映射详解(经典)
映射个数的公式解释
映射个数的公式解释一、映射的概念（人教版相关知识铺垫）1. 映射的定义。
- 设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射。
- 例如：集合A = {1,2,3}，集合B={a,b}，我们可以定义映射f：当x = 1时，f(1)=a；当x = 2时，f(2)=b；当x = 3时，f(3)=a。
这就是一个从A到B的映射。
二、映射个数公式。
1. 当集合A有m个元素，集合B有n个元素时，从A到B的映射个数为n^m的解释。
- 对于集合A中的每一个元素，它在映射到集合B时都有n种选择。
- 假设集合A=a_1,a_2,·s,a_m。
对于元素a_1，它可以映射到集合B中的n个元素中的任意一个，有n种映射方式；对于元素a_2，同样也有n种映射方式，因为它的映射选择与a_1的映射选择是相互独立的。
以此类推，对于集合A中的每一个元素都有n种映射方式。
- 根据分步乘法计数原理，从A到B的映射的总个数就是n× n×·s× n（共m个n相乘），即n^m。
- 例如：集合A = {1,2}，集合B={a,b,c}。
对于元素1，它有3种映射结果（可以映射到a，或者b，或者c）；对于元素2，它同样有3种映射结果。
所以从A 到B的映射个数为3^2=9种。
这9种映射可以具体列举出来：- f_1：f_1(1)=a,f_1(2)=a；- f_2：f_2(1)=a,f_2(2)=b； - f_3：f_3(1)=a,f_3(2)=c； - f_4：f_4(1)=b,f_4(2)=a； - f_5：f_5(1)=b,f_5(2)=b； - f_6：f_6(1)=b,f_6(2)=c； - f_7：f_7(1)=c,f_7(2)=a； - f_8：f_8(1)=c,f_8(2)=b； - f_9：f_9(1)=c,f_9(2)=c。
高一数学映射知识点
高一数学映射知识点数学是一门综合性科学，映射是其中的重要概念之一。
在高一数学学习中，映射是一个需要深入理解和掌握的知识点。
本文将从映射的定义、映射的性质以及映射的应用等方面进行详细介绍。
一、映射的定义映射是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
映射常常用符号“f”表示，表示一个元素或者一组元素通过某种规则对应到另一个集合中。
对于集合A和集合B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a，都有唯一的对应元素b在集合B中，即f(a)=b，那么我们可以说A中的元素通过映射f对应到B中的元素。
二、映射的性质1. 单射：如果映射f中不同的元素在B中有不同的对应元素，即对于任意的a1和a2，如果f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
这种映射被称为单射或一一映射。
单射保证了映射的唯一性。
2. 满射：如果映射f中的所有元素都有对应的元素存在于B中，即对于任意的b∈B，都存在a∈A，使得f(a)=b。
这种映射被称为满射。
满射保证了映射的完备性。
3. 双射：既是单射又是满射的映射被称为双射。
双射保证了映射的一一对应关系，即A中的每一个元素都有唯一对应的元素在B中，B中的每一个元素也都有唯一对应的元素在A中。
4. 逆映射：如果映射f是一个双射，那么它存在一个逆映射g，使得g(f(a))=a对于任意的a∈A成立，同时f(g(b))=b对于任意的b∈B也成立。
逆映射可以实现映射的互逆。
三、映射的应用映射在数学中的应用非常广泛，尤其在解决实际问题时起到了重要的作用。
以下是映射在几个常见领域的应用示例：1. 函数关系：函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数在数学中有着广泛的应用，例如描述物理规律、经济关系以及建立模型等。
2. 图论：映射在图论中有重要作用。
图是由一系列的顶点和边组成的数学模型，而映射则常常用于描述顶点之间的关系，例如在社交网络中描述用户之间的关注关系。
数学映射的例子和解答
数学映射的例子和解答
1. 数学映射：
数学映射是将一组数字映射到另一组数字、函数输出或符号组成的概念或结构中，两组数字之间有一定的规律。
数学映射可以用来表示图中的关系，从而用于测量、分析和解释数据集的复杂性，类比或变换，甚至用来创建新的模型或者扩展现有的模型。
映射也被用于从数学上分析解决各种问题的方法。
2.例子：
（1）整数到概率分布的映射：用来从整数序列映射到一个概率分布。
它以整数形式列出序列，将其映射到概率分布图上。
你可以使用它来模拟各种概率情况，并预测结果。
（2）从假设推理到结果的映射：给定一组假设，来映射可能出现的结果。
它可以用来推理，从而检测可能出现的映射模式，由此推测出最可能出现的结果。
（3）弦测绘映射：可以将多维数据映射成低维的弦图，用于可视化复杂的数据关系和模式。
这可以帮助我们测量和分析复杂的数据，从而有效地可视化复杂关系，并能更快地发现特征和深层结构。
