机械优化设计-第04章 多维有约束优化方法
第四章 优化设计
X (1)
设计点X(k)的所有起作用约
g3 ( X ) 0
束的函数序号下标集合用Ik
表示，即
X ( 2)
g1 ( X ) 0
g4 ( X ) 0
I k {u g u ( X ( k ) ) 0， (u 1,2, , m)}
x1
左图中, I1 {1} I 2 {1,2} I3
目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。 优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。 目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。
现代机械设计方法
等值曲面:目标函数值相等的所有设计点的集合称为目 标函数的等值曲面。
二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等超越面。 等值线族形象地反映了目 z 等高线 标函数值的变化规律，越 靠近极值点的等值线，表 示的目标函数值越小，其 分布也越密集。
g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 g ( x , x ) 3 x 10x 300 2 1 2 1 2 g 3 ( x1 , x2 ) 4 x1 5 x2 200 g ( x , x ) x 0 1 4 1 2 g 5 ( x1 , x2 ) x2 0
经典优化设计：20世纪40年代起，数学规划论和计算机 技术的发展使做优化设计计算成为可能；
优化设计从无约束----有约束优化问题；连续变量----离散变量；确 定型-----随机型模型；单目标优化----多目标优化；
现代优化设计：20世纪80年代出现许多现代优化算法： 模拟退火法、遗传算法、人工神经网络法、蚁群优化算 法等；
x2
g( X ) 0 g( X ) 0
机械系统优化设计中的多目标优化方法
机械系统优化设计中的多目标优化方法引言：机械系统是现代工业中不可或缺的一部分，它们的设计和优化对于提高生产效率和降低成本至关重要。
在机械系统的设计中，多目标优化方法被广泛应用，以实现各种设计指标的最优化。
本文将介绍机械系统优化设计中的多目标优化方法，并探讨其在实际应用中的优势和挑战。
一、多目标优化方法的概述多目标优化方法是一种通过考虑多个设计指标来实现最优解的方法。
在机械系统优化设计中，常见的设计指标包括性能、成本、可靠性、安全性等。
传统的单目标优化方法只考虑一个设计指标，而多目标优化方法则能够在多个指标之间找到一种平衡。
二、多目标优化方法的应用1. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步搜索最优解。
在机械系统优化设计中，遗传算法能够同时考虑多个设计指标，找到一组最优解，以满足不同的需求。
2. 粒子群算法粒子群算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化方法。
它通过模拟粒子在解空间中的移动和信息交流，逐步搜索最优解。
在机械系统优化设计中，粒子群算法能够在多个设计指标之间找到一种平衡，以达到最优化设计。
3. 支持向量机支持向量机是一种基于统计学习理论的优化方法。
它通过构建超平面来划分不同类别的数据，以实现分类和回归的最优化。
在机械系统优化设计中，支持向量机能够通过分析历史数据和建立模型，预测不同设计参数对多个指标的影响，从而实现最优化设计。
三、多目标优化方法的优势和挑战多目标优化方法在机械系统优化设计中具有以下优势：1. 考虑多个设计指标，能够找到一种平衡，满足不同需求。
2. 能够通过模拟自然进化或群体行为的方式进行搜索，提高搜索效率。
3. 能够通过建立模型和分析数据，预测不同设计参数对多个指标的影响，指导设计过程。
然而，多目标优化方法也面临一些挑战：1. 设计指标之间可能存在冲突，需要找到一种平衡的解决方案。
2. 多目标优化问题的解空间通常非常大，搜索过程可能非常复杂和耗时。
机械系统优化设计中的约束与优化问题
机械系统优化设计中的约束与优化问题在机械工程领域，优化设计是一项关键任务。
通过对机械系统进行优化，可以提高效率、减小能耗、延长使用寿命等。
然而，在进行机械系统的优化设计时，我们必须面对各种约束和优化问题。
首先，机械系统的约束可以分为两类：设计约束和工程约束。
设计约束包括机械系统的形状、尺寸、重量等方面的限制，以及与其他系统或部件的接口要求。
这些约束是设计者必须遵守的，因为它们直接关系到机械系统的可用性和实际应用。
另一方面，工程约束包括材料强度、制造成本、可维护性等因素。
这些约束是实际工程实施时需要考虑的，因为它们关系到机械系统的可靠性和经济效益。
在优化设计中，我们通常会面临多个冲突的目标。
例如，在减小机械系统的重量的同时，要确保其强度不下降；在提高机械系统的效率的同时，要保持其成本可控。
这就引入了多目标优化问题。
多目标优化问题需要寻找一个最佳的折中方案，将各个目标在不同约束条件下进行优化，以求达到最大化总体效益的目标。
为了解决这些优化问题，我们通常使用数学建模和优化方法。
对于约束问题，我们可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法和KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入优化问题中，从而将原问题转化为一个无约束问题。
然后，我们可以使用一般的优化算法，如梯度下降、遗传算法等，来解决这个无约束问题。
此外，在实际的机械系统优化设计中，我们还会面临一些实际的限制。
例如，制造设备和制造工艺的限制，材料的可获得性等。
这些实际限制需要考虑在内，以确保设计方案的可行性和可实施性。
另一个重要问题是机械系统的不确定性。
在机械系统的设计过程中，我们通常会面临各种形式的不确定性，如设计参数的不确定性、负载的不确定性等。
这些不确定性会对设计结果产生影响，因此需要在优化设计中进行考虑。
一种常见的方法是使用鲁棒优化方法，通过考虑不确定性的范围和分布，寻找一个鲁棒的设计方案，以确保在不同的不确定条件下系统仍然能够正常工作。
机械优化设计约束优化方法
