不等式的典型例题解析

不等式的典型例题解析

【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．

【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

解：(1)原不等式可化为

x(2x+5)(x-3)＞0

顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．

(2)原不等式等价于

(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．

【例2】解下列不等式：

变形

解：(1)原不等式等价于

用“区间法”

∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．

用“区间法”

【例3】解下列不等式：

【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性．

解：(1)原不等式等价于

(2)原不等式等价于

∴原不等式解集为｛x|x≥5｝．

(3)原不等式等价于

【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)．

原不等式化为

t2-2t-3＜0(t≥0)解得0≤t＜3

【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便．

【例4】解下列不等式：

解：(1)原不等式等价于

令2x=t(t＞0)，则原不等式可化为

(2)原不等式等价于

∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)．

【说明】解对数不等式需注意各真数必为正数．在利用对数性质

价性，否则会出现增解或漏解．

【例5】解不等式|x2-4|＜x+2．

【分析】解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用

解：原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2．

故原不等式解集为(1，3)．

这是解含绝对值不等式常用方法．

【例6】解下列不等式：

换底公式先化为同底对数．不等式(2)中先解绝对值不等式，再解无理不等式．解：(1)原不等式等价于

log2(2x-1)〔-log2(2x-1)〕＞-2

令log2(2x-1)=t，则上述不等式变为t(-1-t)＞-2

即 t2+t-2＜0．

解之，得 -2＜t＜1，从而-2＜log2(2x-1)＜1．

【例7】解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)＜1．

【分析】题目中未知数出现在底数部分，就必须对底数大于零还是位于零与1之间进行讨论．

解：原不等式等价于

【说明】当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论．

【例8】解关于x不等式a2x+1＜ax+2+ax-2，其中a＞0且a≠1．

【分析】题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式．对于底数a分a＞1或0＜a ＜1两种情况讨论．

解：原不等式等价于

(a x)2-(a2+a-2)a x+1＜0

(*)

当a＞1时，a2＞a-2，于是(*)式得

a-2＜a x＜a2，即-2＜x＜2．

当0＜a＜1时，a-2＞a2，于是(*)式得

a2＜a x＜a-2，即-2＜x＜2．

综上所述，原不等式解集为(-2，2)．

【说明】本题在化成关于ax的二次不等式后，解题关键是利用a2·a-2=1进行因式分解．

【例9】设a＞0；a≠1解关于x的不等式x log a x＜a3x2．

【分析】这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”．在两边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对a进行讨论后再取对数．

解：当a＞1时，原不等式两边取对数，得

当0＜a＜1时，原不等式等价于

①(1)当a＞1时，①式等价于

②

(2)当0＜a＜1时，②等价于

③