高中数学《直线的点斜式方程》导学案

3.2.1直线的点斜式方程
课前自主预习
知识点一直角坐标系内确定一条直线的几何要素
(1)直线上的□1一点和直线的□2倾斜角(斜率)可以确定一条直线．
(2)直线上□3两点也可以确定一条直线．
知识点二直线的点斜式方程
(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为□1y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．
(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为□2y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为□3x＝x0.
知识点三直线的斜截式方程
(1)斜率为k，且与y轴交于(0，b)点的直线方程为□1y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．
(2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是□2直线的斜率，b的几何意义是□3直线在y轴上的截距．
1.关于点斜式的几点说明
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜
式方程．
(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0
不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．
(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．
2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝
y 0.( )
(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．( )
(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)(教材改编，P 95，T 1)过点P (－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________．
(2)已知直线l ：y ＝2－3x ，直线l 的斜率是________，在y 轴上的截距为________．
(3)(教材改编，P 95，T 1)斜率为2，过点A (0,3)的直线的斜截式方
程为______________________．
答案(1)y－2＝3(x＋1)(2)－32(3)y＝2x＋3
3.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案C
课堂互动探究
探究1求直线的点斜式方程
例1写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；
(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．
解(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，
∴方程为x＝－5.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，
∴直线方程为y－2＝2(x－1)．
拓展提升
直线的点斜式方程的适用范围
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐
标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.
【跟踪训练1】 写出下列直线的点斜式方程．
(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；
(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；
(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．
解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．
(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.
(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－3
5－(－2)
＝－77＝－1.
又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－(x ＋2).
探究2 求直线的斜截式方程
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.
(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k ＝tan150°＝－33，由斜截式
可得方程为y ＝－33x －2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k ＝tan60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.
拓展提升
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.
【跟踪训练2】 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；
(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；
(3)已知直线方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．
解 利用直线的斜截式方程求解．
(1)易知k ＝－1，b ＝－2，
由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y ＝－x －2.
(2)由于直线斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的
点斜式得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化为斜截式为y ＝－43x ＋4.
(3)直线方程2x ＋y －1＝0，可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k ＝－2，截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1).
探究3 平行与垂直问题
例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？
(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？
解 (1)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.
∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.
故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．
(2)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝2a －1，直线l 2的斜率k 2＝4.
∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.
故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂
直．
[条件探究] 在本例(1)中将l 1改为y ＝－ax ＋2a ，又如何求a 值？
解 由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－a ，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.
∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－a ，2a ≠2，
解得a ＝－2. ∴当a ＝－2时，直线l 1与l 2平行．
拓展提升 (1)两条直线平行和垂直的判定
已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，
①若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.
②若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b 1≠b 2这个条件．
【跟踪训练3】 已知直线l 过点A (2，－3)．
(1)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′平行，求其方程；
(2)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′垂直，求其方程． 解 (1)由斜率公式得直线l ′的斜率k ′＝2－4
－3－(－4)
＝－2， ∵l 与l ′平行，∴直线l 的斜率k ＝－2.
由直线的点斜式方程知y ＋3＝－2(x －2)，
∴直线方程为2x ＋y －1＝0.
(2)∵直线l ′的斜率为k ′＝－2，l 与其垂直，∴直线l 的斜率k ＝12.
由直线的点斜式方程知l ：y ＋3＝12(x －2)，
∴直线方程为x－2y－8＝0.
1.求直线的点斜式方程的方法步骤
2．判断两条直线位置关系的方法
直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若k1≠k2，则两直线相交．
(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，
当b1≠b2时，两直线平行；
当b1＝b2时，两直线重合．
(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．
课堂达标自测
1.已知直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()
A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C.x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案D
解析 由已知，可得直线l 的斜率k ＝tan45°＝1，又直线l 过点P (－1,2)，所以直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.
2.直线y ＝k (x ＋2)＋3必过一定点，该定点为( )
A.(3,2) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3)
答案 D
解析 直线方程可化为y －3＝k (x ＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线斜率为k ，且过点(－2,3).
