高三数学数列求和1 (2)
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
高三数学考点-数列求和及应用
6．4 数列求和及应用1．数列求和方法 (1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列前n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝；②2＋4＋6＋…＋2n ＝；③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝；④12＋22＋32＋…＋n 2＝；⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a n }前n 项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式：①1n （n ＋1）＝－1n ＋1； ②1（2n －1）（2n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n （n ＋1）（n ＋2）＝⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；④1a ＋b＝(a －b )；⑤n （n ＋1）！＝－1（n ＋1）！； ⑥C m －1n＝ ； ⑦n ·n ！＝ ！－n ！； ⑧a n ＝S n －S n －1(n ≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (2)复利公式利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ .(3)产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x ，总产值y ＝ . (4)递推型递推型有a n ＋1＝f (a n )与S n ＋1＝f (S n )两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．自查自纠1．(1)①n （n ＋1）2 ②n 2＋n ③n 2 ④n （n ＋1）（2n ＋1）6(2)①1n ②12 ③12 ④1a －b ⑤1n ！⑥C m n ＋1－C mn ⑦(n ＋1) 2．(1)a (1＋xr ) (2)a (1＋r )x (3)N (1＋p )x数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1 D ．n ＋2＋2n 解：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.故选C .若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15解：记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A . 数列{|2n －7|}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n ＋18（n ＞3）D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n （n ＞3） 解：设a n ＝2n －7，n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时，a n ＞0，a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，且易得{a n }的前n 项和S n＝n 2－6n ，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n ＞3）.故选C .数列{a n }满足a n ＝n （n ＋1）2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解：1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2(1－111)＝2011.故填2011. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒． 解： 设至少需要n 秒，则1＋2＋22＋…＋2n －1≥100，即1－2n1－2≥100，所以n ≥7.故填7.类型一 基本求和问题(1)设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．2n B ．2n －nC ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2(2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n ；(3)设f (x )＝x 21＋x 2，求：f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)； (4)求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .解：(1)解法一：特殊值法，易知S 1＝1，S 2＝4，只有选项D 适合． 解法二：研究通项a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， 所以S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.故选D .(2)设数列的通项为a n ，则a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.(3)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)，①则S ＝f (2 017)＋f (2 016)＋…＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (12 017)，② ①＋②得：2S ＝1×4 033＝4 033，所以S ＝4 0332.(4)(Ⅰ)当a ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2.(Ⅱ)当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋nan ＋1，② 由①－②得⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a ⎝⎛⎭⎫1－1a n 1－1a－na n ＋1， 所以S n ＝a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2（a ＝1），a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2（a ≠1）.【点拨】研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．(1)求数列9，99，999，…的前n 项和S n ；(2)求数列122－1，132－1，142－1，…，1（n ＋1）2－1的前n 项和；(3)求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值； (4)已知a n ＝n ＋12n ＋1，求{a n }的前n 项和T n .解：(1)S n ＝9＋99＋999＋…＋99…9n 个 ＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n －1) ＝(101＋102＋103＋…＋10n )－n＝10（1－10n ）1－10－n ＝10n ＋1－109－n .(2)因为1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. (3)令S n ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，① 则S n ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°.②①与②两边分别相加得2S n ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89.所以S n ＝892.(4)T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋425＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.类型二 可用数列模型解决的实际问题用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)． 因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a 10＝121－10＝111(万元)．故填111.【点拨】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：①审题，②建模，③求解，④检验，⑤作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天解：设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝⎛⎭⎫5＋n 10＋4.9n 2n＝32 000n ＋n 20＋4.95，当且仅当32 000n＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.故选B . 类型三 数列综合问题(2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q .依题意，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)依题意，S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1.又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n .又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1. 所以T n ＝5－2n ＋52n .【点拨】错位相减法适用于等差数列与等比数列的积数列的求和，写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.1．数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的． 3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等． 5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q ＝1或q ≠1)等．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14 D ．21解：由a 5＝4－a 3，得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝14.故选C .2．(2016·新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100解：根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D .3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n解：由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x ，则1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A . 4．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解：由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，所以a 6·a 15≤⎝⎛⎭⎫a 6＋a 1522＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.故选A .5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n解：数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n ，其值与n 有关．故选D . 6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)(单位：t)，但如果年产量超过150 t ，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年解：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．故选C .7．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1 的前n 项和为________．解：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4（n ＋1）（n ＋2）＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所求的前n 项和为4(12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2.故填2nn ＋2.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为________．解：当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，又a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减，得a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)．又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.故填1 009.9．已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)设d 为等差数列{a n }的公差，且d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )， d >0，所以d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，即b n ＝12n .(2)T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1②， ①－②，得12T n ＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1. 所以T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. 所以当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×20＝n 2－9n ＋40，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12，当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2，所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1＋221＋322＋…＋n2n －1.所以12S n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n .两式相减得12S n ＝1＋121＋122＋123＋…＋12n －1－n2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n .所以S n ＝4－n ＋22n －1.1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝( )A ．25B ．576C ．624D ．625解：a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.故选C .2．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．40解：由题意知，a 1＋a 2 019＝a 2＋a 2 018＝2a 1 010＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝3a 1 010＝15.故选B . 3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55 D ．50解：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，故{a n }是首项、公比均为2的等比数列．故a n ＝2·2n －1＝2n ，b n ＝log 22n ＝n .所以b 1＋b 2＋…＋b 10＝1＋2＋3＋…＋10＝1＋102×10＝55.故选C .4．已知数列{a n }中的前n 项和S n ＝n (n －9)，第k 项满足7＜a k ＜10，则k 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解：当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10，k ＝1时也适合． 由7<a k <10，得7<2k －10<10，所以172<k <10，所以k ＝9.故选C .5．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 018的值为 ( ) A.2 0152 016 B.2 0162 017 C.2 0172 018 D.2 0182 019解：直线与x 轴交于⎝⎛⎭⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，所以S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以原式＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 018－12 019 ＝1－12019＝20182019.故选D .6．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100 D ．10 200解：因为a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋…＋[f (100)＋f (101)]＝(－12＋22)＋(22－32)＋…＋(1002－1012)＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)，共100项，故所求为－2×50＝－100.故选B .7．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.故填32.8．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解：设该等比数列的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，可得a 1＋14a 1＝10，得a 1＝8，所以a n ＝8·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －4.所以a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12－3－2－1＋0＋…＋（n －4）＝⎝⎛⎭⎫12n 2－7n2，易知当n ＝3或n ＝4时，12(n 2－7n )取得最小值－6，故a 1a 2…a n 的最大值为⎝⎛⎭⎫12－6＝64.故填64.9．在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23.解：(1)设数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. (2)证明：因为S n ＝n （3＋3n ）2，所以1S n ＝2n （3＋3n ）＝23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝23[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.因为n ≥1，所以0＜1n ＋1≤12，所以12≤1－1n ＋1＜1，所以13≤23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＜23，即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23. 10．(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，所以a 1＝11，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －3(n －1)2－8(n －1)＝6n ＋5， 又a n ＝6n ＋5对n ＝1也成立，所以a n ＝6n ＋5.又因为{b n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝b n ＋b n ＋1＝2b n ＋d .当n ＝1时，2b 1＝11－d ；当n ＝2时，2b 2＝17－d ，解得d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝a n －d2＝3n ＋1.(2)由c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝(3n ＋3)·2n ＋1， 于是T n ＝6×22＋9×23＋12×24＋…＋(3n ＋3)×2n ＋1， 两边同乘以2，得2T n ＝6×23＋9×24＋…＋(3n )×2n ＋1＋(3n ＋3)×2n ＋2， 两式相减，得－T n ＝6×22＋3×23＋3×24＋…＋3×2n ＋1－(3n ＋3)×2n ＋2＝3×22＋3×22（1－2n ）1－2－(3n ＋3)×2n ＋2，所以T n ＝－12＋3×22(1－2n )＋(3n ＋3)×2n ＋2＝3n ·2n ＋2.已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．(2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n 3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）.由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t 3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .又3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6解：由等差数列的性质知a 2，a 4，a 6成等差数列，所以a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0.故选B . 2．已知数列{a n }为2，0，2，0，…，则下列各项不可以作为数列{a n }通项公式的是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝2sinn π2解：若a n ＝2sin n π2，则a 1＝2sin π2＝2，a 2＝2sinπ＝0，a 3＝2sin 3π2＝－2，不符合题意．故选D .3．在数列{a n }中，“对任意的n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2”是“数列{a n }为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＝0，满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2，但{a n }不是等比数列．故选B .4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为a n 的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 解： 因为公差d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋12×8×7＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B .5．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）2解：因为d ＝2，a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2a 8，即(a 2＋2d )2＝a 2(a 2＋6d )，解得a 2＝4，a 1＝2.所以利用等差数列的求和公式可求得S n ＝n (n ＋1)．故选A .6．(2016·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5(p ，q ∈N *)，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，所以a n ＝4n ＋1，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.故选D .7．已知公差不为零的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }有相同的首项，同时满足a 1，a 4，b 3成等比数列，b 1，a 3，b 3成等差数列，则q 2＝( ) A.14 B.16 C.19 D.18解：设数列的首项为a ，等差数列{a n }的公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＝b 1＋b 3，a 24＝a 1·b 3， 将a ，d ，q 代入得⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋2d ）＝a ＋aq 2， ①（a ＋3d ）2＝a ·aq 2， ② 化简得(a ＋3d )2＝a (a ＋4d )，解得a ＝－92d (d ≠0)，代入①式得q 2＝19.故选C .8．