人教版高中数学青年教师基本功考核试题(含答案)
高中数学基本功大赛试题
数学试题一．填空题（共14小题，每题2分，共28分） 1.《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过 程与方法、 。
2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、 、基本思想。
3.高中数学课程要求把数学探究、 的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。
4.数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题， 的过程。
5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求 解、 这五个能力。
6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导_ _、 实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。
7.数学是研究_________和________的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。
10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段 PQ 长度的最小值为 。
12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k 13. 设2=+b a ，0>b ，则当a = 时 ，ba a ||||21+取得最小值。
14.函数122-+=x x x y 的值域是 二．解答题（共6题，每题10分，共60分）15.在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．16.如图，正方形ABCD 的边长为4，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。
201410教师基本功比赛试题(笔试)及答案
2014年高中数学教师基本功比赛试题（笔试）用时：120分钟 满分：140分一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1．奇函数()f x 的定义域为R ．若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(7)(8)f f += ▲ ．1- 大纲文改编2．设a ，b ∈R ，222=+b a ，则ab 的取值范围是 ▲ ．]1,1[-随意编的题222||a b ab +≥ 3．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F ，2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则12cos AF F ∠= ▲ ．78大纲理改编 4．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(10)y x x =+-≤≤的极坐标方程为 ▲ ．1()sin cos 2πρθπθθ=≤≤-江西理改编5．已知||1a >，变量x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =-的最小值为5-，则a =▲ ．3-全Ⅰ文改编6．三棱锥P ABC -中，D ，E 为PB 的两个三等分点，F 为PC 的中点，记三棱锥E ADF -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ．16山东理改编7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为3，则该球的表面积为 ▲ ．16π大纲理改编8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ． (,2]-∞大纲理9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 所对边的长．若2a =，且(2)(s i n s i n )()b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ▲．理10．已知2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为 ▲ ．[1,0]-上海理改编11．菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若16AE AF ⋅=，则λ的值为 ▲ ．4天津文改编 12．已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上，1OA OB =-（O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ▲．二、解答题：本大题共5小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分16分）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围． 全Ⅰ文理小题解：当0a =时，()f x =231x -+，由图象易知不合题意． ……2分当0a ≠时，2'()36f x ax x =-23()ax x a=-． ……4分 当0a >时，()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，且(1)20f a -=--<，(0)10f =>，()f x 在(1,0)-存在零点，不合题意． ……8分 当0a <时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，(0)10f =>，(1)20f a =-<，故()f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x ； ……12分 又()f x 在2(,)a -∞上是减函数，在2(,0)a上是增函数， 为使()f x 在(,0)-∞上无零点，令2()0f a >得2281210a a-+>，解得2a <-． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围是(,2)-∞-． ……16分 解2：考察3()g x ax =，2()31h x x =-两个函数图象，当0a ≥时，由图象可知存在00x <使00()()g x h x =，不合题意； 当0a <时，由图象可知存在00x >使00()()g x h x =，此时只需当0x <时，3231ax x >-，即2331(0)x a x x-<<，可得2a <-． 或令1(0)t t x=<，应有33(0)a t t t <-+<，可得2a <-． 解3：因0x =不是原方程的解，可将原方程变为2331x a x -=， 存在唯一的解0x ，且00x >，由图象可得2a <-． 或令1(0)t t x=≠，应有33t t a -+=，存在唯一的解0x ，且00x >，可得2a <-． 14．（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），34tan =∠BCO ．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解法一：江苏高考题（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系．