列{}n a 的首项1a =1,前n 项的和为n S ,若639S S =,则6a =_______． 答案:32.解析:【知识点:等比数列通项公式,等比数列前n 项和；数学思想:推理论证能力】 ∵{}n a 是首项为1的等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和, 639S S =,=6=25=32．故答案为:32．2．如图所示:一个边长为2的正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的边上再连接正方形,…,如此继续,若共得到255个正方形,则最小正方形的边长为_________．答案:见解析解析:【知识点:等比数列前n 项和,等比关系的确定,等比数列的通项公式；数学思想:推理论证能力】共有1个,第二次得到的正方形边长为12,共有2个,第三次得到的正方形边长为4,共有4个,第四次得到的正方形边长为14,共有8个,…由此可归纳得:依次得到正方形的边长成对比数列,公比为2,依次得到正方形的个数成对比数列,公比为2．设第n 次得到的正方形边长为n a ,第n 次得到的正方形个数为n b ,则1,2nn n n a b -==⎝⎭．令前n 次得到正方形的个数为n S ,则122112n n n S -==--．令21255n n S =-=,则n =8．∴8116a =. 3.将25个数排成五行五列:11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知每一行成等差数列,而每一列都成等比数列,且五个公比全相等.若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为__________答案:见解析解析:【知识点:等差数列与等比数列综合；数学思想:推理论证能力,运算能力,应用意识】可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6,故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2q =±.若2q =,则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯,故115511a a ⨯=-； 若2q =-,则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-,故115511a a ⨯=-.三、解答题1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知306,6312=+=a a a ,求n a 和n S . 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式,等比数列前n 项和】设{}n a 的公比为q ,由题意得:1a q =6,61a +1a q 2=30,解得:1a =3,q =2或1a =2,q =3. 当1a =3,q =2时:n a =3×2n -1,n S =3×（2n -1）； 当1a =2,q =3时:n a =2×3n -1,n S =3n -1．2．已知公比0q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且131,13a S ==,数列{}n b 中,131,3b b ==．（1）若数列{}n n a b +是等差数列,求,n a n b ； （2）在（1）的条件下,求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案:见解析解析:【知识点:等差数列与等比数列综合；数学思想:推理论证能力,运算能力,应用意识】（1）由题意得23113S q q =++=,所以4q =-或3q =, 因为0q >,所以3q =,所以13n n a -=,所以11332,12a b a b +=+= 所以数列{}n n a b +的公差5d =,所以53n n a b n +=-． 所以()153533n n n b n a n -=--=--． （2）由（1）得()1533n n b n -=--, 所以()()()()01212373123533n n T n -⎡⎤=-+-+-++--⎣⎦()()01212712533333n n -=++++--++++⎡⎤⎣⎦25312n n n --+=．3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3+=n n a b ,求证:数列{}n b 是等比数列,并求出{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和. 答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定,等比数列的性质,等比数列前n 项和,等差数列前n 项和；数学思想:推理论证能力】（1）∵n a S n n 32-=对于任意的正整数都成立,∴)1(3211+-=++n a S n n , 两式相减,得n a n a S S n n n n 32)1(3211+-+-=-++,∴32211--=++n n n a a a ,即321+=+n n a a ,∴)3(231+=++n n a a , 即2331=++=+n n n a a b 对一切正整数都成立,∴数列{}n b 是等比数列. 由已知得3211-=a S ,即3211-=a a ,∴31=a ,∴首项6311=+=a b ,公比126,2-⋅=∴=n n b q ,∴3233261-⋅=-⋅=-n n n a .（2）∵n n na n n 323-⋅⋅=,∴)321(3)2232221(332n n S n n +⋅⋅⋅+++-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=,)321(6)2232221(321432n n S n n +⋅⋅⋅+++-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=+, )321(323)2222(3132n n S n n n +⋅⋅⋅++++⋅-+⋅⋅⋅+++=-+ 2)1(32612)12(23++⋅---⋅=n n n n n ,∴2)1(362)66(+-+⋅-=n n n S n n .。
人教版高中必修52.5等比数列的前n项和课程设计
人教版高中必修5-2.5 等比数列的前 n 项和课程设计课程背景本课程是人教版高中数学必修课程第五章的第二节内容——等比数列的前 n 项和。
在高中数学中，等比数列是一个重要的数学概念，涉及到等比数列的性质、公式及其应用等方面。
其中，等比数列的前 n 项和是其应用中比较常见的问题之一。
教学目标1.熟练掌握等比数列的概念、性质、公式及其应用；2.理解等比数列的前 n 项和的含义，并掌握其求解方法；3.能够应用等比数列的前 n 项和解决实际问题。
教学重点1.等比数列的前 n 项和的概念；2.等比数列的前 n 项和的公式推导；3.等比数列前 n 项和的求解方法；4.等比数列的应用。
教学难点1.等比数列前 n 项和的公式推导；2.等比数列前 n 项和的求解方法。
教学步骤第一步介绍介绍本节内容的主要内容，包括等比数列的概念、性质及其应用;并引入本节重点内容——等比数列的前 n 项和。
第二步概念及性质1.对等比数列的概念进行介绍；2.设a1为等比数列的第一项，q为等比数列的公比，得到等比数列的通项公式：a n=a1q n−1;3.推导等比数列的性质，如对于任意正整数m,n有 $a_m \\cdot a_n= a_{m+n-1}$。
第三步等比数列前 n 项和的推导1.推导计算等比数列前 n 项和的公式：$S_n=\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$;2.利用等比数列的性质，对上述公式进行变形。
第四步求解等比数列前 n 项和1.按照上述公式和变形方法，求解具体例子；2.引导学生自己尝试使用这些公式与方法解决其他问题。
第五步实际应用1.应用等比数列前 n 项和解决实际问题，如计算定投基金收益等；2.引导学生发现等比数列前 n 项和在实际生活中的应用。