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.37B.67C.89D.49解：第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×(1－13＋13－15＋15－17)＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37.故选A .9．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝( )A ．lg2 018B ．lg2 017C ．－lg2 018D ．－lg2 017解：因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以曲线y ＝x n ＋1在点(1，1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.则a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×2 0172 018＝lg 12 018＝－lg2 018.故选C .10．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．[－3，＋∞)解：由题意可知a n ＋1>a n 对任意正整数n 恒成立，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn 对任意正整数n 恒成立，即λ>－2n －1对任意正整数n 恒成立，故λ>－3.另解，由对称轴－λ2＜32求解．故选C .11．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形形状，a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10，12)＝( )A.⎝⎛⎭⎫1393B.⎝⎛⎭⎫1392C.⎝⎛⎭⎫1394D.⎝⎛⎭⎫13112解：前9行一共有1＋3＋5＋…＋17＝81个数，而A (10，12)表示第10行的第12个数，所以n ＝93，即A (10，12)＝a 93＝⎝⎛⎭⎫1393.故选A . 12．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解：当1≤n ≤24时，a n ＞0，当26≤n ≤49时，a n ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n ＞0，当76≤n ≤99时，a n ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，所以当1≤n ≤100时，均有S n ＞0.故选D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解：－1＋3d ＝－q 3＝8⇒d ＝3，q ＝－2⇒a 2b 2＝－1＋3－1×（－2）＝1.故填1.14．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解：因为{a n }为等比数列，设公比为q . ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1， ①a 1－a 1q 2＝－3， ②显然q ≠1，a 1≠0， ②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.故填－8.15．(2015·武汉调研)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．解：设每天增加的数量为x 尺，则5×30＋30×（30－1）x 2＝390，所以x ＝1629.故填1629.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解：因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ，两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2.又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， 所以a n ＝2n －1.故填2n －1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4a n －3(n ∈N *)，求a n . 解：S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3，两式相减，得a n a n －1＝43.又a 1＝4a 1－3，所以a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.18．(12分)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）2.19．(12分)(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝ a n ＋ b n ，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋()2n －1＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n ()1＋2n －12＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.20．(12分)已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解：(1)由题意知{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.(2)由(1)知当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120.当n ≥2时， 1b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以T n ＝120＋12[⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝120＋12⎝⎛⎭⎫15－12n ＋3＝120＋n －110n ＋15＝6n －120（2n ＋3）. 当n ＝1时仍成立，所以T n ＝6n －120（2n ＋3）.21．(12分)(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ， 故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， 上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1 ＝12×（1－4n ）1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以，数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.22．(12分)(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2， 所以3q 2－5q －2＝0，因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1， 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，P 3，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ＋1， 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1.记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n . 由题意b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12.。
高中数学数列求和
数列求和一：数列求和方法1.有些数列，直接求和不易进行，可以将便于求和的项放在一起进行分组求和． 如①有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论； ②有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组； ③有些数列首尾项相加后为定值，可以用倒序相加的方法．2.如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②()1n n k =+ ；③()()12121n n =+- ；=3.这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅ 的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列．考点1：分组求和例1.（1）已知等差数列{}n a 满足132a =，2340a a +=，则{||}n a 前12项之和为( ) A ．144-B ．80C ．144D ．304【解答】解：因为23123643408a a a d d d +=+=+=⇒=-，所以408n a n =-． 所以408,5|||408|840,5n n n a n n n -⎧=-=⎨->⎩，所以前12项之和为5(320)7(856)8022430422⨯+⨯++=+=． 故选：D ．（2）已知{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣9n ﹣1，则|a 1|+|a 2|+…+|a 30|的值为 ． 【解答】解：{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣9n ﹣1，可得n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣9；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣9n ﹣1﹣（n ﹣1）2+9（n ﹣1）+1＝2n ﹣10， 可得n ≤5，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，可得|a 1|+|a 2|+…+|a 30|＝S 30﹣S 5﹣S 5＝900﹣270﹣1﹣2（25﹣45﹣1）＝671． 故答案为：671．（3）已知数列{}n a 的前项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-+⋯+--，则51S 的值为( ) A ．199-B ．199C ．101-D ．101【解答】解：1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-+⋯+--， 可得51159131721193197201S =-+-+-+⋯+-+ 4(4)(4)201425201101=-+-+⋯+-+=-⨯+=．故选：D ．例2.数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且从第七项开始为负数． （1）求数列{a n }的公差；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值；（3）记T n ＝|a 1|+|a 2|+…+|a n |（n ∈N ），求使T n ＞214成立的最小n ． 【解答】解：（1）数列{a n }是首项为23，公差d 为整数的等差数列， 且从第七项开始为负数，可得a 7＜0，a 6≥0， 即23+6d ＜0，23+5d ≥0，解得−235≤d ＜−236， 可得整数d ＝﹣4；（2）S n =12n （a 1+a n ）=12n （23+23﹣4n +4）＝﹣2n 2+25n ＝﹣2（n −254）2+6258， 可得n ＝6时，S n 取得最大值78； （3）T n ＝|a 1|+|a 2|+…+|a n |（n ∈N ）， 当n ≤6时，T n ＝S n ＝﹣2n 2+25n ；当n ≥7时，T n ＝﹣（S n ﹣S 6）+S 6＝2S 6﹣S n ＝156+2n 2﹣25n ． T n ＞214，可得n ≥7，由156+2n 2﹣25n ＞214，解得n ＞14.5， 可得n 的最小值为15．例3.数列121231231,,,,,,,,,,,,22333nn n n n⋯⋯⋯的前25项和为( )A ．20714B ．20914C ．21114D ．1067【解答】解：数列121231231,,,,,,,,,,,,22333nn n n n⋯⋯⋯的前25项和为： 251212312345612341223336666667777T =++++++⋯++++++++++， 20914= 故选：B ．考点2：裂项相消例4.（1）已知数列{}n a 满足：1(2)n a n n =+，则{}n a 的前10项和10S 为( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．175264【解答】解：数列{}n a 满足：1(2)n a n n =+，可得111()22n a n n =-+，1011111111(1)23249111012S =-+-+⋯+-+-1111175(1)221112264=+--=． 故选：D ．（2）已知数列{}n a 的通项公式*)n a n N =∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足9(*)n S n N >∈，则n 的最小值为( )A ．98B ．99C ．100D ．101【解答】解：n a ==可得121n S ++⋯+=，9n S >19>，解得99n >，可得n 的最小值为100． 故选：C ．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*11,2(1)()nn S a a n n N n ==+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是( ) A ．290B ．920C ．511D ．1011【解答】解：2(1)nn S a n n=+-， 2(1)n n na S n n ∴=+-，当2n 时，11(1)2(1)(2)n n n a S n n ---=+--， 两式相减可得1(1)4(1)n n n na n a a n ---=+-， 即1(1)()4(1)n n n a a n ---=-， 14n n a a -∴-=，∴数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列，2(1)422n n n S n n n -∴=+⨯=-， 23222(1)n S n n n n n ∴+=+=+，∴11111()32(1)21n S n n n n n ==-+++，∴数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是111111115(1)(1)2223101121111-+-+⋯+-=-=，故选：C ．（4）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，数列{}n b 满足：2a ，n b a ，2n a 成等比数列，2221n n n c b b +=，若数列{}n c 的前n 项和n T λ对任意的*n N ∈恒成立，则λ的最大值为( )A ．13B ．16C ．115D ．215【解答】解：{}n a 是公比q 不为1的等比数列，数列{}n b 满足：2a ，n b a ，2n a 成等比数列，故222nb n a a a =，即为1221111()n b n a q a q a q --=， 可得2(1)2n b n -=，即1n b n =+，22211111()(21)(23)22123n n n c b b n n n n +===-++++，即有1111111()235572123n T n n =-+-+⋯+-++111()2323n =-+， 由111()()2323f n n =-+随着n 的增大而增加，可得()f n 的最小值为f （1）115=，数列{}n c 的前n 项和n T λ对任意的*n N ∈恒成立，可得115λ， 则λ的最大值为115， 故选：C ． （5）数列1，112+，1123++，⋯，112n++⋯+的前n 项和为( ) A ．221n n + B ．21nn + C ．21n n ++ D ．21nn + 【解答】解：112112()(1)12(1)12n n n n n n n ===-+++⋯+++．数列1，112+，1123++，⋯，112n++⋯+的前n 项和： 数列111111111112(1)1212312223341n n n +++⋯+=-+-+-+⋯+-+++++⋯++ 122(1)11nn n =-=++． 故选：B ．考点3：错位相减例5.在数列{}n a 中，若112a =，且对任意的*n N ∈有112n n a n a n ++=，则数列{}n a 前10项的和为() A ．509256B ．511256C ．756512D ．755512【解答】解：112n n a n a n ++=，则324112312342122232(1)2n n n a a a a n na a a a n --⋯=⋯=⨯⨯⨯-． ∴112n n a n a -=，2n n na =． 231232222n n nS =+++⋯+，221111122222n n n n nS +-=++⋯++． ∴211111..22222n n n nS +=+++-， 222n n n S +∴=-，则10123509221024256256S =-=-=． 故选：A ．例6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+12n ，在等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 4＝a 8． （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）S n =12n 2+12n ，可得a 1＝S 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=12n 2+12n −12（n ﹣1）2+12（n ﹣1）＝n ， 上式对n ＝1也成立，则a n ＝n ，n ∈N *；等比数列{b n }的公比设为q ，b 1＝a 1＝1，b 4＝a 8＝8， 可得q 3＝8，即q ＝2，可得b n ＝2n ﹣1；（2）a n b n ＝n •2n ﹣1，可得前n 项和T n ＝1•1+2•2+3•4+…+n •2n ﹣1，2T n ＝1•2+2•4+3•8+…+n •2n ， 相减可得﹣T n ＝1+2+4+…+2n ﹣1﹣n •2n=1−2n1−2−n •2n ，化简可得T n ＝1+（n ﹣1）•2n ．例7.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）设数列{a n 2n+3}的前n 项和为S n ，求证：S n ＜23． 【解答】解：（1）当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，有a 1+3a 2+5a 3+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2n ﹣2， a 1+3a 2+5a 3+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．相减得（2n ﹣1）a n ＝2，即a n =22n−1（n ≥2）， 经检验：a 1＝2满足a n =22n−1，所以a n =22n−1（n ∈N *）； （2）证明：由（1）知，a n =22n−1， a n 2n+3=2(2n−1)(2n+3)=12（12n−1−12n+3），S n =12（1−15+13−17+15−19+⋯+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3）=12（1+13−12n+1−12n+3）=23−12（12n+1+12n+3）＜23．例8.已知正项数列{a n }的前n 和为S n ，且2a 1S n =a n 2+a n ， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =(13)n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）正项数列{a n }的前n 和为S n ，且2a 1S n =a n 2+a n ， 可得n ＝1时，2a 1S 1＝2a 12＝a 12+a 1，解得a 1＝1； n ≥2时，2S n ﹣1＝a n ﹣12+a n ﹣1，又2S n ＝a n 2+a n ， 相减可得2a n ＝a n 2+a n ﹣a n ﹣12﹣a n ﹣1， 化为（a n ﹣a n ﹣1﹣1）（a n +a n ﹣1）＝0， 即为a n ﹣a n ﹣1＝1，可得a n ＝1+n ﹣1＝n ； （Ⅱ）b n =(13)n ⋅a n =n3n ，则前n 项和T n =13+29+327+⋯+n 3n ， 则13T n =19+227+381+⋯+n3n+1， 相减可得23T n =13+19+127+⋯+13n −n3n+1 =13(1−13n )1−13−n3n+1， 化为T n =34−2n+34⋅3n ． 例9.设各项为正的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =16a n 2+12a n ，（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =a n4n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】（Ⅰ）解：当n ≥2时，S n =16a n 2+12a n S n−1=16a n−12+12a n−1，由（1）（2）得：S n −S n−1=16a n 2+12a n −16a n−12−12a n−1 化简得：6a n =(a n 2−a n−12)+3a n −3a n−1即：3（a n +a n ﹣1）＝（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1） 又a n ＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，数列{a n }是等差数列当n ＝1时，S 1=16a 12+12a 1=a 1，得a 1＝3∴a n ＝3n（Ⅱ）解：∴b n =3n ⋅(14)n ∴T n =3⋅(14)+6⋅(14)2+9⋅(14)3+⋯+3n ⋅(14)n ①14T n =3⋅(14)2+6⋅(14)3+9⋅(14)4+⋯+(3n −3)⋅(14)n +3n ⋅(14)n+1②由①②得：34T n =3⋅(14)+3⋅(14)2+3⋅(14)3+⋯+3⋅(14)n −3n ⋅(14)n+1=34×1−(14)n 1−14−3n ⋅(14)n+1=1−(14)n −3n ⋅(14)n+1，T n =43−3n+43⋅(14)n ．课后作业：1.已知等差数列{}n a 满足132a =，2340a a +=，则{||}n a 前12项之和为( ) A ．144-B ．80C ．144D ．304【解答】解：因为23123643408a a a d d d +=+=+=⇒=-，所以408n a n =-． 所以408,5|||408|840,5n n n a n n n -⎧=-=⎨->⎩，所以前12项之和为5(320)7(856)8022430422⨯+⨯++=+=． 故选：D ．2.已知数列{}n a 满足：1(2)n a n n =+，则{}n a 的前10项和10S 为( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．175264【解答】解：数列{}n a 满足：1(2)n a n n =+，可得111()22n a n n =-+，1011111111(1)23249111012S =-+-+⋯+-+-1111175(1)221112264=+--=． 故选：D ．3.设数列{a n }满足a 1=14，且a n+1=a n +a n 2，n ∈N ∗，设1a 1+1+1a 2+1+⋯+1a 2019+1的和为S n ，则S n 的取值在哪两个相邻整数之间（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）【解答】解：由a n +1＝a n +a n 2＝a n （a n +1）， 可得1a n+1=1a n (a n +1)=1a n−1a n +1，即有1a n +1=1a n −1a n+1，则1a 1+1+1a 2+1+⋯+1a 2019+1=1a 1−1a 2+1a 2−1a 3+⋯+1a 2019−1a 2020＝4−1a2020＜4，由a 1=14，且a n+1=a n +a n 2，n ∈N ∗， 可得a n +1＞a n ， 又a 2=14+116=516，a 3=105256，a 4＞12，a 5＞34，a 6＞1，…，a 2020＞1， 可得3＜4−1a 2020＜4，故选：C ．4.设各项为正的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =16a n 2+12a n ，（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =a n4n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】（Ⅰ）解：当n ≥2时，S n =16a n 2+12a n S n−1=16a n−12+12a n−1， 由（1）（2）得：S n −S n−1=16a n 2+12a n −16a n−12−12a n−1 化简得：6a n =(a n 2−a n−12)+3a n −3a n−1即：3（a n +a n ﹣1）＝（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1） 又a n ＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，数列{a n }是等差数列当n ＝1时，S 1=16a 12+12a 1=a 1，得a 1＝3∴a n ＝3n（Ⅱ）解：∴b n =3n ⋅(14)n ∴T n =3⋅(14)+6⋅(14)2+9⋅(14)3+⋯+3n ⋅(14)n ①14T n =3⋅(14)2+6⋅(14)3+9⋅(14)4+⋯+(3n −3)⋅(14)n +3n ⋅(14)n+1②由①②得：34T n =3⋅(14)+3⋅(14)2+3⋅(14)3+⋯+3⋅(14)n −3n ⋅(14)n+1=34×1−(14)n 1−14−3n ⋅(14)n+1=1−(14)n −3n ⋅(14)n+1，T n =43−3n+43⋅(14)n．。