由条件知)60,0(A ，)0,170(C ， 直线BC 的斜率34tan -=∠-=BCO k BC．又因为BC AB ⊥，所以直线AB 的斜率43=AB k ． 设点B 的坐标为),(b a ， 则341700-=--=a b k BC ，43060=--=a b k AB ．解得80=a ，120=b ． 所以150)1200()80170(22=-+-=BC ．因此新桥BC 的长为150m ．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，d OM =m )600(≤≤d ． 由条件知，直线BC 的方程为)170(34--=x y ，即068034=-+y x ． 由于圆M 与直线BC 相切，故点),0(d M 到直线BC 的距离是r ， 即5368034|6803|22dd r -=+-=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二：（1）如图，廷长OA ，CB 交于点F ．因为34tan =∠FCO ，所以54sin =∠FCO ，53cos =∠FCO ． 因为OA =60，OC =170，所以3680tan =∠=FCO OC OF ，3850cos =∠=FCO OC CF ，从而3500=-=OA OF AF ．因为OC OA ⊥，所以54sin cos =∠=∠FCO AFB ．又因为BC AB ⊥，所以3400cos =∠=AFB AF BF ，从而150=-=BF CF BC ．因此新桥BC 的长为150m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连结MD ， 则BC MD ⊥，且MD 是圆M 的半径， 并设MD =r m ，OM =d m )600(≤≤d ． 因为OC OA ⊥，所以FCO CFO ∠=∠cos sin ． 故由（1）知533sin =-=-==∠d r OM OF MD MF MD CFO ，所以53680dr -=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大．15．（本小题满分16分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中． 浙江理小题（1）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =，比较1p ，2p 的大小；（2）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为i ξ，求i ξ的分布列及数学期望(1,2)i =． 解：（1）p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ）， ……2分p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋112m n m nC C C+×23＋C 2nC 2m ＋n ×13＝33()m n m n ++， ……4分则p 1－p 2＝06()nm n >+，于是12p p >． ……6分（2）1ξ的分布列为 ……9分（第18题）2ξ的分布列为 ……12分E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n， ……14分E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n ＝3m n m n++． ……16分16．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n ∈N *，且315S =．（1）求1S ，2S 的值及n S 的表达式； 广东文理合并改编 （2）求证：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<---．解：（1）由21234n n S na n n +=--得212()34n n n S n S S n n +=---， 整理得1213422n n n n S S n +++=+． ……2分 由315S =可得28S =，进而得13S =． ……4分 猜想一般结论为(2)n S n n =+(n ∈N *)． ……6分 利用数学归纳法可以证明：①当1n =时，13S =1(12)=⨯+，等式成立．②假设当n k =时等式成立，即(2)k S k k =+，那么，当1n k =+时，有212134(2)43(1)[(1)2]22k k k S k k k k k k k +++=++=++=+++． 这就是说当1n k =+时，等式也成立．由①②两步可知，对任意n ∈N *总有(2)n S n n =+． ……10分 或：204153323-+=+=a a S a ，73=a ．于是72822122-+=+==a a S a S ，52=a ．31=S ． 猜想21n a n =+(n ∈N *)．由21234n n S na n n +=--，得)1(4)1(3)1(221-----=-n n a n S n n （2≥n ），相减得16)12(21++-=+n a n na n n （2≥n ）． 再利用数学归纳法证明：21n a n =+(n ∈N *)．31=a ，52=a ，成立．假设当)2(≥=k k n 时成立，…也可以验证16)12(21++-=+n a n na n n 对n ∈N *成立， 假设当∈=k k n (N *)时成立，…（2）由（1）易得21n a n =+(n ∈N *)． ……12分k ∈N *，22242(33)(1)0k k k k k k k k +-+=-=-≥，224233k k k k ∴+≥+，221111111()(1)2(21)314233k k a a k k k k k k k k ∴==≤=--++++． ……14分∴1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+---1111111111()(1)312231313n n n ≤-+-+⋅⋅⋅+-=-<++． ∴原不等式成立． ……16分或：3161)1(111<=-a a ．当2≥n 时，对k ∈N *， 因为)121121(21)12)(12(1)12(21)1(1+--=+-<+=-k k k k k k a a k k ，所以)1(1)1(1)1(12211-++-+-n n a a a a a a )121121(21)7151(21)5131(2161+--++-+-+<n n 31)12(2131)12131(2161<+-=+-+=n n ． 17．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2224x y +=．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥． 北京文理揉合并改编 （1）求线段AB 长度的最小值；（2）试判断是否存在常数λ使得||||||OA OB AB λ=成立，并证明你的结论． 解：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-． ……2分（1）因为220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=2200284(04)2x x x ++<≤． ……6分因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为 ……8分（2）当0x t =时，220t y -=，代入椭圆C的方程得t =，故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d = ……10分 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 点O 到直线AB的距离d =． ……12分又220024x y +=，02y t x =-，故d ==22168|4|20204020=+++xx x x x ．综上，点O 到直线AB的距离d =． 因为在Rt AOB ∆中，||||||AB d OB OA =， 所以存在常数2=λ使得||||||AB OB OA λ=成立． ……16分。
