高中数学人教版必修等比数列的前n项和教案(系列一)
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2.5 等比数列的前n 项和
2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到化简的目的.
等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1
223211..., 再由分式性质,得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q
q a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间.
教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导
2.等比数列前n 项和公式的应用.
教学难点 等比数列前n 项和公式的推导.
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;
2.探索并掌握等比数列前n 项和公式;
3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式,利用公式知三求一;
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;
2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;
2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;
3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?生知道一些,踊跃发言.
师“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
师假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求?
生各持己见.动笔,列式,计算.
生能列出式子:麦粒的总数为
12…263=?
师这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.
课件展示:
12…263=?
师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法:
记S=13…263,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
课件展示:
S=13…263,①
2S=3…263264,②
②①得
2SS=2641.
2641这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.
师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是
他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.
推进新课 [合作探究]
师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1qq 2…q n =?
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比q ,就出现了什么样的结果呢?
生 qq 2…q n q n 1.
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗?
师 生共同探索:
如果记S n =1qq 2…q n ,
那么qS n =qq 2…q n q n 1.
要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1q )S n =1q n .
师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意q 的取值.
生 如果q ≠1,则有q
q S n
--=11. 师 当然,我们还要考虑一下如果q =1问题是什么样的结果.
生 如果q =1,那么S n =n .
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示:
a 1a 2a 3…a n =?
[教师精讲]
师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.
如果记S n =a 1a 2a 3…a n ,
那么qS n =a 1q a 2q a 3q …a n q ,
要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1q )S n =a 1a n q .
师 再次提醒学生注意q 的取值.
如果q ≠1,则有q
q a a S n n --=11. 师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记S n =a 1a 1q a 1q 2…a 1q n 1,
那么qS n =a 1q a 1q 2…a 1q n 1a 1q n ,
要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1q )S n =a 1a 1q n .
如果q ≠1,则有q
q a S n n --=1)1(1. 师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a 1,q ,a n ,S n ,n 中a 1,q ,a n ,S n 四个;后者出现的是a 1,q ,S n ,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果q ≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比q ≠1时,我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q =1问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流.
生 如果q =1,S n =na 1.
师 完全正确.
如果q =1,那么S n =na n .正确吗?怎么解释?
生 正确.q =1时,等比数列的各项相等,它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师 对了,这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究]
思路一:根据等比数列的定义,我们有:q a a a a a a a a n n =====-1
342312..., 再由合比定理,则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1
321432......, 即q a S a S n
n n =--1, 从而就有(1q )S n =a 1a n q .