（1）直接法
直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。
（2）间接法
间接法包括：罚函数法（内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法）、广义乘子法、广义简约梯 度法和约束变尺度法等。
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是
如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不 需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点并 比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探 索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合 形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下 降，还应当满足所有的约束条件。
基本思想：在可行域中选取K个设计点 （ n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标 函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点) ，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的 映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
取次好点和好点连线的中点为X(0)。
令：X(4)= X(0)+α(X(0)-X(H))
称X(4)为映射点，记为X(R)，α为映射系数，通常取 α=1.3，可根据实际情况进行缩减。
一般情况下，映射点的函数值比坏点的函数值要 小，即F(X(R))< F(X(H))。若满足可行域，则用X(R)代替 X(H)构成新的复合形。如此反复迭代直到找到最优解。
（3）计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。
X0
1 K K1j1
X(j),
j
H
（4）计算映射点X(R)
X (R )X (0 )(X (0 )X (H ))
检查X(R)是否在可行域内。若X(R)为非可行点，将映 射系数减半后再按上式改变映射点，直到X(R)进入可行 域内为止。
机械优化设计方法
机械优化设计方法
机械优化设计方法是指通过改变机械结构、优化参数以及采用新的优化算法等手段，使机械产品在设计阶段达到更高的性能和更低的成本。
常用的机械优化设计方法包括：
1. 数值优化方法：通过数学模型和计算机仿真技术，结合优化算法优化机械结构和参数。
常见的数值优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、微粒群算法等。
2. 设计自动化方法：借助计算机辅助设计软件和优化算法，实现对机械结构的自动化设计和优化，从而提高设计效率和准确性。
3. 敏感性分析方法：通过对机械结构或参数进行敏感性分析，找出对系统性能影响最大的因素，然后对其进行优化，以达到整体性能的最优化。
4. 多目标优化方法：由于机械设计往往存在多个冲突的优化目标，如性能、重量、成本等，多目标优化方法可以帮助工程师在多个目标之间进行权衡和优化，得到一组最优解，以满足不同的需求。
5. 拓扑优化方法：通过拓扑学原理和优化算法，对机械结构进行优化设计，使得结构材料得到更合理的分布，从而达到降低重量、提高刚度和强度的目的。
总的来说，机械优化设计方法旨在通过优化机械结构和参数，以达到更好的性能、更低的成本和更高的可靠性。
采用合适的优化方法可以有效提高设计效率和准确性，推动机械产品的不断创新和提升。
多维约束优化运动学模型问题举例
多维约束优化运动学模型问题举例摘要：1.引言2.多维约束优化运动学模型的概述3.多维约束优化运动学模型问题的举例4.解决多维约束优化运动学模型问题的方法5.总结正文：【引言】多维约束优化运动学模型是机器人学领域的一个重要研究内容，它在机器人的运动规划和控制中发挥着关键作用。
在实际应用中，机器人往往需要在多个约束条件下进行运动规划，这就涉及到多维约束优化运动学模型问题的求解。
本文将通过一个具体的例子，来阐述如何解决这类问题。
【多维约束优化运动学模型的概述】多维约束优化运动学模型是指在给定多个约束条件下，求解机器人的运动学模型问题。
这里的约束条件可以是机器人的关节角度限制、工作空间限制、碰撞避免等。
求解这类问题，需要采用优化方法，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
【多维约束优化运动学模型问题的举例】假设我们有一个四自由度的机器人手臂，其关节角度限制如下：- 肩关节：-90°至90°- 肘关节：-180°至180°- 腕关节1：-180°至180°- 腕关节2：-180°至180°同时，机器人手臂需要在一个有限的工作空间内进行运动。
工作空间的边界由以下几个平面构成：- X 轴平面：x=0- Y 轴平面：y=0- Z 轴平面：z=0- XY 平面：x=y- XZ 平面：x=z- YZ 平面：y=z现在，我们需要在这个多维约束条件下，求解机器人手臂的运动学模型问题。
【解决多维约束优化运动学模型问题的方法】对于这类问题，我们可以采用非线性规划的方法进行求解。
首先，我们需要将问题转化为数学模型，即求解以下优化问题：min ||q1-q2||^2 + ||q3-q4||^2s.t. -90≤q1≤90-180≤q2≤180-180≤q3≤180-180≤q4≤180-90≤q5≤90-90≤q6≤90-90≤q7≤90其中，q1 至q7 分别为机器人四个关节的角度。
优化设计有约束优化无约束优化
目录1.多维有约束优化错误!未定义书签。
题目错误!未定义书签。
已知条件错误!未定义书签。
建立优化模型错误!未定义书签。
问题分析及设计变量的确定错误!未定义书签。
目标函数的确定错误!未定义书签。
约束条件的建立错误!未定义书签。
优化方法的选择错误!未定义书签。
