数列的极限
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，了解数列的极限是非常重要的。
通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。
本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。
数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。
若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。
其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。
ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。
二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。
2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。
换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。
3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。
也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。
4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。
- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。
数列的极限
2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn
A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数 ；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n
1 2n
)
1
极限是微积分学的一个重要基本概念， 是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ， 数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
数列的极限
数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。
证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。
(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。
（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。
3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。
推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列极限的定义与计算方法
数列极限的定义与计算方法数列极限是高中数学中非常重要的一个概念，它涉及到数学分析、微积分和实分析等方面。
在这篇文章中，我们将讨论数列极限的定义及其计算方法。
一、数列极限的定义数列极限是指当数列中的数越来越接近某个值时，这个值就被称为该数列的极限。
具体而言，对于一个数列{an}，若有一个实数A，对于任意正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an -A|<ε成立，则称A为该数列的极限，记作A = lim(an)或an→A。
其中，ε表示误差的大小，N表示误差所在项数的下标，|an -A|表示数列中某一项与极限之间的距离，即两者之差的绝对值。
当数列的极限存在时，我们称其为收敛数列；反之，若其不存在，则称其为发散数列。
二、数列极限的计算方法1. 通项公式法若数列an的通项公式为an = f(n)（n∈N*），则可通过该公式来计算数列的极限。
具体而言，只需将n带入f(n)中，便可得到数列中的每一项。
若该通项公式关于n的极限存在，则该极限就是数列的极限。
2. 常用数列极限公式在计算数列极限时，还可以利用以下常用数列极限公式：(1) limn→∞ (1 + 1/n)n = e(2) limn→∞ (1 + x/n)n = ex(3) limn→∞ (1 - x/n)n = e-x(4) limn→∞ (1/2)n = 0(5) limn→∞ (1/n) = 0(6) limn→∞ (n1/n) = 1(7) limn→∞ (nlogn/n) = ∞(8) limn→∞ (∑i=1n1/i - ln n) = γ其中，e为自然对数的底数，x为任意实数，γ为欧拉常数，其值约为0.57721。
3. 夹逼法当数列的通项公式比较复杂或难以求出时，可以采用夹逼法（或夹挤法）来判断其极限。
夹逼法是指找到两个数列{bn}和{cn}，它们分别比数列{an}小和大，并且它们的极限相等。
具体而言，若对于所有n>N，均有bn≤an≤cn成立，则数列{an}的极限等于{bn}和{cn}的极限（即它们的共同极限）。