3. 解答：
使用数学映射有许多优点，首先它是一种非常强大的可视化工具，可以帮助我们更清楚地理解和分析复杂的数据关系和模式。
对于数据分析来说，它是一种有效的工具，可以更好地帮助我们发现特征和深层结构，从而更好地洞察复杂的系统，比如社交网络，知识网络以及社会和生态系统。
此外，数学映射也可以用来检测和预测数据，从而实时监视不同类别情况或趋势，以及对结果做出及时反应。
最后，它还可以帮助我们分析复杂模型，从而检测出潜在错误，以及利用数学映射生成新的模型或扩展已有模型。
总而言之，数学映射是一种强大的用于分析和可视化复杂数据关系的工具，它可以帮助我们更好地理解和探索数据，从而更准确预测结果。
函数映射知识点总结
函数映射知识点总结一、函数映射的定义函数映射是数学中一个重要的概念，它描述了一个集合到另一个集合的元素之间的对应关系。
在数学中，我们通常将集合A中的元素a通过一个函数f映射到集合B中的元素f(a)上。
函数映射的定义可以形式化地表述为：设A、B为两个非空的集合，如果存在一个映射f，对于A中的每一个元素a，都有对应的B中的元素f(a)与之对应，则称函数f为从A 到B的映射，通常记作f:A→B。
我们可以根据函数映射的定义，得出函数映射的几个重要性质：1. 一一对应：如果对于A中的每一个元素a，都有对应的B中唯一的元素f(a)，且对于B中的每一个元素b，也都有对应的A中唯一的元素f^(-1)(b)，则称函数f为A到B的一一对应映射。
2. 到函数：如果对于A中的每一个元素a，都有对应的B中的元素f(a)，则称函数f为从A到B的到函数映射。
3. 满函数：如果对于B中的每一个元素b，都有对应的A中的元素a，使得f(a)=b，则称函数f为A到B的满函数映射。
二、函数映射的性质1.函数的合成和反函数在函数映射中，我们可以将两个函数f:A→B和g:B→C进行合成，构成一个新的函数h:A→C。
这个新函数h被称为函数f和g的合成函数，通常记作h=g∘f，它的定义为h(a)=g(f(a))，其中a∈A。
此外，若函数f是一个一一对应映射，那么我们可以定义一个反函数f^(-1)，使得对于B中的每一个元素b，都有唯一的f^(-1)(b)与之对应，这个反函数被称为函数f的反函数，满足f^(-1)(f(a))=a，f(f^(-1)(b))=b。
2. 函数的性质函数映射具有一些重要的性质，如可加性、齐性、单调性等，这些性质在函数的分析和应用中具有重要作用。
比如，如果一个函数f同时满足f(x+y)=f(x)+f(y)和f(ax)=af(x)，那么我们称这个函数具有可加性和齐性。
另外，如果对于A中的任意两个元素x1和x2，若有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)，则称函数f具有单调性。
映射名词解释(一)
映射名词解释(一)映射名词解释什么是映射？•映射是计算机科学中常用的数据结构之一，它用于存储一组键值对，也可以称为字典、哈希表或关联数组。
•映射提供了一种根据键访问值的方式，可以将键映射到相应的值。
常见的映射操作•添加键值对：将一个键和一个值添加到映射中。
–例如：将键”apple”和值”苹果”添加到映射中。
•获取值：通过键获取映射中对应的值。
–例如：通过键”apple”获取映射中的值”苹果”。
•更新值：通过键更新映射中对应的值。
–例如：将键”apple”对应的值更新为”红苹果”。
•删除键值对：从映射中删除指定的键值对。
–例如：删除键”apple”对应的键值对。
常用的映射数据结构•哈希表（Hash Table）：使用哈希函数将键映射到对应的存储位置，常用于快速查找操作。
–例如：Java中的HashMap、Python中的dict都是基于哈希表实现的映射。
•二叉搜索树（Binary Search Tree）：按照键的大小进行排序，支持快速插入、查找、删除操作。
–例如：C++中的std::map、Go中的map都是基于二叉搜索树实现的映射。
映射的应用场景•数据存储与检索：映射可以用来存储大量的数据，并通过键快速访问和检索对应的值。
–例如：存储学生的学号和成绩，通过学号快速查找对应的成绩。
•缓存管理：映射可以用于实现缓存，将某个计算结果存储在映射中，下次需要时直接从映射中获取，避免重复计算。
–例如：将网站的页面内容存储在映射中，下次用户访问同样的页面时，直接从映射中获取，提高访问速度。
•数据统计与分析：映射可以用于对数据进行统计和分析，例如统计某个单词在文本中出现的频率。
–例如：统计一篇文章中各个单词出现的次数，通过映射可以快速统计每个单词的频率。
以上是关于映射的一些常见名词解释和应用场景。
映射作为一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。
通过灵活运用映射，可以有效地解决各种实际问题。
映射的概念及例
四、单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f (x) B，那么 说称f 是A到B上的一个映射，这 时也称f 是一个满
映射，简称满射.