数学模型的求解错误!未定义书签。
确定数学优化模型错误!未定义书签。
运用Matlab优化工具箱对数学模型求解错误!未定义书签。
1. 最优解以及结果分析错误!未定义书签。
2.多维无约束优化错误!未定义书签。
题目错误!未定义书签。
确定优化设计模型错误!未定义书签。
运用Matlab优化工具箱对数学模型求解错误!未定义书签。
编写目标函数错误!未定义书签。
绘制该函数的平面和空间等值线错误!未定义书签。
利用matlab工具箱fminunc函数对该模型进行求解错误!未定义书签。
求解结果错误!未定义书签。
1.多维有约束优化 题目对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行多维有约束优化设计。
已知条件已知数输入功p=58kw ，输入转速n1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H=550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F=400Mpa 。
建立优化模型1.3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.0222122212221222212212122221222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u mz b bd m u mz b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-----+-=πππππππ式中符号意义由结构图给出，其计算公式为b c d m umz d d d mumz D mz d mz d z z g g 2.0)6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为Tz z T d d lm z bx x x x x x x ][][211654321==1.3.2目标函数的确定根据以上分析，可知，该齿轮减速器以体积最小的目标函数为：min)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f1.3.3 约束条件的建立(1)为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得017)(21≤-=x x g(2)齿宽应满足maxmin ϕϕ≤≤d b，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=，max ϕ=，得:04.1))(0)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g(3)动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得02)(34≤-=x x g(4)为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于max 1d ，得0300)(325≤-=x x x g(5)齿轮轴直径的范围：max min z z z d d d ≤≤得0200)(0130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g(6)轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得0405.0)(46110≤--+=x x x x g(7)齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g(8)齿轮轴的最大挠度max δ不大于许用值][δ，得003.0)(04.117)(445324414≤-=x x x x x x g(9)齿轮轴的弯曲应力w δ不大于许用值w ][δ，得5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g优化方法的选择由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。
机械结构优化设计的多条件约束方法
机械结构优化设计的多条件约束方法在工程设计中，机械结构的优化设计是一个重要的环节。
优化设计的目标是在满足各种约束条件下，使得结构的性能达到最优。
然而，由于实际工程问题的复杂性，单一的优化目标往往无法满足所有的要求。
因此，需要采用多条件约束方法来进行设计。
多条件约束方法是指在优化设计过程中，同时考虑多个设计变量和多个性能指标，以及多个约束条件。
这些指标和约束条件往往是相互矛盾的，所以需要找到一种平衡的方法来满足各种要求。
下面将介绍一些常用的多条件约束方法。
首先，多目标优化是一种常用的多条件约束方法。
多目标优化的目标是寻找一组非劣解，即不存在其他解能在所有目标函数上同时取得更好的值。
这样的解集称为帕累托前沿。
通过选择不同的非劣解，设计者可以根据优先级制定合适的设计方案。
其次，约束方法是一种常见的多条件约束方法。
约束方法的思想是将多个约束条件转化为一个综合的约束函数，并将其作为一个目标函数进行优化。
通过调整综合约束函数的权重，可以实现不同约束条件之间的平衡。
然而，这种方法存在一个问题，即如何确定综合约束函数的权重。
一种常用的方法是使用加权系数法，根据不同约束条件的重要性分配不同的权重。
另外，最优化方法也是一种常见的多条件约束方法。
最优化方法的思想是将多个目标函数和约束条件转化为一个综合的优化问题，在满足约束条件的前提下，寻找使得综合目标函数取得最优值的设计变量。
最优化方法可以采用数学规划方法进行求解，如线性规划、非线性规划等。
除了上述方法，还有一些其他的多条件约束方法。
例如，灰色关联分析方法可以通过对设计变量和性能指标之间的关联度进行评价，从而确定最优设计方案。
遗传算法是一种模拟自然界遗传过程的优化方法，通过进化的过程搜索全局最优解。
模糊综合评价方法可以将模糊数学理论引入到多条件约束问题中，通过对设计变量和性能指标进行模糊综合评价，得到最优解。
综上所述，机械结构优化设计的多条件约束方法有多种选择。
