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黑龙江省哈尔滨市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(文) 答案

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2021年10月黑龙江省哈尔滨市三中2022届高三上学期10月第二次验收考试语文试卷参考答案

2021年10月黑龙江省哈尔滨市三中2022届高三上学期10月第二次验收考试语文试卷参考答案

2021年10月黑龙江省哈尔滨市三中2022届高三上学期10月第二次验收考试语文参考答案1.【答案】B(A项,曲解文意,原文中“经济全球化决定政治全球化”是观点持有者的看法,而非现实背景。

并且原文首句强调的是“交流互动”“由经济、科技领域走向政治、文化领域”,而非推动政治文化全球化。

C项,忽略修饰语,第四段说的是“所谓落后民族和国家的文化”。

D项,混淆关系,原文是“西方国家鼓吹文化全球化,目的是要加速垄断资本的全球扩张和资本主义价值观的全球渗透,以攫取更多的经济、政治和文化利益”。

)2.【答案】D(文章并未运用对比论证。

最后一段是论述中国在西方鼓吹“全球化”的背景下应该怎么做,与上文西方鼓吹的行为不构成对比。

)3.【答案】D (论述片面,从最后一段可知。

)4.【答案】B (无中生有,不能说背后资源最被看重,人才本身才重要。

)5.【答案】A （从材料中可看出,高校毕业生入职基层岗位还是很少见的,所以引起人们热议。

）6.（1）余杭政府方面的原因：重视人才岗位待遇极高,提供了各类人才优惠政策,对于清北人才的重视和服务到了“精心”的地步。

（2）清北大学生的个人选择：摆脱旧思维、旧观念,放下高校学子的架子,对现实的就业情况和工作需求有清醒的认知,更加踏实、务实。

（3）社会原因：大学教育由精英教育转变国民教育,同时社会基层治理亟需要高素质人才。

（答出2点给4分,每点要有概况1分,分析1分）7.【答案】B（“李松之所以主动去航标站驻守,是因为他不想当股长”的分析错,主动去航标站的原因是他觉得有义务和责任主动承担此事。

）8．【答案】①用“当地报纸的人物事迹报道”的方式补叙李松守护废弃的航。

2021年北京市海淀实验中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案

2021年北京市海淀实验中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案

2021年北京市海淀实验中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成小题。

材料一：据《人民日报》11月12日报道，“双11”的消费盛况，反映的是大海般的内需潜力。

无论是“买买买”引发的抢单，还是“停不下来”的快递小哥，都让“消费”这个词显得如此动人心魄。

到今年，“双11”刚好走过10年，从一家电商的促销活动发展成为全社会共同参与的消费节日，也为观察中国的消费升级和经济发展打开了一扇窗口。

与现在动辄千亿级的成交额相比，很少有人会想到，2009年“双11”的成交额只有5000多万元。

10年来，“双11”成交额的高歌猛进，反映出消费拉动力在中国经济版图中的不断崛起。

中国经济增长逐步实现从投资、出口主导向消费主导的转变。

今年前三季度，我国社会消费品零售总额同比增长9.3%，消费对经济增长的贡献率达到78%，比去年同期提高了14个百分点。

13多亿人组成的超大规模市场，释放出巨大的消费需求，不仅为中国经济增长蓄积后劲，还为中国在应对外部冲击时赢得战略回旋余地，更为世界经济增长提供消费红利。

在消费规模不断攀升的大背景下，消费结构也在自我迭代、优化升级。

有这样一个有趣的对比：2009年，“双11”最受欢迎的家用电器是电热水壶和电热毯；到了2017年，人们最喜欢的家用电器变成了净水器和扫地机器人。

从满足温饱到追求健康，从传统电器到人工智能，消费升级反映着人们对美好生活的追求。

现在的“双11”，网购服务成为新的消费亮点，迪士尼门票、出境游预订、在线医疗服务……从传统消费转向新兴消费，从商品消费转向服务消费，消费需求逐步由模仿型、同质化、单一化向差异化、个性化、多元化升级。

消费结构升级，为中国经济转向高质量发展提供了动力支撑。

材料二：据美国《华尔街日报》网站11月12日报道，虽然当前中国经济增速放缓，与美国爆发贸易冲突，但并不妨碍消费者在这个购物狂欢节抢购打折商品。

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第一次阶段检测语文试题 (word版)

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第一次阶段检测语文试题 (word版)

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第一次阶段检测语文考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本试卷命题范围：必修上册(高考文言文复习)。

一、现代文阅读(36分)(--)现代文阅读I(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1-3题。

孔子了解人们追求财富的普遍心理，但是强调要以义取财；他理解财富增长是社会文明进步的基础，所以强调先富后教；他深悟社会和谐稳定的重要意义，因此主张将贫富差距控制在合理范围之内，无论是追求财富、创造财富还是分配财富，孔子都力求将其框定于仁德与道义的范畴之中，体现了他对社会公正的期许。

孔子认为追求财富是人们的普遍心理，“富与贵，是人之所欲也”(语出《论语·里仁》，以下只注篇名)。

但是，当追求财富与坚守道义相矛盾时，孔子绝不会放弃道义。

如果不能通过正当渠道获得财富、摆脱贫贱，那就宁肯不处富贵、不去贫贱。

正是在这样的意义上，孔子说“君子喻于义，小人喻于利”(《里仁》)。

常有人以此为依据来证明孔子“重义轻利”，其实，孔子“重义”确是事实，“轻利”的说法则值得商榷。

他从不反对而且鼓励人们追求财富，只是当求利与道义不能两全时，他赞赏能坚守道义的君子，鄙视只知求取钱财而违背道义的小人。

如果用一句话概括孔子基于道义的财富观，“君子爱财，取之有道”应是最贴切的表述。

孔子理解财富增长既是民众对富足生活的期许，也是社会文明进步的物质基础，所以强调先富后教。

《论语》记载，孔子到卫国，感叹人口已经很多了。

人力是创造财富的基础，孔子看到这点感到很欣慰。

学生冉有问他接下来应该怎么办，孔子说“富之”。

仅有基础是不够的，还要将人力资本的作用发挥出来，通过创造财富使民众富起来。

专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)

专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)

专题19 椭 圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理） 【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二 【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==， 所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ， 则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >， 令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文） 【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上， 所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III 理数试题 【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理） 【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题 【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， 因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， 所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测 【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文） 【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理） 【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理） 【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小， 值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文） 【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理） 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七） 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=， 因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研 【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <， 因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考 【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠， 因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =， 所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】 【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =， 由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =， 因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=， 所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理） 【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥， 由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点， 则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点， 则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理） 【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6， 所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二） 【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=， 得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=， 又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________． 【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+， 因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--， 因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---， 利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试 【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解． 【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①， 由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③， 将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理） 【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4． 【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试 【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =． 【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =， 由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1． 【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。

黑龙江省哈尔滨市哈师大附中2024届高三上学期期中数学试题(解析版)

黑龙江省哈尔滨市哈师大附中2024届高三上学期期中数学试题(解析版)

