中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数
初三年级数学期中考试知识点二次函数与一元二次方程
初三年级数学期中考试知识点二次函数与一元二次方程多积聚，可以添加自身修养性和素质，以及思想境界，思想和逻辑才干。
鉴于此，小编为大家预备了这篇初三年级数学期中考试知识点，欢迎阅读!特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象外形相反，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位失掉，当h0时，那么向左平行移动|h|个单位失掉.当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可失掉y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研讨抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，经过配方，将普通式化为y=a(x-h)^2+k的方式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，启齿向上，当a0时启齿向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，假定a0，当x-b/2a时，y随x 的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.假定a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|当△=0.图象与x轴只要一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x 为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：假设a0)，那么当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.欢迎大家去阅读由小编为大家提供的初三年级数学期中考试知识点大家好好去品味了吗?希望可以协助到大家，加油哦!。
初中数学二次函数与一元二次方程课件
一元二次方程的解法
总结词
求解一元二次方程的方法主要包括公式法和因式分解法。
详细描述
公式法是通过一元二次方程的根的公式 x = [-b ± √(b^2 4ac)] / (2a) 来求解。因式分解法则是将方程化为两个一次方 程，然后求解。
一元二次方程的根的性 质
总结词
一元二次方程的根具有根的和、根的积、根的判别式等性质。
求解难度
一元二次方程的求解相对 简单，而二次函数的求解 可能需要更多的数学技巧。
实际应用价值
两者都具有很高的实际应 用价值，但在不同领域中 各有优势。
05 练习题与答案
练习题
题目2
已知一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，求 该方程的根。
题目3
已知二次函数$y = x^2 - 2x$，当$x > 1$ 时，求$y$的取值范围。
二次函数的最值与一元二次方程根的性质的关系
总结词
二次函数的最值与一元二次方程根的性质之间存在一定的关系。通过分析二次函数的最 值，可以了解方程根的性质。
详细描述
当二次函数开口向上时，函数的最小值即为方程的最小值；当二次函数开口向下时，函 数的最大值即为方程的最大值。此外，函数的对称轴也可以用来判断方程根的性质，如
详细描述
根的和是指方程的两个根的和等于方程的一次项系数的相反数除以二次项系数所得的商的相反数；根的积是指方 程的两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商；根的判别式是指判别式 Δ = b^2 - 4ac，当 Δ > 0 时，方 程有两个不相等的实根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；当 Δ < 0 时，方程没有实根。
解得$x_1=3, x_2=-1$。
二次函数与一元二次方程课件PPT
知识点一
知识点二
知识点二用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:
(1)画出二次函数的图象;
(2)确定抛物线与x轴交点的个数;
(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;
(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的
近似解(或根).
名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次
D.x<-1或x>4
解析:求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时
对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x<-1或x>3.
答案:C
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y>0时
x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的
x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0时,找
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公
共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两
个不等实数根.
知识点一
知识点二
名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的
由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2
之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1
和2之间.
初三数学最新课件-二次函数和一元二次方程 精品
没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标 就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数 可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根 的情况说明：
已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确的是 （ D） Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值 Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ有最小 值 Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
1、△＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有两个交点
2、△=0
一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有唯一公共点
3、△＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点
解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0）
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条 件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
数学初三年级二次函数与一元二次方程课件教案
数学初三年级二次函数与一元二次方程课件教案教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与的关系的过程，培植学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论线性方程的根的情况，进一步方法论培养学生的数形紧密结合思想.3.通过学生共同观察和发表意见，培养大家的开展合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与乘法表的关系的投资过程过程，体验数学社会活动充满着探索与创造，感受数学的体会严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与表达式之间紧密联系的联系.2.理解何时不等式解释有两个不等的实根，两个相等的实数和没有完全相同实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了紫菊一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为曲线图一元一次方程kx+b=0的解.。
中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数
∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）x∴.x∴抛物线的解析式为. x②∵，（判断大小直接做差）x∴（当且仅当时，等号成立）. x x（3）由②知，当时，.x x∴、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）x x x∵对于的同一个值，，x x∴的图象必经过. x x又∵经过，x x∴. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）x设.x x∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，x x∴，x∴.x又根据、的图象可得，x x x∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）x∴. x∴.x而.x只有，解得.xx∴抛物线的解析式为.x【例2】20__，门头沟，一模关于的一元二次方程.x x（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；x（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；x x（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.x x x【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件.第二问给点求解析式，比较简单.值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=k_+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=k_+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于_轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得x解得x解得x当且时，方程有两个不相等的实数根.xx（2）由题意得x解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0)xx（3）抛物线的对称轴是x由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)x与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏)xx 另设过点的直线（）x x x把代入，得，x xx xx整理得x有且只有一个交点，x解得xx综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，xx x【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．x x x（1）求的值；x（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；x x（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．x x x x x【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，。
湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》说课稿
湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程的联系和区别》是湘教版数学九年级下册1.4的内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，掌握由二次函数求一元二次方程的方法，以及一元二次方程的解法。
教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象和性质，以及一元二次方程的基本概念和解法。
但学生对于二次函数与一元二次方程之间的联系和区别可能还不太清楚，需要通过实例和讲解让学生加深理解。
此外，学生可能对由二次函数求一元二次方程的方法还不够熟练，需要通过练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，掌握由二次函数求一元二次方程的方法，以及一元二次方程的解法。
2.过程与方法目标：通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，由二次函数求一元二次方程的方法，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别的理解，由二次函数求一元二次方程的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，以及网络资源和学生自主学习平台。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次函数与一元二次方程的话题，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别，通过实例引导学生探究。
3.练习：让学生通过练习由二次函数求一元二次方程的方法，巩固所学知识。
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数和一元二次方程都是初中代数的重要内容，两者相结合的题目在近年中考中经常有出现，解决此类问题关键是搞清楚二次函数图象与一元二次方程的两根之间的关系。
一、二次函数图象与一元二次方程根的关系1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 的判别式为：△＝b 2－4ac 。
二次函数的解析式为：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（1）当△＞0时，二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当△＝0时，二次函数的图象与x 轴有一个交点；（3）当△＜0时，二次函数的图象与x 轴有无交点。
2、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点为A （x 1，0）、B （x 2，0），且两个交点之间的距离为： |AB|＝| x 1－x 2|。
3、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的对称轴为：x ＝221x x +。
二、考点例析1、用根的判别式判断二次函数图象与x 轴的交点例1、(2005温州市)若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝_________.(只要求写出一个)解：令y ＝0，得一元二次方程：x 2－4x ＋c ＝0，方程的判别式为：△ ＝（－4）2－4c ＝16－4c ，因为二次函数图象与x 轴没有交点，所以，有16－4c ＜0，解得：c ＞4，c 可取5、6、7……中的任一个，只写一个即可。
例2、（2005湖北荆州）若y 关于x 的函数()()2221y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 可取的值为 ．解：令y ＝0，得一元二次方程：（a －2）x 2－（2a －1）x ＋a ＝0，方程的判别式为：△ ＝（2a －1）2－4（a －2）a ＝4a ＋1，因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以，有4a ＋1＞0，解得：a ＞－41。
2022中考数学专题复习 一元二次方程与二次函数的含参问题
一元二次方程与二次函数的含参问题一，堂前测1.如果关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的 方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为（ ）A. －1或－3B. 1或３C. －1或３D. 1或－3 2. 已知关于x 的方程2(12)2110k xk x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
3. 当m 取何值时，关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根?4. 已知函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点，求实数m 的取值范围。
5，已知关于x 的方程. 220 (0)kx x k k--=≠ （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。
6已知关于 x 的方程x 2-(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为 时，求m 的值7已知函数y= x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点（x1,0）,(x2,0),若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。
二，例题1，已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +1）x + =0有实根。
（1）求m 的值（2）先作函数 的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。
（3）在（2）的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公共点时，求n2-4n 的最大值和最小值。
2， 已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（3m +1）x +2m +2=0 （m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =m x 2﹣2x 1，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围。
中考数学频考点突破 二次函数与一元二次方程