f : A B是满射当且仅当对于B中的每一元素y，都有
A中元素x 使得 f (x) y .
对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负实数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
y
f
(x)
x 1
x
1 1
y y
y
1 y
所以f 是满射. 设 x1, x2 A 而 f (x1) f (x2 ) . 那么
x1 x2 1 x1 1 x2
由此 x1, x2 A，所以f 是单射.
于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证，
f 1B A; x x 1 x
二、映射的相等和像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每
一x A，都有 f (x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的.
记作 f g .
例7 令 f : R R, x | x | ，
g : R R, x x2 . 那么 f g .
( f g)( y) f (g( y) f (x) y
所以 f g jB . 故(ii)成立.
大一高数映射知识点归纳
大一高数映射知识点归纳在大一高等数学课程中，映射是一个非常重要且常见的概念。
映射可以理解为一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
接下来，我将对大一高数中与映射相关的知识点进行归纳总结。
一、映射定义与表示法映射是从一个集合到另一个集合的一个对应关系。
如果集合A 中的每个元素a都对应集合B中的唯一一个元素b，那么我们称A 到B的映射为定义在集合A上的一个映射。
在表示映射时，常用的表示法有：- 将映射写成集合形式，例如：{(x, y) | x∈A, y∈B, y=f(x)}- 使用函数的形式表示映射，例如：f: A → B，其中f表示映射的名称，A为起始集合，B为终止集合。
二、映射的分类1. 单射：如果映射中的每个不同元素a对应的都是不同的元素b，那么称该映射为单射。
也可以说是任意两个不同的元素在映射中的像都不相同。
2. 满射：如果映射中的每个元素b都有对应的元素a，那么称该映射为满射。
也可以说是终止集合B中的每个元素都有源自集合A中的元素与之对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么称该映射为双射。
三、映射的运算1. 复合映射：设有两个映射f: A → B，g: B → C，那么可以通过复合运算得到新的映射h: A → C。
复合映射的运算规则为：h(x) = g(f(x))，即先使用f进行映射，再使用g进行映射。
2. 逆映射：如果一个映射f: A → B是一个双射，那么可以定义其逆映射g: B → A。
逆映射的性质为：g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
四、映射的例子与应用1. 一次函数：一次函数可以表示为f(x) = kx + b的形式，其中k 为不为零的常数，称为斜率，b为常数，称为截距。
一次函数是一种常见的线性映射，常用于描述常量比例关系。
2. 复数平面映射：将复数表示为平面上的点，可以将复数映射到平面上。
3. 矩阵映射：在线性代数中，矩阵可以表示一个线性映射，通过矩阵乘法可以实现向量的变换。
第二讲 映射及映射法
第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得 ⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u 同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.图Ⅰ－1－2－1【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
映射解释
映射概念阐释设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B 中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B。
其中，b称为元素a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。
集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。
注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每个元素都有原象，称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的一个术语。
按照映射的定义，下面的对应都是映射。
举例说明（1）设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元素x按照对应关系“乘2加1”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
（2）设A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照对应关系“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
（3）设A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照对应关系“计算面积”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
（4）设A=R，B={直线上的点}，按照建立数轴的方法，是A中的数x与B中的点P对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
（5）设A={P|P是直角坐标系中的点}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐标系的方法，是A中的点P与B中的有序实数对(x,y)对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