数列的极限及运算法则
数列的极限及运算法则
1．数列极限的定义
(1)描述性定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，当n无限增大时，数列{a n}中的项无限趋近于常数A(即a n无限趋近于A)，则称常数A为数列{a n}的极限．
(2)ε－N定义：对于数列{a n}，如果存在一个常数A，无论预先给定一个多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N，使得这一项以后的所有项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时，|a n－A|＜ε恒成立)，就称常数A为数列{a n}的极限，
2．只有无穷数列才能讨论它的极限．
3．若数列{a n}的极限是A，数列{a n}中的项在趋近A的过程中，可能始终大于
6．在运用数列极限的四则运算法则时，应注意，只有在数列{a n}、{b n}的极限存在的前提下，才能运用，否则会产生错误．
7．常用的几个极限：
8．数列{a n}的前n项和S n的极限如果存在，则称这个极限值为数列{a n}的所有
加所得的和的概念，而是一个极限值．。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列的极限是指当序列的项趋向无穷时，序列的最终趋势。
而数列的收敛性则是指当序列逼近其极限时，序列的值逐渐趋于稳定。
本文将探讨数列的极限与收敛性的相关概念以及数列收敛的判定方法。
一、数列的极限数列的极限是指当数列中的项趋向无穷时，序列的最终趋势。
记作lim(n→∞)an = A，其中an表示数列中的第n个数，A表示数列的极限。
当数列的极限存在时，有以下几种可能情况：1. 若数列的极限A存在有限值，即lim(n→∞)an = a，则该数列为收敛数列。
2. 若数列的极限不存在有限值，即lim(n→∞)an = ∞或lim(n→∞)an= -∞，则该数列为发散数列。
3. 若数列的极限不存在，既不是有限值也不是无穷值，则该数列为不存在极限的数列。
在求解数列的极限时，可采用数列的通项公式或递推关系进行分析推导。
通过不断逼近数列中的项，可以确定数列的极限并判断其收敛性。
二、数列的收敛性判定方法针对数列的收敛性，常用的判定方法有以下几种：1. 夹逼定理：若对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an = lim(n→∞)cn = A，则数列{bn}的极限存在且等于A。
夹逼定理可用于判定数列的收敛性，通过找到两个夹逼数列，其中一个逼近极限A，另一个逼近A的同时，数列{bn}也逼近A。
2. 单调有界原则：对于单调递增（递减）的数列，若该数列有上（下）界，则该数列必为收敛数列。
单调有界原则通过观察数列的变化趋势，若数列单调递增且上界有限，或数列单调递减且下界有限，可判断该数列为收敛数列。
3. 递推关系法：当数列的通项公式较难推导时，可通过数列的递推关系判断其收敛性。
递推关系法思路是通过递推公式不断迭代计算数列的项，直至数列趋于稳定。
递推关系法需要根据数列的特点，寻找递推公式，并进行递归计算，直到数列的项逐渐趋于稳定。
数列极限的概念与性质
数列极限的概念与性质数列是数学中一个重要的概念，其一般形式指的是一个无限序列。
而序列中的每一个元素所组成的数列，其极限是数学中另一个重要的概念。
本文将以此为主题，探讨数列极限的概念与性质。
一、数列极限的概念数列极限的概念通俗来说，就表示的是数列趋于一个确定的值。
特别地，如果一个数列a_n有着极限l，那么我们可以写作：lim_(n→∞)a_n = l其中，lim表示极限，n表示序号。
这一表达式意味着，当数列a_n的序号n趋近于无穷大时，其对应的元素a_n与极限l之间的差异越来越小。
注：∞是一个想象不出的数，在这里表示为极限所在的位置不受限制。
比如，考虑序列1, 2, 3, …，在此数列中，每个元素的值都比它之前的元素值大1。
此时，很容易看出，数列的极限并不存在。
例如，当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都是无限大。
这说明，数列的发散是存在的。
而另一方面，如果我们考虑1/2,2/3, 3/4, …，很容易看出，这个数列的极限是1。
因为当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都趋向于0。
因此，数列各项的值都在逐渐地接近1，于是数列的极限就是1了。
通常来说，函数的极限也是通过数列的极限来推导的。
不过，这里暂且不做展开。
有兴趣的读者可以寻找相关资料进行拓展。
二、数列极限的性质1、数列极限的唯一性一个数列如果存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列a_n有两个极限l1和l2，那么lim_(n→∞)a_n应当等于l1和l2。
其证明可以通过“反证法”来进行。
2、数列极限的保号性如果a_n > 0，且a_n的极限为l，那么l > 0。
相反地，如果a_n < 0，且a_n的极限为l，那么l < 0。
举个例子，考虑到每个元素的平方一定是正的，那么如果a_n²的极限存在，并且代表为l，那么l一定大于0。
3、数列极限的有界性如果数列a_n存在极限，那么它是有界的。
通俗来说，就是指数列a_n中的元素不会无限制地变大（或者变小）。