中考数学频考点突破--二次函数与一元二次方程1．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴与x 轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当m＞0时，过A点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（C在D 左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝2，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与线段AB恰只有一个公共点，则请结合函数图象，直接写出m的取值范围．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．3．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件。
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？（3）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每件商品涨价不超过15元；方案B：每件商品的利润至少为26元．请比较哪种方案的利润更大，并说明理由．4．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：x30323436y40363228与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？5．设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y)的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成心=2(x-h)2-2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．6．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．7．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．8．已知二次函数y=x2−4x+3．（1）将二次函数表达式y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并直接写出其项点坐标；（2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图像；x (01234)y=x2−4x+3…x时，y<0时，x的取值范围是．9．已知函数y=kx2+(k+1)x+1（k为实数）.（1）当k＝3时，求此函数图象与x轴的交点坐标；（2）判断此函数与x轴的交点个数，并说明理由.10．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴有两个交点都在x轴正半轴上，求m的取值范围；（3）填空：若x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的两根都大于1，则m的取值范围是．11．已知，正方形ABCD，A(0，−4)，B(1，−4)，C(1，−5)，D(0，−5)，抛物线y=x2+mx−2m−4( m为常数)，顶点为M（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是；（2）若抛物线y=x2+mx−2m−4( m为常数)与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围；（3）若∠ABM=45°时，求m的值.12．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求直线OA和二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，①当PC的长最大时，求点P的坐标；②当S△PCO=S△CDO时，求点P的坐标．13．某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？14．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围；（2）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的表达式；②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．15．已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？答案解析部分1．【答案】（1）解：∵抛物线y ＝mx 2+4mx+5m 的对称轴为直线x ＝﹣ 4m 2m＝﹣2， ∴对称轴与x 轴交点B 的坐标为（﹣2，0）；（2）解：由题意可知，C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，且C 在D 的左边， ∴x 1+x 22＝﹣2， ∴x 1+x 2＝﹣4，∵x 2﹣x 1＝2，∴x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，∵A （0，2），且过A 的直线l 平行于x 轴，∴C （﹣3，2），D （﹣1，2），将D 点代入抛物线，得m ﹣4m+5m ＝2，解，得m ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x+5；（3）0＜m ＜ 25 或m ＝ 12【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】解：（3）∵A （0，2），B （﹣2，0），∴线段AB 在x 轴上方，直线AB ＝x +2，函数y ＝mx 2+4mx +5m 中，△＝（4m ）2﹣4m •5m ＝﹣4m 2＜0，∴抛物线与x 轴无交点，当m ＜0时，抛物线开口向下，顶点在x 轴下方，与线段AB 为交点，当m ＞0时，抛物线开口向上，顶点在x 轴上方，若抛物线与AB 有一个交点，有两种情况：①如图1，抛物线与AB 相切时，则mx 2+4mx +5m ＝x +2整理得，mx 2+（4m ﹣1）x +5m ﹣2＝0，△＝（4m ﹣1）2﹣4m （5m ﹣2）＝0，解得m ＝ 12 或m ＝﹣ 12（舍去）， ②抛物线与y 轴的交点在O 、A 之间，即0＜5m ＜2，解得0＜m ＜ 25， 综上所述，m 的取值范围是 0＜m ＜ 25 或m ＝ 12．【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴，即可求得B 的坐标；（2）先根据对称轴求出x 1+x 2＝﹣4，结合x 2﹣x 1＝2，即可求出x1和x2的值，从而可求出C （﹣3，2），D （﹣1，2），然后用待定系数法求解即可；（3）当m<0时不合题意；当m ＞0，分两种情况讨论，结合图象即可求得．2．【答案】（1）解：∵函数图象与x 轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0）， ∴方程的两个根为x 1＝1，x 2＝3；（2）解：由图可知，不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为1＜x ＜3；（3）解：∵二次函数的顶点坐标为（2，2），∴若方程ax 2+bx+c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＜2．【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x 轴的交点的横坐标即为方程的根；（2）根据函数图象写出x 轴上方部分的x 的取值范围即可；（3）能与函数图象有两个交点的所有k 值即为所求的范围．3．【答案】（1）解：该商品的售价x 元，进价为y 元，由题意得： {x =y +86x =8y解得 {x =32y =24故商品的售价32元，进价为24元。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-二次函数和一元二次方程
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习二次函数和一元二次方程【课标要求】1、会用对立统一的辨证观点，把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题转化为相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的相关问题；2、能根据二次函数的图像与x 轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况；3、会利用二次函数的图像求出一元二次方程的近似解.4、掌握分析图像的方法，并结合图像解决简单的实际问题. 图像信息题是指由图像（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型. 【要点梳理】二次函数与一元二次方程的关系1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2、一般地，如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴有两个公共点（x 1，0），（x 2，0），那么一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根x ＝x 1，x ＝x 2，反之亦成立.3、（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿个公共点； （2）当△＝b 2－4ac ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿＿个公共点； （3）当△＝b 2－4ac ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴＿＿＿＿＿公共点．4、二次函数y ＝2ax bx c ++的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由二次项系数a 决定的．a ＞0⇔抛物线的开口向上；a ＜0⇔抛物线的开口向下；|a |相同⇔抛物线的形状相同． 2、抛物线y ＝2ax bx c 与y 轴的交点的位置是由常数项c 决定的．c ＞0⇔抛物线与y 轴相交于正半轴上； c ＝0⇔抛物线与y 轴相交于原点； c ＜0⇔抛物线与y 轴相交于负半轴上．3、抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴的位置是由a 和b 联合决定的．a 与b 同号⇔对称轴在y 轴的左侧；a 与b 异号⇔对称轴在y 轴的右侧；b ＝0⇔对称轴就是y 轴．4、抛物线与x 轴交点的个数由24b ac ∆=-的符号决定的．24b ac -＞0⇔抛物线与x 轴有2个交点； 24b ac -＝0⇔抛物线与x 轴有1个交点； 24b ac -＜0⇔抛物线与x 轴有0个交点．5、解图像信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图像，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。
