高考数学《立体几何初步》专题 空间直线学案

第2课时 空间直线

1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点．

3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．

4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)

6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． 例1. 如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝a ，AB ＝CD ＝b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．

(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2) 求AB 和CD 间的距离． 证明：(1) 连结CE 、DE

⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

===BE AE BD AD BC AC ⎭⎬⎫⊥⊥DE AB CE AB ⇒AB⊥面CDE ∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ∴EF 是AB 和CD 的公垂线 (2) △ECD 中，EC ＝4

2

2

b a -

＝ED

∴EF＝

2

2

2b a -

变式训练1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．

解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝3

FG ＝EG ＝1

∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

例2. S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2

π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．

求异面直线SM 与BN 所成的角．

典型例题

A

E

B

C

F D

M

A

N C

S

证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝

a 2

5

NQ ＝

21SM ＝

4

2

a BQ ＝

a 4

14 ∴C OS∠QNB＝5

10

2222=

⋅-+NQ BN BQ NQ BN ∴∠QNB＝arc cos

5

10

变式训练2：正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．

(1) 求异面直线SC 和AB 的距离； (2) 求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：(1)

a 2

2 (2) 45°

例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为A 1B 1、BB 1、CC 1的中点．

(1) 求异面直线D 1P 与AM ，CN 与AM 所成角；

(2) 判断D 1P 与AM 是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D 1P 与AM 成90°的角 C N 与AM 所成角为arc cos 5

2.

(2) 是．NP 是其公垂线段, D 1P 与A N 的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠G NA 就是BM 与AN 所成的角．

设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos∠GNA＝

10

30

5

62556=

⨯⨯-+。 例4．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD ，AE⊥PD，EF∥CD，AM ＝EF ． (1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；

(2) 若PA ＝3AB ，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD

A

C

B

N

M A

C 1

B P

C 1

D 1 M B 1 A 1

D N

C B

A

C D

B

E

F

A M P

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1E

F

∴AM∥EF，又AM ＝EF ∴ AMFE 为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥M F ，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD

∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF 为AB 与PC 的公垂线．

(2) 设AB ＝1，则PA ＝3，建立如图所示坐标系．由已知得AE ＝(0，

109，10

3

)， AB ＝(1，0，0)

面MFEA 的法向量为k ＝(0，1，－3)，AC ＝(1，1，0)，cos＝10

5

．∴ A C 与面EAM 所成的角为

2

π

－arc cos

105，其正弦值为10

5． 变式训练4：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． （１）证明F D AD 1⊥； （２）求AE 与F D 1所成的角。

（1）证明：因为AC 1是正方体，所以AD⊥面DC 1 又DF 1⊂DC 1，所以AD⊥D 1F. （2）取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，

故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt△A 1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 1F 所成的角为直角。

1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义； (3)求角．

2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法． 3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．

小结归纳