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是数学中一个非常重要的概念，而数列的极限更是数学分析中的基础知识之一。
数列极限的定义与性质对于理解数学分析、微积分等学科具有重要意义。
本文将从数列极限的定义入手，逐步介绍数列极限的性质，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 数列极限的定义数列极限的定义是数学分析中的基础概念之一。
对于数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$可以无限接近某个常数$A$，那么称常数$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to\infty} a_n = A$。
换句话说，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，数列的项$a_n$与极限$A$之间的差的绝对值$|a_n - A|$小于$\varepsilon$。
数学上也可以用$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$来表示数列${a_n}$的极限。
这个定义是数列极限的基础，也是理解数列极限性质的前提。
2. 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，下面将逐一介绍这些性质：（1）数列极限的唯一性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个极限是唯一的。
也就是说，如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = B$，那么$A=B$。
（2）数列极限的有界性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个数列是有界的。
即存在一个实数$M$，使得对于数列的每一项$a_n$，都有$|a_n| \leq M$。
（3）数列极限的保号性：如果数列${a_n}$的极限存在且大于（小于）零，那么从某项开始，数列的每一项都大于（小于）零。
（4）数列极限的四则运算性质：设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B$，则有：- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$- 若$B \neq 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（5）夹逼准则：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leq b_n \leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，那么$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = A$。
数列极限及其应用
数列极限及其应用数列是数学中重要的概念之一，数列极限是数学分析中的重要内容。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义、性质以及其在数学和现实生活中的应用。
一、数列极限的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列通常表示为{a₁,a₂, a₃, ......, aₙ}，其中a₁、a₂、a₃等是数列中的项。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的项趋近于确定的常数L。
这一定义可以表示为：lim{n→∞} aₙ = L数列极限的性质包括：1. 唯一性：数列的极限只有唯一的值。
2. 有界性：若数列存在极限，则数列必定有界，即存在上界和下界。
3. 保号性：若数列存在极限且其极限为正（或负）数，则数列从某项起，总是正（或负）号。
4. 夹挤性：若数列的每项均位于两个收敛数列的中间，则该数列也是收敛的，并有相同的极限。
二、数列极限的应用1. 数学分析中的应用：数列极限在微积分中有着重要的应用。
利用数列极限的概念，我们可以定义导数和积分，并研究函数的连续性和各种变化规律。
数列极限的概念是微积分的基础之一，它为我们理解和深入研究函数的性质提供了便利。
2. 数列极限在无穷级数求和中的应用：无穷级数是由无穷个项按照一定规律排列而成的数列。
利用数列极限的概念，我们可以判断无穷级数是否收敛，以及求出其和。
例如，经典的几何级数可以通过数列极限的方法求和，从而得到其和为有理数的结论。
3. 数列极限在金融投资中的应用：在金融投资中，数列极限可以用于计算投资回报率。
通过考察投资金额随时间增长的趋势，我们可以得到不同投资方案的回报率，并作出合理的投资决策。
4. 数列极限在物理学中的应用：在物理学中，数列极限可以用于描述物体运动的速度和加速度。
例如，通过分析质点在无穷小时间间隔内的位移变化，我们可以定义速度和加速度，并利用数列极限的概念来研究物体的运动轨迹和变化规律。
5. 数列极限在市场预测中的应用：数列极限可以用于分析市场行情和预测未来的趋势。
数列极限的性质
数列极限的性质
