高中数学《直线的点斜式方程》导学案

3.2.1直线的点斜式方程

课前自主预习

知识点一直角坐标系内确定一条直线的几何要素

(1)直线上的□1一点和直线的□2倾斜角(斜率)可以确定一条直线．

(2)直线上□3两点也可以确定一条直线．

知识点二直线的点斜式方程

(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为□1y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．

(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为□2y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为□3x＝x0.

知识点三直线的斜截式方程

(1)斜率为k，且与y轴交于(0，b)点的直线方程为□1y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．

(2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是□2直线的斜率，b的几何意义是□3直线在y轴上的截距．

1.关于点斜式的几点说明

(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜

式方程．

(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0

不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．

(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．

2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．

1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝

y 0.( )

(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．( )

(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)(教材改编，P 95，T 1)过点P (－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________．

(2)已知直线l ：y ＝2－3x ，直线l 的斜率是________，在y 轴上的截距为________．

(3)(教材改编，P 95，T 1)斜率为2，过点A (0,3)的直线的斜截式方

程为______________________．

答案(1)y－2＝3(x＋1)(2)－32(3)y＝2x＋3

3.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()

A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1

B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1

答案C

课堂互动探究

探究1求直线的点斜式方程

例1写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；

(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；

(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．

解(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，

∴方程为x＝－5.

(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．

(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，

∴直线方程为y－2＝2(x－1)．

拓展提升

直线的点斜式方程的适用范围

已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐

标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.

【跟踪训练1】 写出下列直线的点斜式方程．

(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；

(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；

(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．

解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，

由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．

(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.

(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－3

5－(－2)

＝－77＝－1.

又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－(x ＋2).

探究2 求直线的斜截式方程

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.

解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.

(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k ＝tan150°＝－33，由斜截式

可得方程为y ＝－33x －2.

(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k ＝tan60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.

拓展提升

直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．

(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.

【跟踪训练2】 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；

(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；

(3)已知直线方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．

解 利用直线的斜截式方程求解．

(1)易知k ＝－1，b ＝－2，

由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y ＝－x －2.

(2)由于直线斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的