根据具体的设计需求和问题特点，可以选择适合的方法进行设计。
优化设计4约束优化方法
22
由此，这种方法的关键是如何确定初始点、搜索方向和搜索步长，而这 些都涉及到随机数问题．因此下面如何产生随机数的方法
23
随机数的产生 产生在区间(0，1)内分布的随机数列rj的常用方法有两种
N=10; DIM R(N) FOR I=1 TO N R(I)=RND(1)
PRINT R(I) NEXT I
条件，就可再加倍增大步长，继续迭代，不断产生新的迭代点。
如果该点已违反了可行性条件，
此时取它的前一迭代点X
(1) 3
作为沿
e1方向搜索的终点转而沿x2坐标
轴正向进行搜索
X 4(已1) 经违犯
了可行性条件
正向的第一个迭代点的目标函数 值增加，即不满足适用性条件，
改取负步长 0 进行迭代
下面的迭代方式与前面相同，直到违反适用性或
21
随机方向法在某个迭代点可以按照足够多的m个方向进行搜索，一般事先
约定搜索方向数m＝50~500，m过小会影响最优方向的选择，过大会使收
敛速度降低。因此，随机方向法处理约束优化问题要比约束坐标轮换法灵
活和有效。
以二维约束优化问题为例说明随 机方向法的基本原理。在可行域 内任意选择的一个初始点X（0）出发 给定的步长α＝α0按照以某种方法 产生的随机方向S（1）进行搜索，得到 迭代点X＝X(0)+αS（1）,如果同时满足 可行性和适用性，则表示点X探索成 功。再将点X作为起始点
足约束条件 gu(X) 0（u＝1，2，…，m)，则应重新随机选择出可行
i=ai(ba)
26
均匀分布的随机数列 i
初始点的选择
27
选择初始点注意：
根据设计变量上限和下限随机产生的初始点， X(0)[x1 (0),x2 (0),xn (0)]T
机械结构优化设计中的多目标与多约束研究
机械结构优化设计中的多目标与多约束研究引言机械结构优化设计是一项十分重要的工程任务，通过对机械结构进行优化设计可以提高其性能和功能。
然而，在实际应用中，机械结构设计往往需要考虑多个目标和多个约束条件。
本文将围绕机械结构优化设计中的多目标与多约束研究展开论述。
一、多目标优化设计多目标优化设计是指在设计过程中需要考虑多个目标函数，并且这些目标函数之间往往是相互冲突的。
在机械结构优化设计中，常见的目标函数包括结构的强度、刚度、轻量化程度等。
如何将这些目标函数进行有效地权衡和优化成为了一个挑战。
一种常用的解决方法是多目标优化算法，如遗传算法、粒子群算法等。
这些算法通过引入一定的随机性和迭代搜索来寻找多目标优化问题的最优解。
通过将多个目标函数构建成为一个多维向量，可以生成一个由不同目标函数构成的 Pareto 前沿，从而为设计提供多种可行的解。
二、多约束优化设计在机械结构优化设计中，还常常需要考虑多个约束条件，以确保设计的可行性和实用性。
这些约束条件可以包括材料的强度限制、尺寸的限制、加工工艺的限制等。
如何合理地处理这些约束条件，进而找到满足这些条件的最优设计成为了另一个关键问题。
对于多约束优化问题，也可以采用多目标优化算法来解决。
在这种情况下，将每个约束条件视为一个目标函数，并使其满足这些约束条件。
通过引入约束罚函数或约束优化方法，可以在不违反约束条件的前提下进行优化。
另外，还可以采用多阶段优化的方法来处理多约束优化问题。
将约束条件分为主次约束，先优化满足主约束条件的设计方案，然后再优化次约束条件。
这种方法可以有效地解决约束之间的冲突和处理问题。
三、多目标与多约束的综合优化在实际工程中，机械结构优化设计往往需要同时考虑多个目标和多个约束条件。
这种多目标与多约束的综合优化问题更具挑战性，需要综合考虑各个目标函数和约束条件之间的相互关系。
对于多目标与多约束综合优化问题，常见的方法是基于准则法和权衡法。
准则法通过将多个目标函数规范化到一个统一的目标函数，从而将多目标问题转化为单目标问题。
7- 优化设计-4多维优化之约束优化方法
4
基本思想：
依据原约束优化问题的约束条件构 建可限制其目标函数值脱离可行域之外的 约束函数，并将其与原目标函数共同组成 一个新目标函数，进而通过对新目标函数 的求解实现约束优化问题向无约束优化问 题的转化和求解．
5
2、惩罚函数法的内涵和本质
原目标函数f(X) 约束条件
+
构建 约束优化问题 转 约束函数
g2(X)=1/ (P· L/(4L2-B2)1/2-π3ET/8L2· (D2+T2))
２００ ≤1/2· (4L2-B2)1/2 ≤ 1200
g3(X)=1/(200 - 1/2 · (4L2-B2)1/2 ) g4(X)=1/ (1/2· (4L2-B2)1/2 -1200)
u
2
24
性质３：当迭代次数足够大，惩罚函数
中各项违反约束的函数取值趋于０,惩罚 函数的极小点就是目标函数的最优点
max g x,0
u 1 u
m
2
1 k k x*, r f x * 0 r
25
6）外点法计算步骤
１：给定初始点x0 以及初始惩罚因子 r0、递 增系数a、收敛精度 ε1 ε2 ，令 k=0； ２： 构造惩罚函数； ３：用无约束优化方法求惩罚函数的最优解 xk* 和对应函数值 ４：运用终止准则进行收敛判断，满足收敛 条件，计算结束，xk* 为最优点，否则 令X0=xk*；rk+1=a*rk*；k=k+1,返回步骤3 继 续计算
点在约束边 界值趋于∞
惩罚函数为：
1 ( x , r ) f ( x ) r u 1 gu ( x )
k k m
或： ( x, r ) f ( x ) r
k
机械优化设计--约束问题的最优化方法
3. 初始点 x (0) 的选择： 要求： ① 在可行域内；
② 不要离约束边界太近。
方法： ① 人工估算，需要校核可行性；
② 计算机随机产生，也需校核可行性。
§4.2 内点惩罚函数法
方法：
③ 搜索方法： 任意给出一个初始点；
判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值：
gk (x0) max{ gu x0 } u 1,2,..., S；
g g’=g+δ
δ0
δ0
δ
§4.3 外点惩罚函数法
四. 步骤：
1. 选择合适的初始点x(0)，并选择 r(0), a, ε1, ε2, δ0，令 k=0 ；
2. 构造惩罚（新目标）函数，调用无约束优化方法，求新目标函数
的最优解 xk* 和 Φ(xk , r(k) ) ；
3.