二次函数与一元二次方程公开课优秀课件ppt
解题步骤：先观察方程形式和特点，选择合适的方法和步骤解题。
易错点：注意方程的解的情况和图像的交点情况，避免漏解或误解题目。
经典例题解析
解题思路清晰，问题建模合理 解题方法多样，学生易于掌握 题目难度适中，具有代表性 解析过程详细，学生易于理解
二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的定义域和值域：R
二次函数的单调性：在区间(-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)内递增，在区间(-b/2a,b/2a) 内递减 二次函数的对称性：二次函数的最小值在对称轴处取得，即当x=-b/2a时， ymin=(4ac-b2)/4a
二次函数的实际应用
股票：根据股票的涨跌情况，利用二次函数求出最佳买卖时机。 物理：利用二次函数求解单摆周期公式。 经济学：利用二次函数求解最优化问题，实现利益最大化。 工程：在桥梁、建筑等领域，利用二次函数进行结构设计，确保安全性和稳定性。
02
一元二次方程
一元二次方程的定义
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形状， 开口方向，顶点， 对称轴
性质：增减性，最 值，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
实际应用：解决实 际问题，如最大利 润问题等
二次函数的解析式和极值
解析式： y=ax²+bx+c
极值：顶点坐标、 开口方向、对称 轴
图像变化：增减 性、最大数根
应用：用于解一 元二次方程、判 断根的情况、求
根的近似值等
二次函数与一元二
03
次方程的关系
二次函数二次函数与一元二次方程课件ppt
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程 课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函 数与一元二次方程 的基本概念和性质 ；
培养学生的数学思 维能力和创新意识 。
会用二次函数与一 元二次方程解决实 际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式 根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的 方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可 以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得 到最大利润。
初中数学知识点精讲精析 二次函数与一元二次方程
7 二次函数与一元二次方程学习目标1. 能够利用前面所学知识熟练求解函数的解析式。
2. 能够理解抛物线图像与x 轴交点个数的判断方法与相应一元二次方程解个数的关系。
知识详解1.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2的交点为（0, c ）。
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点（h ,c bh ah ++2）。
2.抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根．抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离，3. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点抛物线与x 轴的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根。
4. 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧c bx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点； ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点。
5. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121【典型例题】 例1：已知二次函数y=x 2-3x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是（ ）A ．x 1=1，x 2=-1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=3【答案】B【解析】∵二次函数的解析式是y=x 2-3x+m （m 为常数），又∵二次函数y=x 2-3x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根分别是：x 1=1，x 2=2例2：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣1，x 2=3C ．2a ﹣b=0D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【答案】B【解析】A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣1，x 2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为x=2b a-=1，∴2a+b=0，故本选项错误； D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误。
【初三数学复习精品课件】二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程知识集结知识元利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解知识讲解二次函数与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根，反之一元二次方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标.例题精讲利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解例1.若二次函数的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程的实数根为（），【解析】题干解析:二次函数的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1=0，求得a=﹣，代入方程即可得到结论．解：∵二次函数的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1=0，∴a=﹣，∴方程a（x﹣2）2+1=0为：方程﹣（x﹣2）2+1=0，解得：x1=0，x2=4，故选A．例2.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解是.【答案】-1，3【解析】题干解析:观察图象可得，二次函数的图象开口向下，对称轴为x=1，其中一个交点为（3,0），利用对称可得另一交点为（-1,0），所以方程的解为-1，3.已知二次函数，（1）当m为何值时，函数的图象与x轴有2个交点？（2）如函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）当函数的图象与x轴相切时，求m的值.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】题干解析:（1）由二次函数的图象与x轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定Δ的取值范围，进而求出m的取值范围.（1）有两个交点;（2）有交点；（3）相切只有一个交点.利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数知识讲解二次函数与x轴交点个数的判别即一元二次方程的根情况的判别：①判别式法；②直接看方程法；③平移法.例题精讲利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数抛物线y=kx2﹣6x+9与x轴有两个交点，则k的取值范围（）【解析】题干解析:解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4k×9＞0，解得k＜1．