设A、B是两个非空集合，若按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应。
映射定理公式(一)
映射定理公式(一)映射定理公式1. 什么是映射定理公式？映射定理公式指的是在数学中描述两个集合之间的映射关系的公式。
它们帮助我们理解和描述不同集合之间的对应关系，从而揭示了一些重要的数学性质。
下面是一些常见的映射定理公式及其解释。
2. 一对一映射•公式：f(a)=f(b)⇒a=b•解释：如果一个函数将集合A中的元素a和b映射到集合B中的同一个元素，则a和b必须相等。
3. 在映射中的周的个数•公式：V−E+F=2•解释：对于一个连通的无向图，其中V表示顶点的个数，E表示边的个数，F表示面（包括无限远的面）的个数。
这个公式说明了一个基本的性质：在映射中，顶点的个数减去边的个数再加上面的个数等于2。
4. 集合的基数•公式：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|• 解释：集合A 和集合B 的并集的基数等于A 的基数加上B 的基数减去A 和B 的交集的基数。
这个公式帮助我们计算集合的基数，即集合中元素的个数。
5. 球面映射到平面• 公式：A4πr 2=1• 解释：这个公式描述了球面映射到平面的情况。
其中A 表示球面的面积，r 表示球的半径。
这个公式告诉我们，将球面铺开到平面上时，面积A 和半径r 之间存在着一个关系。
6. 傅里叶变换• 公式：F (ω)=∫f ∞−∞(t )e −iωt dt • 解释：傅里叶变换是一种用于将函数从时域（t ）转换到频域（ω）的数学工具。
这个公式描述了傅里叶变换的计算方式，其中f(t)表示原始函数，F(ω)表示变换后的函数。
总结以上是一些常见的映射定理公式及其解释。
这些公式帮助我们理解和描述不同集合之间的映射关系，在数学和工程领域中具有广泛的应用。
通过运用这些公式，我们可以揭示一些重要的数学性质和结论。
映射的概念分类及与函数的关系
映射的概念分类及与函数的关系1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。
这就叫做从A到B得一个映射。
记作f:A→B。
通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。
为了理解透彻，对其有两点说明：（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中的任何元素与之对应。
（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫做对应。
所以可以说映射是对应的一个子集。
同时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足唯一性。
2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在A中只有一个a与之对应。
即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。
3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与之对应。
即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩余”的。
即“满”之意。
当然，也允许“多对一”。
4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍历，并除去了“多对一”的情况。
换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。
这大概就是“双”的意思吧。
其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。
5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。
法则f就抽练为函数表达式。
显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。
其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映射的概念分析
映射的概念分析映射是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
在数学中，我们可以将映射理解为函数，其中一个集合是定义域，另一个集合是值域。
映射可以用于描述数学模型、图论、集合论等各种数学领域中的概念与关系。
映射有很多种形式，可以分为单射、满射和双射三种类型。
首先，单射是指一个集合中的不同元素在映射的结果中有不同的映射元素。
换句话说，映射的结果中不存在重复的映射元素。
对于集合A到集合B的映射f：A →B，如果对于集合A中的任意两个不同的元素a1和a2，有f(a1)≠f(a2)，那么这个映射就是单射。
可以通过绘制函数图像来判断一个映射是否为单射，如果函数的图像没有任何两点在同一水平线上，那么这个函数是单射。
其次，满射是指映射的结果包含了值域中的每一个元素。
也就是说，对于集合A 到集合B的映射f：A→B，如果对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A 中的元素a，使得f(a)=b，那么这个映射就是满射。
可以通过在值域上滑动水平线来判断一个映射是否为满射，如果水平线与函数的图像相交于每个y值上至少一个点，那么这个函数就是满射。
最后，双射是指一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素存在唯一的对应关系。
也就是说，对于集合A到集合B的映射f：A→B，既是单射又是满射，那么这个映射就是双射。
可以通过绘制函数的图像并判断是否为一一映射来判断一个映射是否为双射。
映射还有一些衍生的概念。
首先是像、原像和逆映射。
对于映射f：A→B，如果b是集合B中的一个元素，a是集合A中满足f(a)=b的元素，那么b是元素a的像，元素a是元素b的原像。