判断是否接近边界：
若max gu x * rk
，
0
则停止迭代， x* x * rk 。 否则，转第4步。
4. 判断是否收敛：运用终止准则
① x(k1) * (r(k1) ) xk * (r(k) ) 1
②
(x(k1) * (r (k1) )) (xk * (r (k ) )) (x(k1) * (r (k1) ))
大作业布置
3. 运行 SUMT.EXE
① 屏幕显示： N
含义： 设计变量数
② 屏幕显示： X
含义：
初始点
③幕显示： BU
含义：
上界
KG 不等式约束数
KH 等式约束数 （1）
⑤ 屏幕显示： EP : EPS :
C : HO : R
含义：内点法精度 Powell法精度 降低系数 试探 加权因子 步长因子
机械优化设计(张翔,陈建能编著)PPT模板
2.6优化设 计的约束极
值条件
2.4函数的 凸性
2.5目标函 数的无约束
极值条件
2.1本章导 读
2.2向量、 矩阵的若干
概念
2.3目标函 数的性态分
析基础
第2章优化设计的 理论基础
2.7优化设计的数值解法及终止 准则 2.8习题
第3章一维优化 方法
第3章一维优化方 法
3.1引言 3.2确定搜索区间的进退法 3.3黄金分割法 3.4二次插值法 3.5习题
第9章优化设计实例
9.1复演预期函数机构的
1
设计
9.2圆柱齿轮减速器的优
化设计
2
9.3圆柱螺旋压缩弹簧的
3
优化设计
9.4椭圆齿轮-曲柄摇杆-
轮系引纬机构的设计
4
9.5手脚联控机构的多目
5
标优化设计
9.6应用的扩展——两个
非工程设计的应用实例
6
第9章优化设计实 例
9.7习题
参考文献
参考文献
附录混合罚函数优化 程 序 与 M AT L A B 使 用 示例
附录混合罚函数优化程序 与 M AT L A B 使 用 示 例
F1混合罚函数调用Powell法求 优参考程序
F 2 M AT L A B 优 化 工 具 使 用 示 例
2020
感谢聆听
换
05
7.5优化计 算结果的分
析
03
7.3建模中 数表和图线
的程序化
06
7.6习题
第8章现代优化计算 方法与优化工具软件 应用概述
第8章现代优化计算方法与优化 工具软件应用概述
8.1现代优化计算方法 8 . 2 M AT L A B 优 化 工 具 应 用 概 述 8.3习题
机械结构优化设计中的多目标多约束优化方法研究
机械结构优化设计中的多目标多约束优化方法研究随着科技的不断进步和发展，机械结构优化设计在工程领域中扮演着越来越重要的角色。
如何通过优化设计方法实现结构的多目标多约束优化成为了研究的热点。
本文将就机械结构优化设计中的多目标多约束优化方法进行探讨。
首先，我们需要明确多目标多约束优化的概念。
传统的优化设计通常只关注单一的目标和约束条件，而在实际工程中，结构的优化往往涉及到多个目标和约束条件。
多目标优化设计需要在不同目标之间寻找一个平衡点，使得各个目标尽可能得到满足。
多约束优化设计则要求结构要满足多个约束条件，如强度、刚度、重量等。
因此，多目标多约束优化设计需要综合考虑多个因素，以达到最优设计方案。
在机械结构优化设计中，常用的多目标多约束优化方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些方法通过不同的策略和搜索算法，寻找最优解。
以遗传算法为例，它模拟了生物进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作，从初始的随机种群中寻找最优解。
而粒子群算法则是模拟鸟群或鱼群的行为，在搜索空间中通过个体的位置和速度来寻找最优解。
模拟退火算法则是模拟金属退火的过程，通过温度降低的方式逐渐接近最优解。
这些方法在寻找多目标多约束优化问题上都取得了一定的成果。
除了这些传统的多目标多约束优化方法外，还有一些新兴的方法被应用在机械结构优化设计中。
例如，基于人工神经网络的优化方法、基于模糊逻辑的优化方法等。
这些方法通过模拟人类的思维和决策过程，将模糊不确定性纳入到优化模型中，能够更好地处理多目标多约束问题。
在实际应用中，机械结构优化设计中的多目标多约束问题常常具有非线性、离散和高维的特点，给优化过程带来了很大的挑战。
因此，如何选择适当的优化方法，并合理定义目标函数和约束条件，成为了研究者们关注的焦点之一。
此外，还需要考虑到计算资源和时间的限制，以及不同的设计阶段对优化设计方法的要求。
因此，机械结构优化设计中的多目标多约束优化方法研究仍然存在许多待解决的问题。
多维约束优化运动学模型问题举例
多维约束优化运动学模型问题举例一、引言在科技飞速发展的今天，多维约束优化运动学模型在各领域中的应用愈发广泛。
作为一种重要的优化方法，它可以帮助我们在复杂环境中规划运动轨迹，提高系统的性能和效率。
本文将通过两个问题举例，详细介绍多维约束优化运动学模型的应用与解决方法。
二、多维约束优化运动学模型简介1.定义与意义多维约束优化运动学模型是指在多个变量约束条件下，求解运动学优化问题的一种数学模型。