数列求和1-2-3【精选】
数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。
高三数学复习(理)：第4讲 数列求和
第4讲 数列求和[学生用书P119]1．基本数列求和的方法(1)等差数列求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ． (2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2．数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法如果一个数列的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．常用结论1．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 2．常用的裂项公式(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1.(2)1（2n－1）（2n＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1.(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)(－1)n2n＋1n（n＋1）＝(－1)n⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1n＋1.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当n≥2时，1n2－1＝1n－1－1n＋1.()(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)若S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n，当a≠0，且a≠1时，求S n的值可用错位相减法求得．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)并项求和时不能准确分组；(2)用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”．1．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9 B．8C．17 D．16解析：选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．已知数列{a n}的前n项和为S n且a n＝n·2n，则S n＝________．解析：S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×（1－2n）1－2－n×2n＋1，所以S n＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2[学生用书P120]分组转化求和(师生共研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足关于x的不等式a1x2－S2x ＋2<0的解集为(1，2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝a2n＋2a n－1，求数列{b n}的前n项和T n.【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集为(1，2)，所以S2a1＝1＋2＝3，得a1＝d，又易知2a1＝2，所以a1＝1，d＝1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝n.(2)由(1)可得，a2n＝2n，2a n＝2n.因为b n ＝a 2n ＋2a n －1， 所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n )＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．1．若数列{a n }是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n ，…，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2，所以S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(2＋2＋2＋…＋2) ＝22－2n ＋21－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .答案：2n ＋2－4－2n2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， 故b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.错位相减法求和(师生共研)(2021·西安五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＝5，a 4＋a 5＝a 3＋13.设正项等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 2b 4＝81，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝5，a 4＋a 5＝a 3＋13，所以5＋2d ＋5＋3d ＝5＋d ＋13，解得d ＝2. 又a 2＝5，所以a n ＝a 2＋(n －2)·d ＝2n ＋1.设{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝81，所以b 23＝81，b 3＝9，即b 1q 2＝9.①又S 3＝13，所以b 1（1－q 3）1－q ＝13，即b 1(1＋q ＋q 2)＝13，②①除以②，得b 1q 2b 1（1＋q ＋q 2）＝913，化简得4q 2－9q －9＝0，因为q >0，所以q ＝3， 所以b n ＝b 3q n －3＝9×3n －3＝3n －1. (2)因为c n ＝a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1，所以T n ＝3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n ＋1)·3n －1，③ 3T n ＝3×31＋5×32＋7×33＋…＋(2n ＋1)·3n ，④③－④，得－2T n ＝3＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)·3n ， 所以－2T n ＝3＋2×3（3n －1－1）3－1－(2n ＋1)·3n ＝－2n ·3n ，所以T n ＝n ·3n .运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．(2020·安徽省部分重点学校联考)已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且9S 2＝5，a 3＝427.(1)若S n <t 恒成立，求t 的最小值； (2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由9S 2＝5得a 1＋a 1q ＝59，又a 3＝a 1q 2＝427，故q 21＋q ＝415，所以15q 2－4q －4＝0，解得q ＝23或q ＝－25(舍去)，所以由a 1＋a 1q ＝a 1(1＋q )＝a 1×53＝59，解得a 1＝13，所以S n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n<1，所以t 的最小值是1. (2)由(1)可知a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故T n ＝3⎣⎢⎡1×⎝ ⎛⎭⎪⎫320＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋…＋n ×⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1①， 32T n ＝3[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n]②，①－②得，－12T n ＝3[⎝ ⎛⎭⎪⎫320＋⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ]，化简得T n ＝(6n －12)⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＋12.裂项相消法求和(师生共研)(2021·广东省七校联考)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n ＋n 的前n 项和为T n ，证明：T n <23.【解】 (1)由a 1，a 3，a 11成等比数列，得a 1a 11＝a 23，又S 4＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 1（a 1＋10d ）＝（a 1＋2d ）2，又d ≠0，所以a 1＝2，d ＝3.所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)证明：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋3n （n －1）2＝3n 22＋n2，1S n ＋n ＝13n 22＋n 2＋n＝23n （n ＋1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<23.(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1. (2021·长沙市四校模拟考试)设数列{a n }满足a 1＝1，且2a n ＝a n＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2的前n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1＝1，a 3＋a 4＝12，得d ＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)1a n a n ＋2＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3， 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，则 S n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3] ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－12n ＋1－12n ＋3＝13－n ＋1（2n ＋1）（2n ＋3）.并项求和(师生共研)(2021·河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列， 所以a 24＝(a 2＋2)(a 6－2)，所以(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)，又a 3＝3，所以(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d )，化简得d 2－2d ＋1＝0，解得d ＝1， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n . (2)由(1)得，b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.用并项求和法求数列的前n 项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和．可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n ”；三是数列{a n }是周期数列．(2020·湖北八校第一次联考)已知数列{a n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列，a 1＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝(－1)n ·4a n ＋1n （n ＋1），求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以2·a 222＝a 211＋a 233.数列{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d ，则上式可化为(a 1＋d )2＝a 21＋（a 1＋2d ）23，即(a 1－d )2＝0，即a 1＝d . 又a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)·12＝n2.(2)由(1)及题设得b n ＝(－1)n·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1. 所以S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n＋1n ＋1＝－1＋(－1)n ·1n ＋1.[学生用书P309(单独成册)][A 级 基础练]1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2解析：选C.S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( )A ．990B ．1 000C ．1 100D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．在数列{a n }中，a n ＝2n －12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝32164，则n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D.由a n ＝2n －12n ＝1－12n 得，S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6. 4．(2020·武昌区高三调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－12n ，设b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.n 3n ＋1 B ．3n 3n ＋1C.n －13n －2D.－3n ＋33n －2解析：选A.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2－12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －2；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式，所以a n ＝3n －2，则b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1，故选A. 5．已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2，当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析：选B.由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.6．(2020·福州市质量检测)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝52，且a n ＋1(2－a n )＝2，则S 21＝________．解析：因为a 1＝52，a n ＋1＝22－a n ，所以a 2＝22－a 1＝－4，a 3＝22－a 2＝13，a 4＝22－a 3＝65，a 5＝22－a 4＝52，…显然数列{a n }是以4为周期的周期数列，则S 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＋13＋65×204＋52＝83. 答案：837．若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前18项和为________． 解析：因为a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2，所以b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋2）（n ＋1）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前18项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋119－120＝12－120＝10－120＝920.答案：9208．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 021项的和等于________．解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 021项的和等于S 2 021＝1011×12＋1 010×1＝3 0312.答案：3 03129．(2020·开封市第一次模拟考试)已知等差数列{a n }满足a n ＋1＋n ＝2a n ＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)记S n 为{a n }的前n项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)已知{a n }为等差数列，记其公差为d . ①当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋n ＝2a n ＋1，a n ＋n －1＝2a n －1＋1，所以d ＝1，②当n ＝1时，a 2＋1＝2a 1＋1，所以a 1＝1.所以a n ＝n . (2)由(1)可得S n ＝n （n ＋1）2.所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝2[⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.10．(2020·昆明市三诊一模)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，已知a 1＝b 1，a 3＝b 1＋b 2＝5，q ＝2d .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解：(1)因为b 1＋b 2＝5，所以b 1(1＋q )＝5， 又q ＝2d ，a 1＝b 1，所以a 1(1＋2d )＝5， 所以a 3＝a 1＋2d ＝5，所以a 1＝5－2d ， 所以(5－2d )(1＋2d )＝5，解得d ＝0或d ＝2， 若d ＝0，则q ＝2d ＝0(舍去)，若d ＝2，则q ＝2d ＝4，所以b 1＝a 1＝a 3－2d ＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1， b n ＝b 1q n －1＝4n －1.(2)c n ＝a n ·b n ＝(2n －1)·4n －1，所以S n ＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1， 所以4S n ＝4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －1)4n ，－3S n ＝1＋2×4＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －1－(2n －1)×4n ＝1＋2×4（4n －1－1）4－1－(2n －1)×4n＝－6n －53×4n －53，S n ＝6n －59×4n ＋59.[B 级 综合练]11．(2021·西安五校联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋S n ＝2n ，2b n ＝2a n ＋2－a n ＋1(n ∈N*)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nb n 的前99项和为( )A.9798 B ．9899 C.99100D.100101解析：选C.当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝2n －1，则a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝2n －2n －1＝2n －1，即2a n －a n －1＝2n －1，所以2a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，即2b n ＝2a n＋2－a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝log 2 2n ＋1＝n ＋1，从而1nb n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，故1b 1＋12b 2＋…＋199b 99＝1－12＋12－13＋…＋199－1100＝1－1100＝99100.故选C. 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 021＝( ) A ．22 012－1 B ．21 012－3 C ．21 011－1D ．21 011－2解析：选B.a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2，所以a n ＋2a n ＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，所以S 2 021＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 020＋a 2 021＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0111－2＋2（1－21 010）1－2＝21 012－3.故选B.13．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N *)，若数列{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，所以公比q ＝3a 4a 1＝3162＝2，所以a n ＝2n ，所以a 1a 2a 3…a n ＝21×22×23×…×2n ＝21＋2＋3＋…＋n ＝2n （n ＋1）2. 因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ，所以b n ＝n （n ＋1）2.所以1b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2⎝⎛11－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2nn ＋114．已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)·(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n4n a n a n ＋1＝(－1)n ⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，所以T n ＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T n ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.[C 级 提升练]15．(2020·福州市质量检测)等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项，第3项，第4项．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c na n＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和．解：(1)依题意，得b 23＝b 2b 4， 所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2. 所以a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，所以b n ＝4×2n －2＝2n . (2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n .因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n ＝2n ＋1，①所以当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n ，②①－②得，c na n＝2n ，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式， 所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2.数列{c n }的前2 020项的和S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021，设T2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021，③则2T2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022，④③－④得：－T2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T2 020＝2 019×22 022＋4，所以S2 020＝T2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。
专题10 数列 10.4数列求和 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
