4第四章流体动力学(积分方程)

，则单位时间内
将单位时间内辐射到系统单位质量流体上的热记为 qR ，则单位时间内 系统所吸收的总辐射量为：
单位时间作的功就是功率： 为：
，则质量力作功的总功率
表面力作功的总功率：
由能量守恒定律： 可得到能量方程：
，代入前面的关系即
至此，我们建立了基于系统的拉格朗日型的积分形式的基本方程组，他 们包括：连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。其中，动量矩 方程在有关旋转系统的流动问题中有应用。 但是，在工程中更常用到的是基于控制体的欧拉型方程，那么，基于系 统的守恒方程与基于控制体的守恒方程之间有什么关系呢？这就是我们
的变化量，
是 在控制体内随时间
是 流出控制体的“净流量”。与加速
度的质点导数一样，第一项是由于流场的非定常性造成的，而第二项
是由于流场的不均匀性造成的，整个输运公式的物理意义可描述为：
某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体 内所含物理量 增量与通过控制面
A 流出的相应的物理量 之和。
控制体的特点： 1. 控制体相对于坐标系是固定的，大小形 状不变。 2．在控制面上有质量的交换 3．在控制面上可受外界表面力的作用 4．在控制面上可以有能量交换。 既然立足于系统的基本方程直接传承于理论力学的方法，我们先建立 拉格朗日型的积分形式的基本方程。
第二节 拉格朗日型基本方程
取如图任意一个封闭表面 A0 (t )所包围的体积 0 (t ) 中 的流体作为系统加以考察。
最终得到：
输运公式的推导，思路还是很清晰的。对于
系统，讨论 t 时刻与 t t 时刻系统参数 的变化量。其中， t 时刻的系统同时取为控 制体。将两个时刻系统所占据的空间体积分 为三个部分 01、 02 和 03，在共有体积内分 输运，最终得到全部体积内 的变化关系。 为了更简单的得到输运公式的关系，同学们 可以对如图的流管流动过程进行分析，来推 导基于流管的输运方程。
所作的功W之和，等于该系统的总能量E对时间的变化率。即：
下面逐项分析传热和作功。这里传给系统的热量可以通过以下两种
途径：热传导和热辐射。其中，热传导是通过表面进行的，而热辐射是
可以穿透流体作用到系统内部的。而外力对系统作功也可以分为质量力 作功和表面力作功，前者是长程作用，后者是表面作用。
将单位时间内通过单位面积的热传导量记为 通过系统边界的总的热传导量：
在流管侧表面上，流速与表面外法线方向垂直，所以A0 表面上的积分为零。 所以有：
如果在进、出口界面上各参数分布均匀，上式可积分得：
二、动量方程
令 V ，则动量方程为：
整理后即得：
物理意义：作用在控制体上的合外力加单位时间内通过控制面流入的净动 量，等于控制体内动量的增加率。 同理可以得到动量矩方程：
第一节 系统与控制体
一、系统
包含着确定不变的流体物质的集合，称之为系统。系统之外的集 合称之为外界。系统与外界的交界称为边界。 在流体力学中，系统是确定的流体质点组成的流体团。
系统的特点：
1、系统的边界随流体一起运动，大小形状可变。 2、在系统的边界上没有质量交换。
3、在系统的边界上可受外界表面力作用。

的
输运公式的另一种形式：
由上面的分析推导过程我们发现， 只适于系统描述 是由于它表示的是系统体积积分的时间变化率，而系统的体积是随时间 变化的。如果能将积分号放到微分号的外边，这种求导就与体积无关， 那么就无所谓是对 0 还是对
积分了。我们可以试着这样做一下。
在讨论流体微团运动分析时，曾对体积变形速率进行过描述。
系统的动量对时间的变化率等于外界作用在系统上的合力。
其中合外力
可分为质量力和表面力： 表面力=
质量力=
所以反映牛顿第二定律的动量守恒方程为：
三、动量矩方程
将动量方程的各项对o 点取矩，即能得到动量矩方程。动量矩守恒 定律可表述为：系统对某点的动量矩随时间的变化率等于外界作用在系 统上的所有外力对同一点的力矩之和。