教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，测试学生对等比数列的概念、性质及前 n项和的掌握情况；2.课后作业：通过布置课后作业，巩固学生对本节内容的理解和应用；3.期末考试：期末考试将以选择题和应用题的形式，测试学生对等比数列前 n 项和的综合理解和应用能力。
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、归纳、推理等方法，探索并证明等比数列的前n项和公式。
3. 培养学生运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列的前n项和公式的探索与证明。
3. 等比数列的前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 等比数列的概念及基本性质的理解与运用。
2. 等比数列的前n项和公式的探索与证明。
3. 等比数列的前n项和公式的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、归纳、推理等方法探索等比数列的前n项和公式。
2. 运用实例讲解法，让学生在实际问题中体会等比数列的前n项和公式的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等比数列的性质和前n项和公式。
五、教学过程1. 引入：通过讲解现实生活中的等比增长现象，如银行利息、人口增长等，引出等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的定义及基本性质，引导学生归纳等比数列的通项公式。
3. 引导学生分组讨论，探索等比数列的前n项和公式，总结并展示各组的探索成果。
4. 讲解等比数列的前n项和公式，并通过实例进行验证。
5. 运用等比数列的前n项和公式解决实际问题，如计算利息、求解等比数列的和等。
6. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后练习题。
注意：这只是一个教案框架，具体的教学内容和过程需要根据实际情况进行调整和补充。
在实际教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，以确保教学效果。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及他们是否能够运用前n项和公式解决实际问题。
2. 课后作业：布置相关的习题，要求学生独立完成，以此来检验他们对于等比数列前n项和公式的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们是否能够有效地参与讨论，并与同伴共同解决问题。
2020年人教版高中数学必修5教案---9.等比数列的前n项和(1)
备课人授课时间课题§2.5等比数列的前n项和（1）课标要求掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
教学目标知识目标掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路技能目标会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
情感态度价值观在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
重点等比数列的前n项和公式推导难点灵活应用公式解决有关问题教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
Ⅱ.讲授新课一般地，设等比数列123,,,na a a aL L它的前n项和是=nSnaaaaΛ+++321由⎩⎨⎧=+++=-11321nnnnqaaaaaaSΛ得22111111n nnS a a q a q a q a q--=++++L①①×q得23111111n nnqS a q a q a q a q a q-=++++L②①-②得11(1)nnq S a a q-=-∴当1≠q时，1(1)(1)1nna qS qq-=≠-∵11nna a q-=上式还可以写成1(1)1nna a qS qq-=≠-教学过程及方法当q=1时，1naSn=思考：还有没有其他推导方法？公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaaaaaann====-12312Λ根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn=--=++++++-112132ΛΛ即qaSaSnnn=--1⇒qaaSqnn-=-1)1(（结论同上）公式的推导方法三：=nSnaaaaΛ+++321＝)(13211-++++naaaaqaΛ＝11-+nqSa＝)(1nnaSqa-+⇒qaaSqnn-=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
人教A版高中数学必修五等比数列的前n项和学案(1)
例2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；
（1）a=0时，Sn=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
（3）若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
例3：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量达到30000台？（保留到个位）
课题：2.5等比数列的前n项和（2）第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
批注
教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
教学难点：灵活使用公式解决问题
教学用具：投影仪
练习1：
练习2：练ຫໍສະໝຸດ 3：是否成等比数列？教学方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当 时， ①或 ②
当q=1时，
当已知 , q, n时用公式①；当已知 , q, 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
例1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
高中数学人教A版必修《等比数列的前n项和》教案
二 年级 数学 学科共案时 间： 星 期：主 备 人： 使用人：【教学主题】等比数列的前n 项和【教学目标】会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.【知识梳理】1.等比数列{}n a 的前n 项和为n S当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②；当q=1时，1na S n = 当已知1,,a q n 时用公式①； 当已知1,,n a q a 时，用公式②.2.若数列{}n a 的前n 项和(1)n n S p p =-，且1,0p p ≠≠，则数列{}n a 是等比数列.例1在等比数列{}n a 中，（1）已知114,2a q =-=，求10S ；（2）已知11,3,243,k a q a ===求k S ．例2．在等比数列{}n a 中，263,2763==S S ，求n a .例3．求数列11111,2,3,,2482n n ++++L L 的前n 项和.例4.在等比数列{}n a 中，12166,128n n a a a a -+==,且前n 项和126n S =,求n 及公比q .【追踪训练】1.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=LA.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n -2.数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n ＝3＋2a n （n ∈N *），则这个数列是A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差3.