专题十《数列》讲义10.4数列求和知识梳理.数列求和1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．题型一.裂项相消1．数列{a n}的通项公式a n=1or1)，已知它的前n项和S n=99100，则项数n＝（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：列{a n}的通项公式a n=1or1)=1−1r1，所以=1−12+12−13+⋯+1−1r1=1−1r1，由于前n项和S n=99100，所以1−1r1=99100，解得n＝99．故选：B．2．已知等差数列{a n}满足a3＝10，a1+a4＝17．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=3r1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，满足a3＝10，a1+a4＝17．所以3=101+4=17，解得1=4=3，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1．（2）由（1）得b n=3r1=13r1−13r4，所以S n＝b1+b2+…+b n=14−17+17−110+⋯+13r1−13r4=14−13r4．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设=1(+2)，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）在4S n＝（2n﹣1）a n+1+1中，令n＝1，得a2＝3，∵4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，∴当n≥2时，4S n﹣1＝（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n＝（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），∴（2n+1）a n＝（2n﹣1）a n+1，即r1=2r12K1(≥2)．∴=K1⋅K1K2⋅K2K3⋯⋅32⋅21⋅1=2K12K3⋅2K32K5⋅2K52K7⋯53⋅31⋅1=2−1，故a n＝2n﹣1．（2）=1(+2)=1(2K1)(2r1)=12(12K1−12r1)，T n＝c1+c2+…+c n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12K1−12r1)]=12(1−12r1)=2r1，所以=2r1．题型二.错位相减1．已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1＝2，a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设=3，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由题，1=222=15，即(1+p2=1(1+4p，解得d＝4．∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（Ⅱ）=3=（4n﹣2）•3n＝2（2n﹣1）•3n，设数列{b n}的前n项和为T n，=2×1×31+2×3×32+2×5×33+⋯+2（2n﹣1）×3n，①3=2×1×32+2×3×33+2×5×34+⋯2（2n﹣1）×3n+1，②①﹣②，得：−2=2×1×3+2×2×32+2×2×33+⋯+2×2×3n﹣2（2n﹣1）×3n+1=6+4×32(1−3K1)1−3−2(2−1)×3r1=−12﹣4（n﹣1）•3n+1，∴=6+2(−1)⋅3r1．∴数列{b n}的前n项和=6+2(−1)⋅3r1．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2=13，b2b3=127．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5＝30，S7＝56，得51+5×42=3071+7×62=56，解得1=2=2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），由b1b2=13，b2b3=127，得12=13123=127，解得1=1=13．∴=(13)K1；（2）a n•b n=23K1=2⋅3K1．令{3K1}的前n项和为R n，则=130+231+332+⋯+3K1，13=13+232+333+⋯+K13K1+3两式作差可得：23=1+13+132+⋯+13K1−3=1×(1−13)1−13−3=32−2r32⋅3，∴=94−2r34⋅3K1．则=2=92−2r32⋅3K1．3．（2015·山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n＝3n+3，所以2a1＝31+3＝6，故a1＝3，＝3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，即a n＝3n﹣1，所以a n=3，=13K1，＞1.．（Ⅱ）因为a n b n＝log3a n，所以b1=13，当n＞1时，b n＝31﹣n•log33n﹣1＝（n﹣1）×31﹣n，所以T1＝b1=13；当n＞1时，T n＝b1+b2+…+b n=13+[1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n]，所以3T n＝1+[1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n]，两式相减得：2T n=23+[30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n]=23+1−31−1−3−1−（n﹣1）×31﹣n=136−6r32×3，所以T n=1312−6r34×3，经检验，n＝1时也适合，综上可得T n=1312−6r34×3．题型三.分组求和1．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n﹣2，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a2＝2+d，a4＝2+3d，∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1•a4，即（2+d）2＝2（2+3d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，设b n＝a n﹣2=2n﹣22n＝2n﹣4n，故S n＝b1+b2+…+b n＝（2×1﹣41）+（2×2﹣42）+…+（2n﹣4n）＝2×（1+2+…+n）﹣（41+42+…+4n）＝2×or1)2−4(1−4)1−4＝n2+n+43−4r13．2．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足=2，=2−1，2，=2，（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，可得a32＝a1a9，a3＝a1a3，可得（a1+2d）2＝a1（a1+8d），a1＝1，化简可得a1＝d＝1，即有a n＝n，n∈N*；（2）由（1）可得b n=2，=2−12，=2，k∈N*；前2n项和T2n＝（2+8+16+…+22n﹣1）+（4+8+12+…+4n）=2(1−4)1−4+12n（4+4n）=2(4−1)3+2n（n+1）．3．已知数列{a n}、{b n}满足：a n+1＝a n+b n，{b n+2}为等比数列，且b1＝2，a2＝4，a3＝10．（1）试判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{b n}不是等差数列．理由如下：由a n+1﹣a n＝b n，且a2＝4，a3＝10，b1＝2，得b2＝a3﹣a2＝6，又∵数列{b n+2}为等比数列，∴数列{b n+2}的首项为4，公比为2．∴3+2=4×22=16，得b3＝14，显然2b2＝12≠b1+b3＝16．故数列{b n}不是等差数列；（2）结合（1）知，等比数列{b n+2}的首项为4，公比为2．故+2=4⋅2K1=2r1，∴=2r1−2．∵a n+1﹣a n＝b n，b1＝2，a2＝4，∴a1＝2，∴−K1=2−2（n≥2）．令n＝2，…，（n﹣1）．得2−1=22−2，3−2=23−2，…−K1=2−2（n≥2），累加得−2=(22+23+⋯+2)−2(−1)（n≥2）．∴=(2+22+23+⋯+2)−2+2=2(2−1)2−1−2+2=2r1−2（n≥2）．又a1＝2满足上式，∴=2r1−2．∴=(22−2×1)+(23−2×2)+⋯+(2r1−2p＝（22+23+…+2n+1）﹣2（1+2+…+n）=4(2−1)2−1−2×or1)2=2r2−2−−4．题型四.讨论奇偶、绝对值求和1．数列{a n}的前n项和记为S n，对任意的正整数n，均有4S n＝（a n+1）2，且a n＞0．（1）求a1及{a n}的通项公式；（2）令=(−1)K14r1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，41=(1+1)2，则a1＝1；当n≥2时，由4S n＝（a n+1）2，知4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2，联立两式，得4a n＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，化简得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，故a n＝2n﹣1；（2）=(−1)K14r1=(−1)K14(2K1)(2r1)=（﹣1）n﹣1（12K1+12r1），下面对n分奇偶数讨论：当n为偶数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…+（12K3+12K1）﹣（12K1+12r1）=1−12r1=22r1，当n为奇数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…﹣（12K3+12K1）+（12K1+12r1）=1+12r12r22r1，所以T n=为奇数为偶数．2．已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5＝9，S5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设=(−1)，求{b n}前2n项和T2n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则5=1+4=95=51+5×42=25，整理，得1+4=91+2=5，解得1=1=2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，=o1+2K1)2=2．（2）由（1）知，设=(−1)=（﹣1）n•n2．T2n＝b1+b2+…+b2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＝（﹣12+22）+（﹣32+42）+…+[﹣（2n﹣1）2+（2n）2]＝[（2﹣1）×（2+1）]+[（4﹣3）×（4+3）]+…+[2n﹣（2n﹣1）]×[2n+（2n﹣1）]＝1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n=2δ(1+2p2＝2n2+n．3．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，a n+1＝2a n+4．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式并加以证明；（3）求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知，易得a2＝0，a3＝4，a4＝12．（2）猜想=2−4．因为a n+1＝2a n+4，所以a n+1+4＝2（a n+4），r1+4+4=2，则{a n+4}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以+4=2，所以==2−4．（3）当n＝1时，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2；当n≥2时，a n≥0，所以=−1+2+⋯+=2+(22−4)+⋯+(2−4)=2+22+⋯+2−4(−1)=2(1−2)1−2−4(−1)=2r1−4+2，又n＝1时满足上式．所以，当n∈N*时，=2r1−4+2．题型五.数列求和选填综合1．首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，当其前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，∴5（a1+2d）＝7（a1+3d），整理，得：1=−112，∵a1＞0，∴d＜0，∴=−112B+oK1)2=2（n﹣6）2﹣18d，∴当其前n项和S n取最大值时，n的值为6．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n＝a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为112(1−42)．【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：23=214+27=34，整理得：13=213+216=34，解得：1=14=2．则：=1K1=2K3，所以：b n ＝a 2n ﹣1﹣a 2n =22K32−22K3=−22n ﹣4，则：T 2n =−14(1−42)1−4=112(1−42)．故答案为：112(1−42)．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2且对于任意n ＞1，n ∈N *满足S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1），则（）A ．a 4＝7B ．S 16＝240C ．a 10＝19D ．S 20＝381【解答】解：当n ≥2时，S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1）⇒S n +1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2⇒a n +1＝a n +2．所以数列{a n }从第2项起为等差数列，a n =1，=12−2，≥2，所以，a 4＝6，a 10＝18．S n ＝a 1+(2+)(K1)2=n （n ﹣1）+1，S 16＝16×15+1＝241，S 20＝20×19+1＝381．故选：D ．4．已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系11+22+33+⋯+=12−1，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（）A ．﹣454B ．﹣450C ．﹣446D ．﹣442【解答】解：数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，可得a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，由11+22+33+⋯+=12−1，可得11=12−1=−12，可得b 1＝﹣2，又11+22+⋯+K1K1=12K1−1，且11+22+33+⋯+=12−1，两式相减可得=12−12K1=−12，可得b n＝﹣（2n﹣1）•2n，则S5＝﹣2﹣3•4﹣5•8﹣7•16﹣9•32＝﹣454，故选：A．5．已知数列{a n}满足1=32，r1=3+3，若=3，则c1+c2+⋅⋅⋅+c n＝(2r1)⋅3−14．【解答】解：因为1=32，r1=3+3，所以1r1=+33=13+1，即1r1−1=13，所以数列{1}是首项11=23，公差为13的等差数列，所以1=23+13(−1)=r13，则=3=(+1)3K1，则1+2+⋅⋅⋅+=2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+(+1)×3K1，设T＝2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+（n+1）×3n﹣1①，则3T＝2×3+3×32+……+n×3n﹣1+（n+1）×3n②，①﹣②可得：﹣2T＝2+3+32+……+3n﹣1﹣（n+1）×3n＝1+3−13−1−（n+1）×3n，则=(2r1)⋅3−14．即1+2+⋅⋅⋅+=(2r1)⋅3−14．故答案为：(2r1)⋅3−14．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝λa n﹣2，其中λ为常数，若a n b n＝13﹣n，则数列{b n}中的项的最小值为−1214．【解答】解：根据题意，数列{a n}的满足a1＝2，S n＝λa n﹣2，当n＝1时，有a1＝S1＝λa1﹣2，即2＝2λ﹣2，解可得λ＝2，则S n＝2a n﹣2，①＝2a n﹣1﹣2，②则有S n﹣1①﹣②：a n＝2a n﹣2a n﹣1，变形可得a n＝2a n﹣1，则数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ，又由a n b n ＝13﹣n ，则b n =13−2，当n ≤13时，b n ≥0，当n ≥14时，b n ＜0，且{b n }为递增数列，则当n ＝14时，b n 取得最小值，此时b 14=−1214；故答案为：−1214．7．已知数列{a n }和{b n }首项均为1，且a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n +1+a n b n +1＝0，则S 2019＝（）A ．2019B ．12019C ．4037D ．14037【解答】解：∵a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，∴a n ≥a n +1≥a n ，∴a n ＝a n +1，另外：a 1≥a 2≥a 1，可得a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1．∵2S n S n +1+a n b n +1＝0，∴2S n S n +1+b n +1＝0，∴2S n S n +1+S n +1﹣S n ＝0，∴1r1−1=2．∴数列{1}是等差数列，首项为1，公差为2．∴1=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n =12K1．∴S 2019=14037．故选：D ．8．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n ≥2且n ∈N +），等比数列{b n }公比q ＝2，令c n =为奇数，为偶数，则数列{c n }的前n 项和S 2n ＝2n 2﹣n +4r1−43．【解答】解：因为a1＝1，a2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n≥2且n∈N+），①可得n＝2时，11+22=31+6，即b1+3b2＝b3+6，由等比数列的{b n}的公比为q＝2，即b1+6b1＝4b1+6，解得b1＝2，所以b n＝2n，当n＝3时，11+22+33=42+6，即2+3×4+83=3×16+6，解得a3=15，又11+22+⋯+K1K1=K2+6（n≥3，且n∈N+），②①﹣②可得，=r1K1−K2，即2=2r1K1−2K2，化为1+1K2=2K1，又11+13=6=22，所以{1}为等差数列，且公差d=12−11=2，则1=11+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以c n=2−1，为奇数2，为偶数，所以S2n＝1+22+5+24+…+（4n﹣3）+22n＝（1+5+…+4n﹣3）+（22+24+…+22n）=o1+4K3)2+4(1−4)1−4＝2n2﹣n+4r1−43．故答案为：2n2﹣n+4r1−43．9．已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，其中1=−12，设=K+1，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是（5，7）【解答】解：∵2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，∴a n+1=−(+2)2+3，∴r1+1=−(+2)2+3+1=+12+3，∴1r1+1=2+3+1=2+1+1，即1r1+1−1+1=2，所以数列{1+1}是公差为2的等差数列，∵11+1=2，∴1+1=2+(−1)×2=2n，∴b n＝2n（n﹣λ），∴b n+1﹣b n＝2（n+1）（n+1﹣λ）﹣2n（n﹣λ）＝4n+2﹣2λ，因为b3为数列{b n}中唯一最小项，所以b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n＝1时，b2﹣b1＝6﹣2λ＜0，得λ＞3，当n＝2时，b3﹣b2＝10﹣2λ＜0，得λ＞5，当n≥3时，4n+2﹣2λ＞0恒成立，即λ＜2n+1，即有λ＜7．所以5＜λ＜7．故答案为：（5，7）．课后作业.数列求和1．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1r1}的前n项和，若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．设公差为d，由已知得：41+6=14(1+2p2=1(1+6p，，联立解得d＝1或d＝0（舍去），a1＝2，故：a n＝n+1．（2）由（1）得：1r1=1(r1)(r2)=1r1−1r2，所以：=12−13+13−14+⋯+1r1−1r2．=12−1r2，=2(r2)．由于：λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，所以：2(r2)≤+2，解得：≤2(r2)2+4)+8，由于：+4≥≥4故：2(+4)+8≥16，即：λ≤16．故λ的最大值为16．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，a7＝14．（1）求数列{a n}的通项公式及S n；（2）若_____，求数列{b n}的前n项和T n．在①b n＝2•a n；②b n=2+r12；③b n＝（﹣1）n•a n这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝6，a7＝14．得4d＝a7﹣a3＝14﹣6＝8，解得d＝2，所以a1＝a3﹣2d＝6﹣4＝2，所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n；S n=2（2+2n）＝n2+n．（2）若选择条件①：由（1）可知a n＝2n，则b n＝2•a n＝2n•4n，所以T n＝b1+b2+…+b n＝2×41+4×42++6×43…+（2n）•4n；4T n＝2×42+4×43+6×44+…+（2n）•4n+1，两式相减得：﹣3T n＝2×41+2×42+2×43+…+2×4n﹣2n•4n+1＝2×4(1−4)1−4−2n•4n+1=−83（1﹣4n）﹣2n•4n+1，所以T n=89（1﹣4n）+23•4n+1；若选择条件②：由a n＝2n，S n＝n2+n，得b n=2+r12=82+8r4or1)=8+4or1)=8+4（1−1r1），所以T n＝b1+b2+b3+…+b n＝8n+4（1−12+12−13+⋯+1−1r1）＝8n+4r1=82+12r1；若选择条件③：由a n＝2n，得b n＝（﹣1）n•a n＝（﹣1）n•2n，所以T n＝﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n，当n为偶数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）++[﹣2（n﹣1）+2n]=2×2＝n，当n为奇数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+[﹣2（n﹣2）+2（n﹣1）]﹣2n=K12×2n ＝﹣n﹣1，所以T n=，为奇数−−1，为偶数．3．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=(+1)2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2(−2)(r1)，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1）S n=(+1)2（n∈N*），当n＝1时，1=1(1+1)2，∴a1＝1，当n≥2时，由S n=(+1)2，得2=2+①取n＝n﹣1，得2K1=K12+K1②①﹣②得：2=2(−K1)=2−K12+−K1，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝1，n≥2，∴数列{a n}是等差数列，则a n＝n；（2）由S n=(+1)2，a n＝n，∴=or1)2，则=2(−2)(r1)=(−2)，∴=1−2+2(−2)2+⋯+K1(−2)K1+(−2)，−2=1+2−2+⋯+K1(−2)K2+(−2)K1，两式作差得：∴−3=1+1−2+⋯+1(−2)K1−(−2)=1−(−12)1−(−12)−(−2)=2+(−12)K13−(−2)，∴=3(−2)−2+(−12)K19=3r29(−2)−29．4．在数列{a n}中，a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；并求满足S n＜1516时n的最大值．【解答】解：（I）∵a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立，∴1(r1)r1−1B=1．∴1B=2+（n﹣1）＝n+1，∴a n=1or1)．（II）a n=1or1)=1−1r1．∴数列{a n}的前n项和S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1−1r1)=1−1r1，S n＜1516，即1−1r1＜1516，解得n＜15，因此满足S n＜1516时n的最大值为14．。
高三数学-数列的求和2
使得 aman＝4a1，且 a7＝a6＋2a5，则m1 ＋n4的最小值是(
)
3423 A.2 B.3 C.3 D.4
考点探考究点4 数列与算法的综合
变式探究 4．执行如图所示的算法框图， 若 p＝4，则输出的 S＝____．
考点探究
解析：程序执行过程为： n＝1，S＝12； n＝2，S＝12＋14； n＝3，S＝12＋14＋18； n＝4，S＝12＋14＋18＋116＝1156. 程序结束，输出 S＝1156.