由于该函数为二次函数，则k≠0．∴k＜1且k≠0．故选A．例2.若函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值.【答案】见解析【解析】题干解析:∵函数的图象与x轴只有一个公共点∴方程有两个相等的实根，即Δ==0，解得m1=-1，m2=3又∵∴∴=3例3.已知抛物线，(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；(2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；【答案】见解析【解析】题干解析:（1）∵函数的图象与x轴只有一个公共点∴方程有两个相等的实根，即Δ=，解得m=0（2）抛物线与直线只有一个交点，得方程组消去y，整理，得∵有唯一交点，∴，解得二次函数的图象与系数的关系知识讲解考查抛物线与二次函数系数之间的关系，注意数形结合的思想的应用.例题精讲二次函数的图象与系数的关系例1.已知：抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B左侧），顶点为M，平移该抛物线，使M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）【解析】题干解析:当y=0，则，解得∴A（1,0）B（3,0）=∴M点坐标为（2，-1）∵平移抛物线，使点M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：==,选A。
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
15 m
1s
3s
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
（3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
y 3
-1
. o 1.3
x
x=－1
9. 已知抛物线 y1 2x2 8x k 8 和直线 y2 mx 1相交于点P(3，4m)。
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求
交点坐标。
课堂小结
1.已知二次函数的值，求自变量的值
解一元二次方程的根
2.y=ax2+bx+c 的图象与x轴
✓有两个交点 ✓有一个交点 ✓没有交点
ax2+bx+c = 0 的根
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3
初中数学二次函数与一元二次方程
初中数学二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是初中数学中重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的概念、解法及其应用。
一、二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0）。
通过二次函数的图像可以分析它的性质，如顶点、对称轴和开口方向等。
1. 求解二次函数的顶点和对称轴对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可用以下公式求解：x = -b / (2a)y = -Δ / (4a)其中，-b / (2a)为顶点的横坐标，-Δ / (4a)为顶点的纵坐标，Δ为判别式，Δ = b^2 - 4ac。
对称轴是二次函数的图像关于顶点对称的直线，其方程为x = -b / (2a)。
2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数的解，又称为函数的根。
即找出满足函数值为0的x的取值。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，求解零点的一般步骤如下：1) 将函数化为标准形式，即去括号、合并同类项；2) 将方程两边移项，使方程等号右边为0；3) 利用因式分解、配方法、求根公式或完全平方式等方法，得到方程的根。
3. 二次函数的两个性质（1）当抛物线开口朝上时，a>0，图像在顶点处取得最小值；（2）当抛物线开口朝下时，a<0，图像在顶点处取得最大值。
二、一元二次方程一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
求解一元二次方程的步骤如下：1) 对方程两边进行整理，使方程化为标准形式；2) 判断方程是否可以因式分解；3) 如果可以因式分解，化为两个一次方程，分别求解；4) 如果不可以因式分解，可以使用求根公式来求解一元二次方程的根：x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)其中，Δ = b^2 - 4ac为判别式。
初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系
初中数学培优专题之一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）； ③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·acx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224aacb -=a ∆=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b ＞0；由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点（1，a ＋b ＋c ）在x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．答案：D ．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、x ＝－b2a、a ＋b ＋c 、b 2－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最 大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设k y x =+，则原方程可化为0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=∆k ，解得4≤k ，所以k （即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决． 解：（1）证明：法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，所以m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）．（2）解：法一：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(，所以抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ，∴二次函数的最小值为4-．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ∆=mm 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a＝122m m --⨯＝1144m-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=∆a 、04402>-+-a a 、14402<-+-a a 、04402>---a a 、14402<---a a ，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令522++=ax x y ，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知04>-a ，解得0<a ．再根据0402>-=∆a 可得102-<a ．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a ，可解得213->a ．这样就能得到a 的取值范围是102213-<<-a ．答案：102213-<<-a ． 技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32．答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．分析：要注意抛物线()233y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线()233y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式012)3(2=--=∆a 0∆=解得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==意．⑵抛物线()233y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在线段AB 上，则101<<x ，212≤≤x ，显然321<x x ，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则211≤≤x ，22>x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a ，解得112a -<<-．