哈师大附中2021级高三第三次调研考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（共8个小题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分）1.已知复数2i z =-，则()iz z -的虚部为（）A.2- B.1- C.6D.2【答案】A 【解析】【分析】根据共轭复数的概念可得z ，根据复数的乘法运算求出()i z z -，即可得答案.【详解】复数2i z =-，则2i z =+则()(2i)(2i i)=42i i z z =---+-，则()i z z -的虚部为-2，故选：A2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（）A.sin 1y x =+B.1y x=C.[]()31,2y x x =-∈- D.y x x=-【答案】D 【解析】【分析】利用定义域关于原点对称，()f x -与()f x -关系，判断函数的奇偶性.【详解】A 选项：令()()sin 1R f x x x =+∈，则()()sin 1sin 1f x x x -=-+=-+，()f x 不具有奇偶性，所以不符合题意；B 选项：令()()10f x x x =≠，则()1f x x-=-，()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，但在定义域内不具有单调性，所以不符合题意；C 选项：令()[]()31,2f x x x =-∈-，因为[]1,2x ∈-定义域不关于坐标原点对称，所以()f x 不具有奇偶性，所以不符合题意；D 选项：令()()R f x x x x =-∈，()()f x x x x x -=---=，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，所以0x ≥时，()f x 单调递减，0x <时，()f x 单调递减，满足题意.故选：D3.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bB.//a b ，a c ⊥则b c⊥C.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b⊥r rD.若a αβ⋂=，//b a ，则//b α【答案】B 【解析】【分析】利用长方体模型，举例说明排除ACD ，B 结合异面直线所成角即可判断..【详解】在长方体1111ABCD A B C D -，令平面ABCD 是平面α，对于A ，若平面1111D C B A 为平面β，直线BC 为直线a ，直线11A B 为直线b ，显然//αβ，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 是异面直线，,a b 不平行，故A 错误；对B ，//a b ，a c ⊥，则直线a 与直线c 的夹角为π2，由异面直线所成角的定义知直线b 与直线c 的夹角也为π2，故b c ⊥，B 正确；对于C ，若平面11CDD C 为平面β，直线AB 为直线a ，直线DC 为直线b ，显然αβ⊥，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 平行，,a b 不垂直，故C 错误；对于D ，若平面11CDD C 为平面β，则DC αβ⋂=，直线DC 为直线a ，直线AB 为直线b ，显然//a b ，但b α⊂，此时直线b 不与平面α平行，故D 错误；故选：B.4.在数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2024a =（）A.1-B.2- C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据数列递推式求出数列的前面一些项，推出数列的周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，故3211a a a =-=，4321a a a =-=-，5432a a a =-=-，6541a a a =-=-，7658761,2a a a a a a =-==-=，则{}n a 为周期为6的周期数列，故20243376222a a a ⨯+===，5.已知向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.bB.12bC.13b r D.14b【答案】D 【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求得向量a 在向量b 上的投影向量为14b.【详解】易知πcos 13a b a b ⋅== ，由投影向量的定义可得向量a 在向量b上的投影向量为12241a b bb b b b =⋅⋅⋅=.故选：D.6.已知两个非零向量a 与b ，定义sin a b a b θ⋅⨯=⋅ ，其中θ为a 与b的夹角，若(2,3)a =- ，(1,1)b = ，则a b ⨯的值为（）A.5B.7C.2D.【答案】A 【解析】【分析】先利用平面向量夹角余弦的坐标表示求得cos θ，从而求得sin θ，进而利用定义即可得解.【详解】因为(2,3)a =- ，(1,1)b =，则|||a b ==21311a b ⋅=-⨯+⨯=，则,c s ||o ||a b a b a b ===⋅⋅，又[0,π]θ∈，则sin θ===5，则||a b ⨯==55.故选：A7.已知正项等比数列{}n a 中，320224a a =，则212222024log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1012B.2024C.10122 D.20242【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合对数的运算，即可求得答案.【详解】由题意知正项等比数列{}n a 中，320224a a =，则1120131202420230124a a a a a a =⋅⋅===⋅，故()()10122122220242122024232022log log log log log a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅=1012202422log lo 4g 4202===，故选：B8.如图正方体的棱长为1，A ，B 分别为所在棱的中点，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（）A.16πB.32πC.41π16D.414π【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为(,,)x y z ，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案.【详解】以C 为坐标原点，以,CD CS 所在直线为,x z 轴，以与,CD CS 垂直的棱为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,1,)(01,)(001)(00),,,,,,1,2,2C A B SD ,设四棱锥S ABCD -的外接球球心为(,,)x y z ，半径为R ，则()()()()()22222222222222222211111221112x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎛⎫⎛⎫-+-+-=+-+-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪++-=++⎨⎪⎛⎫⎪+-+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得123812x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即外接球球心为131(,,282，8R ==，验证8OD ==，符合题意，即四棱锥S ABCD -的外接球8R =，其表面积为24141π4π4π6416R =⨯=，故选：C二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9.已知向量()1,1a =-，()2,b n =- ，则下列说法正确的是（）A.若1n =，则a b -=B.若//a b，则2n =C.“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的充要条件D.若()a b a +⊥，则0n =【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的坐标表示可求得a b -=，A 正确；由向量平行的坐标表示可得B 正确；利用向量数量积的坐标运算可知“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 错误；由向量垂直的坐标表示可求得0n =，D 正确.【详解】对于A ，由1n =可得()3,2a b -=- ，所以可得a b -== ，即A 正确；对于B ，由向量平行的坐标表示可得120n ⨯-=，解得2n =，可知B 正确；对于C ，若2n >-可得20a b n ⋅=--<r r，即a 与b的夹角为90180θ<≤ ，当2n =时，2b a =- 可得a 与b反向，充分性不成立；若a 与b的夹角为钝角可得20a b n ⋅=--<r r且2n ≠，解得2n >-且2n ≠，即必要性成立，所以“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 不正确；对于D ，由()a b a +⊥ 可得()0a b a +⋅=，即()1110n -⨯--=，解得0n =，故D 正确；故选：ABD10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，5100a a +<，则下列选项正确的是（）A.数列{}n a 为递减数列B.80a <C.n S 的最大值为7SD.140S >【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B ；判断出数列的公差小于0，可判断A ；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C ；利用前n 项和公式结合等差数列性质判断D.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由于70a >，5100a a +<，故571080a a a a +=+<，则80a <，B 正确；870d a a =-<，则数列{}n a 为递减数列，A 正确，由以上分析可知127,,,0a a a > ，8n ≥时，0n a <，故n S 的最大值为7S ，C 正确；5101141414()14()202S a a a a ++==<，D 错误，故选：ABC11.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =（其中a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3b =cossin CC =，则下列命题正确的是（）A.ABCB.c =C.b =D.ABC【答案】AB 【解析】【分析】cossin CC=，利用两角和的正弦公式可得sin C A =，结合正弦定理角化边可判断B ；利用S =B 的结论化简并结合二次函数性质可得ABC 面积的最大值，判断A ，D ；假设b =正确，结合面积公式推出矛盾，判断C.cossin CC=，得sin sin cos C B C B C =，即sin cos cos sin ))C B C B C B C =+=+,即sin C A =，结合正弦定理得c =，B 正确；由S =S ==，当29a =，即3a =时，ABC 面积取到最大值是4=，A 正确，D 错误，对于C ，假设b =，由于3b =，c =，故1c a ==，则22222223191331()2024c a b c a =⎛⨯⎫+-⎭+--=--⎪⎝< ，这与三角形面积S =有意义不相符，C 错误，故选：AB12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A.AM 与11D B所成角的余弦值为10B.过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C.四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3D.E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B ，作出过三点A 、M 、1D 的截面，即可求其面积；对于C ，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D ，利用几何作图，作出过E 、M 、F 三点的截面，即可判断.【详解】对于A ，以1A 为坐标原点，以11111,,A D A B A A 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，11(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ，则()()11120220,,,,,B A D M ==-,则111111cos ,10||||D B D B AM D B AM AM ⋅〈〉==，AM 与11D B 所成角的范围为π(0,]2，故AM 与11D B 所成角的余弦值为1010，A 正确；对于B ，设N 为1CC 的中点，连接MN ，则11MN BC AD ∥∥，且111122MN BC AD ==，则梯形1AMND 即为过三点A 、M 、1D 的截面，11MN AD AM D N ====322=，故梯形面积为为19222S =⨯=，B 错误；对于C ，如图，四面体11A C BD 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即33118242323V =-⨯⨯⨯=，该四面体的棱长为，其表面积为1π4sin 23S =⨯⨯=设四面体内球球半径为r ，则18,333r r ⨯=∴=，故四面体11A C BD 的内切球的表面积为24π4π3r =，C 错误；对于D ，如图，延长ME 和11B C 的延长线交于J ，则MCE △≌1JC E ，则1JC MC =，设H 为11A D 的中点，则11JC D H =，连接HJ ，则1JC G ≌1HD G ，则11C G D G =，故G 为11D C 的中点，故11HG A C AC FM ∥∥∥，同理延长,MF DA 交于L ，连接LH ，交1AA 于K ，K 即为1AA 的中点，则K ，E 在,FM HG 确定的平面内，则六边形FMEGHK 即过E 、M 、F 三点的截面，是六边形，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.三、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）13.函数()tan(6f x x π=-的定义域为___________.【答案】}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，【解析】【分析】根据函数有意义列不等式，求函数()tan(6f x x π=-的定义域.【详解】∵()tan()6f x x π=-有意义，∴62x k πππ-≠+，Z k ∈，∴23x k ππ≠+,Z k ∈，∴函数()tan()6f x x π=-的定义域为}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，，故答案为：}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，，14.(2,1)a =- ，b = ，且()10a b a +⋅= ，则a ，b 的夹角为______．【答案】0##0︒【解析】【分析】求出向量(2,1)a =- 的模长，根据()10a b a +⋅= 求出a b ⋅ 的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意知(2,1)a =- ，b = ，且()10a b a +⋅= ，故a == ，则()210a b a a a b +⋅=+⋅= ，则5a b ⋅=，故cos ,1||||a b a b a b ⋅〈〉== ，由于,[0,π]a b 〈〉∈ ，故,0a b 〈〉= ，故答案为：015.在三棱锥O ABC -中，60AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=，则直线OA 与平面BOC 所成角的正弦值为_______.【答案】63【解析】【分析】构建正四面体模型，从而可求直线OA 与平面BOC 所成角的正弦值.【详解】如图，在射线OB 上截取OB OA '=，在射线OC 截取OC OA '=，得到如下图所示的几何体.因为OA OB '=，π3B OA '∠=，故B OA ' 为等比三角形，故OA OB AB ''==，同理OA OC AC ''==，而π3B OC '∠=，故OB C ''△为等比三角形，故OB OC B C ''''==，故几何体A B OC ''-为正四面体.过A 作平面B OC ''的垂线，垂足为S ，则S 为OB C ''△的中心，连接OS ，则AOS ∠为OA 与平面B OC ''（即平面BOC ）所成的角，设2OA a =，则23232323OS a =⨯⨯=，故3AS ==，故6sin 3AOS ∠=.所以线OA 与平面BOC 所成角的正弦值为63.故答案为：3.16.