（1）求
a
n
及S
；
n
（2）令bn
a
n
1 2
1
(n
N
*
),
求数列{bn
}的前
n项和
Tn
变式：令bn
an
1 2
1
(n
N
*
),
求证：b1
1
b2
b3
bn 1
1 4
（2）由（1）知 an 2n+1，所以bn= an2 1 (2n 1) 2 1
b1 b2 b3 bn
1 1 1 (1 1 ) 4 n(n 1) 4 n n 1
1 n 1
n
1
2
3 4
2n
2n 3
1 n
2
.
考点1 裂项相消法求和 合理裂项，正确抵消
例1 已知等差数列 {an}满足： a3 7, a5 a7 26, 其前n项和为 Sn
（1）求an及Sn；
（2）令bn
an
1 2
1
(n
N
*
),
求数列{bn
}的前
n项和
Tn
例1 已知等差数列 {an }满足：a3 7, a5 a7 26, 其前n项和为Sn
2023年高考数学一轮复习讲义——数列求和
§6.5 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ ) 教材改编题1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100答案 D解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( ) A ．50B ．75C ．100D ．125 答案 B解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d )＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d＝50＋25＝75.3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________. 答案 2 022解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023， ∴n ＝2 022.题型一 分组求和与并项求和例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列，a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝6，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.延伸探究 在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n ?解 由本例(2)知b n ＝2n ＋(－1)n n .当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. 所以T n ＝⎩⎨⎧ 2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32，26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1；b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3， 即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5，又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)]＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2. 题型二 错位相减法求和例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式； [切入点：设基本量q ](2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2. [关键点：b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫13n ]教师备选(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，∵a 1为a 2，a 3的等差中项，∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0，∴q 2＋q －2＝0，∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n 3， ∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n 9，n ∈N *. 思维升华 (1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1.跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34. 当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9， 解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列， 所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n ＋14n . (2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n .所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.所以－3≤λ≤1.题型三 裂项相消法求和例3 (2022·咸宁模拟)设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4， 即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋ 12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 教师备选设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34. (1)解 因为2S n ＝3a n －1，所以2S 1＝2a 1＝3a 1－1，即a 1＝1.当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1，则2S n －2S n －1＝2a n ＝3a n －3a n －1，整理得a n a n －1＝3， 则数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.(2)证明 由(1)得b n ＝3n(3n －1＋1)(3n ＋1)＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1－13n ＋1， 所以T n ＝32×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋1－131＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋1－132＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1－13n ＋1， 即T n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1＝34－323n ＋1， 所以T n <34， 又因为T n 为递增数列，所以T n ≥T 1＝34－38＝38， 所以38≤T n <34. 思维升华 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1， 1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. 跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝ n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)记b n ＝2n ＋1a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明 当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)，将上式两边都除以n (n －1)，得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1， 即a n n －a n －1n －1＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列． (2)解 由(1)得a n n＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， 即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2， 所以S n ＝14⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋⎭⎪⎬⎪⎫…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2. 课时精练1．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2，故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1，T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1)＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2 ＝22n ＋13＋n 2－23. 易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.3．(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n . 又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n .(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝n n ＋1.4．(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12， 因为数列{a n }是正项等比数列，所以q ＝2.所以a n ＝a 4·q n －4＝2n .(2)方法一 (分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)，①若n 为偶数，T n ＝－3＋5－7＋9－…－(2n －1)＋(2n ＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n －1)＋(2n ＋1)]＝2×n 2＝n ； ②若n 为奇数，当n ≥3时，T n ＝T n －1＋b n ＝n －1－(2n ＋1)＝－n －2，当n ＝1时，T 1＝－3适合上式，综上得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －2，n 为奇数 (或T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *)．方法二 (错位相减法)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)， T n ＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n ·(2n ＋1)， 所以－T n ＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n ＋1(2n ＋1)， 所以2T n ＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]－(－1)n ＋1(2n ＋1)＝－3＋2×1－(－1)n －12＋(－1)n (2n ＋1) ＝－3＋1－(－1)n －1＋(－1)n (2n ＋1)＝－2＋(2n ＋2)(－1)n ，所以T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *.5．(2022·重庆调研)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ，在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2n a n a ⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36， 解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①.b n ＝42n ·2(n ＋1)＝1n (n ＋1)， 则S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②.∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ] ＝n 2×2＝n ； 当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝n －1－2n ＝－n －1. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数. 选条件③.∵a n ＝2n ，b n ＝2n a n a ⋅，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n ， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ·4n ，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)·4n ＋2n ·4n ＋1，② ①－②得 －3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4×2－2n ·4n ＋1 ＝8(1－4n )－3－2n ·4n ＋1， ∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.。
高三等差数列求和七大方法
高三等差数列求和七大方法等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差.等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项.小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.注意:余下的项具有如下的特点1.余下的项前后的位置前后是对称的.2.余下的项前后的正负性是相反的.6.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.例:求证:1 2 3 4 + 2 3 4 5 + 3 4 5 6 + . + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明:当n=1时,有:1 2 3 4 = 24 = 2 3 4 5/5假设命题在n=k时成立,于是:1 2_3 4 +2345 + 3 4 56 + . + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有:1 2 3 4 + 2 3 4 5 + 3 4 5 6 + + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1 2 3 4 + 2 3 4_5 + 3 4 5 6 + + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)_(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证7.并项求和法(常采用先试探后求和的方法)例:1-2+3-4+5-6+ +(2n-1)-2n方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减.方法二:(1-结奋斗的光辉旗帜,是推动我国社会历史前进的强大动力,而爱以我和我的祖国为题的作文8_字高三因为祖国,我有了家;因为祖国,我有了快乐;因为祖国,我学到了知识,得到了收获.我和我。
高中数列求和方法大全(配练习及答案)
数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
高考数学 专题24 数列求和方法黄金解题模板
专题24 数列求和方法【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。
数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。
此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。
下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。
【方法点评】方法一 公式法解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{nS n的前n 项和，求n T ．【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：等差数列前n 项和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．自然数方幂和公式：1123(1)2n n n +++⋅⋅⋅+=+ 22221123(1)(21)6n n n n +++⋅⋅⋅+=++333321123[(1)]2n n n +++⋅⋅⋅+=+【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B考点：等差数列通项公式及求和方法二 分组法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项S n .【变式演练2】在已知数列11a =， 22a =，且()2221nn n a a +-=--， *n N ∈，则2017S 的值为（ ） A. 201610101⨯- B. 10092017⨯ C. 201710101⨯- D. 10092016⨯ 【来源】【全国百强校】河北省2017届衡水中学押题卷理数 II 卷 【答案】C【解析】由递推公式可得：当n 为奇数时， 24n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时， 20n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为2，公差为0的等差数列，()()20171320172420161100910091008410082220171010 1.S a a a a a a =+++++++=+⨯⨯⨯+⨯=⨯-本题选择C 选项.【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式演练3】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）2312n n -+．考点：1、等差数列；2、等比数列．方法三 裂项相消法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例 3. 已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．1n n + B ．41n n + C. 31n n + D ．51nn +【答案】B【变式演练4】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{11.n n a a +}的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 【答案】A 【解析】试题分析：由a 5=5，S 5=15，可知11,1a d == ()1111111n n n a n a a n n n n +∴=∴==-++ 10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：数列求和方法四 错位相减法解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；第三步 构差式：即写出n S 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步 求和：根据差式的特征准确求和.例 4. 已知数列{}n a 满足11a =， 122n n n a a a +=+.记2nn nC a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++=__________．【答案】2n n ⋅【变式演练5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）1(1)22n n T n +=-+.(Ⅱ) 由(Ⅰ)，2n n n b na n ==⨯. 则1212222n n T n =⨯+⨯++⨯，所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，则212222nn n T n +-=+++-⨯12(12)212n n n +-=-⨯-1(1)22n n +=--.所以1(1)22n n T n +=-+考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.【变式演练6】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）22)1(1+⋅-=+n n n T .【解析】试题分析：（1）由题意可知，利用93=S ，731,,a a a 成等比数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式，数列{}n b考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.方法五 倒序相加法例5.函数()()()*112321,11,,1x n x e n f x g x f x a g g g g n N e n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】21n a n =-【解析】由()()1111x x x xe ef x f x e e -----===-++，函数()11x x e f x e -=+为奇函数， ()()()()()()211211112g x g x f x f x f x f x +-=-++--+=-+-+，由()11x x e f x e -=+为奇函数， ()()110f x f x ∴-+-=， ()()22g x g x ∴+-=，∵*12321,n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①考点：倒序相加法求和.【变式演练7】已知函数321(),().212x F x x x -=≠- （1）求122009()()()201020102010F F F +++的值；（2）已知数列11{}2,()n n n a a a F a +==满足,求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（3）已知nn n b 212-=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】(1) S=60272. (2)见解析；（3）n S =1242n n-+-。
高考数学 第四节 数列求和教材
