华理高等数学(下)期终考试卷

高等数学（下）期终考试卷(华东理工)

222222{0,0,6},{2,2,1}_______;2

25(0),________;

4

)___a L

a b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z

==-==⎧⎨++=⎩+=≥=⎧++=⎨=⎩⎰b 00

一、试解下列各题（每题4分，共16分）

1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________;

3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0

00

0(4)_______;

41(,,)(,,),:__________;

)(,)(,),:0_________;

(3)4'''3''0__________;

L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =⎧ΩΩ⎨

=⎩++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为

33001002(1)8(1)(1)8

121

8(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n n

n

n y

x x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞

=--++--==-=--+=∑⎰⎰0

二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。三、（分）求点到直线的距离。

四、（1）计算二次积分求数列的极限。

五、试解下列各题（每题分，共分）

、设函数由方程

所确定，试求此函数1

1

2222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1

(0,0,1)(0,0,2),2

n n n L

dz a x x y dx x y x dy L y x x MA

M A B M MB ∞

∞

==+--=--=∑⎰00

的全微分。、设是收敛的正项级数，试证明级数、（1）计算曲线积分其中是自点沿至的一段有向曲线。

（2）动点到两定点及的两个距离之比为

求动点的轨迹。00101

41()012

2()ln ()x f x x f x x x e ≤<⎧=⎨≤<⎩=-、（）展开函数为余弦级数，并做其和函数图形。

（）展开函数为的幂级数。

4121(,),(,)(

)

y

f x y x y f x y x y x

+-=-+=六、试解下列各式（每题分，共分）、若则

ln 01

ln ln 100

11

1

000

10

1

()

()

()()21(,)(,)()

()(,)()(,)()(,)()(,)111(1)(2)(1)[1...](234()y

y e

x

e

y x

e

e e e

n n

n y x y x A B C D x

y

x

y

f x y dx f x y dy A dy f x y dx B dy f x y dx

C dy f x y dx

D dy f x y dx

k

k n A k +∞

=-

-

=---+-++⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰∑、（）设是连续函数，则级数为常数）

无论取()()()B k C k D k 何值，都发散无论取何值，都条件收敛无论取何值，都绝对收敛敛散性与的取值无关

00*2121231,',0,()(,)(,)0()(,)(,)0()(,)(,)0()(,)(,)0(2)''sin ()

()sin ()()sin ()P Q

P Q C y x

A Q x y dx P x y dy

B Q x y dx P x y dy

C P x y dx Q x y dy

D P x y dx Q x y dy y y x x y A ax x B x a x a x x b x b ∂∂∈+=∂∂+=-=+=-=+==+++、（）设且有

则下列方程必为全微分方程的是（）

微分方程的一个特解可设为1212cos ()sin ()()sin ()cos x C ax x D a x a x b x b x

+++

220

22

2222202228(,)(23)811',(2,1)(1,2)1

[()][()

];23(3)160x z L f x y e x y dxdy z x y f C L A B x xf x y dx yf x y dy y y

x y z x y z x y z ∑

=+-∑≤≤+∈++++---=⎧--=-+=⎰⎰

⎰0七、（分）求函数的极值。八、（分）（）求，其中的

边界曲面，积分沿其外侧；

（2）设是从点到点的有向直线段，

求求曲面上垂直于直线535

22228(3),22220(0)a x y z a ds a x y z ax ay az a a ∑

⎨⎩-≤

++-≤∑++---+=>⎰⎰0的切平面方程。

九、（分）（1）证明其中是球面。

02(){cos ,sin ,}r t R t R t ht z =（）试证明曲线上任一点处的切线与轴总夹定角。