它可以用于描述和解决物体在运动过程中受到多种约束条件的优化问题。
在实际应用中，多维约束优化运动学模型可以帮助我们制定合理的运动策略，使物体在满足约束条件的前提下，实现运动目标。
2.模型构建与求解方法多维约束优化运动学模型的构建主要包括以下几个方面：（1）确定优化目标：根据实际问题，设定合适的优化目标函数。
（2）建立约束条件：分析问题背景，确定影响运动过程的约束条件。
（3）选择求解方法：根据问题特点，选择合适的优化算法求解模型。
常见的求解方法有：梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、信赖域反射算法等。
三、问题举例1.实例一：机器人路径规划（1）问题描述在复杂环境中，机器人需要规划一条无碰撞的路径，使其从起点到达目标点。
此时，我们可以采用多维约束优化运动学模型进行路径规划。
（2）优化目标与约束条件优化目标：使机器人在满足约束条件的前提下，路径长度最短。
约束条件：1）机器人运动过程中，不得进入禁止通行区域；2）机器人运动过程中，速度和加速度需满足物理限制；3）机器人运动过程中，关节角度需满足关节限制。
（3）解决方案与分析采用梯度下降法求解多维约束优化运动学模型，得到机器人的最优路径。
通过对比实验，验证了所提方法的有效性。
2.实例二：飞行器轨迹优化（1）问题描述在飞行器执行任务过程中，需要优化其轨迹以提高燃料利用率、减小飞行风险。
此时，我们可以利用多维约束优化运动学模型进行轨迹优化。
（2）优化目标与约束条件优化目标：使飞行器在满足约束条件的前提下，燃料消耗最小。
机械设计中的多目标多约束优化方法研究
机械设计中的多目标多约束优化方法研究引言机械设计中的优化问题一直是研究者们关注的焦点之一。
在实际应用中，我们常常面临多个相互矛盾的目标和多个约束条件。
如何找到一个满足多个目标和约束条件的最优设计方案是一项具有挑战性的任务。
本文将就机械设计中的多目标多约束优化方法进行研究和探讨。
一、传统的多目标优化方法1. 单目标优化方法的问题在传统的机械设计中，通常采用单目标优化方法来求解设计问题。
但是，这种方法只能得到一个最优解，在多目标问题中显得力不从心。
由于多个目标之间可能存在着冲突和矛盾，通过单目标优化方法很难找到一个满足所有目标的解。
因此，我们需要引入多目标优化方法来解决这个问题。
2. 多目标优化方法的发展多目标优化方法主要有三大类：加权法、约束法和演化算法。
加权法是指将多个目标函数通过加权求和的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
约束法是指将多个目标函数通过加权和约束的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
演化算法是指通过模拟自然进化过程，生成一组可能的解，然后再进行选择和进化，最终得到一组近似最优解。
二、多目标多约束优化方法的研究1. 多目标进化算法多目标进化算法是一种较为常用的方法，它主要包括非支配排序遗传算法（NSGA）、非支配排序遗传算法II（NSGA-II）、多目标粒子群优化算法（MOPSO）等。
这些算法能够有效地寻找到一组近似最优解，并提供给决策者进行选择。
例如，在机械设计中，我们可以通过一组近似最优解来选取满足多个目标的设计方案。
2. 多目标约束方法多目标约束方法是指在满足多个约束条件的前提下，寻找到一个满足多个目标的最优解。
常见的方法有加权函数法、约束法以及置换法等。
这些方法可以将多个目标函数和约束条件一起考虑，通过一系列的优化算法得到一个相对最优的设计方案。
例如，在机械设计中，我们需要考虑多个目标，如材料的强度、成本的最小化以及重量的减少，同时还需要满足制造工艺的要求等。
三、案例分析以某工程机械设计为例，我们希望设计一款满足多个目标和约束条件的挖掘机。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章：多维有约束优化方法4.1概述一、多维有约束问题的数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为式中a i、b i分别为x i的下界和上界。
在求解约束优化问题时，虽然可以利用第三章的无约束优化方法，再加上约束的逻辑判断，使搜索点保持在可行域内逐步逼近约束最优解，但这样处理太复杂，缺乏严格的科学性。
因此，出现了一些直接求解约束优化问题的方法，其基本思路也是数值迭代法。
目前，约束优化方法虽然不如无约束优化方法那样多而完善，但对求解工程优化问题已有很多较好的方法。
二、多维有约束优化方法的分类（1)直接法直接法包括：网格法、分层降维枚举法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。
(2)间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。