当当点D 与点A 重合时，由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-答案：1-≤12a <-，或者3a =-技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m ②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程04)1(2=-+++p k px x 的根应为216)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42++-p k p 的值必须是完全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42++-p k p 应成为关于p 的一个完全平方式，因此可得其064)1(162=-+=∆k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．三．学力训练1．选择题：2104（图10-8）.其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①③ （3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A ．512 B ．49 C ．1736D ．12 （4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．填空题：（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）． （1）求证：42--=b c ；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是43， 求b ．6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mtx mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系 参考答案1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ； 2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4) 19． 3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4. 4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．（2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2由2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩得22(2)20ax a x +--=①∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24a a x x a a--+==122x x a -=∴12x x -== 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24(1)3y a=-+， ∵在1<a<2时y 随a 增大而减小，∴244(1)312a<-+<，∴2<<∴122x x <-< 5.解：（1）∵12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1） ∴1241+++=c b ∴42--=b c（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(222++-=+-=b b b 当1-=b 时，2-=c此时，=∆)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---= ∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。
人教版初三数学上册二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系
X
1
0
-1
X
Y
2
Y
X
0
教学活动4
教学活动5
教学活动6
巩固提高
（教师下班辅导，及时反馈，并选择有代表性的题目通过投影展示给全体同学。教师给予赞赏性评价。）
1、观察图象，完成以下练习
2、
1）一元二次方程 的解是______________
2）
-2
X
Y
4
-1
3）一元二次方程 的解是______________
2）
3）求二次不等式的解集需要哪些步骤？
4）
综合运用，拓展延伸
1)课外思考：读图，求出图中 ， ， 对应的x的取值范围
y
x
-1 0 2
2)课本P23问题4
解集
解集
表二：
△=
方程的解是
画草图
与x轴的交点坐标
解集
解集
表三：
△=
画草图
方程的解是
与x轴的交点坐标
解集
解集
教学活动3
观察图象，总结二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的联系
（让学生先独立探究，再以四人为一组交流探究成果，并写在下面空白处
最后教师总结a>0情况，a<0情况可让学生总结，培养学生分类讨论的思想）
4）
Y
X
-1
-3
3）一元二次不等式 的解集是______________
Y
X
0
4）一元二次不等式 的解集是______________
Y
X
-1
3
0
5）一元二次方程 的解是______________
y
1
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中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲【例1】2010，西城，一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。
事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。
根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。
于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏）∴当0m =，原方程有实数根.当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）.（3）由②知，当1x =时，120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥，∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=.∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立，∴320y y -≥，图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值） ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ，解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .【例2】2010，门头沟，一模关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式，比较简单。
值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（） 解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++（3）抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 14x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+，得14k b -+=-，114b k =- 114y kx k =+-28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点，21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-，162y x =+【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。
但是仔细看题，发现P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。
而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b 。
第二问依然是判别式问题，比较简单。
第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。
考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，△=b 2-4ac=16－8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是11x==-+，21x ==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．【例4】2010，昌平，一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得0a ≠，∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x =± ∵0a >，∴2x =是整数． ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >， ∴25a <． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2a 取1，4， 当21a =时，2a =； 当24a =时，12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．【例5】2010，平谷，一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m －1≠0。