若{}n a 是公差不为0的等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前n （N n *∈）项和，则12101113412S S S ++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】65132【解析】【分析】设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，根据题意，求得1d =，得到(1)2n n n S +=，进而化简得到1211(2)(1)(2)(1)(1)(2)n n S n n n n n n n ==-++++++，结合裂项法求和，即可求解.【详解】设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为248,,a a a 成等比数列，11a =，可得2111(3)()(7)a d a d a d +=++，即2(13)(1)(17)d d d +=++，解得1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=，则(1)2n n n S +=，所以12(1)n S n n =+，则1211(2)(1)(2)(1)(1)(2)n n S n n n n n n n ==-++++++，所以1210111()111111122323341011111((2)3412S S S ---⨯⨯⨯⨯++⋅⨯⋅⋅=++⨯++ 1165121112132-=⨯⨯=.故答案为：65132.四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）17.在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-．（1）求A 的大小；（2）若ABC 是锐角三角形，求cos cos B C +的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）(2【解析】【分析】（1）应用正弦定理的边角互化结合余弦定理即可求解;（2）设ππ,B C αα=+=-33，ππ(,)α∈-66，代入结合两角和与差的余弦即可求解.【小问1详解】由()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得()()2222a b c b c b c =-+-，即222bc b c a =+-，则2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,π)A ∈，则π3A =【小问2详解】由（1）得2π3B C +=，设ππ,B C αα=+=-33，因为π,(0,)2B C ∈，则ππ(,)α∈-66，则ππcos cos cos()cos()33B C αα+=++-πcos cos cos (]αα==∈2132，则cos cos B C +的取值范围是(,1]2.18.已知数列{}n a 中，13a =，()12N 12,n n a n n a *-≥∈=-（1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设()213n n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和nT【答案】（1）证明见解析；*21,N 21n n a n n +=∈-（2）13n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）由递推公式112n n a a -=-可得111111n n a a --=--，即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，由等差数列定义即可求得*21,N 21n n a n n +=∈-；（2）由（1）可得()213n n b n =+⋅，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和13n n T n +=⋅.【小问1详解】当2n ≥时，由112n n a a -=-可得1111111n n n n a a a a -----=-=，易知10n a -≠；两边同时取倒数可得11111111111111n n n n n n a a a a a a ------==-+-=-+-，即111111n n a a --=--，由等差数列定义可得11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以11112a =-为首项，公差1d =的等差数列，所以()211111212n n n a -=+⨯=--，即2121n a n -=-，可得2121n n a n +=-，显然1n =时，13a =符合上式，即{}n a 的通项公式为*21,N 21n n a n n +=∈-；【小问2详解】由（1）可得()()213213n n n n b n a n =-⋅=+⋅，所以()()1213353213213n n n T n n -⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅，()()23133353213213n n n n T n +⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅=⋅+-，两式相减可得()1231332323232132n n n n T +-⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅-+⋅=()()11313322132313n n n n n ++-=+⨯-+⋅=-⋅-，所以13n n T n +=⋅19.{}n a ，{}n b 是正项等比数列．且3n n n b a =-，且221210a a +=，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设100n n c a =-，求数列{}n c 的前n 项和nT 【答案】（1）13n n a -=；（2）31100,6231100758,62n n n n n T n n ⎧--+<⎪⎪=⎨-⎪-+≥⎪⎩.【解析】【分析】（1）利用3212b b b b =，和221210a a +=建立方程组，求出113a q =⎧⎨=⎩，写出通项公式即可；（2）表示出数列100n n c a =-，在求数列{}n c 的前n 项和n T 时，进行分类讨论即可.【小问1详解】因为{}n a ，{}n b 是正项等比数列．且3nn n b a =-，所以3212b b b b =，即32322123333a a a a --=--，所以2111192739a q a q a a q--=--，又因为221210a a +=，所以21111222119273910a q a q a a q a a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为：1113n n n a a q--==.【小问2详解】结合题意:13100n n a -=<,得到6n <，所以100,6100100,6n n n n a n c a a n -<⎧=-=⎨-≥⎩，当6n <时，()()()12312100100100n n n T c c c c a a a =++++=-+-++- ，()()()121331100100100100100132n n n n T a a a n n --=-+-++-=-=-+- ;当6n ≥时，()()()()()()12312567100100100100100100n n n T c c c c a a a a a a =++++=-+-++-+-+-++- ，()()()()()()121251001001002100100100n n T a a a a a a ⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦ ，13311002379100758132n n n T n n --=-+⨯=-+-，综上所述：31100,6231100758,62n n n n n T n n ⎧--+<⎪⎪=⎨-⎪-+≥⎪⎩.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AM PB ⊥，PD BD ⊥，M 为BC的中点，AD =，1DC =.（1）证明：PD ⊥底面ABCD（2）若1PD =，求二面角A MP B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7014【解析】【分析】（1）先证明AM BD ⊥，即可证明AM ⊥平面PBD ，从而证明AM PD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面AMP 和平面PBM 的法向量，根据空间角的向量求法，结合同角的三角函数关系，即可求得答案.【小问1详解】设,AM BD 交于E ，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AD =，1DC =,M 为BC的中点，则AD AB AB BM==故Rt DAB ∽Rt ABM ，则ADB BAM ∠=∠,而π2ADB ABD ∠+∠=，则π2BAM ABD ∠+∠=，故π2AEB ∠=，故AM BD ⊥，又AM PB ⊥，且,,BD PB B BD PB ⋂=⊂平面PBD ，故AM ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故AM PD ⊥，又PD BD ⊥，,,AM BD E AM BD =⊂ 平面ABCD ，所以PD ⊥底面ABCD ；【小问2详解】以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则((0,0,1)2A B M P ，则(,1,0),(1),(222AM PM BM =-=-=- ，设平面PAM 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n AM n PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0202x y x y z ⎧-+=⎪⎪+-=⎩，令1y =，则2)n = ，设平面PBM 的一个法向量为(,,)m a b c = ，则00m BM m PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0202a abc ⎧-=⎪⎪+-=⎩，令1b =，则(0,1,1)m = ，则314cos ,14||||n m n m n m ⋅〈〉=== ，由于二面角A MP B --的取值范围为[0,π]14=.21.已知双曲线C ：22221x y a b -=(),0a b >过点()，右焦点F为()，左顶点为A （1）求双曲线C 的方程（2）动直线12y x t =+交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上．【答案】（1）22144x y -=（2）联立直线（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线过的点以及双曲线的焦点坐标，列方程求出a 2，即可求得答案；12y x t =+与双曲线C 的方程，可得根与系数关系式，过点A 作MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H ，结合根与系数的关系式化简AN MH k k ，从而证明H 为AMN 的高线,AH MH 的交点，即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线C ：22221x y a b -=(),0a b >过点()，右焦点F为()，故228c a b =∴+=，即228b a =-，则222148a a -=-，解得24a =，故双曲线C 的方程为22144x y -=；【小问2详解】联立2212144y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22344(4)0x tx t --+=，满足264(3)0t ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ,则2121244(4)3,3t x x t x x ++==-，又(2,0)A -，过点A 作MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，则直线AH 的方程为y x =--24，由22424x y y x ⎧-=⎨=--⎩，可得2316200x x ++=，解得2x =-（舍）或103x =-，则108(,)33H -，则()11222122121811813223210201022333AN MHy y x t x t x t k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++++()2121221122233344084236()2x x t x x t x t x x x x x ++--+++++=2222222222(4)2348448414(4)84204844t t t x t t x t t t x t t x -+++-----===--++++-+++，故MH AN ⊥，即H 为AMN 的高线,AH MH 的交点，即H 为AMN 的垂心，故AMN 的垂心在双曲线C 上.【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系中的证明问题，综合性强，难点在于证明AMN 的垂心在双曲线C 上，解答时要通过证明H 为AMN 的高线,AH MH 的交点来证明，计算过程较为复杂，需要计算十分细心.22.已知0a >，函数()2ln 12f x x x x ax =+-．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程：（2）证明()f x 存在唯一的极值点（3）若存在a ，使得()f x a b ≥-+对任意,()0x ∈+∞成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4230--=x y （2）证明见解析；（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出其在()()1,1f 处的斜率，利用直线的点斜式方程即可求出结果；（2）令导函数()0ln 1f x x x a '=++-=，构造函数()1ln g x x x =++，求得其单调性可知当0a >时，导函数()f x '有唯一变号零点，即可得出证明；（3）将不等式恒成立问题转化成求()f x a +的最小值问题，构造函数()()21ln 1,0,2h x x x x -+∈=++∞，依题意可得()max 12b h x =≤，即可得出实数b 的取值范围．【小问1详解】当0a =时,可得()2ln 12f x x x x =+，即()1ln f x x x '=++，所以切线斜率为()12k f '==，又()112f =，所以切线方程为()1212y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】易知()l 1n f x x x a '=++-，令()0f x '=可得1ln a x x =++，令()()1,0,ln g x x x x =++∈+∞，则()1110x g x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立，即可得()g x 在()0,∞+单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞；其图象如下图所示：所以当0a >时，y a =与()g x 的图像仅有一个交点，令()0g x a =，则当()00,x x ∈时，()a g x >，即()0ln 1f x x x a '=++-<，()f x 在()00,x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()a g x <，即()0ln 1f x x x a '=++->，()f x 在()0,x +∞单调递增，所以可知0x x =为()f x 的极小值点，即()f x 存在唯一的极值点；【小问3详解】由（2）可知()()0min f x f x =，此时001ln a x x =++，所以()f x a +的最小值为()()22000000000001111ln 1n 2ln l 2ln f x x x x x x x x x x x a =+-++++++=-++，令()()21ln 1,0,2h x x x x -+∈=++∞，则()211x h x x x x--+=='，当()0,1x ∈时，()0h x '>，即()h x 在()0,1上单调递增，()1,x ∈+∞时，()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减；所以()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值()()max 121h x h ==若存在a ，使得()f x a b ≥-+对任意,()0x ∈+∞成立，即存在a 使得()f x b a +≥在(0,)+∞成立，即()max 12b h x =≤，所以实数b 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：在求解函数不等式恒（能）成立问题时，往往根据题意通过构造函数并利用导数求出函数单调性得出函数的最值，即可得出结论.。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析

哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

东北三省三校(哈师大附中)2021届高三第三次模拟考试 (三模)语文 试题 含答案

东北三省三校(哈师大附中)2021届高三第三次模拟考试 (三模)语文 试题 含答案

2021年哈师大附中三模语文答案1.B【解析】A项错解文意，C项将然变已然，D项不合逻辑。

2.B【解析】不是增强文章的真实性和严谨性，而是增强文化性和趣味性，化陌生为熟悉。

3.D【解析】错解文意。

4.B【解析】“这种不断扩大硕士、博士规模的做法符合我国目前对高层次人才培养的总体设计与定位”不符合原文。

材料三第②段“会议对我国高层次人才培养体系进行了总体设计与定位，提出稳定硕士规模，扩张博士规模”。

5.B【解析】A项，“二者2021年增幅均超过10%”错误。

材料一第①段“同时，我国研究生招生规模也在不断扩大，2020年研究生扩招18.9万人，招生人数超过110万人，2021年预计将继续延续这一扩张趋势”。

C项，“得益于我国目前基本建成的高水平研究生教育体系”中“目前基本建成”错误。

材料三第①段“到2025年，基本建成规模结构更加优化、体制机制更加完善、培养质量显著提升、服务需求贡献卓著、国际影响力不断扩大的高水平研究生教育体系”。

D项，“通过落实《研究生导师指导行为准则》能够实现建设一流研究生导师队伍的目标”，表述绝对化。

6.①材料一侧重从报名人数、招生规模、考研热度较高的原因等方面介绍2021年研究生考试的基本情况；②材料三侧重写“全国研究生教育会议”的召开，介绍新时代研究生教育的总体目标、重要意义和具体措施；③材料四侧重写目前高校研究生培养中研究生教育取得的成绩，存在的问题和解决的办法。

（每点2分）7.B【解析】没有将李白和庾信作对比。

8.（1）运用比喻、拟人的修辞手法。

“一朵朵黑花无辜地开在雪地上”，将“抄写的小楷”比喻为“黑花”，将“白纸”比喻为“雪地”，突出颜色对比，富有画面感。

“无辜地”将字赋予人的情感，生动形象。

（2）运用叠词。

如：“抄抄”写辗转难眠后借此排解情绪；“粒粒”“朵朵”写出字的情态，形象可感，有韵律感。

（3）动词生动。

如：“洇”描写出墨在纸上晕染开的样子，富有诗意美感；“开”字形象生动地描写出字落纸间所具有的灵动之美，化抽象为具体。

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)

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哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

黑龙江省2021届高三上学期期初检测语文试卷精选汇编：名篇名句默写专题

黑龙江省2021届高三上学期期初检测语文试卷精选汇编：名篇名句默写专题

名篇名句默写专题黑龙江省实验中学第一次阶段测试（三）名篇名句默写（本题共1小题，6分）20．补写出下列句子中的空缺部分。

（1）白居易在《琵琶行》中，自述在江州的居住环境潮湿荒凉的句子是：“_______，_______。

”（2）李白在《蜀道难》一诗中，用“_______”，一句表示蜀地与秦地之间少有往来的情形，用“_______”进一步表明蜀地与秦地之间没有人可以通行的道路。

（3）屈原的《离骚》中，“_______”一句与“不忘初心”表达的情怀相同，“_______”一句点明作者坚信自己纯洁的品质并没有亏损。

【分析】此题考查了默写常见的名句名篇，能力层级为A，高考时，以《考试说明》规定的篇目为主，文体侧重于诗歌和散文，完成此类型题目，主要是靠同学们平时的积累，同时也要注意突破关键字（生僻字，通假字，同义异形字，语气助词等），避免错别字的出现，做题时，书写要工整清晰，留意语句的出处和具体的语境（情景默写的方式增加了对学生理解能力的考查，学生要在理解文意的基础上进行识记）。

【解答】故答案为：（1）住近湓江地低湿黄芦苦竹绕宅生（重点字：湓）（2）不与秦塞通人烟西当太白有鸟道（重点字：塞）（3）退将复修吾初服唯昭质其犹未亏（重点字：昭）【点评】《琵琶行》中的名句辑录：1．“嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘”由琴声想到珠玉声，是声音的类比联想。

2．描写琵琶女犹豫不决而出场的诗句是：千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。

3．“同是天涯沦落人，相逢何必曾相识”是全诗的主旨，更是诗人与琵琶女感情的共鸣。

4．既交代秋天的背景又蕴含离别之意的句子是：浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟。

鹤岗一中第一次月考(三)名篇名句默写(9分)16. 补写出下面名句中的空缺部分。

(每空1分，共9分)(1) .李白在《蜀道难》一诗中引用神话传说为其增添了浪漫气息，如引用“五丁开山”一神话的句子是：“_______________，___________________。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷及答案

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷及答案

2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。

黑龙江省哈尔滨市第一中学校2022届高三上学期第一次月考+文数答案

黑龙江省哈尔滨市第一中学校2022届高三上学期第一次月考+文数答案

哈一中2021—2022学年度上学期第一次月考高三文科数学参考答案一．选择题（本大题共12小题，每题4分）1. C2. A3. A 【解析】因为为角终边上的一点，所以，，，所以．4. B5. D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为：．6. B 【解析】向右平移个单位后，得到函数，当时，，即，当时，．7. B 【解析】因为，，为等差数列，则为等差数列，公差，．8. D 【解析】由的图象可知，在，上，在上．由，得或即或所以不等式的解集为．9. B 【解析】①、在中，若，则，由正弦定理得正确，故正确．②、若，，则，，故正确；③、若为真命题，可知，真命题至少一个为真命题，故可以一真一假，故错误；④、若为假命题，则，中至少有一个为假命题，不一定均为假命题，故正确．10. C【解析】由，得．又，11. C 【解析】，由得，再由正弦定理可得，所以的外接圆面积为．12. A 【解析】作出的图象如下：若有四个不同的零点，则有四个根，即与有四个交点，直线过原点，当时，与有两个交点，当时，直线与相切时，不妨设切点为，则，所以由①②③得，，所以切线的斜率为，若与有四个交点，则，综上，的取值范围为．二．填空题（本大题共4小题，每题4分）13.【解析】设，则由，得，即解得14.【解析】．15.【解析】因为，所以当时，，且，当时，，且，所以当时，取得最小值．16. ②③【解析】在中，，，对于①，当时，，所以，角只有个解，①错误；，所以，所以；所以的面积为，所以，则，②正确；对于③，；所以，因为，所以，所以，所以，所以，即不可能是，③正确．综上，正确的命题的序号是②③．三．解答题（本大题共4小题，每题9分）17. （1）因为，所以当时，，又满足上式，所以．（2）因为，所以，所以．因为，所以，即．18. （1）所以在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以，．（2）因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以．19. （1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为，将代入并化简得：，即曲线的极坐标方程为．（2）在极坐标系中，：，所以由得到，同理．又因为，所以．即的面积为．20. （1）．因为曲线在点处的切线为，所以切点为即由，得．因为是函数的一个极值点，所以联立①②得，．所以，，．（2）由（）得，则，当时，或；当．所以在处取得极大值即．由得，所以，即或．要使函数在区间上存在最大值，则，即．。

2021届哈尔滨市第一二二中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案

2021届哈尔滨市第一二二中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案

2021届哈尔滨市第一二二中学高三语文上学期期中考试试卷及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。

智县委贾大山他姓智，那时人们不叫他智书记，而是叫他智县委。

夜晚，我和我的伙伴们打戏院门口的电灯泡玩儿，看谁能打中。

我正瞄准，忽然有人揪住我脑后的小辫儿，伙伴们立即就跑散了。

扭头一看，揪我小辫儿的是个生人，中等个儿，白净脸儿，穿一身灰军装，戴一副眼镜。

我挣脱他的手，撒腿就跑，他一把又揪住我的小辫儿，揪得好疼。

我骂他的娘，他也不理睬，终于把我揪到父亲面前去了。

“这是你的小孩？”生硬的外地口音。

“噢，是我的孩子。

”父亲是个买卖人，开着一个杂货铺，一向胆小怕事。

一见那人，赶忙捻亮罩子灯，显得很惊慌：“智县委，请坐……”我也一惊，他就是智县委！智县委没有坐，眼睛忽然盯住桌上的一片字纸。

那是我写的一篇大楷：一去二三里烟村四五家亭台六七座八九十枝花“哪个写的？”他问。

“他写的。

”父亲指指我说，“瞎画。

”他立刻瞅定我，脸上竟然有了喜色，眼镜也显得明亮了。

“几岁了？”“十岁了。

”“十岁了还留小辫儿？”父亲赶忙解释：当地的风俗孩子们留小辫儿，要留到十二岁，成人。

智县委听了哈哈大笑，说：“好哇，那就留着吧！”智县委夸了一番我的毛笔字，就和父亲说起话来。

他问父亲的年龄、籍贯，又问这个小铺多大资本，生意如何，拿多少税。

我站在他的背后，并不注意他们的谈话，眼睛一直注视着他的衣襟下面露出的那块红布——那是一把盒子，真家伙！他和父亲谈着话，忽然仰着头，望着货架子说：“怎么，连个字号也没有？”“没有。

