数学九年级上册 二次函数专题练习(解析版)

数学九年级上册 二次函数专题练习（解析版）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，将函数2

263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．

（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）0a =或3a =-；（2）

118；（3）21136x -<<-；（4）1

8

m <-或1

16

m >-

【解析】 【分析】

（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】

解：（1）当1m =-时，()2

2613y x x x =++≥

把(),1P a 代入，得

22611a a ++=

解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<

当0m ≤时，2

22

3926=2()22

y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫

--

⎪⎝⎭

此时，229911=()22918

m m m -

--++ ∴0y 的最大值1

18

=

综上所述，0y 的最大值为

118

（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0

当抛物线顶点在x 轴上时，2

2

=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29

m =-

由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3

2

m 且x ≥3m

∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是

21136

x -<<- （4）18m <-或1

16

m >- 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．在平面直角坐标系中，二次函数2

2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，

(1,0)B ，与y 轴交于点C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线2

2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD

交直线AC 于点D ．

①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的4

5

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标．

【答案】(1)213

222

y x x =

+- (2)①存在，点P

的坐标为(2-+-

，(2--+，(2,3)-- ②18

16,5

5Q ⎫

⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -

，355Q ⎛- ⎝⎭

，455Q ⎛- ⎝⎭

【解析】 【分析】

(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1

22

y x =--．设点P 的横坐标为(t ,

213222t t +-)，利用21

442

∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】

解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：

1642020a b a b --=⎧⎨

+-=⎩，解得：12

32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

． ∴此抛物线的解析式为213

222

y x x =+-， 故答案为213

222

y x x =

+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的4

5

．理由如下： 作出如下所示示意图：

∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11

52522

ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴4455

4

5PAC ABC S S ∆∆=

=⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，

则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122

m n ⎧

=-⎪⎨⎪=-⎩，

∴直线AC 的解析式为1

22

y x =-

-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213

222

t t +-， 即2

1

3,22

2P t t t ⎫⎛+

- ⎪⎝⎭

． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛

-- ⎪⎝

⎭

． ∴22131

12222222

PD t t t t t ⎫⎛=

+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111

424222

PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=

⋅=⨯⨯+=+． ∴2

44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，