黑龙江省哈尔滨市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(文) 答案

Tn
n 2n 1
………………
12 分
19.【答案】（1）填表见解析；有 90% 的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2） 3 . 5
【解析】（1） 2 2 列联表如下：
满意
不满意 合计
男生
30
15
45
女生
45
10
55
合计
75
25
100
又 K 2 100 30 10 45 15 2 3.03 2.706 ，
共 6 个基本事件，
……………… 10 分
根据古典概型，从这 5 名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为 6 3 . … 12 分
10 5
20．【答案】(1)见证明(2) 2 2
【解析】（1）分别取 AE ， BF 的中点 M ， N ，连接 DM ， CN ， MG ， MN ，
因为 AD DE 1 ， ADE 90 ，所以 DM AE ，且 DM 2 . 2
2 因为V VD ABE VBEFCD VD ABE 3VBDEF VD ABE 3VDBEF ， …………… 8 分
所以 V
1 3
1 2
31
2 2
3
1 3
1 2
11
2 2
2. 2
………………
12 分
（其他方法酌情给分）。
21.解：【分析】
（1）首先求函数的导数
gx
ex
2 x2
，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据
2
，
2
log3
1 2
2
log3
2
2, 3
，
∴
4
log2
9
2
log3
1 2
0.50.5
1，
∴
f
log2 9
f
2
log3
1 2
f
0.50.5
，
又∵
f
x 关于直线 x
1 对称，∴
f
log3
1 2
f
2
log3
1 2 ，
∴
f
log2 9
f
log3
1 2
f
0.50.5
.故选：A
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.【答案】9
【解析】由等差数列性质可知： S21 21a11 63 ，解得： a11 3 a3 a11 a19 3a11 9
3
14．【答案】
6
【解析】因为
a
(cos
,
sin
)
，
b
1 2
,
3 2
两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，并且 x2+y2 ＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R 为球的半径），得 2R2＝3， 所以球的表面积为 S＝4πR2＝6π．
故答案为 6 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
75 25 4555
……………… 3 分
……………… 5 分
6
这说明有 90% 的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6 分 （2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 5 名学生， 其中男生 2 名，设为 A 、 B ；女生 3 人设为 a, b, c ，
此时有 f (x) f (x 1) x 1 ，
∵ f x 1 f x，∴ f x 2 f x 1 [ f (x)] f (x) ，
∴函数 y f x 是周期为 2 的周期函数．
令 g x f x ln x 0 ，则 f x ln x ，
由题意得函数 g x f x ln x 的零点个数即为函数 y f x 的图象与函数 y ln x 的
故 ab 的最小值为 12.
………………………
12 分
18.【答案】（1） an
2n
1；（2） Tn
n 2n 1
.
【解析】（1） 4Sn (2n 1)an1 1 ①，
5
当 n 1 时， 4S1 a2 1 ，解得 a2 3
………………………
1分
当 n 2 时， 4Sn1 (2n 3)an 1②，
图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数 y f x 和函数 y ln x 的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数 g x f x ln x 的零点个数为 3．
4
16.【答案】 6
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 3 ，2， 5 为三边的三角形作为底面，且以分别 x，y，z 长、
又
m2
2m
6=
m
12
5
6, 9
∴a+b≤6
则
ab
a
2
b
2
9
当且仅当 a b 3
成立
2 a1 b1 =ab22 a1 b1ab22 abab16+2+8=16故
a1 b14
故选：C
9.【答案】B
【解析】依题意“5
阶幻方”的幻和为
1
2
25
1 25 2
25
65
，故选
B.
5
5
10．【答案】C
【详解】
哈尔滨市第一中学校 2020—2021 学年度上学期期中考试 高三数学（文科）试题答案
命题人：李京娟 审题人：孙榕 考试时间：120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1．【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】B
4. 【答案】A
5. 【答案】C
i 1时，x 2x 1 ；i 2 时，x 22x 1 1 4x 3 ；i 3时，x 24x 3 1 8x 7 ；
i 4 时，退出循环.此时， 8x 7 1 x ，解得 x 21 .故选 C
3
23
1 ac sin120 1 a 1sin 60 1 c 1sin 60 ，化简得 ac a c, 1 1 1，因此
2
2
2
ac
4a c (4a c)( 1 1) 5 c 4a 5 2 c 4a 9,
ac
ac
ac
12．【答案】A
【解析】令 g(x) f (x 1) 3x 3x 2 cos x，g(x) g(x) ，所以 g(x) 是偶函数；
6．【答案】D
【解析】如图
由 z 2x y ，令 z 0 ，则目标函数的一条等值
线为 2x y 0
当该等值线经过点 A2, 0 时，目标函数有最大值
所以 zmax 2 2 0 4
故选：D 7．【答案】B 【解析】
由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥 P DCC1D1 ，底面 DCC1D1 是边长为 2 的正方
条件转化为
ex 2 t 0 x
的两个根
x1
，
x2
， 即 t ex1 2 x1
，代入
f
x1
x1
1e x1
t 2
x12
2x1
，得到
f
x1
x12 2
x1
1
e
x1
x1
，
构
造
函
数
x
x2 2
x
1
ex
xx
0 ，利用导数证明不等式.
