直线与圆的位置PPT课件
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
直线和圆的位置关系 -PPT课件
A
Bl
特点：直线和圆有_____的公共点， 叫做直线和圆_____
这时的直线叫_____，
唯一的公共点叫_____。 特点：直线和圆_____公共点，
叫做直线和圆_____。
.O
.
l
切点 A
.O l
用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分
2．直线和圆的位置关系
O
dr
—— 数量特征
l 直线 l 和⊙O相交
24.2.2.直线与圆的位置关系(1)
复习提问：
1、在白板上拖动点A说明点和圆的位置关系有 几种？在用数量关系判别一下点和圆的位置关 系？
.A
微课展示： 一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点：直线和圆有_____公共点，
叫直线和圆_____， 这时的直线叫做圆的_____。
.O
..
B
4
C3
A
练习二
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
(1)当 r 满足______时，⊙C与直线AB相离。
(2)当 r 满足_____ 时，⊙C与直线AB相切。 B
(3)当r 满足_____ _时，⊙C与直线AB相交。 (4)当r满足____时,⊙C与线段AB只有 一个公共 点.
x2 9x 20 0 的两个根，则直线m与⊙O的位置
关系是
。
若d，r是方程 x2 4x a 0 的两个根，且直线m
与⊙O的位置关系是相切，则a的值是 。
再见
B
A
O
小结：本节课里，你学到了哪 些知识，它们是如何应用的？
说说收获
直线与圆的 位置关系
直线与圆的位置关系PPT课件
o
r
d
l
r
o
o r
l
d
l
d
d>r d=r d<r
直线L和O相离 直线L和O相切 直线L和O相交
这个定理逆 命题成立吗？
归纳
直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
直线与圆的位 置关系
公 共 点 个 数 公 共 点 名 称 直 称 线 名
2
1 切点0ຫໍສະໝຸດ 割线切线图 形
圆心到直线距离 d与半径r的关系
B
13
d= cm
12 C 5
D
A
课堂练习
一、选择
1、设⊙O的半径为r,直线a 、b 、c分别与⊙O相切、 相交 、相离，它们到圆心O的距离分别为d1、d2、d3, 则有（ ） C
A d1>r=d2>d3 C d2<d1=r<d3
B d1=r<d2<d3 D d1=r>d2>d3
2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的 距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D ）
d<r
d=r
d>r
练习： 已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距 离为: （1）d =4.5cm 时，直线与圆的位置关系是 相交 ，有 两 个交点； ______ （2）d =6.5cm时，直线与圆的位置关系是 相切 ，有 一 个交点； _______ （3）d =8cm时， 直线与圆的位置关系是 相离 ，有 0 个交点。 _______
A、相交
B、相切 C、相离
D、相切或相交
二、正△ABC中,以△ABC的重心G为圆心, 使⊙G与三角形三边 都相切,且边长为6,则半径r=
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
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思考4:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点，如何求过点 M的圆的切线方程？
y
M
o
x
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
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题型 三:直线和圆的相切问题
例5、由点A（-2,4）作圆C：x2+y2=2的切线，求此切线的方程。 解： 设切线的斜 k，率 则为 过 A的 点切线方程为 y4k(x2).
3.直线和圆没有公共点时,叫做 直线和圆相离.
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
探究二：直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心到直线的距离d如何表示？直线与圆的位置关系 与距离d和半径r的大小关系是怎么一一对应的？
1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
角三角形，由勾股定理来解决弦长问题．
(2)解答本题时易出现漏掉x＋4＝0的错误结果，导致这
种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不
透，从而思维不严密，分类不完整.
（3）
弦长公式：设直线 l：y＝kx＋b，与圆 两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入 圆的方程，消元后利用韦达定理得弦长
练一练：例
l＝
1＋k2 |x1 － x2| ＝
2及变式用
弦长公式怎 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
么解答？
§4.直线与圆的位置关系PPT完美课件
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四、圆的切线问题：
思考1:圆的切线有什么性质？
切线与圆只有一个交点；圆心与切点连线与切线垂直；
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程，如何通过代数方法，
研究直线与圆的位置关系？
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，
体现了直线和圆的哪些位置关系？
相交
相切
相离
探究交流
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离；
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长：
①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
第18讲直线与圆的位置关系复习课件(共41张PPT)
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(－5， 0)，
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
全效优等生
图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
全效优等生
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
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直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
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图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
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【答案】
2 55 5
弦长的求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元 二次方程.在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长 公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长 l＝2 r2－d2 . 提醒：代数法计算量较大，我们一般选用几何法.