”父亲笑着说，“小本买卖，还值得立字号？”“怎么不值得？”智县委好像生气了，脸色红红的，说，“城里买卖家，哪个没字号？‘亨茂号’‘文兴成’‘荣泰昌’‘广顺正’，都有字号嘛！你也赶快立个字号！”父亲想了一下，说：“叫‘贾家小铺’？”“不好，小气！”“叫‘万宝店’？”“也不好，俗气！”父亲就笑了：“智县委赏个名儿吧！”“‘复兴成’，怎么样？共产党保护民族工商业，一切都要复兴的，你也要复兴嘛！”父亲说好，行，不错。

2021届绍兴市第一中学高中部高三语文上学期期中试题及参考答案

2021届绍兴市第一中学高中部高三语文上学期期中试题及参考答案

2021届绍兴市第一中学高中部高三语文上学期期中试题及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下列小题。

经过几代人的努力，中国现代文学已基本上完成了自己的学科建构。

中国当代文学已经走过六十多年的历程，在时间上是现代文学的两倍多，但却是一个处于“未完成”状态的年轻学科。

在当前我国大力倡扬“文化自信”的背景下，直面中国当代文学学科的问题与困惑，并寻求学科发展的新路径和新方法，应成为当代文学研究不容回避的议题。

当代文学的学科建构离不开“外源性”的理论资源，而且事实上，它在推动当代文学的学科建设方面曾起到重要作用。

问题是，长期以来，我们热衷于向“西方取经”，过于偏重这些“外源性”资源。

上世纪80年代我们崇拜黑格尔的“历史哲学”，90年代服膺阿尔都塞的“历史总体性”和詹姆斯的“永远历史性”，新世纪迷恋福柯的“知识考古学与谱系学”以及德里达的“解构学”。

对于海外华人学者的研究成果，我们同样顶礼膜拜、趋之若鹜。

举例说，美国华裔汉学家王德威的论文《被压抑的现代性——没有晚清，何来“五四”？》的发表，就无异于在国内现当代学术界扔进了一颗深水炸弹。

一时间，当代文学研究领域里到处都是“被压抑的现代性”话题，甚至“没有……，何来……”的句式也到处被模仿。

当代文学学科建设不应失去自己的学术主体性。

我们的当代文学史写作要有自己的学科特色、基本范畴、主体身份和当代性品格。

当代文学学科建设要将落脚点转移到“内源性”理论资源上来，主要包括三方面：一是优秀的传统文化，二是中国的本土经验，三是清代“朴学”的实证方法。

比如传统文化中的文章学传统、《史记》对理想文化人格的塑造和高超的叙事技巧，都可以成为我们撰写当代文学史的参照，并促使当代文学史家去思考一些更深层次的问题，如当代文学如何回归或复活传统的叙事美学与诗学，等等。

当代优秀作家已清醒意识到：优秀的文学作品不是西方哲学思想的演绎，也不是技术主义的炫技，而必须植根于本民族的沃土中，并通过“本土经验”的形象化和具体化，以深邃的思想和博大的情怀、高贵的精神气质，引导人类走向真善美的新高度。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2025届高三第三次模拟考试语文试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第六中学2025届高三第三次模拟考试语文试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第六中学2025届高三第三次模拟考试语文试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、阅读下面的文字，完成下面小题。

藏羚羊为什么要去繁育它们的后代？迁徒的目的何在？至今，这种古老而原始的迁徒现象在国内外动物学研究中仍然是不解之谜。

动物学界有多种不同的说法。

一是基因说。

适者生存，通过迁徙淘汰一些老弱病残，优胜者存活下来延长着传递蒸因的使命。

而且，藏羚羊集中产仔后，也有可能转去了其他的种群，这样有利于基因之间的交流，增加物种的遗传。

二是气候说。

( )，母藏羚羊是为了到一个环境更好的地方繁育下一代而进行迁徙。

三是食物说。

曾有人认为，产崽地，丰富的食物有利于母藏羚羊的生产和小藏羚羊的生长。

四是天敌说。

在产崽地，藏羚羊的天敌数量不是很多，这有利于种群的。

到底哪种理论能够充分说明藏羚羊的迁徙原因，目前尚无定论。

1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是A．跋山涉水多样性水草丰美繁衍B．千山万水差异性水草丰美繁殖C．跋山涉水差异性山清水秀繁衍D．千山万水多样性山清水秀繁殖2．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是A．产崽地海拔相对较低，和栖息地相比，气候环境相对较好B．和栖息地相比，产崽地海拔相对较低，气候环境相对较好C．和栖息地相比，气候环境相对较好，产崽地海拔相对较低D．气候环境相对较好，和栖息地相比，产崽地海拔相对较低3．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是A．迁徙可以淘汰一些老弱病残，存活下来的优胜者背负起传递基因的使命。

导数构造函数十二种题型归类(学生版)

导数构造函数十二种题型归类(学生版)