基本方程所描述的这些守恒关系，可以是积分形式的也可以是微分 形式的。虽然他们所要反应的规律在本质上是一样的，但积分方程是在 宏观上，整体上对流体流动过程中的守恒关系及参变量加以描述，如合 力，总能量等。而微分方程则是对流场中微元体的平衡细节加以描述， 因此它的解就能给出场的分布。如速度场、温度场。这两种形式的基本 方程可以互相导出，各有应用的地方。 我们的思路是，先建立积分形式的基本方程，它的优点是物理概念 很清楚，容易被接收。在认可了积分形式的方程后，只要对其稍做处理， 就可以得到微分形式的基本方程。这比直接建立微分方程要简单些。书 上介绍的是直接建立微分方程的方法，可以互为补充。 在建立基本方程时守恒关系都是针对“物体”写出来的。我们应用 拉格朗日观点分析流体运动描述这种守恒关系时，自然会方便得多。但 流体动力学最终要用欧拉的方法加以分析，所以也必须在这两者之间建 立关系。为了今后的学习，首先我们要明确系统与控制体概念。
流管的动量方程： 仍取如右图的流管为控制体，假设流动为定 常流动，则动量方程中的时间导数项为零。 控制体内的流体所受的合外力为：
则合外力与动量输运的关系：
忽略质量力，并假设流体是理想流体，pn np ，则控制体所受表面力为：
一、连续方程
在输运公式中令 ，则连续方程为：
即： 物理意义：单位时间内通过控制面 A 流入的净质量，等于控制体 量的增加量率。
内质
注意：利用高斯定律可以将上式中的表面积分转换成体积积分：
代入连续方程：
当流动为定常流动时：
有： 所以对于定常的可压缩流动，有：
流管的连续方程： 取如右图的流管为控制体，假设流动为定常 流动，则连续方程中的时间导数项为零：
一、连续方程
连续方程是建立系统的质量守恒关系。设 0 (t ) 中的 流体总质量为M，按系统的定义，系统内的流体质量M 将不随时间改变而守恒。即M＝const或：
系统中流体密度的分布可以是不均匀的，并且可以随时间改变，即
有： 连续方程为： ，则系统内的总质量为 。反映质量守恒的
二、动量方程
单位体积的流体的动量定义为 系统体积的积分： ，则系统内流体的总动量是对 。根据动量守恒定律或牛顿第二定律，
所以Φ的积分又可表示为：
同理：
上面两项，一项是对A01的积分，一项是对A02的积分，合起来正好是对t0 时刻封闭曲面A0=A 的积分：
这样(a)式中的第二项就变为： (c) 将(b)式和(c)式代入(a)式，最后我们得到输运公式：
这就是系统导数在控制体中的描述，也称系统导数的欧拉表示法。
其物理意义可以这样来理解，
其中， M 0 是系统对o点的动量矩， r 是以o点为原点的向径。
动量矩方程一般用在有转动部件时。
三、能量方程
定义系统的总能量为 ， 其中，e 是单位质量
V2 流体所含的内能， 是单位质量流体所具有的动能。根据能量守恒原理 2
或热力学第一定律：单位时间内由外界传入系统的热量Q与外力对系统
为了确定系统导数在控制体中的描述，我们在 t 时刻，在流场中取系统如 图。它的体积为 0 (t ) ，表面积为 A0 (t ) 。经过 t 时间，该系统随流体运 动到下一位置如图，此时的体积为 0 (t t ) ，同 (t t ) ，表面积 A0 时我们定义控制体为 t 时刻的系统：即控制体的体积 0 (t ) ，其表面 积 A A0 (t ) 。
0 (t )
(t t ) 0
析 随时间的变化，在个有体积内分析 的
第四节 欧拉型基本方程
有了输运公式以后，就可以很方便的由拉格朗日型的积分方程转化 为欧拉型的积分方程。注意这种转换是对输运项或系统导数进行，而对 动力项，由于不涉及到控制体积分的时间变化率，所以可直接将对系统 的积分转换成对控制体的积分。这里我们先利用第一种输运公式来进行 转换，由此得到的欧拉积分方程可以用于实际工程应用问题的分析。