高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题
高中数学专业素养1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家笛卡尔和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的叠加函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这五个能力。
5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、掌握三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、情感、态度和价值观。
1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为。
2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a =．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________． 4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为频率第4图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．（Ⅰ）4π=A （5分） （Ⅱ）θπθθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 42),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+ MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+=（7分） (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,故有14,23a =∴=故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅（8分） 1、(,1),(2,)-∞+∞2、1 3、[3，9]4、360 5、5 6、)2ln 1(22+ 1.数学是研究__现实世界_________和____数量关系_______的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数学试卷与评分参考
江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数 学 试 题本试卷共4页，21小题，满分150分。
闭卷笔答，答卷用时120分钟． 参考公式：⒈锥体的体积Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ⒉线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}R x x x x M ∈=+= , 02|2，{}R x x x x N ∈=-= , 02|2，则=N M A ．{}0 B ．{}2 , 0 C ．{}0 , 2- D ．{}2 , 0 , 2- 2．在平面直角坐标系中，已知点)3 , 2(A 、)2 , 1(B 、)5 , 2(-C ，则 A ．2π=∠A B ．2π=∠B C ．2π=∠C D ．以上都不对 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人 数如右表，已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是19.0．现用 分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则 应在三年级抽取的学生人数为A ．24B ．18C ．16D ．124．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1010=S ，4020=S ，则=30S A ．70 B ．80 C ．90 D ．100 5．某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成 等比数列，则该双曲线的离心率是A ．35B ．45C ．34D ．215+6．执行右面的程序框图，如果输入的]3 , 1[-∈t ， 则输出的s 属于A ．]3 , 3[-B ．]4 , 3[-C ．]3 , 4[-D ．]5 , 2[-A 7．若函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点1x 、2x ，且11)(x x f =，则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是 A ．6B ．5C ．4D ．38．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀ , ，都有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的。
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=log2(x2−4x+5))，则该函数的定义域为：A.(x<2)B.(x>2)C. 全体实数D.(x≠2)2、已知向量(a⃗=(3,4))，(b⃗⃗=(−1,2))，若(c⃗=a⃗−2b⃗⃗)，则(|c⃗|)（即(c⃗)的模）等于：A. 5B. 7C.(√29)D.(√53)3、在以下函数中，定义域为全体实数的是（）A.(f(x)=√x−1))B.(g(x)=1x2C.(ℎ(x)=log2(x+3))+√x+1)D.(j(x)=1x−14、在等差数列({a n})中，若首项(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 21B. 19C. 17D. 155、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则函数在区间[-2, 2]上的最大值为：A、1B、3C、5D、不存在6、若矩阵(A)经过有限次初等行变换可化为矩阵(B)，下列叙述正确的是：A、(A)与(B)的秩不一定相等。
B、(A)与(B)的行列式值相同。
C、若(A)可逆，则(B)也可逆。
D、(A)与(B)相似。
7、在下列数学概念中，属于集合概念的是：A. 方程B. 函数C. 点D. 三角形8、函数y=lg(2x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (0, 1)D. (1, 2)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念，请详细解释函数的概念，并举例说明函数在实际生活中的应用。
