导数专题零点问题教师版

导数专题零点问题教师版 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

导数专题（三）——零点问题

（2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数2

1()ln (0).2

f x x a x a =

-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；

（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x

=

-=- ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分

（Ⅱ）由2'().a x a

f x x x x

-=-=

由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x ==得

1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1

(1)2

f =

.

②若21e,1e ,a <<<<即在

（上，'()0f x <，)(x f 单调递减；在上，

'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1

(1ln ).2

f a a =

-

2e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，

因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21

(e)e 2

f a =-.

综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1

()(1ln )2

f x a a =-；

当2e a ≥时，2min 1

()e 2

f x a =-. ……………………………….9分

(III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(x f 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.

当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则

∴21

(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪

=>⎨⎪⎪=->⎪⎩

即2

e

1e 2

a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<. 所以，a 的取值范围为21

(e,e ).2…………………………………………………………..13分

（2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）

已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由. 18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，

所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：

(5)

分

故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分

（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分

理由如下：

由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，

显然0x =为此方程的一个实数解.

所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．

当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：

即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．

所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，

所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．

所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.

综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分

（2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）

已知函数()e 1x f x x -=+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；

（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围． 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ． 因为 ()1x f x x e -=+-，

所以 1

()x x e f x e

-'=．

令()0f x '=，则0x =．

所以 当0x =时函数有极小值()=(0)0f x f =极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数1()1x

f x x e =-+

． 当0x =时01

()010f x e

=-+=，011y k =⋅-=-，

所以要使1y kx =-与()f x 无交点，等价于()1f x kx >-恒成立．

令1

()1(1)x g x x kx e

=-+

--，即()(1)x g x k x e -=-+， 所以 (1)1

()x x

k e g x e

--'=． ①当1k =时，1

()0x g x e

=>，满足1y kx =-与()f x 无交点；

②当1k >时，11

1111()(1)111k k g k e e k k --=-+=---， 而101k

<-，1

11k

e -<， 所以1

()01

g k <-，此时不满足1y kx =-与()f x 无交点．

③当1k <时，令(1)1

()0x x

k e g x e

--'== ， 则ln(1)x k =--， 当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0g x '<，()g x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0g x '>，()g x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增； 当ln(1)x k =--时，min ()(ln(1))(1)(1ln(1))g x g k k k =--=---． 由 (1)(1ln(1))0k k ---> 得11e k -<<， 即1y kx =-与()f x 无交点．

综上所述 当(1,1]k e ∈-时，1y kx =-与()f x 无交点． (13)

分

（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）