流体是物质的一种，流体运动也是物质运动的一种，因此，对于物 质的运动所要遵守的普遍规律，流体在运动过程中也应无条件遵守。那 么，描述这些需无条件遵守的规律的数学方程，我们就称其为基本方程。 比如流体在运动过程中的质量守恒、动量守恒和能量守恒，这些守恒关 系都是要无条件遵守的。除此之外，还有如熵增原理，虽然要被普遍遵 守却没有明确的数学公式，而像p、v、T关系，过程关系，流体性质不 同它们是不同的。
这一几何关系要搞清楚，没有立 体概念的可以想象一个二维问题。
当系统随流体运动时，系统的输运函数 I 也在发生变化，其在t 时间 内的变化量为：
由系统导数的定义：
(a)
0 (控制体)，只要在体积积分量的外面 0 注意，当 t 0 时， D 没有 (对时间求导)，对系统的积分就可以变换为对控制体的积分。 Dt 我们来看这三项描述的物理意义。
我们可以把拉格朗日方程中的输运项写成统一的形式：
V2 ) 这样当 时：I M ，当 V 时： I K ，当 (e
2
时： I
E（总能量）。我们的工作是要将系统导数
转换成适合于控制体描述的形式。 首先系统导数描述的是被输运的量随时间变化的变化率。由于控制体 是不动的，当其描述确定物质的变化率时，我们可以猜想，这种描述与欧 拉加速度一样，应该由两部分组成，一部分是控制体内参数 I 随时间的变 化，另一部分是由于 I 的空间分布不同，使得 I 在随流体流过控制体时， 他所发生的变化。
根据微分中值定理：
(a)式中右边第一项的被积函数可写为：
因此：
(b) 又体积 02 内的积分，当 t 0 时可以看 作是由表面 A01上的函数 ( x, t ) 在速度的作 用下，t 时间内移动占据空间的积分。当 该微元体积为：
流体运动时，在 t 时间内走了距离 V t ，
当 t 足够小时，两个时刻的系统边界将
空间分为三个区域；公共部分为 01 ， 则： 03 0 01 ,
01 02 0
为 01 与 03 A01 为 01与 02 的交界面。A02 的交界面，则： A02 A0 A01 A0 A02 A01
4、在系统的边界上可以有能量交换。 显然，当我们以系统作为研究对象来分析守恒关系时，就意味着 采用拉格朗日的观点和方法。而当我们要用欧拉的观点来研究流动过 程的守恒关系时， 就应该以控制体作为研究对象。
二、控制体
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被流体流过的相当于某个坐标系固定不变的任何体积，称之为控制 体。控制体的边界面称之为控制面，是封闭面。不同的时间占据控制体 空间的流体质点是不同的。
第四章 流体动力学的基本方程 （积分形式）
前面我们分析了流体运动学的问题，并试图去求解流场。但是在所 有这些分析中，我们都没有涉及导致流体运动发生的原因。而流体力学 要解决的问题是：流体与存在着相对运动的物体之间的力的相互作用， 以及由此相互作用而引起的流体运动的规律。这在运动学中是解决不了 的，它需要我们开展动力学的研究，这就是我们将要学习的——流体动 力学。
将要讨论的问题。
第三节 输运公式
前面我们也已讲到，拉格朗日形式的方程虽然它很容易建立、也很容 易理解，但我们并不常用 。我们的最终目的是要建立欧拉型的积分方程。 那么，怎样建立欧拉方程，两者在形式上又有什么不同呢？现在回过头来 看一下拉格朗日型的基本方程，可以发现它能写成如下的通式：
注意：这里的积分是对系统的体积和表面积进行积分。用欧拉方法时，可 以取t0时刻的系统所占的体积为控制体，这样，等式的右边就变换为对控制 体的积分。但是，等式左边是系统体积积分随时间的变化率，随着时间的 改变，系统体积的形状和位置是在改变的。它是系统的总质量、总动量或 总能量随时间的变化率，我们称之为系统导数，也称其为输运项，而控制 体不能直接对其进行描述。等式的右边可以将其称为动力项或源项，是左 边的输运过程产生的原因。这样我们可以认识到，建立欧拉型方程的关键 是导出控制体描述的系统导数的形式，也就是输运项的控制体描述形式。