数列极限的性质如下：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn。
附：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题。
开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研
究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
数列的极限和无穷级数
数列的极限和无穷级数数学中有一个重要的概念是数列的极限和无穷级数。
数列是一系列按照一定规律排列的数字，而数列的极限表示当数列中的数字趋向于某个值时，该值就是数列的极限。
而无穷级数则是将数列中的所有数字相加得到的结果。
1. 数列的极限数列的极限是指当数列中的数字逐渐增大或逐渐减小并且无限接近于某个值时，该值就是数列的极限。
数列的极限可以分为两种情况：有界数列和无界数列。
1.1 有界数列有界数列是指数列中的数字在一定范围内变动，不会无限增大或无限减小。
对于有界数列来说，它的极限存在且唯一。
我们可以通过观察数列中的数字是否逐渐趋于某个固定值，或者通过数学推导来判断数列的极限。
1.2 无界数列无界数列是指数列中的数字逐渐无限增大或无限减小。
对于无界数列来说，它的极限可能不存在，或者说极限可以是正无穷大（+∞）或负无穷大（-∞）。
我们可以通过观察数列中的数字是否无限增大或无限减小来判断数列的极限。
2. 无穷级数无穷级数是指将数列中的所有数字进行加法运算得到的结果。
无穷级数可以表示为S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...，其中a₁, a₂, a₃, ...为数列中的数字。
无穷级数可以分为两种情况：收敛和发散。
2.1 收敛级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于一个有限的值，即极限存在且有限时，我们称该无穷级数为收敛级数。
我们可以通过数学方法，如比值判别法、根值判别法等来判断一个无穷级数是否收敛。
2.2 发散级数当无穷级数的部分和Sₙ在n趋于无穷大时趋于无限大，即极限不存在或为无穷大时，我们称该无穷级数为发散级数。
对于发散级数，它没有一个确定的和。
3. 数列的极限与无穷级数之间的关系数列的极限与无穷级数有着密切的关系。
事实上，无穷级数的和就是数列的极限。
如果一个数列的极限存在且有限，则这个数列可以看作是一个无穷级数，并且这个无穷级数收敛于该极限值。
而对于一个无穷级数，要判断它是否收敛，实际上就是在判断其部分和序列是否收敛。
数列的极限(一个引例)
几何级数求和
总结词
几何级数的求和公式是 S = a_1 / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比。
详细描述
对于一个几何级数，例如数列 {1, 2, 4, 8, ...}，其首项 a_1 = 1，公比 q = 2。根据几何 级数的求和公式，该数列的和 S = a_1 / (1 - q) = 1 / (1 - 2) = -1。
这些定理在数学分析中起着重要的作用，它们共同保证了实数域的完备性 ，即实数域上的任何性质都可以通过有限步骤的推理得到证明。
实数完备性定理是数学分析的基础，它们为数学分析中的许多概念和定理 提供了坚实的基础。
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01 无穷级数是无穷多个数的和，可以表示为无穷多 个项的累加。
02 无穷级数可以分为收敛和发散两类，收敛级数的 和是有限的，而发散级数的和是无穷的。
03 无穷级数具有一些重要的性质，如交换律、结合 律和分配律等。
实数完备性定理
实数完备性定理是一组关于实数的定理集合，包括区间套定理、有限覆盖 定理、聚点定理、闭区间连续函数的性质等。
统计物理
在统计物理中，通过对大量微观粒子状态的统计平均，可以 得到一些宏观物理量的性质，这一过程也涉及到数列极限的 应用。
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，数列极限被广泛应用于风险评估、资产定价等领域，例如在计 算股票价格的期望收益和方差时，需要用到数列极限的知识。
微观经济学
在研究微观经济学中的问题时，例如在研究消费者行为、生产者行为等问题时 ，需要对离散的经济变量进行连续化处理，这时也需要用到数列极限的知识。
无穷递增等差数列的极限
总结词
无穷递增等差数列的极限值是存在的，且等 于首项加上末项的一半。
§1.3 数列的极限
lim n
xn
a.
22
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
子数列(子序列).
数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取点: x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn
数列的几何意义.
数列是整标函数 xn f (n).
3
2、数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
an1 an
0或
an1 an
1
。
• 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归
纳法证明.