逆映射是指如果映射f：A→B是双射，那么可以构造一个逆映射f^(-1)：B →A，满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y。
其次是复合映射。
如果映射f：A→B和映射g：B→C都存在，那么可以定义一个复合映射h：A→C，使得h(x)=g(f(x))。
8第八讲 映射、函数的定义域及值域讲解
第八讲映射、函数的定义域及值域一、知识概要1、函数的概念：（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f表示对应法则，b=f(a)。
若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。
既是单射又是满射的映射称为一一映射。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为基本的因素。
逆过来，值域也会限制定义域。
求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。
要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。
复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。
理解函数定义域，应紧密联系对应法则。
函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
其中解析式是最常见的表现形式。
求已知类型函数解析式的．．方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。
（3）求函数解析式的常用方法：注意新元的取值范围）f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）时也要注意变量的实际意义。
(4) 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法(5)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综(6)力和数学建模能力二、题型展示例１. 设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，从集合A到集合B的集合的映影中，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有（）A 27个B 9个C 21个 D. 12个例２.已知集合M={a,b,c}，N={-1，0，1}从M到N的映射满足f(a) — f(b) = f(c)那么映射f的个数为（）A. 2B. 4C. 5D. 7 ⎧1x⎪()(x≥4)例３给出函数f(x)=⎨2则f(log23)等于（）⎪⎩f(x+1)(x<4)A.-23111B.C.D. 1119248例４．设函数f(2x)的定义域是［－１，１］，求f(log2x)的定义域34例５．已知函数f(x)的值域是［,］，试求的值域 89例６设二次函数f(x)满足f(x－２)＝f(－x－２)，且函数图像在y轴上的截距为１，被Ｘ轴截得的线段长为f(x)的解析式．三、题型训练１．函数f(x)）A.1D.2ax-1(a>0且a≠1)的值域是_________ ２．函数y=xa+13.（2000全国理，1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A 中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.54.（1999全国，2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是｜a｜，则集合B中元素的个数是（）A.4B.5C.6D.7x2115.（2002全国理，16）已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f2231+x（1）=_____. 41，若f(1)=-5,则fx四、真题演练 1．（2006年安徽卷）函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=f(f(5))=__________。
映射知识点总结
映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。
在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。
映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。
二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。
当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。
三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。
常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。
2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。
3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。
四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。
其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。
五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。
其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。
该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。