导数构造函数十二种题型归类内容速递一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】 导数四则运算基础【题型二】 幂函数与f(x)积型【题型三】 幂函数与f(x)商型【题型四】 指数函数与f(x)积型【题型五】 指数函数与f(x)商型【题型六】 正弦函数与f(x)型【题型七】 余弦函数与f(x)型【题型八】 对数函数与f(x)型【题型九】 一元二次(一次)与f(x)线性【题型十】 指数型线性【题型十一】对数型线性【题型十二】综合构造三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos xf(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=a x(a>0，且a≠1)f′(x)=a x ln a f(x)=ex f′(x)=e xf(x)=log a x(a>0，且a≠1)f′(x)=1 x ln af(x)=ln x f′(x)=1 x(2)导数的四则运算法则法则和差[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)积[f(x)g(x)]′=f'x g x +f x g'x ，特别地，[cf(x)]′=cf′(x)　商f(x)g(x)′=f(x)g(x)-f(x)g (x)g(x)2(g(x)≠0)(3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系y ′x =y ′u ·u ′x即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.二、导数构造规律(1)、关系式为“加”型，常构造为乘法①fx +f x ≥0，构造F x =e xf x ，Fx =e xf x +fx ，②xfx +f x ≥0，构造F x =xf x ，Fx =xfx +f x ，③xfx +nf x ≥0，构造F x =x nf x ，Fx =x n -1xfx +nf x ；(2)、关系式为“减”型，常构造为除法①fx -f x ≥0，构造F x =f x e x ，F x =f x -f x ex，②xf x -f x ≥0，构造F x =f x x ，Fx =xfx -f x x 2，③xf x -nf x ≥0，构造F x =f x x n ，Fx =xf x -nf x xn +1.热点考题归纳【题型一】导数四则运算基础【典例分析】1(2022春·北京·高三模拟)若f x =e x ln x ，则f x =()A.e xln x +e xxB.e x ln x -e xxC.e x xD.e x ln x 2(2023春·黑龙江伊春·高三模拟)函数y =e x sin2x 的导数为()A.y =2e x cos2xB.y =e x sin2x +2cos2xC.y =2e x sin2x +cos2xD.y =e x 2sin2x +cos2x【提分秘籍】基础求导公式：C=0；x α=αx α-1；a x=axln a ；log a x=1x ln a ；sin x=cos xcos x=sin x【变式演练】3(2022春·北京·高三清华附中校考)函数f x =sin xx的导数是()A.x sin x +cos xx 2B.x cos x +sin xx 2C.x sin x -cos x x 2D.x cos x -sin xx 24(2023春·四川资阳·高三联考)已知函数y =x ⋅tan x 的导函数为()A.y =sin x cos x +xcos 2x B.y =sin x cos x +x cos2xcos 2xC.y =sin x cos x +1cos 2xD.y =sin x cos x +cos2xcos 2x【题型二】幂函数与f (x )积型【典例分析】1设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且有2f x +xf x >0，则不等式x -20212f x -2021 -f 1 >0的解集为()A.2020,+∞B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞2(黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三数学试题)函数f x 是定义在区间0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足xf x +2f x >0，则不等式(x +2020)f (x +2020)3<3f (3)x +2020的解集为()A.x |x >-2017 B.x |x <-2017C.x |-2020<x <0D.x |-2020<x <-2017【提分秘籍】若已知对于xf(x )+kf (x )>0(<0)，构造g (x )=x k∙f (x )分析问题；【变式演练】3(江西省赣州市八校协作体2020-2021学年高三联考数学(理)试题)已知定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f (x )，当x ≥0时，恒有x3f (x )+f (x )>0．则不等式x 3f (x )-(1+2x )3f (1+2x )<0的解集为()．A.{x |-3<x <-1} B.x -1<x <-13C.{x |x <-3或x >-1}D.{x |x <-1或x >-13}4(山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高三4月数学(理)试题)设函数f x 是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x +xf 'x >x 2则不等式x +2019 2f x +2019 -4f -2 <0的解集为()A.(-2019，-2017)B. (-2021，-2019)C.(-2019，-2018)D.(-2020,-2019)5(安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高三数学试题)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f x ，若对任意的正实数x ，都有x f x +2f (x )>0恒成立，且f 2 =1，则使x 2f (x )<2成立的实数x 的集合为()A.-∞，-2 ∪2，+∞B.-2，2C.-∞，2D.2，+∞【题型三】幂函数与f (x )商型【典例分析】1(2022届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学试卷)函数f x 在定义域0,+∞ 内恒满足：①f x >0，②2f x <xf x <3f x ，其中f x 为f x 的导函数，则() A.14<f 1 f 2<12 B.116<f 1 f 2<18 C.13<f 1 f 2<12 D.18<f 1 f 2<142(黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次阶段性测试数学试题)已知偶函数f x 的导函数为f x ，且满足f 2 =0，当x >0时，xf x >2f x ，使得f x >0的x 的取值范围为【提分秘籍】对于x ∙f (x )-kf (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )x k【变式演练】3(河南省郑州市示范性高中2020-2021学年高三阶段性考试(三)数学(理)试题)已知函数f x 的导函数为f x ，若f x <x ，f x <2，f x -x 对x ∈0,+∞ 恒成立，则下列个等式中，一定成立的是()A.f 2 3+12<f 1 <f 2 2 B.f 2 4+12<f 1 <f 2 2C.3f 2 8<f 1 <f 2 3+12D.f 2 4+12<f 1 <3f 2 84(江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考数学试题)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f x ，若y ，f -2 =1，则不等式f x x 2<14的解集是()A.-2,2B.-∞,-2 ∪2,+∞C.-2,0 ∪0,2D.-∞,0 ∪0,25设f x 是偶函数f x x ≠0 的导函数，当x ∈0,+∞ 时，y ，则不等式4f x +2019 -x +2019 2f -2 <0的解集为()A.-∞,-2021B.-2021,-2019 ∪-2019,-2017C.-2021,-2017D.-∞,-2019 ∪-2019,-2017【题型四】指数函数与f (x )积型【典例分析】1(【全国百强校】广东省阳春市第一中学2022届高三第九次月考数学(理)试题)已知函数f (x )(x ∈R )的导函数为f (x )，若2f (x )+f (x )≥2，且f (0)=8，则不等式f (x )-7e -2x >1的解集为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,+∞)D.(1,+∞)2(广东省普宁市华美实验学校2020-2021学年高三第一次月考数学试题)已知f x 是R上可导的图象不间断的偶函数，导函数为f x ，且当x>0时，满足f x +2xf x >0，则不等式e1-2x f x-1> f-x的解集为()A.12,+∞B.-∞,12C.-∞,0D.0,+∞【提分秘籍】对于f (x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=e kx∙f(x)【变式演练】3(2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学(理)试题)已知定义在R上的函数f x 的导函数为f x ，若f1 =1，ln f x +f x +1>0，则不等式f x ≥e1-x的解集为()A.-∞,1B.-∞,eC.1,+∞D.e,+∞4已知函数f x 的导函数为f x ，且对任意的实数x都有f x =e-x2x+5 2-f x (e是自然对数的底数)，且f0 =1，若关于x的不等式f x -m<0的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是()A.-e2,0B.-e2,0C.-3e4,0D.-3e4,92e【题型五】指数函数与f(x)商型【典例分析】1定义在(-2,2)上的函数f(x)的导函数为f x ，满足：f x +e4x f-x=0，f1 =e2，且当x>0时，f (x)>2f(x)，则不等式e2x f(2-x)<e4的解集为()A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,+∞)D.(0,1)2已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f'(x)-f(x)>0，f(2021)=e2021，则不等式f1 e ln x<e x的解集为()A.e2021,+∞B.0,e2021C.e2021e,+∞D.0,e2021e【提分秘籍】对于f (x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x) e kx【变式演练】3(天一大联考高三毕业班阶段性测试(四)理科数学)定义在R上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <2f x ，则不等式e4f-x>e-8x f3x+2的解集是()A.-12,+∞B.-∞,12C.-12,1D.-1,124已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f (x)-f(x)>0，f(2021)=e2021，则不等式f1 3ln x<3x的解集为()A.(e6063,+∞)B.(0,e2021)C.(e2021,+∞)D.(0,e6063)5(贵州省凯里市第三中学2022届高三上学期第二次月考数学(理)试题)已知函数f(x)是定义域为R，f (x)是f(x)的导函数，满足f (x)<f(x)，且f(1)=4，则关于不等式f(x)-4e x-1>0的解集为()A.(-∞,1)B.1e ,1C.1e,eD.1e,+∞【题型六】正弦函数与f(x)型【典例分析】1(【衡水金卷】2021年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题)已知定义在区间0,π2上的函数f x ，f x 为其导函数，且f x sin x-f x cos x>0恒成立，则()A.fπ2>2fπ6 B.3fπ4 >2fπ3C.3fπ6<fπ3 D.f1 <2fπ6 sin12(【市级联考】广西玉林市2018-2019学年高三上学期考试数学试题)已知f'(x)为函数y=f(x)的导函数，当x x∈0,π2是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f(x)-f'(x)⋅k<0恒成立，则()A.{x22-m ln x2-2mx2=0x22-ln x2-m=0B.f(1)sin1>2fπ6C.f(x)=x2+6x-10D.3fπ6-fπ3 >0【提分秘籍】对于sin x∙f (x)+cos x∙f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)∙sin x对于sin x∙f (x)-cos x∙f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x) sin x【变式演练】3(贵州省遵义航天高级中学222届高三第五次模拟考试数学试题)已知定义在0,π2上的函数，f(x)为其导函数，且f(x)sin x<f (x)cos x恒成立，则()A.f π2 >2f π6B.3f π4>2f π3 C.3f π6 <f π3 D.f (1)<2f π6 sin14已知奇函数f x 的导函数为f x ，且f x 在0,π2上恒有f (x )cos x -f (x )sin x <0成立，则下列不等式成立的()A.2f π6>f π4 B.f -π3 <3f -π6 C.3f -π4 <2f -π3D.22f π3 <3f π4 5(广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考(5月)数学试题)设f x 是定义在-π2,0 ∪0,π2 上的奇函数，其导函数为f x ，当x ∈0,π2 时，f x -f x cos xsin x<0，则不等式f x <233f π3sin x 的解集为()A.-π3,0 ∪0,π3 B.-π3,0 ∪π3,π2C.-π2,-π3 ∪π3,π2D.-π2,-π3 ∪0,π3【题型七】余弦函数与f (x )型【典例分析】1(2023春·新疆克孜勒苏·高三模拟)已知函数y =f x 对于任意的x ∈-π2,π2满足f x cos x +f x sin x >0(其中fx 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f 0 >2f π4 B.2f -π3 >f -π4 C.2f π3 >f π4D.f 0 >2f π3 2(2023·全国·高三专题练习)定义在0,π2上的函数f x ，已知f x 是它的导函数，且恒有cos x ⋅f x +sin x ⋅f x <0成立，则有()A.3x -y -1=0B.3f π6>f π3C.f π6>3f π3D.2f π6<3f π4【提分秘籍】对于cos x ∙f (x )-sin x ∙f (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )∙cos x ，对于cos x ∙f (x )+sin x ∙f (x )>0(<0)，构造g (x )=f (x )cos x【变式演练】3(四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期10月阶段考试理科数学试题)已知偶函数f (x )是定义在[-1,1]上的可导函数，当x ∈[-1,0)时，f (x )cos x +f (x )sin x >0，若cos (a +1)f (a )≥f (a +1)cos a ，则实数a 的取值范围为()A.[-2,-1]B.-1,-12C.-12,0D.-12,+∞ 4(四川省南充高级中学2021-2022学年高三考试数学试题)已知偶函数f (x )的定义域为-π2,π2，其导函数为f '(x )，当0<x <π2时，有f (x )cos x +f (x )sin x <0成立，则关于x 的不等式f (x )<2f π3 cos x 的解集为()A.0,π3B.π3,π2C.-π3,0 ∪0，π3D.-π2,-π3 ∪π3,π2【题型八】对数与f (x )型【典例分析】1已知函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，且满足x >0时，ln xf (x )+1xf (x )<0，则(x -2019)f (x )>0的解集为()A.(-1,0)∪(1,2019)B.(-2019,-1)∪(1,2019)C.(0,2019)D.