直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。
间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。
很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。
可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。
4.2复合形法一、方法概述基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。
比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
二、初始复合形的产生复合形法是一种在可行域内收索最优点大直接解法。
(1)确定可行点作为初始复合形的第一个顶点：式中：通过调整随机数，使第一个初始点控制在可行域范围内。
(2)产生其余（K－1）个随机点。
(3)将非可行点调入可行域内。
若从第一个点到第个点均在可行域范围内，但第点不在可行域内，采取下列步骤使其调入可行域范围内：（a）先求出已在可行域范围内的q个点的中心：（b）将点向方向推进：＝＋0.5(－)若推进的点仍不在可行域范围内，则利用上式，使其继续向中心移动，直至新点成为可行点为止。
（c）继续依次检查，…，，若是可行点，即可作为复合形的顶点；若是不可行点，也将其调入可行域内。
三、迭代过程1.给定设计变量数目n、变量界限范围和精度要求，选定复合形顶点数目K （一般取K=2n）。
2.设计产生初始复合形的K个顶点。
3.计算复合形各顶点的目标函数值，找出最坏点、最好点及次坏点。
4.计算除最坏点以外其余各顶点的中心，并判别中心点的可行性。
当中心点为可行点时，转向下一步；否则须重新确定设计变量的上下限，然后重新构造初始复合形。
5.计算映射点，并检查和保证其在可行域内。
6.比较映射点与最坏点的目标函数值，构成新的复合形。
7.检验是否满足迭代终止条件：式中和分别表示第j个可行点的函数值和最坏点的函数值。
四、方法特点（1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。
但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。
（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
4.3罚函数法一、基本思想罚函数法的原问题的数学表达式为：把它转化为一个等价的无约束优化问题的数学模型：式中——罚函数；和——分别为和的泛函（泛函可简单理解为这些函数根据解法要求构造另一些形式的函数，例如和分别为和的泛函）；和——分别为罚参数或罚因子，在迭代过程中总是某个正实数；和——称为惩罚项，恒为非负，其值随着k的增大越来越小，最后P和F值趋于相等，从而达到求解目的。
可以看出，罚函数法的一般求解过程是：定义和的形式，选择不同的和的递推序列和，每调整一次罚因子值，即对数学模型作一次无约束优化，得到一个无约束最优解。
随着罚因子的不断调整，得到无约束最优解的点列，不断逼近有约束的最优解。
当满足收敛准则后，则最后一个无约束最优解就是原问题的最优解。
所以它是一种序列求优过程，常称为“序列无约束极小化方法（Sequential Unconstrained Minimization）”，简称SUMT法。
根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
二、内点法1.内点法泛函的构造内点法的数学模型仅适用于不等式约束，其模型格式是内点法的泛函可构造为各个约束函数的导数之和：＝或构造为各个约束函数导数的自然对数之和：=根据泛函构造形式的不同，罚函数的形式可写为：或罚因子的作用是：由于内点法只能在可行域内迭代，而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上，此时尽管泛函的值很大，但罚因子是不断递减的正值，经多次迭代，接近最优解时，惩罚项已是很小的正值。
2．迭代过程（1）在可行域内选一个严格初始点X(0)，最好不要靠近任一约束边界。
（2）选一个适当大的初始罚因子r(0)，用无约束优化方法寻求罚函数的极小点X0*，再选一个罚因子递减率c(0<c<1)，求递减后的罚因子r(1)=cr(0)，以X0*为初始点，再用无约束优化方法求罚函数的极小点X1*。
（3）重复步骤（2），直到满足收敛条件，终止迭代。
3．关于内点法中几个问题的讨论（1）初始点X(0)的选择：初始点必须满足，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。
（2）初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。