六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。
在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。
解析映射的性质
定义6 (1) 函数自变量x 所在区域G 称定义域，点x 称原像；y 所在区域D 称值域，点y 称像；f 也可叫做映射或变换.(2)如果一个点0x 只有一个0y 与之对应则称f 为单值的；如果一个点0x 有多余一个0y 与之对应则称f 为多值的.(3)如果任意两个1x ，2x ()21x x ≠对应的y 也不同，则称f 是单叶的；如果存在两个或两个以上的点1x ，2x ， ()j i x x j i ≠≠,对应同一个0y ，则称f 是多叶的.单值函数()x f y =又是单叶的，则称()x f y =为一一对应的.定义7（1）把解析函数所构成的映射（变换）称为解析映射（变换）；（2）原曲线在点0z 的切线正方向到变换后的像曲线在像点)(00z f =ω的切线正方向的角称为变换)(z f =ω在点0z 的一个旋转角；（3）像曲线Γ上的两个像点)(z f =ω和)(00z f =ω之间的距离0ωωω-=∆与原像曲线C 上相应的两个原像点z 和0z 之间的距离0z z z -=∆之比的极限z C z z ∆∆∈→∆ω0lim称为变换)(z f =ω在点0z 的一个收缩率. 定理8(保域性）设平面泛复函)(z f =ω在区域D 内解析且不恒为常数，则D 的像集)(D f G =也是一个区域.证明：第一步：先证)(D f G =是开集（即G 中每一个点都是内点）. 设G ∈0ω，则存在D z ∈0，使得)(00z f =ω.要证0y 是G 的内点,只需证明，当*ω与0ω充分接近时，*ω仍属于G ，即存在0ω的一个领域()G U ⊂δω,0.要证这个结果，只需证明，当*ω与0ω充分接近时，方程)(*z f =ω在区域D 内有解即可. 当0*ωω=时，结论显然成立；当0*ωω≠时，由推论3知，存在()G U ⊂δω,0， 使得当()G U ⊂∈δωω,00*时，必有0z 的空心邻域D z U ⊂)(00,)(*z f =ω在)(00z U 内有解，即G ∈*ω.所以)(D f G =是开集.第二步：再证)(D f G =具有连通性（即对G 内任意两点，都能找到全含在G 内的一条折线将它们连接起来）. 对于G 内任意两点)(11z f =ω和)(22z f =ω，因为D 是区域，则可以在D 内取一条全含于D 的连接1z 和2z 的折线C :)(t z z =(21t t t ≤≤，)(11t z z =，)(22t z z =） 其像曲线Γ：[])(t z f =ω（21t t t ≤≤）就是全含于G 的折线连接1ω和2ω. 综上所述，)(D f G =必为区域. 推论5 若)(z f =ω在区域D 内单叶解析，则D 的像集)(D f G =也是一个区域. 证明：因为)(z f =ω在区域D 内单叶解析，必有)(z f =ω在区域D 内解析且不恒为常数，由定理4，结论成立. 定理5 （保角性）。
2.3 映射的概念(解析)
2.3 映射的概念【课标要求】1．了解映射的概念，掌握映射的三要素．2．会判断给出的两集合，能否构成映射．【核心扫描】1．映射与函数的关系．(重点)2．映射概念的理解．(难点)【自学导引】一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的 ，记作f ：A →B .想一想：1.在映射f ：A →B 中，B 中的每个元素，在集合A 中是否都有元素与它对应？提示：B 中不是每个元素在集合A 中都有元素和它对应，即使有元素和它对应，元素也不一定是唯一的．2．在映射f ：A→B 中，若集合A 中元素与B 中元素的对应是一对一的，这时集合A 与集合B 元素个数有什么关系？提示：相等【名师点睛】1．映射包括集合A ，B 以及从A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可．2．对于映射f ：A →B 来说，应满足：①集合A 中每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应．②集合A 中的不同元素，在集合B 中对应的元素可以是同一个．③不要求B 中的每一个元素在集合A 中都有元素与之对应．3．映射是一种特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的，也就是说对应法则f 具有方向性.题型一：映射概念的应用【例1】 设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )，x ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )．(1)求A 中元素(1，－2)在f 的作用下，对应B 中的元素；(2)若A 中的某个元素在f 的作用下，在B 中与之对应的元素为(1，－2)，求A 中的这个元素．思路探索：本题是映射概念的应用，关键是紧扣定义，充分利用对应法则f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )．解：(1)由x ＝1，y ＝－2，得x ＋y ＝－1，xy ＝－2，∴所求B 中的元素为(－1，－2)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴所求A 中的元素为(2，－1)或(－1,2)． 规律方法：由于映射f ：A →B 是单值对应，所以由A 中元素求B 中元素时，结果是唯一的，但由B 中元素来求A 中元素时，结果可能有多个．【训练1】已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 和k 的值．解：根据f ：x →y ＝3x ＋1可知1,2,3，k 的对应元素分别为4,7,10,3k ＋1，那么根据B 可知10∈B ，故a 4＝10或a 2＋3a ＝10，∵a ∈N ，∴a 2＋3a ＝10，∴a ＝2.此时B ＝{4,7,10,16}，又3k ＋1∈B ，∴3k ＋1＝4或3k ＋1＝7或3k ＋1＝10或3k ＋1＝16，得k ＝1,2,3,5，注意到集合A 中元素的互异性，经检验k ＝5，题型二：求映射的个数【例2】 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }．问：A 到B 能构成多少个映射？思路探索：给定两个集合，或构成映射的某些条件，要确定映射的个数，如果集合元素比较少时，可以直接列举出所有符合题意的映射．解：根据映射的概念，可以分为“三对一”和“三对二”两种．“三对一”型，有两个映射，即f (x )＝d (x ＝a ，b ，c )和g (x )＝e (x ＝a ，b ，c )．“三对二”型，有如图所示的几种情况：共有2＋6＝8(个)映射．规律方法：(1)要特别注意的是：所谓A 到B 的一个映射是指通过对应法则使A 中所有元素找到象，不要理解成一个元素对应一个映射．(2)一般地，在没有任意限制的条件下，要将一个n 元集合映射到一个m 元素集合共有mn 个映射．【训练2】已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，b}，建立从集合A 到集合B 的映射，并画图表示．解：可建立4个映射，它们是：题型三：映射与函数的关系【例3】判断下列对应是不是A 到B 的映射，是不是A 到B 的函数？(1)A ＝{a |a ＝n ，n ∈N *}，B ＝{b |b ＝1n ，n ∈N *}，f ：a →b ＝1a； (2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(3)A ＝{平面M 内的矩形}，B ＝{平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．审题指导：本题考查映射的概念以及映射与函数的关系等知识及其在解题中的应用．【题后反思】(1)判断一个对应是不是映射要紧紧抓住映射的定义的本质．A 中任意一个元素在B 中都要有唯一的一个元素与之对应，但集合B 中的元素可以没有A 中的元素与之对应．即映射是两个非空集合A 到B 的一种确定的“一对一”或“多对一”的对应关系，“一对多”不能构成映射．所以映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是一种特殊的对应．(2)判断一个对应是否为函数，首先看其是否为映射，在映射的前提下看两个集合是否为非空数集．【训练3】 下列对应是不是从A 到B 的映射，是不是A 到B 的函数？(1)A ＝{x |x ≥2，x ∈N }，B ＝{y |y ≥0，y ∈Z }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2；(3)A ＝{x |x ∈R ＋}，B ＝{y |y ∈R }，f ：x →y ＝±x ；(4)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应法则f 为矩形与它的面积的对应；(5)设A ＝{实数}，B ＝{正实数}，对应法则f ：x →1|x |. 解：(1)是映射．因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，所以对任意的x ，总有y ≥1.又当x ∈N 时，x 2－2x ＋2必为整数，即y ∈Z .所以当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .所以对A 中每一个元素x ，在B 中都有惟一的y 与之对应．故(1)是映射．因A 、B 都是数集，故也是函数．(2)对于R 中任何一个元素x ，在B 中都有惟一的数0或1对应，故(2)是映射．因A 、B 都是数集，故也是函数．(3)任一个x 都有两个y 与之对应，所以不是映射，也不是函数．(4)对每一个矩形，它的面积是惟一确定的，所以是映射，但A 不是数集，故不是函数．(5)这不是映射，因为x ＝0时，集合B 中没有元素与之对应；也不是函数．【误区警示】未正确理解映射中的象和原象导致错误【示例】已知映射f ：A →B 中，A 中的元素(x ，y )和B 中的元素(x ＋y ，xy )对应．求(3,2)在f 作用下的对应的原象．错解： 因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，xy ＝6，所以(3,2)在f 作用下所对应的原象为(5,6)． 思维突破：求(3,2)的原象，说明(3,2)是B 中元素，而求的是A 中和它对应的元素，错解恰好弄反了．正解：设(3,2)在f 作用下所对应的原象为(x ，y )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 所以(3,2)在f 作用下所对应的原象为(1,2)或(2,1)．追本溯源：正确理解概念是解题的前提条件．象和原象的概念是：映射f ：A →B 中，与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫作在映射f 作用下的象，a 叫做b 的原象.双基达标 限时15分钟1．下列各图表示的对应能构成映射的有________(填序号)．解析：①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，B 中都有惟一的元素与之对应．对于④⑤，A 的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．对于⑥，A 中的元素a 3、a 4在B 中没有元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．综上可知能构成映射的是①、②、③.答案：①②③2．根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素．解析：根据f ：x →2x －1知，1→2×1－1＝1,3→2×3－1＝5,5→2×5－1＝9.答案：1 5 93．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是________．解析：①②④均满足映射定义，③不满足任一A 中元素在B 中有惟一元素对应，且A 中元素b 在B 中无惟一元素与之对应．答案；③4．下面对应是从A 到B 的映射的是________(请写出序号)，是函数的是________．