(-1,1)2(【全国百强校】重庆市巴蜀中学20-20学年高三下考试理科数学试题)定义在0,+∞ 上的函数f x 满足x ⋅f 'x ⋅ln x +f x >0(其中f 'x 为f x 的导函数)，则下列各式成立的是()A.ef e>π-f 1π>1 B.ef e<π-f 1π<1 C.ef e>1>π-f 1πD.ef e<1<π-f 1π【提分秘籍】对于f (x )ln x +f (x )x>0(<0)，构造g x =ln x ∙f (x )【变式演练】3(江西省新余市第四中学2023届高三上学期第一次段考数学试题)已知定义在[e ，+∞)上的函数f (x )满足f (x )+x ln xf ′(x )<0且f (2018)=0，其中f ′(x )是函数f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式f (x )>0的解集为()A.[e ，2018)B.[2018，+∞)C.(e ，+∞)D.[e ，e +1)4(山东省招远一中2019届高三上学期第二次月考数学试题)定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf '(x )ln x +f (x )>0(其中f '(x )为f (x )的导函数)，若a >1>b >0，则下列各式成立的是()A.af (a )>bf (b )>1 B.af (a )<bf (b )<1 C.af (a )<1<bf (b )D.af (a )>1>bf (b )5(2023重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数f x 是奇函数f x x ∈R 的导函数，且满足x >0时，ln x ⋅f x +1x f x <0，则不等式x -985 f x >0的解集为()A.985,+∞B.-985,985C.-985,0D.0,985【题型九】一元二次(一次)与f (x )线性【典例分析】1(2021届云南省昆明第一中学高中新课标高三第三次双基检测数学试题)函数y =f (x )的定义域为R ，其导函数为f (x )，∀x ∈R ，有f (x )+f (-x )-2x 2=0在(0,+∞)上f (x )>2x ，若f (4-t )-f (t )≥16-8t ，则实数t 的取值范围为()A.[-2，2]B.[2,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,2]2(2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学(理)试题)设函数f x 在R 上存在导函数f x ，∀x ∈R ，有f x -f -x =x 3，在0,+∞ 上有2f x -3x 2>0，若f m -2 -f m ≥-3m 2+6m -4，则实数m 的取值范围为()A.-1,1B.-∞,1C.1,+∞D.-∞,-1 ∪1,+∞【提分秘籍】二次构造：f (x )×÷r (x )±g (x )，其中r (x )=x n，e nx,sin x ,cos x 等【变式演练】3(江苏省盐城中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f (x )，且对任意x ∈R 都有f (x )>2，f (1)=3，则不等式f (x )-2x -1>0的解集为()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)4(吉林省蛟河市第一中学校2021-2022学年高三下学期第三次测试数学试题)已知定义在R 上的可导函数f (x )，对于任意实数x 都有f (-x )=f (x )-2x 成立，且当x ∈(-∞,0]时，都有f '(x )<2x +1成立，若f (2m )<f (m -1)+3m (m +1)，则实数m 的取值范围为()A.-1,13B.(-1,0)C.(-∞,-1)D.-13,+∞ 5(【市级联考】福建省龙岩市2021届高三第一学期期末教学质量检查数学试题)已知定义在R 上的可导函数f (x )、g (x )满足f (x )+f (-x )=6x 2+3，f (1)-g 1 =3，g (x )=f (x )-6x ，如果g (x )的最大值为M ，最小值为N ，则M +N =()A.-2B.2C.-3D.3【题型十】指数型线性【典例分析】1(安徽省阜阳市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次调研考试数学试题)设函数f x 定义域为R ，其导函数为f x ，若f x +f x >1,f 0 =2，则不等式e x f x >e x +1的解集为()A.-∞,0 ∪0,+∞B.-∞,0C.2,+∞D.0,+∞2(黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高三3月阶段性测试数学试题)已知函数f x =e 2x -ax 2+bx -1，其中a ,b ∈R ，e 为自然对数底数，若(0,1]，f x 是f x 的导函数，函数f x 在0,1 内有两个零点，则a 的取值范围是()A.2e 2-6,2e 2+2B.e 2,+∞C.-∞,2e 2+2D.e 2-3,e 2+1【提分秘籍】对于f (x )-f (x )>k (<0)，构造g x =e x f x -k【变式演练】3(金科大联考2020-2021学年高三10月质量检测数学试题)设函数f (x )的定义域为R ，f (x )是其导函数，若f (x )+f (x )>-e -x f (x )，f 0 =1，则不等式f (x )>2e x +1的解集是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)4(2023春·福建龙岩·高三联考)∀x ∈R ，f x -f x =-2x +1 e x ，f 0 =-3，则不等式f x >-5e x 的解集为()A.-2,1B.-2,-1C.-1,1D.-1,25(2023春·四川眉山·高三模拟)函数f x 的定义域是R ，f 1 =2，对任意x ∈R ，f x +f x >1，则不等式e x f (x )>e x +e 的解集为()A.x |x >1B.x |x <1C.{x |x <-1或0<x <1}D.{x |x <-1或x >1}【题型十一】对数型线性【典例分析】1(2023春·安徽合肥·高三合肥一中校考)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，若xf x -1<0，f e =2，则关于x 的不等式f e x<x +1的解集为()A.0,1B.1,eC.1,+∞D.e ,+∞2(2022春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考阶段练习)定义在(0，+∞)的函数f (x )满足xf x -1<0，f 1 =0，则不等式f e x-x <0的解集为()A.(-∞，0)B.(-∞，1)C.(0，+∞)D.(1，+∞)【提分秘籍】y =ln (kx +b )与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果逆向思维【变式演练】3(2023·全国·高三专题练习)若函数f x 满足：x -1 fx -f x =x +1x-2，f e =e -1，其中f x 为f x 的导函数，则函数y =f x 在区间1e,e的取值范围为()A.0,eB.0,1C.0,eD.0,1-1e4(2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学(第八模拟))已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +2)是偶函数，f (x )>12x -1+ln (x -1)(f (x )为f (x )的导函数).若对任意的x ∈(0,+∞)，不等式f -t 2+2t +1 ≥f 12 x-2 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.[-2,4]B.(-∞,-2]∪[4,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【题型十二】综合构造【典例分析】1(河北省沧州市沧县中学2020-2021学年高三数学)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f '(x )，对任意实数x 均有(1-x )f (x )+xf '(x )>0成立，且y =f (x +1)-e 是奇函数，不等式xf (x )-e x >0的解集是()A.1,+∞B.e ,+∞C.-∞,1D.-∞,e2(江西省吉安市重点高中2020-2021学年高三5月联考数学试题)已知函数f x 是定义域为0,+∞ ，fx 是函数f x 的导函数，若f 1 =e ，且xfx -1+x f x >0，则不等式f ln x <x ln x 的解集为()A.0,eB.e ,+∞C.1,eD.0,1【变式演练】3(2022·高三测试)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数是f (x )，若f (x )+xf (x )-xf (x )>0对任意x ∈R 成立，f 1 =e ．则不等式f (x )<e xx 的解集是()A.(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,0)D.(0,1)4(2023·四川·校联考模拟预测)定义在0,+∞ 上的函数f x 的导函数为f x ，且x 2+1 f x <x -1x f x ，若θ∈0,π4 ，a =tan θ，b =sin θ+cos θ，则下列不等式一定成立的是()A.f 1 <f a B.f 1 >2bf b2+sin2θC.f 1 >f a sin2θD.f a 2+sin2θ <f b 1sin θ+1cos θ5(2023春·江西吉安·高三模拟)若定义在R 上的可导函数f (x )满足(x +3)f (x )+(x +2)f (x )<0，f (0)=1，则下列说法正确的是()A.f (-1)<2eB.f (1)<23eC.f (2)>12e 2D.f (3)>25e 3高考真题对点练一、单选题1(浙江·高考真题)设f x 是函数f x 的导函数，y =f x 的图象如图所示，则y =f x 的图象最有可能的是()A ．B ．C ．D ．2(江西·高考真题)已知函数y =xf (x )的图象如图所示(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y =f x 的图象大致是()A. B.C. D.3(陕西·高考真题)f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf ′x +f x ≤0．对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有()A.af b ≤bf aB.bf a ≤af bC.af a ≤f bD.bf b ≤f a4(湖南·高考真题)设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f (x )g (x )+f (x )g (x )>0．且g (-3)=0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)5(2015·福建·高考真题)若定义在R 上的函数f x 满足f 0 =-1，其导函数f x 满足f x >k >1，则下列结论中一定错误的是()A.f 1k<1kB.f 1k>1k -1C.f 1k -1<1k -1D.f 1k -1>kk -16(2013·辽宁·高考真题)设函数f x 满足x 2fx +2xf x =e x x ,f 2 =e 28,则x >0时，f x ()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值7(2015·全国·高考真题)设函数f '(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf '(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)8(辽宁·高考真题)函数f x 的定义域为R ，f -1 =2，对任意x ∈R ，f x >2，则f x >2x +4的解集为()A.-1,1B.-1,+∞C.-∞,-1D.-∞,+∞最新模考真题一、单选题1(2023·西藏日喀则·统考一模)如图，已知函数f x 的图象在点P 2,f 2 处的切线为直线l ，则f 2 +f 2 =()A.-3B.-2C.2D.12(2023·陕西榆林·统考三模)定义在0,+∞ 上的函数f x ，g x 的导函数都存在，f x g x +f (x )g x =2x -1x ln x +x +1x2，则曲线y =f x g x -x 在x =1处的切线的斜率为()A.12 B.1 C.32D.23(2023·四川成都·统考模拟预测)已知定义在R 上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <e x ，且f 2 =e 2+2，则不等式f ln x >x +2的解集是()A.0,2B.0,e 2C.e 2,+∞D.2,+∞4(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f x ，若对于任意实数x ，有f x >f x ，且f 0 =1，则不等式f x <e x 的解集为()A.-∞,0B.0,+∞C.-∞，e 4D.e 4，+∞5(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x 为函数f x 的导函数，当x ∈0,+∞ 时，sin2x -f x >0，且∀x ∈R ,f -x +f x -2sin 2x =0，则下列说法一定正确的是()A.f π3-f π6 >12 B.f π3-f π4 <14C.f π3 -f 3π4 <14 D.f π3 -f -3π4 >146(2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =1，f 1 =0，则不等式f 2x -3 >0的解集为()A.0,2B.log 23,2C.log 23,+∞D.2,+∞7(2023·山东烟台·统考二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,e C.-1,1 D.-1,e8(2023·安徽·校联考模拟预测)已知函数f x 、g x 是定义域为R 的可导函数，且∀x ∈R ，都有f x >0，g x >0，若f x 、g x 满足f x f x <g xg x ，则当x 1<x <x 2时下列选项一定成立的是()A.f x 2 g x 1 >f x 1 g x 2B.f x g x 1 >f x 1 g xC.f x 2 -g x 2 f x 1 -g x 1 <g x 2 g x 1 D.f x 2 g x 2 <f x 1 +f x 2g x 1 +g x 2二、多选题9(2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测)已知函数f (x )对于任意的x ∈0,π2都有f (x )cos x -f (x )sin x >0，则下列式子成立的是()A.3f π6>2f π4 B.2f π4<f π3 C.2f (0)<f π4 D.2f (0)>f π3 10(2020·山东泰安·校考模拟预测)定义在0,π2 上的函数f (x )，f x 是f (x )的导函数，且fx <-tan x ⋅f (x )恒成立，则() A.f π6>2f π4B.3f π6 >f π3C.f π6>3f π3D.2f π6>3f π411(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模)已知函数f x 在R 上可导，其导函数为f x ，若f x 满足：x -1 fx -f x >0，f 2-x =f x e 2-2x ，则下列判断不正确的是()A.f 1 <ef 0B.f 2 >e 2f 0C.f 3 >e 3f 0D.f 4 <e 4f 012(2023·辽宁锦州·校考一模)定义在R 上的函数f x 满足xf x -f x =1，则y =f x 的图象可能为()A. B.C. D.三、填空题13(2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为-π2 ,π2，其导函数是f x .有f x cos x+f x sin x<0，则关于x的不等式f(x)>2fπ3cos x的解集为.14(2023·广东佛山·统考模拟预测)已知f x 是定义在R上的偶函数且f1 =2，若f x <f x ln2，则f x -2x+2>0的解集为.15(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)设函数y=f x 在R上存在导数y=f x ，对任意的x∈R，有f x -f-x=2sin x，且在0,+∞上f x >cos x.若fπ2-t-f t >cos t-sin t.则实数t的取值范围为.16(2023·山东·模拟预测)定义在0,π2上的可导函数f x 的值域为R，满足f x tan x≥2sin x-1f x ，若fπ6=1，则fπ3 的最小值为.。

