高中数学《直线的点斜式方程》导学案

3.2.1直线的点斜式方程课前自主预习知识点一直角坐标系内确定一条直线的几何要素(1)直线上的□1一点和直线的□2倾斜角(斜率)可以确定一条直线．(2)直线上□3两点也可以确定一条直线．知识点二直线的点斜式方程(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为□1y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为□2y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为□3x＝x0.知识点三直线的斜截式方程(1)斜率为k，且与y轴交于(0，b)点的直线方程为□1y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．(2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是□2直线的斜率，b的几何意义是□3直线在y轴上的截距．1.关于点斜式的几点说明(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．( )(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P 95，T 1)过点P (－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________．(2)已知直线l ：y ＝2－3x ，直线l 的斜率是________，在y 轴上的截距为________．(3)(教材改编，P 95，T 1)斜率为2，过点A (0,3)的直线的斜截式方程为______________________．答案(1)y－2＝3(x＋1)(2)－32(3)y＝2x＋33.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案C课堂互动探究探究1求直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．解(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)．拓展提升直线的点斜式方程的适用范围已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.【跟踪训练1】 写出下列直线的点斜式方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－(x ＋2).探究2 求直线的斜截式方程例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k ＝tan150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2.(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k ＝tan60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.拓展提升直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.【跟踪训练2】 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；(3)已知直线方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．解 利用直线的斜截式方程求解．(1)易知k ＝－1，b ＝－2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y ＝－x －2.(2)由于直线斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化为斜截式为y ＝－43x ＋4.(3)直线方程2x ＋y －1＝0，可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k ＝－2，截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1).探究3 平行与垂直问题例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解 (1)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝2a －1，直线l 2的斜率k 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[条件探究] 在本例(1)中将l 1改为y ＝－ax ＋2a ，又如何求a 值？解 由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－a ，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－a ，2a ≠2，解得a ＝－2. ∴当a ＝－2时，直线l 1与l 2平行．拓展提升 (1)两条直线平行和垂直的判定已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，①若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.②若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b 1≠b 2这个条件．【跟踪训练3】 已知直线l 过点A (2，－3)．(1)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′平行，求其方程；(2)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′垂直，求其方程． 解 (1)由斜率公式得直线l ′的斜率k ′＝2－4－3－(－4)＝－2， ∵l 与l ′平行，∴直线l 的斜率k ＝－2.由直线的点斜式方程知y ＋3＝－2(x －2)，∴直线方程为2x ＋y －1＝0.(2)∵直线l ′的斜率为k ′＝－2，l 与其垂直，∴直线l 的斜率k ＝12.由直线的点斜式方程知l ：y ＋3＝12(x －2)，∴直线方程为x－2y－8＝0.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．课堂达标自测1.已知直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C.x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案D解析 由已知，可得直线l 的斜率k ＝tan45°＝1，又直线l 过点P (－1,2)，所以直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.2.直线y ＝k (x ＋2)＋3必过一定点，该定点为( )A.(3,2) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3)答案 D解析 直线方程可化为y －3＝k (x ＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线斜率为k ，且过点(－2,3).3.倾斜角为120°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．答案 y ＝－3x －3解析 ∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k ＝tan120°＝－3，又b ＝－3，∴它的斜截式方程为y ＝－3x －3.4.过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________．答案 y －2＝23(x ＋3)解析 所求直线与y －1＝23(x ＋5)平行，∴它的斜率为23，又过(－3,2)，∴它的点斜式方程为y －2＝23(x ＋3).5.已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距(直线与x轴交点的横坐标)为－2；(3)在y轴上截距为3.解直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°.故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程，得y－0＝33(x＋2)．∴y＝33x＋23 3.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的定点，倾斜角分别为()A.(4,3)，60° B．(－3，－4)，30°C.(4,3)，30° D．(－4，－3)，60°答案A解析由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为3，所以倾斜角为60°.2.已知ab >0，bc >0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限答案 B解析 把直线ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab >0，bc >0，∴－a b <0，cb >0. 故直线通过第一、二、四象限. 3.下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，k ＝y －2x ＋1表示的直线不过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)过点(－1,2)，∴①不对．②，③均正确；④中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，∴④错．故选B.4.经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线是( )A.x ＝－1 B ．y ＝1C.y －1＝2(x ＋1) D ．y －1＝22(x ＋1)答案 C解析 ∵y ＝22x －2的斜率为22，∴所求直线的斜率为2，又过(－1,1)，∴其直线方程为y －1＝2(x ＋1).5.在同一直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 1>k 2，b 1<b 2)的图象可能是( )答案 A解析 在选项B 、C 中，b 1>b 2，不合题意；在选项D 中，k 1<k 2，D 错，故选A.二、填空题6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝________.答案 －1解析 因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1.又两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1.7.若点A (－1,3)在直线l 上的射影为N (1，－1)，则直线l 的点斜式方程为________．答案 y ＋1＝12(x －1)解析 由题意可知直线AN ⊥l ，且直线l 过点N (1，－1)，又k AN ＝3－(－1)－1－1＝－2，所以直线l 的斜率为12，故直线l 的点斜式方程为y ＋1＝12(x －1).8.直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程为________．答案 y ＝－32x 或y ＝x －5解析 设直线方程为y －(－3)＝a (x －2)，显然a ≠0，令y ＝0，得x ＝3a ＋2；令x ＝0，得y ＝－2a －3.所以3a ＋2＋(－2a －3)＝0，解得a ＝1或a ＝－32.故所求直线方程为y ＋3＝x －2或y ＋3＝－32(x －2)，即y ＝x －5或y ＝－32x .三、解答题9.已知点A (1,2)和直线l ：y ＝－34x ＋54，求： (1)过点A 与直线l 平行的直线l 1的方程； (2)过点A 与直线l 垂直的直线l 2的方程． 解 (1)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ∥l 1，∴直线l 1的斜率k 1＝k ＝－34. ∴直线l 1的方程为y －2＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －11＝0.(2)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ⊥l 2，∴k 2·k ＝－1，∴k 2＝43.∴直线l 2的方程为y －2＝43(x －1)， 即4x －3y ＋2＝0.B 级：能力提升练10.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解 (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k的取值范围是－15≤k≤1.。