3.倾斜角为120°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．
答案 y ＝－3x －3
解析 ∵所求直线的倾斜角为120°，
∴它的斜率k ＝tan120°＝－3，
又b ＝－3，∴它的斜截式方程为y ＝－3x －3.
4.过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程
是________．
答案 y －2＝23(x ＋3)
解析 所求直线与y －1＝23(x ＋5)平行，
∴它的斜率为23，又过(－3,2)，
∴它的点斜式方程为y －2＝23(x ＋3).
5.已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5
倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在x轴上截距(直线与x轴交点的横坐标)为－2；
(3)在y轴上截距为3.
解直线y＝－
3
3x＋5的斜率k＝tanα＝－
3
3
，
∴α＝150°.
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝3
3.
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得y＋4＝
3
3(x－3)，
∴y＝3
3x－3－4.
(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程，得y－0＝3
3(x＋2)．
∴y＝3
3x＋23 3.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝
3
3x＋3.
课后课时精练
A级：基础巩固练
一、选择题
1.已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的定点，倾斜角分别为()
A.(4,3)，60° B．(－3，－4)，30°
C.(4,3)，30° D．(－4，－3)，60°
答案A
解析由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为3，所以倾斜角为60°.
2.已知ab >0，bc >0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
答案 B
解析 把直线ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c
b ， ∵ab >0，b
c >0，∴－a b <0，c
b >0. 故直线通过第一、二、四象限. 3.下列四个结论：
①方程k ＝y －2
x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；
②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π
2，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 ①中，k ＝y －2
x ＋1表示的直线不过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)
过点(－1,2)，∴①不对．②，③均正确；④中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，∴④错．故选B.
4.经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝2
2x －2的斜率的2倍的直线是( )
A.x ＝－1 B ．y ＝1
C.y －1＝2(x ＋1) D ．y －1＝22(x ＋1)
答案 C
解析 ∵y ＝22x －2的斜率为2
2，∴所求直线的斜率为2，又过(－1,1)，∴其直线方程为y －1＝2(x ＋1).
5.在同一直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 1>k 2，b 1<b 2)的图象可能是( )
答案 A
解析 在选项B 、C 中，b 1>b 2，不合题意；在选项D 中，k 1<k 2，D 错，故选A.
二、填空题
6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝________.
答案 －1
解析 因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1.又两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1.
7.若点A (－1,3)在直线l 上的射影为N (1，－1)，则直线l 的点斜式方程为________．
答案 y ＋1＝1
2(x －1)
解析 由题意可知直线AN ⊥l ，且直线l 过点N (1，－1)，又k AN ＝3－(－1)－1－1
＝－2，所以直线l 的斜率为12，故直线l 的点斜式方程
为y ＋1＝1
2(x －1).
8.直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程为________．
答案 y ＝－3
2x 或y ＝x －5
解析 设直线方程为y －(－3)＝a (x －2)，显然a ≠0，令y ＝0，得x ＝3
a ＋2；令x ＝0，得y ＝－2a －3.
所以3a ＋2＋(－2a －3)＝0，解得a ＝1或a ＝－32.
故所求直线方程为y ＋3＝x －2或y ＋3＝－3
2(x －2)，即y ＝x －5或y ＝－3
2x .
三、解答题
9.已知点A (1,2)和直线l ：y ＝－34x ＋5
4，求： (1)过点A 与直线l 平行的直线l 1的方程； (2)过点A 与直线l 垂直的直线l 2的方程． 解 (1)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－3
4. ∵l ∥l 1，∴直线l 1的斜率k 1＝k ＝－3
4. ∴直线l 1的方程为y －2＝－3
4(x －1)， 即3x ＋4y －11＝0.
(2)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－3
4. ∵l ⊥l 2，∴k 2·k ＝－1，∴k 2＝4
3.
∴直线l 2的方程为y －2＝4
3(x －1)， 即4x －3y ＋2＝0.
B 级：能力提升练
10.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；
(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．
解 (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．
(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．
若－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，
需满足⎩⎨
⎧
f (－3)≥0，f (3)≥0，
即⎩⎨
⎧
－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，
解得－1
5≤k ≤1.
所以实数k的取值范围是－1
5≤k≤1.。