自由落体与上抛的相遇问题的典型例题(8个)

自由落体与上抛的相遇问题的典型例题（8个）

8-1、一小球被以30m/s的初速度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球，空气阻力可以忽略不计，空中各球不会相碰。问：

（1）最多能有几个小球同时在空中？

（2）设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（）

解：，小球在空中运动的时间为

时，将第一个小球抛出，它在第末回到原处，同时第七个小球即将被抛出。在第六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有6个小球，第七个小球抛出时，第一个小球已经落地，所以空中最多只有6个球。

第一个球时抛出，而第个球在后抛出，则在某一时刻这两个球的位移分别为（1）

（2）

两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即

整理得

其中表示第一个小球和后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。

当时，，这是与第二个小球相遇而过的时刻；

当时，，这是与第三个小球相遇而过的时刻；

当时，，这是与第四个小球相遇而过的时刻；

当时，，这是与第五个小球相遇而过的时刻；

当时，，这是与第六个小球相遇而过的时刻。

除上述分析计算法之外，还可用图像法解决本题。根据题意，定性画出图像，如图所

示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个小球在空中能与5个小球相遇，时间依次是，，，，。当然第一问同样可以迎刀而解。

8-2. 一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：

（1）相邻两个小球下落的时间间隔是s；

（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10 m／s2）（答案0.5；35 m ）

8-3. A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。问：

（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？

（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？

解析：两球相遇时位移之和等于h。即：gt2+（v0t－gt2）=h 所以：t=

而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：t2=

（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t＜t1，即＜，所以v0＞

（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2

即＜＜所以：＜v0＜

8-4. 如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总

质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，

经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。（g=10m/s2）

解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重

力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移

比小球的位移多一个筒的长度。

设筒与小球的总质量为M，小球的质量为m，筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动，设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内，筒与小球的位移分别为h1、h2（球可视为质点），如图所示。

由运动学公式得

又有：，代入数据解得

又因为筒受到重力（M－m）g和向下作用力F，据牛顿第二定律

得

8-5. 如图所示，升降机以匀加速度a上升，当上升速度为v时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为hm，求落至底面的时间。

解：选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为g+a，竖直向下，相对运动可

视为以g+a为加速度的自由落体，有

所以为所求。

8-6、杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有

一半时间内没有球。设每个球上升的高度为1.25m，取，求每个球每次在手中停留的时间是多少？

解：设一个球每次在手中停留的时间为，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为，而对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为。在这段时间内，此球有的时间停留在手中，则有的时间停留在空中，根据竖直上抛运动的规律得：

代入数值得：

∴球一次竖直上抛运动的时间，则它每次在手中停留时间为0.2S。

8-7. 某升降机以1.6m/s的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板6.5m高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？

解：设从放球到球与底板相碰需要时间t，放球时，球与底板的距离为h，升降机速度为，在此期间球下降距离，升降机上升距离为，如图所示，因此有

代入数据得

解之得（负根舍去）

这时球相对于地面的速度为

而球相对于底板的速度

由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m/s。由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为向上，所以

碰撞后小球相对于地面向上的速度

由此可知球第一次上升的高度为

因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为

8-8. 将两小石块A、B同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的时间比B迟2s。问：

（1）A、B的初速度分别为多少？

（2）A、B分别达到的高度最大值各为多少？（）

解析：设A、B初速度分别为、，二者上升的最大高度分别为、，A、B上升到最高点所经历的时间依次为、。在最高点，有

将两式代入得，

由题意知

所以