例 1．已知直线 l：x－y＋4＝0 与圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝2， 则 C 上各点到 l 距离的最小值为__________．
直线与圆的位置关系
【本节要求】
1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置 关系． 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 4.会用数形结合思想解决数学问题.
直线与圆的位置关系
近三年全国卷出现情况
1、2013年全国卷I第21题 2、2013年全国卷II第20题 3、2014年全国卷I第20题 4、2014年全国卷II第12题 5、2015年全国卷I第20题
答案：2 2
3.直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
【解析】选C.直线ax-y+2a=0⇒a(x+2)-y=0，即直线恒过点(-2，
0)，因为点(-2，0)在圆内，所以直线与圆相交.
四、【小结反思】
1、本节课我们复习了哪些内容？
直线与圆位置关系的判定 切线问题 弦长问题
解析：由数形结合可知：所求最小值为圆心到直线的距离减 圆的半径．由圆心 C(1,1)到直线 x－y＋4＝0 的距离 d＝|1－12＋4| ＝2 2，故最小值为 2 2－ 2＝ 2.
答案： 2
【例 1-2】 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 3,求直线 l 的方程.
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
【答案】 D
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组， 消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k. 提醒：若点M(x0，y0)在圆x2+y2=r2上，则过M点的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2.
2．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9 的切线，则 切线的方程为________．
【答案】 x＝－4
变式1、求经过P(4，4)与圆x2-4x+y2=0相切的直线方程.
y
P(4,4)
o O(2,0)
x
点在圆外，所
得切线有两条
y
P(1， 3 )
o x
点在圆上，所得切线 有一条
①判断P在圆上还是圆外 ②设切线方程 （注意讨论斜率不存在的情况） ③根据圆心到直线距离等于半径列等式： ④化简方程解出k
解:圆的方程可化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心(-2,6),半径长 r=4.
又直线 l 被圆截得的弦长为 4 3,
所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= 42-(2 3)2=2. 当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x=0,此时符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由|-2kk-26++15|=2,得 k=34, 此时 l 的方程为3x-y+5=0,即 3x-4y+20=0.
4
故所求直线方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.
随堂检测
1.(2013·天津卷)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相
切，且与直线 ax－y＋1＝0 垂直，则 a＝( )
A．－12
B．1
C．2
1 D.2
解析：本题考查直线与圆相切的性质以及两条直线的垂直关 系．
由题意知点 P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5 上，设切线的斜率为 k， 则 k·2－2 1＝－1，k＝－12，直线 ax－y＋1＝0 的斜率为 a，其与切 线垂直，∴－12a＝－1，a＝2，故选 C.
答案：C
2．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其 中最短弦的长为__________．
解析：本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转 化与化归思想．
点(3,1)在圆内，要使弦长最短，需圆心 C(2,2)与点 N(3,1)所 在直线与弦垂直，此时|CN|＝ 2，则弦长为 2 4－2＝2 2.
相交
相切
相离
(2)弦长公式 |AB|= 1 k2 |xA-xB|
1 k2 [xA xB 2 4xAxB ]
(3)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂 线上.
1．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
【知识梳理】
(1)直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
代 数 法
联立方程组消去x(或y)得一元 二次方程，计算Δ=b2-4ac
几 计算圆心到直线的距离d，比较
何 d与半径r的关系.相交时弦长为
法
2 r2－d2
依据 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d<r _d_=_r_ _d_>_r_
结论 _相__交__ _相__切__ _相__离__
变式2：已知x ,y 满足条件x2-4x+y2=0, 求 ，4)与圆x2-4x+y2=0相切的直线方程.
y
P(4，4)
y P(4,4)
o
点睛之 笔
变式2
x
同一知识 不同问法
o
x
O(2,0)
变式2
数形结合是解决几何问题的常用思想方法
3．若圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点，则实数
k 的取值范围为________．
【答案】 (－ 3， 3)
4．(2013·陕西高考)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】 B
5．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－ 3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．