概率论与数理统计 随机变量及其分布

k!
, 0, k 0,1, 2,...
2.2 离散型随机变量及其概率分布
在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来 描述．例如,一批产品的废品数；一本书中 某一页上印刷错误的个数；某汽车站单位时 间内前来候车的人数；某段时间内，某种放 射性物质中发射出的α粒子数等等，均可用 泊松分布来描述.泊松分布是概率论中的又 一个重要分布，在随机过程中也有重要应用。
X(e) 的所有可能取值是什么？
（3）设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目 标射击 , 直到击中目标为止,用随机变量
X (e ) 抽得的白球数,
X (e ) 所需射击次数 ,
X(e) 的所有可能取值是什么？ （4）某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该 车站的时刻是随机的, 用随机变量
问题三 随机变量的一些例子
在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示 （1）每天进入教室的人数X （2）某个时间段吃饭排队的人数X （3）电灯泡使用的寿命T 而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否 合格，此时样本空间S=｛合格品，不合格品｝， 若用1对应合格品，-1对应不合格品，这样就都 有唯一确定的实数与之对应。
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布的图形特点： （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值 （2）当（n+1）p为整数时，二项概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达 到最大值 讲课本例3和例4 注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系
问题二：随机事件与随机变量的联系与区别 是什么？
随机试验中可能发生也可能不发生的事情为随机事 件，比如，对1、2、3的数集抽取，A是抽中1，B 是抽中2，C是抽中3，那么A、B、C就是随机事件。 随机变量是定义在样本空间上的变量，比如我们设 抽中的是X，那么X可能是1，也可能是2，或是3。 X完整的描述了该样本空间，即X可能值的全部是 样本空间。 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机 变量则是一种动态的观点。
第2章 随机变量及其分布
问题一：为什么引入随机变量? 问题二：随机事件与随机变量的区别是什么？ 问题三：随机变量的一些例子？
问题一：为什么引入随机变量？
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的， 为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学的方 法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就 需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示 的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量 的概念。 引入随机变量后我们就由对事件及事件概率的研究 转化为随机变量及其规律的研究。
A = “出现正面”， A “出现反面”；在射击试验中， A=“命中 目标” A , “未命中目标”;它们都可用（0－1）分布来描述．（0－1）分 布是实际中经常用到的一种分布．
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式
给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或 B(n,p)). 注：当n=1时， P( X k ) p k (1 p)1k (k 0,1) 随机变量X即服从0-1分布 在实际中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件称 为小概率事件．由于小概率事件在一次试验中发生的可能性 很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发 生的. 这条原则我们称它为实际推断原理．需要注意的是,实 际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生 的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎 是必然的。 如何证明以上这个结论是正确的呢？
n n
2.3 随机变量的分布函数
1.随机变量的分布函数 定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=P{X≤x} ( x ) 为X的分布函数。有时记作X~F（x） 这个概率具有什么特点呢? ①具有累积性 ②这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不 同。 注：①X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x) 的值就表示X落在区间 (, x] 的概率。
2.2 离散型随机变量及其概率分布
当试验次数n很大时，对二项分布b(n,p)的概率计 算起来不方便，此时须寻求某种近似计算方法，其 中一种就是二项分布的泊松近似。 定理1（泊松定理）：在n重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次 npn （ 0为常数）， 数n有关)，如果 n 时， 则对任意给定的k,有 k k k nk lim b(k,n, pn)= lim Cn pn (1 pn ) k ! e 讲课本例6，例7
k k P{x k} Cn p (1 p)nk , k 0,1,..., n.
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布在经济管理方面的应用： 在实际问题中，很多商品的销售量都是服从二项分 布的。因为每件商品都只有售出和库存两种状态， 而每件商品售出的概率在一段时间内是基本固定， 因此商品的进货量即为二项分布中的参数n，参数 p的值可利用数理统计方法进行估计，估计公式为 p≈ mn/n。mn为所出售的商品的件数。 在不增加成本的前提下, 追求利润的最大化是迫切 需要解决的问题。其实在有些情况下, 产品可靠性 数据可按二项分布加以分析, 我们只需作出小小的 调整,就能收到良好的效果。
2.2 离散型随机变量及其概率分布
2.概率分布 定义1 设离散型随机变量X的可能取值为 xi ， P{X xi } pi , i 1, 2,...
称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。 X的概率分布常用表格的形式来表示。 讲课本例1 练习题：设离散随机变量X的分布列为 X -1 2 3 pi 0.25 0.5 0.25 试求P(X≤0.5),P(-1≤X≤2.5)
2 随机变量的定义
注意： (1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差 别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在 样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数)。 (2)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的 各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也 有一定的概率规律.
0 F ( x) 1
2.3 随机变量的分布函数
②对x1, x2
( x1 x2 )，随机点落在区间 ( x1 , x2 ]
的概率
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F ( x2 ) F ( x1 )
③随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统 计规律性。 分布函数的性质： （1）单调非减。若 x1 x2 ，则 F ( x1 ) F ( x2 ) (2) F () limF () 0, F () limF ( x) 1 x x （3）右联系性，即 limF ( x) F ( x) xx 讲课本例1
2.2 离散型随机变量及其概率分布
分布律的说明： 当已知一个离散型随机变量X的概率分布时，
P{a xi b} P{ {X xi }}
a xi b a xi b


而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，
P{X I } P{X xi } pi
X (e ) 此人的等车时间,
X(e) 的所有可能取值是什么？
2.2 离散型随机变量及其概率分布
1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它 全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 连续型随机变量：假如一个随机变量X的可能取值 充满数轴上的一个区间（a,b）,则称X为一个连续 型随机变量。 例（1）投掷一颗骰子点数X的可能取值只有｛1， 2，3，4，5，6｝，则X是什么型的随机变量？ （2）电灯泡的使用寿命T，可能取值｛T≥0｝,所 以T是一个什么型的随机变量？
2 随机变量的定义
讲课本例1，例2 练习题: (1)在有两个孩子的家庭中,考虑其性别 , 共 有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女).
若用X表示该家女孩的个数时，则应该怎么 表示？
2 随机变量的定义
(2)设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,用随机变量
1.随机变量的引入
从上面的例子可以看出随机试验的结果都可 用一个实数来表示，这个数随着试验的结果 不同而变化，它是样本点的函数，这个函数 就是我们要引入的随机变量。
2 随机变量的定义
随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义 在样本空间S上的实值函数X=X( )为随机变量。 随机变量的表示： 常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 等表示 随机变量所取的值，一般采用小写字母x,y,z
2.2 离散型随机变量及其概率分布
泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为
P{ X k} e

k
则称X服从参数为 的泊松分布，记为X~P() 泊松流:若随机事件流具有平稳性、无后效性、普 通性，则称该事件流为泊松流。 对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生 的次数服从参数为 的泊松分布。 称为泊松流的 强度。
2.2 离散型随机变量及其概率分布
在经济管理决策中，利用泊松分布可以合理安排工 作岗位。 例如某车间有90台相同的机器，每台机器需要维 修的概率均为0.01，在同一时间每人只能维修一 台机器，在岗位设置中，不同的设置的方法使得机 器出现故障而等待维修的概率是不同的。如果三个 人明确分工，每人负责30台，此时λ=0.3，机器 需要维修的概率为P｛X>1｝=0.0369；若三个人 共同负责90台，此时λ=0.9，机器需要维修的概 率为P｛X>3｝=0.0135；通过概率的对比可知， 共同协作比各自为政的维修效率有所提高。 讲课本例5