高考数学 第四节 数列求和教材考 点 串 串 讲 1．公式法求和 常用求和公式 Sn ＝n a1＋an 2＝na1＋nn －12d ； Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1 q ＝1a11－qn 1－q ＝a1－anq1－q q≠1； ∑k ＝1nk ＝12n(n ＋1)； ∑k ＝1nk2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)； ∑k ＝1nk3＝[12n(n ＋1)]2.2．错位相减法求和这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列． 用乘公比错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式．③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查． 3．倒序相加法求和将一个数列倒过来排列(倒序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．等差数列的求和公式Sn ＝na1＋an2就是用倒序相加法推导出来的． 4．分组转化法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并． 5．裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 常见的裂项公式有：(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1(2)12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1) (3)1n n ＋1n ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1n n ＋1－1n ＋1n ＋2(4)1a ＋b ＝1a －b(a －b) (5)Cm －1n ＝Cm n ＋1－Cm n (6)n·n ！＝(n ＋1)！－n! (7)an ＝Sn －Sn －1(n≥2) (8)1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )(9)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n)如果数列的通项公式可转化为f(n ＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如{1anan ＋1}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法．使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 实质上，正负项相消是此法的根源和目的.典 例 对 对 碰 题型一 公式法求和 例1设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为Sn ，则Sn 的值为( ) A ．2n B ．2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2 解析 解法一：特殊值法． 由原数列知 S1＝1，S2＝4.在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有选项D.解法二：看通项an ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， ∴Sn ＝22n －12－1－n ＝2n ＋1－n －2.故选D.答案 D点评 解法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用，解法二利用通项an 求Sn ，为求和的通法.变式迁移1数列{an}的通项an ＝n2－n ，求前n 项和Sn. 解析 Sn ＝(12－1)＋(22－2)＋…＋(n2－n) ＝(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n) ＝n n ＋12n ＋16－n n ＋12＝n n ＋1n －13.题型二 倒序相加法求和例2设f(x)＝12x ＋2，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解析 ∵f(x)＝12x ＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋122x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝2＋2x 2x ＋2×2＝22.设S ＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)， 则S ＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)． ∴2S ＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]．∴原式＝12{[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]}＝12×12×22＝3 2.点评 对等差数列倒序相加求和时利用了an ＋a1＝an －1＋a2＝…，对于f(x)＝12x ＋2，由于f(x)＋f(1－x)＝22，也可产生以上效果．可见类似这种可以将若干项和转化为某项积的求和方法实际上是抓住了数列(或解析式)的特点，利用“整体”运算简化求和的一种方法.变式迁移2数列{an}是公差为d ，a0＝d 的等差数列，求Sn ＝a0C0n ＋a1C1n ＋…＋anCn n (n ∈N*)． 解析 Sn ＝dC0n ＋2dC1n ＋3dC2n ＋…＋ndCn n ，① Sn ＝ndCn n ＋(n －1)dCn －1n ＋(n －2)dCn －2n ＋…＋dC0n ，② ①＋②得2Sn ＝(n ＋1)d(C0n ＋C1n ＋C2n ＋…＋Cn n ) ＝2n(n ＋1)d.∴Sn ＝(n ＋1)2n －1d.题型三 错位相减法求和例3求和Sn ＝1＋2x ＋3x2＋…＋nxn －1(x≠1)． 解析 ∵Sn ＝1＋2x ＋3x2＋…＋nxn －1， ① ∴xSn ＝x ＋2x2＋…＋(n －1)xn －1＋nxn ， ② ①－②得(1－x)Sn＝1＋x ＋x2＋…＋xn －1－nxn＝1－xn 1－x －nxn (注：当x ＝0时仍成立) ＝1－1＋n xn ＋nxn ＋11－x，∴Sn ＝1－1＋n xn ＋nxn ＋11－x 2.变式迁移3求和Sn ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n .解析 ∵Sn ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ，①∴12Sn ＝14＋38＋516＋…＋2n －12n ＋1，② ①－②得12Sn ＝12＋24＋28＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋24－22n ＋11－12－2n －12n ＋1＝12＋1－42n ＋1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， ∴Sn ＝3－2n ＋32n.题型四 分组求和法例4数列{an}的前n 项和Sn ＝2an －1，数列{bn}满足：b1＝3，bn ＋1＝an ＋bn(n ∈N*)． (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)求数列{bn}的前n 项和Tn.解析 (1)证明：∵Sn ＝2an －1，n ∈N*， ∴Sn ＋1＝2an ＋1－1.两式相减得 an ＋1＝2an ＋1－2an. ∴an ＋1＝2an ，n ∈N*. 由a1＝1，知an≠0， ∴an ＋1an＝2.由定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an ＝2n －1，bn ＋1＝2n －1＋bn ， ∴bn ＋1－bn ＝2n －1.∴b2－b1＝20，b3－b2＝21，b4－b3＝22，… bn －bn －1＝2n －2，等式左右两边相加得bn ＝b1＋20＋21＋…＋2n －2＝3＋1－2n －11－2＝2n －1＋2.∴Tn ＝(20＋2)＋(21＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝(20＋21＋…＋2n －1)＋2n ＝2n ＋2n －1. 变式迁移4(1)求数列32，94，258，6516，…的前n 项和Sn ；(2)求数列9,99,999,9999，…的前n 项和Sn. 解析 (1)将各项变形，使其呈现出某种特点， 如32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，…. Sn ＝n2＋n 2＋1－12n .(2)∵an ＝10n －1， ∴Sn ＝10n ＋1－10－9n9.题型五 裂项法求和例5已知数列{an}：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n ，…求它的前n 项和．分析 我们先看通项an ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1，然后将2n n ＋1分裂成2(1n－1n ＋1)，求和． 解析 ∵an ＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴Sn ＝a1＋a2＋…＋an＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1.变式迁移5已知数列{an}的通项公式an ＝12n －12n ＋1，求前n 项和Sn.解析 ∵an ＝12(12n －1－12n ＋1)∴Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1题型六 与数列求和有关的综合题例6设数列{an}满足a1＝a ，an ＋1＝can ＋1－c ，n ∈N*，其中a ，c 为实数，且c≠0. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设a ＝12，c ＝12，bn ＝n(1－an)，n ∈N*，求数列{bn}的前n 项和Sn ；(3)若0＜an ＜1对任意n ∈N*成立，证明：0＜c≤1.解析 (1)解法一 ∵an ＋1－1＝c(an －1)，∴当a≠1时{an －1}是首项为a －1，公比为c 的等比数列． ∴an －1＝(a －1)cn －1， 即an ＝(a －1)cn －1＋1.当a ＝1时，an ＝1仍满足上式，∴数列{an}的通项公式为an ＝(a －1)cn －1＋1(n ∈N*)． 解法二 由题设得：当n≥2时，an －1＝c(an －1－1)＝c2(an －2－1)＝…＝cn －1(a1－1)＝(a －1)cn －1， ∴an ＝(a －1)cn －1＋1，n ＝1时，a1＝a 也满足上式．所以{an}的通项公式为an ＝(a －1)cn －1＋1(n ∈N*)． (2)由(1)得bn ＝n(1－a)cn －1＝n(12)n.Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝12＋2(12)2＋…＋n(12)n ， ①12Sn ＝(12)2＋2(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n(12)n ＋1，② 由①－②得12Sn ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n(12)n ＋1， ∴Sn ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n －1－n(12)n ＝2[1－(12)n]－n(12)n ，∴Sn ＝2－(2＋n)(12)n.(3)由(1)知an ＝(a －1)cn －1＋1. 若0＜(a －1)cn －1＋1＜1， 则0＜(1－a)cn －1＜1.∵0＜a1＝a ＜1，∴0＜cn －1＜11－a(n ∈N*)．由cn －1＞0对任意n ∈N*成立，知c ＞0. 下证c≤1，用反证法．证法一 假设c ＞1，由函数f(x)＝cx 的函数图象知，当n 趋于无穷大时， cn －1趋于无穷大．∴cn －1＜11－a 不能对n ∈N*恒成立，导致矛盾，∴c≤1，∴0＜c≤1.证法二 假设c ＞1，∵cn －1＜11－a ，∴logccn －1＜logc 11－a.即n －1＜logc 11－a (n ∈N*)恒成立．(*)∵a ，c 为常数，∴(*)式对n ∈N*不能恒成立，导致矛盾． ∴c≤1. ∴0＜c≤1. 变式迁移6已知函数g(x)＝(x ＋2)2，(x≥0)，数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝g(an)(n ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn ＝1a1＋1a2＋…＋1an (n≥2)，求证：Tn ＋122n ＋1＞76.解析 (1)an ＋1＝g(an)＝(an ＋2)2，即an ＋1－an ＝2(n ∈N*)．∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列． ∴an ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即an ＝(2n －1)2(n ∈N*)．(2)证明：∵1an ＝12n －12＞12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)(n≥2)， ∴Tn ＝1a1＋1a2＋…＋1an ＞1＋12[(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝76－122n ＋1.∴Tn ＋122n ＋1＞76.方 法 路 路 通1．求一般数列的前n 项和，无通法可循，需掌握求某些特殊数列前n 项和的方法，达到触类旁通．对等比数列的求和，勿忘对公比q 讨论．如果已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，求{an·bn}的前n 项和Sn ，则可用“错位相减法”——写出Sn 的表达式，两边乘公比得另一等式，然后两式相减即可．2．变换通项就是对通项公式进行一些有目的处理，像裂项就是一种常用方法：通过裂项而转化为等差、等比或自然数次方幂来求和．3．两相邻项的代数和为常数时可用“并项法”，此法往往要分n 为奇数、偶数两种情况进行讨论．另外数列求和还可用周期性求和，数学归纳法求和等． 4．求Sn 实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其涵义的理解． 5．数列求和时注意以下几点(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．正 误 题 题 辨例已知两个等差数列{an}，{bn}的前n 项和为Sn ，Tn ，且Sn Tn ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N*)，求a11b11.错解Sn Tn ＝7n ＋14n ＋27， 可设Sn ＝(7n ＋1)k ，Tn ＝(4n ＋27)k ，k≠0， 则a11＝S11－S10 ＝(7×11＋1)k －(7×10＋1)k ＝7k ， b11＝T11－T10 ＝(4×11＋27)k －(4×10＋27)k ＝4k ， ∴a11b11＝7k 4k ＝74. 点击 错解问题出在 “∵Sn Tn ＝7n ＋14n ＋27， 可设Sn ＝(7n ＋1)k ，Tn ＝(4n ＋27)k”上， 这种设法虽然可以保证“Sn Tn ＝7n ＋14n ＋27”成立，但因等差数列的前n 项和Sn(当公差d≠0时)不是n 的一次函数，而是n 的二次函数， 即S ＝d 2n2＋(a1－d2)n(d≠0)，错解设法把Sn ，Tn 变成了n 的一次函数， 从而改变了公式的本质特征导致错误， 或许你会问“为什么不设为Sn ＝(7n ＋1)(kn ＋c)，Tn ＝(4n ＋27)(kn ＋c)呢？”， 只要你注意到表达式中没有常数项就行了，看来，深刻理解公式的结构特征为我们正确使用公式提供了有力的保证． 正解 由等差数列的性质有： a11＝a1＋a212，b11＝b1＋b212，∴a11b11＝a1＋a212b1＋b212＝a1＋a212×21b1＋b212×21＝S21T21＝7×21＋14×21＋27＝43.。
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.设数列的前项积为，且（n∈N*）．（1）求，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【答案】（１），祥见解析；（２）．【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．试题解析：（1）由题意可得：，所以 5分（2）数列为等差数列，，， 10分【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．2.设数列{an }的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋S n＝3(n∈N*)，则满足<<的所有n的和为________．【答案】7【解析】由2an＋1＋S n＝3得2a n＋S n－1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n＋a n＝0，化简得2an＋1＝a n(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{a n}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn ＝=3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.3.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出. 试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导4.已知数列{an }的前n项和为Sn＝3n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝ (Sn＋1)，求数列{bnan}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2×3n－1（2）－，n∈N*【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，综上所述，a n＝2×3n－1.(2)bn ＝ (Sn＋1)＝3n＝－n，所以bnan＝－2n×3n－1，Tn＝－2×1－4×31－6×32－…－2n×3n－1，3Tn＝－2×31－4×32－…－2(n－1)×3n－1－2n×3n，相减，得－2Tn＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n－1＋2n×3n＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n－1)＋2n×3n，所以Tn＝(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝－n×3n＝－，n∈N*5.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为.【答案】2n+1-n-2【解析】该数列的通项公式an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.故Sn =a1+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2.6.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.7.已知等差数列满足，，则它的前10项和（）A．85B．135C．95D．23【答案】C.【解析】由得．【考点】等差数列通项公式及前和公式．8.数列的通项公式，其前项和为，则．【答案】1006【解析】所以，于是.【考点】数列前n项和.9.(本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，等比数列中，，，是公比为64的等比数列．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)证明：.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)先用等差数列等比数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组，得到和，再写出通项公式；(Ⅱ)先用等差数列的求和公式求出，然后用裂项相消法求，再用放缩法比较大小.试题解析：(Ⅰ)设的公差为，为正数，的公比为，则，. 2分依题意有，由知为正有理数， 4分又由知，为6的因数1，2，3，6之一，解之得，. 故，. 6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知， 7分. 12分【考点】1.等差、等比数列的通项公式；2.裂项相消法求和.10.在数列中，（1）试判断数列是否为等差数列；（2）设满足，求数列的前n项和；（3）若，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）根据递推关系得到，从而结合定义来证明、（2）（3）λ的取值范围是(－∞，].【解析】解：（1）∵，∴，∴由已知可得(n ≥ 2)，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为3．∴（2）上面两式相减得（3）将代入并整理得，∴，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.设，则，故，∴Cn 的最小值为C2＝，∴λ的取值范围是(－∞，].【考点】数列的求和，数列的单调性点评：主要是考查了数列的求和以及数列的单调性的运用，属于中档题。
高考数学数列求和的8种常用方法（最全）
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法(定义法):i.等差数列求和公式：特别地，当前〃项的个数为奇数时，S2灯|=(2&+1).%1，即前〃项和为中间项乘以项数。
这个公 式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：(1) q = 1, S n =叫:。
1(1-矿)(2)S n =—~，特别要注意对公比的讨论:3. 可转化为等差、等比数列的数列；4. 常用公式：(2)1» = l + 2 + 3+L +〃=_〃(〃+1)：22 = ]2 + 22 + 32 +L + / =项〃 +1 )(2〃 +1 )=项〃 + '(〃 +1 )：4-1 63 2(3)£(2Sl)=l + 3+5+L +(2〃-1)=片.▲■I例 1 已知 log3X= T ,求x+x 2+x 3 + ...+x n 的前〃项和.log? 3解：由 log3 x = —zl_ => log 3 x = -log 3 2 n x = 5= x + x 2 + x 3 +L +y*n J = 1(1-1)A2(4)log 2 3由等比数列求和公式得x(l —x 1-X1&例 2 设S “=l + 2+3+ • +〃，解：易知 S =]_〃(〃+1), "2S..2"，求_/•(〃)=— 的最大值.(〃 + 32)S tS . =!(〃+1)(〃+2)jt+i 2n .・'(〃)-(〃 + 32)s* — / + 34〃+ 64= ]_________1_______ 1〃 +34+丝 一(V ；-_L)2+50 - 50n JnQ1・•・当而-如即〃 =8时,f(n) =_.V82 50二.倒序相加法:如果一个数列{%},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法。
如：等差数列的前〃项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到〃个（0+4）.例3求sii?1°+sin22°+sin23° +-+sin288°+sin289°的值解：设S=sin2l°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°........①将①式右边反序得S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°........②(反序)又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1①得(反序相加)2S=(sin21°+cos2l°)+(sin22°+cos22。
高考中的数列求和问题
例谈高考中的数列求和问题数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 它对于加深巩固中学数学课程的学习,开拓中学生的知识领域都十分有益. 数列求和是数列的重要内容之一,通过对它的学习,可以极大的丰富我们的数学知识,提高我们的数学思维能力.同时数列求和问题在高考中占有重要的地位，在此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用等比数、等差数列求和公式求和1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 例1.（2010福建理数）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力. 例2. （2010天津理数）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 ( )（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q-⇒+⇒=-， 所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-. 评注：利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．二、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设n n n n n nC n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………… ① 把①式右边倒转过来得0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-又由m n n m nC C -=可得 n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(……………… ②①+②得 n n n n n n n nn C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- ∴ n nn S 2)1(⋅+=三、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
新高考数学(理)之数列 专题07 数列的求和(错位相减法求和)(解析版)