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75 25 4555
……………… 3 分
……………… 5 分
6
这说明有 90% 的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6 分 （2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 5 名学生， 其中男生 2 名，设为 A 、 B ；女生 3 人设为 a, b, c ，
因为 BC CF 1， BCF 90 ，所以 CN BF ，且 CN 2 . 2
因为面 DAE 、面 CBF 均与面 ABFE 垂直， 所以 DM 面 ABFE ， CN 面 ABFE ， 所以 DM CN ，且 DM CN .
……………… 2 分
因为 AM AGcos45 ，所以 AMG 90 ，
所以 AMG 是以 AG 为斜边的等腰直角三角形，故 MGA 45 ，
而 FBA 45 ，则 MG FB ，
……………… 4 分
故面 DMG 面 CBF ，
7
则 DG 面 CBF .
……………… 6 分
（2）如图，连接 BE ， DF ，由（1）可知， DM CN ，且 DM CN ， 则四边形 DMNC 为平行四边形，故 DC MN EF AB 2 .
因为当
x
0 时， g x
ex
2 x2
0，
所以 g x 在 , 0 ， 0, 上是增函数.
……………… 4 分
（2）因为 f x 有两个极值点 x1 ， x2 x1 x2 ，
8
所以
x1 ，
x2
是
f
x
xex
tx
2
0
，即 ex
2 x
t
0
的两个根
x1 ，
x2
，
所以 x1 ， x2 是 g x 的两个零点，
又C为三角形的内角,C 2π . 3
………………………
6分
(2) S 1 absinC 3 c,c 1 ab.
2
2
2
又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab,
………………………
8分
a2b2 a2 b2 ab 3ab ， 4
ab 12 ，当且仅当 a b 时等号成立.
2 因为V VD ABE VBEFCD VD ABE 3VBDEF VD ABE 3VDBEF ， …………… 8 分
所以 V
1 3
1 2
31
2 2
3
1 3
1 2
11
2 2
2. 2
………………
12 分
（其他方法酌情给分）。
21.解：【分析】
（1）首先求函数的导数
gx
ex
2 x2
，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据
2π
17.【答案】(1) ；(2) 12.
3
【解析】
(1)由正弦定理及已知可得 2sinCcosB 2sinA sinB,
……………… 2 分
则有2sinCcosB 2sin B C sinB ，2sinBcosC sinB 0, …… 4 分
B为三角形的内角,sinB 0,cosC 1 . 2
图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数 y f x 和函数 y ln x 的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数 g x f x ln x 的零点个数为 3．
4
16.【答案】 6
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 3 ，2， 5 为三边的三角形作为底面，且以分别 x，y，z 长、
2
，
2
log3
1 2
2
log3
2
2, 3
，
∴
4
log2
9
2
log3
1 2
0.50.5
1，
∴
f
log2 9
f
2
log3
1 2
f
0.50.5
，
又∵
f
x 关于直线 x
1 对称，∴
f
log3
1 2
f
2
log3
1 2 ，
∴
f
log2 9
f
log3
1 2
f
0.50.5
.故选：A
由（1）可知 g x 在 , 0 和 0, 内分别至多有一个零点，
又
x1
x2 ，所以
x1
0
，且
g
x1
0 ，即 t
e x1
2 x1
，
所以
f
x1
x1
1e x1
t 2
x12
2x1
x1
1 ex1
1 2
e
x1
2 x1
x12
2x1
x12 2
x1
1
e
x1
x1 ，
……………… 6 分
共 6 个基本事件，
……………… 10 分
根据古典概型，从这 5 名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为 6 3 . … 12 分
10 5
20．【答案】(1)见证明(2) 2 2
【解析】（1）分别取 AE ， BF 的中点 M ， N ，连接 DM ， CN ， MG ， MN ，
因为 AD DE 1 ， ADE 90 ，所以 DM AE ，且 DM 2 . 2
①减去②得 4an (2n 1)an1 (2n 3)an ，
整理得 (2n
1) an
(2n
1)an 1
，即
an1 an
2n 2n
1 1
，
………………………
3分
a2 a1
3 ， a3
a2
5 ，， 3
an an1
2n 1 2n 3
以上各式相乘得
an a1
2n 1 ，又 a1
1 ，所以 an
1
形，侧面 PC1D1 是边长为 2 的正三角形，且侧面 PC1D1 底面 DCC1D1 ．
根据图形可得四棱锥中的最长棱为 PC1 和 PD1 ，结合所给数据可得
PC1 PD1 2 2 ，所以该四棱锥的最长棱为 2 2 ．
故选 B． 8．【答案】C
【解析】由题意不等式 a b m2 2m 6 对任意 m2,3 恒成立
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.【答案】9
【解析】由等差数列性质可知： S21 21a11 63 ，解得： a11 3 a3 a11 a19 3a11 9
3
14．【答案】
6
【解析】因为
a
(cos
,
sin
)
，
b
1 2
,
3 2
又
m2
2m
6=
m
12
5
6, 9
∴a+b≤6
则
ab
a
2
b
2
9
当且仅当 a b 3
成立
2 a1 b1 =ab22 a1 b1ab22 abab16+2+8=16故
a1 b14
故选：C
9.【答案】B
【解析】依题意“5
阶幻方”的幻和为
1
2
25
1 25 2
25
65
，故选
B.
5
5
10．【答案】C
【详解】
两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，并且 x2+y2 ＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R 为球的半径），得 2R2＝3， 所以球的表面积为 S＝4πR2＝6π．
故答案为 6 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2 5 cos 2 sin
令
x
x2 2
x
1
ex
xx
0 ，则 x
1 2
x2ex
1
0
，
所以 x 在 , 0 上为减函数，
……………… 8 分
因为
f
x1
5 2e
1
0
，即
f
x1
1
5 2e
，即
x1
1 ，
所以 1 x1 0 ，
所以
g
1
g
x1
，即
1 e
2
t
0
，所以
t
1 e
2
.
……………… 12 分
22..解：（1） x y
，所以
|
a
||
b
|
1，
因为 |
3a
b
||
a
3b | ，所以 |
3a
b
|2
|
a
3b |2 ，
所以 3a2 2
3a
b
b2
a 2
2
3a
b 3b 2
即3
2
3a
b
1
1
2
3a
b
31
cos
2
3 sin 0 ，所以 tan 2
3 3
，由 0
可得
6
.
15．【答案】3
【解析】当 1 x 0 时，则 0 x 1 1 ，
1．【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】B
4. 【答案】A
5. 【答案】C
i 1时，x 2x 1 ；i 2 时，x 22x 1 1 4x 3 ；i 3时，x 24x 3 1 8x 7 ；
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