一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。
（3）递减系数c的选择：一般来说，取0.1。
（4）在一定条件下有如下规律：(a)为严格单调下降函数，即有：>>>…，且(b)为单调非增数列，即：且(c)泛函为单调非降数列，且(5)用内点法求P的无约束极小，只能在可行域内迭代；但沿某一方向作一维搜索寻找极小点区间时可能超出可行域，此时必须把步长收缩到可行域内，取一个P函数值有所下降的点作为一维搜索所得点。
每作一次一维搜索，都要检查是否有破坏约束，如有破坏，应把寻优区间收缩。
4．内点法的迭代终止准则（1）前后两次无约束极小点之间的距离满足精度要求：或相对误差：（2）相邻两点函数值的绝对误差满足：或相邻两点函数值差的相对误差满足：（3）相邻两点罚函数的相对误差满足：（4）及：同时满足三、外点法1．外点法的泛函和罚函数的构造上节介绍的内点法，对工程优化设计有一定优点，可以得到多个可行设计方案。
但必须选择一个严格初始内点。
目前，从理论上和程序设计上虽可以做到由程序自动寻找初始内点，但当原问题的可行域很狭窄，寻找初始内点可能会失败，或仅能找到一个离边界很近的初始内点，使迭代过程很长，甚至失败；此外，不能用来求解具有等式约束的优化问题。
下面介绍的外点法可以克服这些不足。
外点法的数学模型为：对于不等式约束，泛函可这样构造：=对于等式约束，泛函可这样构造：=所以，罚函数的构造形式为：式中罚因子M（k）是正的递增数列，其递增率c’>1，即：M（k）＝c’M （k－1）。
当X使全部约束满足时，惩罚项的值为零，不起惩罚作用；当X使全部约束不同时满足时，惩罚项的值是较大的正值，起较大的惩罚作用。
作用，就把原来的约束问题变为：的求无约束极小问题。
随着罚因子M（k）的递增，迫使惩罚项趋于零，泛函值趋于零，惩罚项也趋于零，最后逼近真值。
故外点法是从可行域外经若干次迭代求无约束极小二逐渐逼近原问题的极小点。
2．迭代过程（1）任选一个初始点X(0)（可以是内点，也可以是外点），再选一个适当大的初始罚因子M(0)和递增率c’，用无约束优化方法求极小点X0*值。
（2）以X0*作为下一个迭代的初始点，取M(1)＝c’M(0)，求极小点X1*值。
（3）M(k)＝c’M(k-1)，逐次递增罚因子，依次取上次极小点作为本次迭代的初始点，重复步骤（2），直至满足终止准则（终止准则与内点法相同）。
3．关于外点法中几个问题的讨论（1）初始点的选取：虽可任选，但应选择有定义的初始点。
（2）初始罚因子的递增率的选择：一般情况下，总是先取适当小的罚因子，再根据运算结果决定如何调整。
（3）在一定条件下，外点法有如下规律：(a)为单调非降数列，即有：且(b)为严格单调增加数列，即：且(c)泛函+为单调非增数列，且：limM(k){+}=0（4）最优解的特点外点法是从可行域外部逐步向可行域逼近。
如原问题的最优解在可行域内部，则可收敛到可行域内。
但对于约束极值，其精确解经常是在一个或几个约束边界上，用外点法不可能收敛到边界上，只能收敛到边界外某个精确的小区域中。
因此，为克服此缺点，可将某些性能约束紧缩一个裕量，即。
4．内点法和外点法的简单比较内点法的特点：1)初始点必须为严格内点2)不适于具有等式约束的数学模型3)迭代过程中各个点均为可行设计方案4)一般收敛较慢5)初始罚因子要选择得当6)罚因子为递减，递减率c有0<c<1外点法的特点：1)初始点可以任选，但应使各函数有定义2)对等式约束和不等式约束均可适用3)仅最优解为可行设计方案4)一般收敛较快5)初始罚因子要选择得当6)罚因子为递增，递增率c’有c’>1四、混合罚函数法1．泛函和罚函数的构造混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。
混合罚函数法的构造形式与外点法的区别是：选定初始点后，对于已满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对于等式和未被满足的不等式约束按外点法构造惩罚项。
混合罚函数法的具体形式是式中为对于已被初始点满足的不等式约束按内点法构造的泛函；为对于未被初始点满足的不等式约束按外点法构造的泛函：为按外点法构造的等式约束的泛函。
为罚因子，对内点法构造的惩罚项，是递减正数列；按外点法构造的惩罚项，其罚因子应为递增的正数列。
为简化程序，取。
下标集合定义为：2．用外推法改进求无约束极小化的初始点用外推法改进无约束极小化的初始点以加快收敛，同时可能对最优解作进一步改善，是混合罚函数法的重要特点和技巧，其基本思想是：利用少数几个值求得相应的序列{X k*}后，由级数展开作函数逼近，向→0的方向外推，求得的外推点虽非原问题的最优解，但一般总是更为靠近最优解的点，然后以外推点作为下一次无约束极小化的初始点，可以减少作无约束极小化的次数，更快地收敛到原问题的最优解。