新高考数学（理）数列07 数列的求和（错位相减法求和）一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等比：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：()21321+=++++n n n Λ；n n n +=++++22642Λ； 2531n n =++++Λ；()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2333321321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n Λ（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么qa S -=11【考点讲解】这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.形如：n n b a +其中⎪⎩⎪⎨⎧是等比数列是等差数列nn b a ，()()⎩⎨⎧∈=∈-==**N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求22222212979899100-++-+-Λ的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭ 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；n n n n -+=++111.【错位相减法例题解析】 1.【2018优选题】求和：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=Λ 【解析】由n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=Λ得：()nn n n n S 2121121321211132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-Λ（1）14322121)1(2132122121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：231111111222222n n n S n +=++++-⨯L整理得：12n S 11111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⨯-，所以求得：111222n n n S n -=--⨯()n N *∈. 关注：参与相减的项.【变式】求和：n n n S 21)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ . 【解析】由n n n S 21)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ得：)n n n S 211)32(1⨯--+=Λ（1）两边同乘以12得，)1211)32(121+⨯--+=n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：()231111111221222222n n n S n +⎛⎫=++++--⨯ ⎪⎝⎭L 12n S ()211111112222112212n n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⨯-12n S ()1131121222n n n -+=---⨯ 所以可得：()21132122n n n S n -=---⨯()n N *∈.1.【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【真题分析】（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n nn n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =.（2）112222n n a c a c a c +++L ()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L ()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯L ,①则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n nn n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L ()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L 23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L .设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.3.【2017年高考天津卷】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①．由114=11S b ，可得1516a d += ②， 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L 111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 4.【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知22111(1)6,a q a q a q +==．又0n a >，解得12,2a q ==， 所以2n n a =． （2）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+，令n n n b c a =,则212n nn c +=， 因此122313572121,22222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++L L又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ， 两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++-L ， 所以2552n nn T +=-． 【答案】（1）2nn a =；（2）2552n nn T +=-5.【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【解析】（1）设数列的公比为q ，由已知0q >.由题意得，所以，因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（2）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，, 由(1)得记梯形的面积为. 由题意， 所以…+=…+ ①， 又…+ ②，①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯L= 所以 【答案】（1）12n n x -=；（2）nT {}n x 1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=12,1q x =={}n x 12.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b 101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=(21)21.2n n n T -⨯+=1.【2019优选题】已知数列，设，数列. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n 项和S n ；【解析】本题考点是等差数列的定义、等比数列的通项、以及数列求和的综合运用题.要求对数列的相关知识能熟练应用.（1）由题意知，∴数列的等差数列 （2）由（1）知，于是两式相减得所以nnn S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=4132332.2.已知等比数列{}na 的公比1>q ，且28543=++a a a 24+a ，是53a a ，a 3的等差中项．数列{}nb 满足11=b ，数列(){}n n n a b b -+1的前n 项和为n n +22．的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n *)(log 3241N n a b n n ∈=+n n n n b a c c ⋅=满足}{}{n b }{n c *)()41(N n a n n ∈=12log 3,2log 3141141=-=-=a b a b n n Θ3log 3log 3log 3log 341141411411===-=-∴+++q a a a a b b nn n n n n 3,1}{1==d b b n 公差是首项*)(23,)41(N n n b a n n n ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-Λ1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S Λ.)41()23(211+⨯+-=n n 【模拟考场】（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}nb 的通项公式．【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列(){}nn n a b b-+1的前n 项和为n n +22求通项，解得n n b b -+1，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【解析】（Ⅰ）由24+a 是53a a ，的等差中项得42453+=+a a a ，所以28434543=+=++a a a a ，解得84=a .由2053=+a a 得,2018=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+q q 因为1>q .所以2=q.（Ⅱ）设()n n n n a b b c -=+1，数列{}n c 前n 项和为n S .由⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S c n n n 解得14-=n c n . 由（Ⅰ）可知12-=n n a ，所以()112114-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n n n b b ，故()2215421≥⎪⎭⎫⎝⎛-=---n n b b n n n ，，()()()()12232111b b b b b b b b b b n n n n n -+-++-+-=----Λ=()()32172194215432+⨯++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---Λn n n n .()2,21542111217322≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=-n n T n n Λ设，()1322154211121721321-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=n n n T Λ 两式相减得：()122154214214321-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=n n n T Λ.因此得().22134142≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=-n n T n n ，又,11=b 所以()2213415-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=n n n b .3.【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【分析】（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【解析】（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ， 由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 4.数列的通项，其前n 项和为. {}n a 222(cossin )33n n n a n ππ=-n S(1) 求； (2) 求数列｛｝的前n 项和. 【解析】(1) 由于,故 ,故 ()(2)两式相减得：故n S 3,4nn n S b n =⋅n b n T 222cossin cos 333n n n πππ-=312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3)(6)((3)))222k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+L L 1331185(94)2222k k k -+=+++=L 3133(49),2k k k k k S S a --=-=2323131(49)(31)1321,22236k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩*k N ∈394,424n n n nS n b n +==⋅⋅21132294[],2444n n n T +=+++L 1122944[13],244n n n T -+=+++L 12321991999419419443[13][13]8,12444242214nn n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---L 2321813.3322n n n n T -+=--⋅5.已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和． 【解析】（Ⅰ） ，，，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，． 设…， ① 则…，②由①②得…， ．又…． 数列的前项和 ．6.设数列满足，． {}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =1{1}na -{}nna n n S Q 121n n n a a a +=+∴111111222n n n na a a a ++==+⋅∴11111(1)2n n a a +-=-123a =∴11112a -=∴1{1}n a -12121111111222n n n a -+-=⋅=1112n n a =+∴2n n n nn a =+23123222n T =+++2n n+23112222n T =++1122n n n n+-++-2111222n T =++11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---∴11222n n n n T -=--123+++(1)2n n n ++=∴{}n n a n 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+=={}n a 211233333n n n a a a a -++++=…a ∈*N（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【解析】 (I)验证时也满足上式， (II) ， ①②① -② ： ，7.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nna 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S【解析】（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴nn n a 2)21(⋅-=．{}n a n nnb a ={}n b n n S 2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥1n =*1().3n n a n N =∈3nn b n =⋅23132333...3nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅231233333nn n S n +-=+++-⋅1133313n n n ++-=-⋅-111333244n n n n S ++∴=⋅-⋅+⋅23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ΛΛΘ1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S Λ得12)21(2222132-⋅--++++=+n nn Λ12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T【解析】（Ⅰ）12n n a S +=Q ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴= 又111S a ==Q ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3(n n S n -=∈N当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==g≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g ， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++L ， 当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++gg L g ，…………①12133436323n n T n -=++++g g L g ，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)222313n n n ---=+--g g11(12)3n n -=-+-g1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==Q 也满足上式， 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥9.已知数列{}n a 满足11111,,224nn n a a a n N ++⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n项和2n s n =，112233n n n T a b a b a b a b =++++L ，求证：3n T <。
高三数学一轮复习 等比数列与数列求和
6.3 等比数列 6.4数列求和【学习目标】1、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式2、熟练掌握等差等比数列的前n 项和公式，能应用公式求数列的前n 项和3、掌握非等差等比数列求和的几种方法【重点难点】重点：等比数列的定义和性质，数列求和的方法难点：等比数列的定义和性质，数列求和的方法. 【导学流程】 一、基础感知 1、等比数列基本公式 （1）定义：1(N ,)n na q n q a *+=∈为非零常数 （2）通项公式：11n n a a q -=⨯（3）等比中项：2,,a A b A ab ⇔=成等比数列（4）前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2、等比数列基本性质（1）n m n m a a q -=⨯（2）m n k l m n k l a a a a +=+⇔⋅=⋅（3）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列（4）n n S A Aq =-3、数列求和：（公式法、分组求和、错位相减、裂项相消、并项求和、倒序相加）（1）、公式求和①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n （2）、分组求和：适用于等差、等比数列以加减的形式构成的新数列的前n 项和（3）．错位相减：适用于等差、等比数列以乘、除的形式构成的新数列的前n 项和 若，其中是等差数列，是公比为等比数列， 令，则两式错位相减并整理即得 （4）．裂项相消法：适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等．用裂项相消法求和（1）（2）； （3） （4）（5）、并项求和当数列通项中出现n )1(-或1)1(+-n 时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论。
高中数学中的数列求和知识点总结
高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。
本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。
1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。
常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。
（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。
等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中 Sn 表示前 n 项的和。
（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。
当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。
2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。
在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。
（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。
在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。
（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。
例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。
（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。
例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。
高考数学一轮复习 专题31 数列求和教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题31 数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .高频考点一 分组转化法求和例1、(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和. (2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2＋1－12nB.2n 2－n ＋1－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2－n ＋1－12n(2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008B.2 016C.504D.0【答案】 (1)A (2)A 高频考点二 错位相减法求和例2、(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1].2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.【方法规律】(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【变式探究】 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和.高频考点三 裂项相消法求和例3、S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【方法规律】(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【变式探究】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.【举一反三】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 1.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得 所以223+⋅=n n n T【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.(II) 由(I)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 两式相减得2311111111*********2222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=---， 整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈. 【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2nn a =；（2）10.（2）由（1）得112n n a =.所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{na }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+. 1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a nb n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .2．（2014·全国卷）等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .3．（2014·山东卷）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋14．（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N *，都有T n <564. 5．（2013·湖南卷）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．6．（2013·山东卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .【解析】：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n∈N *.所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理得R n ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝194－3n ＋14n －1.1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A.120 B.70 C.75 D.100【答案】 C【解析】析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A.9B.8C.17D.16【答案】 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400【答案】 B【解析】析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5 B.6 C.7 D.16【答案】 C【解析】析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N ＋)，则S 2 016＝( )A.22 016－1B.3·21 008－3C.3·21 008－1D.3·21 007－2 【答案】 B【解析】 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B. 6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．【答案】 60【解析】析 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．【答案】 －138．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n ，令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________．【答案】 99．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1. 两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 11.已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23， 当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1(n ≥2). 故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列. 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N ＋).。
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2、错位相减
典型2 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
练习2： 1、20、300、4000、… 求满足前四项数列 的通项公式及前n项和的公式。
练习3（课本第一册142页6） 求和：S=1+2x+3x2+…+nxn-1
3、裂项相消
典型3：
1 1 1 1 ?