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A. 16（n --41） B. 6（n --21） C. 332（n --41） D. 332（n --21） 4.在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为（ ）A 6B 2)1(6--⋅nC 226-⋅nD 6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n5.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是6.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为_____.7．等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于8. 等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为9．在等比数列{}n a 中,1310,a a +=,4654a a +=,求45,a S .10．求数列11112,4,6,239273n n ++++L L 的前n 项和.11.设等比数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S12.已知等比数列{}n a 中，31,311==q a ， （1）n s 为数列{}n a 前n 项的和，证明：21n n a s -=（2）设n n a a a b 32313log log log +++=Λ，求数列{}n b 的通项公式；。
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2.5 等比数列的前n 项和2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1223211..., 再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q qq a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导2.等比数列前n 项和公式的应用.教学难点 等比数列前n 项和公式的推导.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为12…263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：12…263=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=13…263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=13…263,①2S=3…263264,②②①得2SS=2641.2641这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课 ［合作探究］师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1qq 2…q n =？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？生 qq 2…q n q n 1.生 每一项就成了它后面相邻的一项.师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索：如果记S n =1qq 2…q n ,那么qS n =qq 2…q n q n 1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1q )S n =1q n .师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.生 如果q ≠1，则有qq S n--=11. 师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果.生 如果q ＝1，那么S n =n .师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：a 1a 2a 3…a n =？［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1a 2a 3…a n ,那么qS n =a 1q a 2q a 3q …a n q ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1q )S n =a 1a n q .师 再次提醒学生注意q 的取值.如果q ≠1，则有qq a a S n n --=11. 师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1a 1q a 1q 2…a 1q n 1,那么qS n =a 1q a 1q 2…a 1q n 1a 1q n ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1q )S n =a 1a 1q n .如果q ≠1，则有qq a S n n --=1)1(1. 师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q ,a n ,S n ,n 中a 1,q ,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q ,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q ≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q ≠1时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流.生 如果q ＝1，S n =na 1.师 完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1321432......, 即q a S a S nn n =--1, 从而就有(1q )S n =a 1a n q .(以下从略) 思路二：由S n =a 1a 2a 3…a n 得S n =a 1a 1q a 2q …a n 1q =a 1q (a 1a 2…a n 1)=a 1q (S n a n ),从而得(1q )S n =a 1a n q .(以下从略)师 探究中我们们应该发现，S n S n 1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？生 n ＞1.师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n S n 1=a n ，n ＞1.师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］例题1 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0. ［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答： (1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S .(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ， 又由q ＜0，可得31-=q ,于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S . 例题2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q =110%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n =1.6,两边取对数，得n lg1.1=lg1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)。