21
2. 夹逼准则（P64）
定理 4 如果数列 xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn有上界 ;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
xn21
lim(3
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。
2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。
(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。
(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。
(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。
(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。
(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
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数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=.注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.例1 判断下列结论的正误（1）若lim 0n n a →∞=，则n a 越来越小；（2）若lim n n a A →∞=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞=，则lim 0n n a A →∞-=.解：（1）不正确，例如：1n a n=-，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21n n a n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞=.（3）不正确，例如：11n a n=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.（4）正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；③ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅2）四种常见的重要极限（1）lim n C C →∞= （2）1lim0n n →∞= （3）lim 0(11)nn q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n→∞+=例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A ）若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则limn n na Ab B →∞=（B ）若lim 0n n a →∞=，则lim()0n n n a b →∞=（C ）若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=（D ）若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=解：选（D ）例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞-=，求lim n n na →∞.解：1lim lim(21)lim21212n n n n n n na n a n →∞→∞→∞=-⋅=⨯=-例4 求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72n n n n a n N n --≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22211lim 232n n n n n →∞+-=-+；（3）1n =；（4）211lim 21nn n n e→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭； （5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=（6）21231lim 2n n n →∞++++=.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。
所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。
一般来说，关于n 的数列通项()n a f n =，如果仅仅只在底数的位置中含序号n ，往往变形为1()F n ，利用1lim0n n→∞=求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n ，往往变形成()n F q ，利用lim 0n n q →∞=求解；如果既在底数的位置中含序号n ，又在指数的位置中含序号n ，往往变形成1[(1)]n F n +的形式，利用1lim(1)n n e n→∞+=求解.同时遵循先化简再变形的原则.例5 若lim(34)8,lim(6)1n n n n n n a b a b →∞→∞+=-=，求lim(3).n n n a b →∞+解：根据3(34)(6)n n n n n n a b x a b y a b +=++-求解，可得lim(3) 3.n n n a b →∞+=【课堂练习】1. 下列命题正确的是（ ） ①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④答案：D2. 命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3答案：B. 由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n21可以任意小.故选B.3. 已知1a b >>，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是( B )A.－abB.a1C. b -D.不存在 4. 设n S 是无穷等比数列的前n 项和,若lim n n S →∞=41,则首项1a 的取值范围是( C )A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41） D.（0，41）∪（21，1）5. 在数列{}n a 中，若lim(31)1n n n a →∞-=,则lim n n na →∞=___________.6.设数列{}n a ,{}n b 均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________. 7. 已知∞→n lim 21()01n an b n +--=+，则a =___________,b =___________.8. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项1a 的取值范围是___________. 答案： 5. 31 6. 92 7. 1 －1 8. 21＜a 1≤23,且a 1≠1.9. 若021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，则a 的取值范围是（ ）A ．1=aB ．1-<a 或31>a C ．311<<-a D ．31-<a 或1>a 分析：由0lim =∞→nn a （a 为常数），知1<a ，所以由已知可得121<-aa，解这个不等式就可求得a 的取值范围．解：由021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，得121<-a a ， 所以a a 21<-，两边平方，得：224)1(a a <-，0)1)(13(,01232>+->-+a a a a ，所以1-<a 或31>a ．答案 B10. 在数列{}n a 中，已知113a =，且12(2)n n n a S S n -=-≥，求2lim n n n a S →∞. 解：222(21)lim lim 2(21)(21)n n n na n S n n →∞→∞-+==-+-11. 已知22()4f x x =+ (x ＞0),设2*111,()2()n n a a f a n N +=⋅=∈， 求：(1)数列{}n a 的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--解：（1）由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或12. 如图，在边长为I 的等边△AB C 中，圆1O 为△ABC 的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与AB 、BC 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为n a ，*()n N ∈. (Ⅰ)证明{}n a 是等比数列； （Ⅱ）求123lim()n n a a a a →∞++++的值.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.13. 设数列{}n a 满足32123a a a +++…+n a n =a 2n－1, {}n a 的前n 项和为*(0,1,)n S a a n N >≠∈.(1)求{}n a ； (2)求∞→n limna S nn)1(2-； （3）求证：12(2)(1)(2)2(1)n n n n n a n n a n n a ++++++<+ 解：（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a 2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2) a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a2n －2(2a 2+1)＞0∴原不等式成立.【真题演练】14. 求11122lim 11144nn n→∞+++++的值为（ ）(A). 0 (B). 32 (C). 12(D). 1答案：(B)15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312,a S ==则2lim nn S n →∞=________.答案：1。