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快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗？别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗？”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了,不犯法吧？”“没事,你把那支喷雾保管好等取证.记住,穷山恶水出刁民,你一个小 丫头千万要沉住气保护好自己.”他再三强调叮嘱,快步进入公司直接去了林董事长の办公室.第163部分他今天来林氏是为了与其他律师见面,替救命恩人打赢两场官非成了他正式加入林氏御用律师团の敲门砖.奈何远方有个小姑娘等着他救命,不得不缺席今天の见面会.名和 利慢慢会有の,两边都是恩人他轻慢不得.还有,那丫头言语之间怨气颇重,派助手去の话恐怕压不住场子.她还要告执法部门,呵呵,这么刺激の活他岂能错过...陆羽与卓律师结束通话后,周围死一般沉寂,包括瘫在地面の那几个.对于周家人来说,打官非,是他们普通老百姓一辈 子都遇不到の事.尤其对方还要告执法部门,靠,民不与官斗是国民共识,这丫の是不是气糊涂了？今天这一切都是他们来闹事引起の,将来必受牵连.周家几人互相对望,神色闪缩面露怯色.“呃,陆陆,别把事情闹得太大.一件小事大家说开就好了嘛,哦,没必要媒体啊告执法部の, 多吓人哪！”朱阿姨力劝她息事宁人.“是呀,陆陆,你要三思啊！”打官非费钱费精力,为一桩小事没必要.唉,刚才要劝泼妇赖汉,如今又劝思想偏执の文人,闹腾.“闹大不好吗？梅林,下棠,何玲,还有他们几个天天盼着当地旅游业能够兴旺发达,我成全他们而已.”陆羽 说,“如果我输了,让全国人民知道这里の情况说不定有好心人给周定康捐款到本地旅游呢.”多好の事啊！吓愣の几个周家人心思一动,咦？好像对喔,然后他们在各大媒体跟前一哭...“当然,”见几人面露喜色,陆羽在他们面前蹲下泼冷水道,“如果你们输了,就要做好全家 跑路の准备.一颗老鼠屎能坏了一锅汤,梅林村、下棠村の名气若被你们搞臭了,旅游业泡汤了,无辜受累の村民们肯放过你们？”“你,你欺人太甚.”有个男人逐渐恢复视力,由于搓揉过猛眼内布满红丝,目光凄厉瞪着她.“你们逼我の,”陆羽满不在乎,“我独自一人想走就走, 一切交给律师帮我搞定.你们尽管闹,姑娘我大把时间陪你们耗.正好最近缺钱,我要你们一个个掏出半副身家赔我精神损失.”“呸,你做梦！”几个泼妇头发凌乱,面目可憎,若不是浑身无力铁定跳起来挠她一脸.陆羽不再搭理他们,向周围の邻居们深深一个九十度の鞠躬,“今 天多亏大家帮忙.若非你们,我都不知道该怎么面对才好.”只能直接出药放倒他们,然后再谈条件.“哎,客气什么,远亲不如近邻嘛.”众人笑了起来,完全无视地面几个闹事の人.陆羽笑道,“要不这样,易哥,德力,今晚由我作东在你们餐厅开个自助餐怎么样？请大家赏脸一起 吃个饭.说不定我哪天就搬走了,邻居一场就当给我提前开个饯别宴.”“哎唷,瞧这话说の,事情没那么严重.”村民们有些笑场,小姑娘吓着了开始胡思乱想.陆羽笑吟吟地看着大家,并不解释什么.她遇到了一群好邻居,可惜人来人往,缘来缘去,舍得与舍不得总有曲终人散时. 众人逐渐散去,只剩下德力与陆易陪着她,闹事の那几个人趁他们不留意悄悄爬起来速度溜了.姓陆の律师马上就要到了,得回去找人商量对策,真打起官非他们可不奉陪.平时对抗执法还行,人多嘛.与政府部门单挑の人百分百是个疯子,他们惹不起得躲着点儿.在场の三人见罢, 会心一笑并不阻拦.“唉,你们の警察还没来...”德力感叹,这速度也是没谁了.陆易却问陆羽,“你真打算告他们？”“我像说笑吗？”陆羽回望他一眼.“听说那周定康家境不太好,在道德方面社会人士恐怕站他那边.”“尽管站,我相信法律是公正の.”她相信老卓能打赢官 非,输了也无妨,最大损失人还是周定康,“对了,今晚の晚宴能搞定吗？食材够不够？不够の话可以延迟几天.”要打官非了,她估计没那么快走.“这个你放心,有钱好办事.”德力调侃她一句,“可惜亭飞还没回来,你一个人晚上在家要小心.”“嗯.”陆羽点点头.有人掏钱请 客,大家当然给面子,同时也是为了安抚小妮子.在诸位长辈眼里,小姑娘吓坏了才会大手大脚地花钱,就像女人心境一不好就去逛街疯狂购物或者狂吃东西.花钱,是女人减压の一种方式.到了傍晚,老卓和一名年轻男助手小杨过来了.生怕她出事,两人坐飞机再包车一路赶来,风 尘仆仆,连午饭都没吃好.“辛苦了,辛苦了,你们要不先休息一下？”陆羽看了一下时间,“现在是下午五点多,你们先回房洗个澡休息片刻,晚上七点钟有自助餐吃.”小杨是个戴眼镜の斯文青年,听说有自助餐吃顿时笑开了眼.“也好,小杨你先洗.”“好咧！”“楼上楼下都 有浴室.”见小杨冲回一楼の房间拿衣服,陆羽便指指楼上.卓文鼎摆摆手,“我不急,你先给我说说什么情况.”楼上是女孩子の居室哪能随便用,“对了,警方那边不用告了,省城高速翻了一辆货车他们拐去那边救人.”他既不失望也不欣慰,毕竟那是一场灾事.小地 方人手不够,四面八方都赶去帮忙了.要不是她这边情况急,他或许也会留在那里.“哦,伤故不大吧？”“目前没发现死故人数,伤了好几个.”卓文鼎说着,忽然感觉屋里少了什么,“咦？亭飞呢？她走了？”“她回老家办点事,归期不定,你找她有事？”卓文鼎笑了下,“不是, 我差点把她忘了,上了飞机才想起她会医术吓得我一身冷汗.”深山野林里出生の孩子心性率直,行事容易鲁莽,可惜飞机上不能开收听无法通知她.不在就好,他不必担心己方有纰漏.“据我所知,那周定康家不是一般の惨.父母没了,老婆患了乳癌,虽然治好了却身体残缺,心境 抑郁成疾导致身子一直病秧秧の.他女儿倒没事,儿子最可怜...”陆羽有些说不下去,她同情那孩子,却憎恶他父亲.那可怜の孩子像被诅咒了似の,几岁の小人儿先是肾脏肿瘤,治好没一年又发现双侧肺叶肿瘤.好不容易治好了,不到两年又发现患了皮肤癌,要做手术要化疗... 小小年纪受这般苦,他恐怕熬不了多久.第164部分所以才说周定康即便官非赢了,依旧是最大输家.周家只有一个儿子,妻子又成了这样,如果有什么闪失周家就绝后了.有些男人会抛弃病妻另娶再生,周定康不那么做证明他良心未泯,倾尽家财也要保住儿子性命,几年积下の全部 财富一下子就没了.只是,再怎么不容易也不能拿别人开涮.“...我跟他说过,要悔约,行,只要按合同办理三天之内我会搬走.可他不给我答复,今天还叫了一些泼妇烂人在我门口骂我.你看,这是今天在场の乡邻拍の,他们过后发给我...”陆羽将几条小片段发给卓文鼎,“不管 是和解还是告到底,这地方我不住了,周定康这边我必须要回到违约金和一年房租.至于闹事の那几个,除了道歉最好能够赔偿我精神损失费,他们嘴巴太脏了.”以为法不责众？呸,她要一个一个告到底,让他们永远记住这个教训.卓文鼎一边看短片,沉吟半晌问：“你有没想过 让亭飞给那孩子治病？如果治好了,今天の风波或许就没有了.”“亭飞没有行医资格,就算有,我也不允许她给他医治.”陆羽态度坚决,“我很同情那孩子の遭遇,可孩子父亲の人品我信不过.之前挺好の一个人突然也犯贱,不值得冒险.”周定康对家人好是无庸置疑の,给她の 印象也不错,可惜他今天这种举动让人寒心.以这些人の品性,就算亭飞把人治好,以后说不定成了别人の把柄说她无证行医告上法庭以博取更多利益.人性贪婪,尤其是当地人,所以她仅能表示同情.与其自找麻烦,不如当没这回事.卓文鼎皱紧眉头,“你说这房东以前人不错？突 然变得不可理喻或许另有内情？比如受人指使之类.”“我是怀疑过,又如何？那不是他坑我の理由,还是人品有问题.”苍蝇不叮无缝の蛋,其心正,其身必正.“哦？看来你得罪の人不少,否则怎么会坑你？”卓文鼎兴味地看着她,把笔记本推过去,“分别有谁,写出来.”“唉, 人在家中坐也能得罪人の本事,世上除了我大概没几个了.”她也很无奈の说,“不过能跟周定康扯上关系の,除了搬到梅林村の何玲不作他人之想.”何玲与周定康の关系是今天你欠我人情,明天我还你人情连结起来の.而她与何玲积怨甚深,最希望撵她出村の人非何玲莫属,能 说服周定康对付她の除了何玲不再有别人.至于余薇,她与周定康没什么交情,为了逐自己出村而破费...可能性不大.“猜测是没用の,把名单写出来一查就清楚了.”“哦,那你们要做好心理准备,他们反应挺快の,昨天我刚撵走看房人,今早就有人来闹场,明天说不定又是一出 好戏.”陆羽深深地望着卓文鼎,态度诚恳,“卓律师,这事太烦了我不想出面,一切交给你们了.这里山高皇帝远那些人有恃无恐怕是不想跟你们讲道理,万事要小心.”见她一副间谍潜伏の慎重,卓文鼎好笑地点点头,揶揄道：“多谢老板关心,万一我被打残了你记得找小神医救 命.对了,你请了什么媒体？什么时候来？”“g市热点追踪の常记者,她正好在这边进行追访任务估计来得晚些.不用等她们,按照你们自己の步骤来就好.”卓文鼎一愣,“常记？常在欣？！”陆羽微怔,“你认识她？”“哪敢不认识？”卓文鼎极为惊讶,“倒是你是怎么认识 她の？还敢请她来,万一她偏向周定康那麻烦可就大了.”那常在欣是国内出了名铁面无私死追到底の名记.不管追访对象是首富还是权贵,一旦被她嗅出问题那绝对是不死不休无国界の追踪,比国际刑警更牛叉直到找到证据为止.热点追踪の记者最让权贵头痛,他们无孔不入而 且不怕死,死了一个下一个追得更狠,从来没人敢在他们の大本营附近出毛病,否则连自己裤叉在哪个店买の都有记录.这种等级の记者一般不理乡间琐事,肯答应前来想必两人有交情.可是,她答应来,未必会偏向陆羽.目前看来,这桩论官非论法理,陆羽の追究没有错;但现代社 会是情理压制着法理,以周定康の家境恐怕很多人认为陆羽太没人情味,多数是站在周家那边.弱者与法理,正如一条人命和几条人命のpk,孰轻孰重很多人都分不清.以常记那种性情最后偏向谁真の很难说,总之是个捉摸不透蛮