①A ＝{你们班的同学}，B ＝{生日}，f ：每个同学对应自己的生日；②A ＝{0,1,2,3}，B ＝{0,2,4,6}，f ：c ＝12d (c ∈A ，d ∈B )； ③A ＝{非负有理数}，B ＝R ，f ：y ＝x (x ∈A ，y ∈B )；④A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，f ：h ＝|g |g(g ∈A ，h ∈B )． 解析:由映射，函数的定义直接判断．①是映射，不是函数，因为1个人只有一个生日，A 、B 不是数集．②是映射也是函数．③是映射也是函数．④不是映射，也不是函数，因为0没有对应元素．答案 ①②③ ②③5．对映射f ：A →B ，下列说法正确的是________．①A 中的每一个元素在B 中有且仅有一个象；②A 中不同的元素在B 中的象必不相同；③B 中的元素在A 中都有原象；④B 中的元素在A 中可以有两个以上的原象，也可以没有原象．解析:①符合定义，是正确的；②是错误的，因为A 中不同的元素可以在B 中有相同的象；③是错误的，因为映射定义只要求A 中的任一元素在B 中都有唯一的象，不要求B 中的每一个元素在A 中都有原象；④是正确的，符合映射定义．答案 ①④6．设集合A ＝{x |－4≤x ≤6}，B ＝{y |y ∈R }，映射f ：A →B ，f (x )＝x 2＋3x －4.(1)求A 中的元素0,1,3在集合B 中的对应元素；(2)求B 中的元素0在集合A 中的对应元素．解:1)∵f (x )＝x 2＋3x －4，∴f (0)＝－4，f (1)＝0，f (3)＝14.(2)令x 2＋3x －4＝0，解得x ＝－4，或x ＝1，即B 中的元素0在集合A 中的对应元素为－4或1.综合提高 限时30分钟7．已知映射f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的对应元素，且对任意a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数有________个．解析 已知映射f ：A →B ，在集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}中共有7个元素，其中两个不同元素－3,3对应B 中相同的象|±3|＝3；－2,2对应B 中相同的象|±2|＝2；－1,1对应B 中相同的象|±1|＝1；4对应B 中|4|＝4.答案 48．已知B ＝{－1,3,5}，若f ：x →3x －2是A 到B 的映射，则含有三个元素的集合A 为________．解析 由f ：x →3x －2，分别令：3x －2＝－1，3x －2＝3,3x －2＝5，得x ＝13，53，73.∴A ＝{13，53，73}． 答案 {13，53，73} 9．若集合A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有________个元素．解析 由A ＝{0,1,2}，f ：x →x 2－2x ，分别令x ＝0,1,2，∴x 2－2x ＝0，－1,0，又根据集合中元素的互异性， ∴B 中至少有2个元素．答案 210．现给出两个集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,3,4,5,6,7,8,9}，请你设计一个对应关系f ，并使其成为函数f ：A →B .则此函数为______．(写出一个即可)．解析 这是一道有助于学生再次理解函数概念的开放型问题，对应关系有很多种，比如f (x )＝2x ＋1，f (x )＝x ＋2等． 答案 f (x )＝2x ＋111．如图所示为1988年到2012年的奥运会中，我国每届奥运会获得的金牌数，设年份为x (x ∈{1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012})，金牌数为y .试判断y 是否为x 的函数，x 是否为y 的函数．解 由题图知，获得的金牌数y 随着年份x 的变化而变化，对于每一个x 的值，都有唯一确定的一个y 与它相对应，所以获得的金牌数y 是年份x 的函数．由图知，金牌数16对应了年份1996和2000，即对于每一个y 的值，并非都有唯一确定的一个x 与它相对应，所以年份x 不是获得的金牌数y 的函数．12．设f ，g 是由A 到A 的映射，其对应法则如下表所示．映射f 的对应法则 x1 2 3 f (x )2 3 1 映射g 的对应法则x1 2 3 g (x ) 2 1 3 试求f (g (1))，g (f (2))，f (g (f (3)))．解:f (g (1))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3，f (g (f (3)))＝f (g (1))＝f (2)＝3.13．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，映射f ：A →B 满足4是1的一个对应元素，则这样的映射共有几个． 解 ①1对应4,2、3分别对应5、6中的一个共有2个；②1对应4,2、3分别对应4有1个；③1、2对应4,3对应5、6中的一个有2个；④1、3对应4,2对应5、6中的一个有2个；⑤1对应4,2、3对应5有1个；。
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课题：§1.2.2映射
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：映射的概念．
教学过程：
一、引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5．函数的概念．
二、新课教学
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以2；
3．什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其
中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B A是从集合B到集合A的映射吗？
5．完成课本练习
三、作业布置
补充习题。