【详解】（1） g x 的定义域为 , 0 0, ，
g(x) ln 3(3x 3x) 2sin x，当 x (0, ) 时， g(x) 0 ， g(x) 在 (0, ) 上是增函数，
将 g(x) 图像向右平移一个单位得到 f x 图像， 所以 f x 关于直线 x 1 对称，且在 (1,1 ) 单调递增.
∵ 3 log2 9 4 ， 0.50.5
2π
17.【答案】(1) ；(2) 12.
3
【解析】
(1)由正弦定理及已知可得 2sinCcosB 2sinA sinB,
……………… 2 分
则有2sinCcosB 2sin B C sinB ，2sinBcosC sinB 0, …… 4 分
B为三角形的内角,sinB 0,cosC 1 . 2
所以 AMG 是以 AG 为斜边的等腰直角三角形，故 MGA 45 ，
而 FBA 45 ，则 MG FB ，
……………… 4 分
故面 DMG 面 CBF ，
7
则 DG 面 CBF .
……………… 6 分
（2）如图，连接 BE ， DF ，由（1）可知， DM CN ，且 DM CN ， 则四边形 DMNC 为平行四边形，故 DC MN EF AB 2 .
，所以
|
a
||
b
|
1，
因为 |
3a
b
||
a
3b | ，所以 |
3a
b
|2
|
a
3b |2 ，
所以 3a2 2
3a
b
b2
a 2
2
3a
b 3b 2
即3
2
3a
b
1
1
2
3a
b
3
，
所以
a
b
1
cos
2
3 sin 0 ，所以 tan 2
3 3
，由 0
可得
6
.
15．【答案】3
【解析】当 1 x 0 时，则 0 x 1 1 ，
因为 BC CF 1， BCF 90 ，所以 CN BF ，且 CN 2 . 2
因为面 DAE 、面 CBF 均与面 ABFE 垂直， 所以 DM 面 ABFE ， CN 面 ABFE ， 所以 DM CN ，且 DM CN .
……………… 2 分
因为 AM AGcos45 ，所以 AMG 90 ，
又C为三角形的内角,C 2π . 3
………………………
6分
(2) S 1 absinC 3 c,c 1 ab.
2
2
2
又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab,
………………………
8分
a2b2 a2 b2 ab 3ab ， 4
ab 12 ，当且仅当 a b 时等号成立.
由（1）可知 g x 在 , 0 和 0, 内分别至多有一个零点，
又
x1
x2 ，所以
x1
0
，且
g
x1
0 ，即 t
e x1
2 x1
，
所以
f
x1
x1
1e x1
t 2
x12
2x1
x1
1 ex1
1 2
e
x1
2 x1
x12
2x1
x12 2
x1
1
e
x1
x1 ，
……………… 6 分
①减去②得 4an (2n 1)an1 (2n 3)an ，
整理得 (2n
1) an
(2n
1)an 1
，即
an1 an
2n 2n
1 1
，
………………………
3分
a2 a1
3 ， a3
a2
5 ，， 3
an an1
2n 1 2n 3
以上各式相乘得
an a1
2n 1 ，又 a1
1 ，所以 an
2n 1
………………
6分
（2）由（1）得
cn
1 an (an
2)
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1 ，…………
8分
Tn
1 2
1
1 3
Biblioteka Baidu
11 2 3
1 5
1 2
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
n 2n 1
令
x
x2 2
x
1
ex
xx
0 ，则 x
1 2
x2ex
1
0
，
所以 x 在 , 0 上为减函数，
……………… 8 分
因为
f
x1
5 2e
1
0
，即
f
x1
1
5 2e
，即
x1
1 ，
所以 1 x1 0 ，
所以
g
1
g
x1
，即
1 e
2
t
0
，所以
t
1 e
2
.
……………… 12 分
22..解：（1） x y
则从这 5 名学生中抽取 2 名学生的基本事件有： A, B ， A, a ， A,b ， A,c ， B, a ， B,b ， B,c ， a, b ， a, c ， b,c ，共10 个基本事件， ……………… 8 分 其中抽取一名男生与一名女生的事件有 A, a ， A,b ， A,c ， B, a ， B,b ， B,c ，
因为当
x
0 时， g x
ex
2 x2
0，
所以 g x 在 , 0 ， 0, 上是增函数.
……………… 4 分
（2）因为 f x 有两个极值点 x1 ， x2 x1 x2 ，
8
所以
x1 ，
x2
是
f
x
xex
tx
2
0
，即 ex
2 x
t
0
的两个根
x1 ，
x2
，
所以 x1 ， x2 是 g x 的两个零点，
1
形，侧面 PC1D1 是边长为 2 的正三角形，且侧面 PC1D1 底面 DCC1D1 ．
根据图形可得四棱锥中的最长棱为 PC1 和 PD1 ，结合所给数据可得
PC1 PD1 2 2 ，所以该四棱锥的最长棱为 2 2 ．
故选 B． 8．【答案】C
【解析】由题意不等式 a b m2 2m 6 对任意 m2,3 恒成立
设 f (x) e|x| ，定义域为{x | x 0} ， f (x) e|x| f (x) ，所以 f (x) 为奇函数，
4x
4x
故排除选项 B；又 f (1) e 1 ，排除选项 A； f (3) e3 1 ，排除选项 D.
4
12
故选：C
11．【答案】C
2
【解析】由题意可知， S△ABC S△ABD S△BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得
2 5 cos 2 sin