第二题请结合高中数学课程标准，谈谈如何有效地进行高中数学概念的教学设计。
第三题题目：请简述函数的奇偶性，并举例说明。
如何利用函数的奇偶性简化某些积分问题？第四题请结合高中数学教学实际，阐述如何利用“问题情境”激发学生学习高中数学的兴趣。
第五题请结合高中数学教学实际，谈谈如何有效地进行数学课堂导入，提高学生的学习兴趣。
高中数学教招试题及答案
高中数学教招试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为（）A. a_n = 3n - 2B. a_n = 3n + 1C. a_n = 3n - 1D. a_n = 3n答案：A3. 若cosθ=1/3，则sinθ的值为（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. -√6/3答案：C4. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (0, 1)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，该圆的半径为_________。
答案：2√52. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为_________。
答案：6x^2-6x+43. 集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A的元素个数为_________。
答案：24. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, k)，若a与b垂直，则k的值为_________。
答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，求证：f(x)在x=2处取得极值。
证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
计算f''(x)=6x-6，代入x=2，得到f''(2)=6，说明f(x)在x=2处取得极小值。
因此，f(x)在x=2处取得极值。
2. 已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=2，b=3，c=√7，求三角形ABC的面积。
解：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，因此C=π/3。
利用正弦定理，有S=1/2ab*sinC=1/2*2*3*√3/2=3√3/2。
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分 当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=． 所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分 设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分 因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分 方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65． 方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211． 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分 由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。
高中数学教师应聘考核试题(附答案解析).doc
高中应聘考核试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给岀的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1・若复数（/—3Q + 2） + （Q -1）7是纯虚数，则实数Q 的值为（）C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人,则不同分配方案共有（）A. 336B. 306C. 258D. 2964. 执行右边的程序框图，若P = 0.8,则输出的“二（）力.3 5.4 C.5 D.62.“兀>1”是“丄vl”的（)A.充要条件B.必要而不充分条件 A A5.2 C.1 或2D.-\5.函数尸=型（0<^< 1）的图象的大致形状是（）1^16.将函数y=sin（2x+（p）（0<（p<7u）的图象沿x轴向右平移三个单位后，得到的图象关8丁丁轴对称，则卩的一个可能的值为（）D.7若卜+日的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式X项的系数为8.给出下列命题:① 函数/任）=绎沖 的定义域是（-3,1 ）;Vl-2r② 在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是丄“2③ 如果数据X1、X2、…、x n 的平均值为X,方差为S 2，则3X I +5、3X2+5、…、3Xn+5的方差为9S 2；④ 直线ax —y +2a = Q 与圆x 2 +y 2= 9相交； 其中真命题个数是 （）A. 1B. 2 C ・ 3D ・ 49. 已知点M 是AABC 的重心，若A=60°f AB AC = 3f 则|而|的最小值为A. V3B. 41C.少D. 2310. 数列｛%｝满足q=2, %=仏二1,其前n 项积为7；则瞌4=（）% +1 _ A.- B. —丄C ・ 6D ・ 一66 611. 若抛物线y 2=2x 上两点A （xi, yi ）、B （X2, yi ）关于直线y 二x+b 对称，且yiy2=-l,则实数b 的值为（）（A ）— （B ）— （C ）— （D ）—2 2 2 212. 设奇函数/⑴在［T,l ］上是增函数，且_/（-1）=-1,当兀［—1,1］时，-2at+\对所有的炸［一1,1］恒成立，则/的取值范围是（・）A. &2 或/W —2 或 f=0 B ・ &2 或/W —2B. 7C. 14D. 28C . f>2 或 tv —2 或 r=0 D. —2EW2第II卷二•填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的指定位置）13. __________________________________________________ 如下左图所示，曲线y=x2-l及x轴围成图形的面积S为___________________________ ・14. 如上右图，己知四棱锥的底面是边长为Q 的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为迈7则它的外接球的半径为 _________x>0 °15•设变量x,丿满足约束条件：2兀+川3则"十+尸的最大值为 _____________ .x + 2y>316. 对于数列｛如｝,定义数列｛a n+-a n ｝为数列｛如｝的“差数列”,若Q 】=2, ｛如的“差数列”的通项公式为2",则数列⑺”｝的前〃项和S”= ________ .三、解答题：（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）• • •17. （本小题满分12分）在厶ABC 中，角4，B,C 的对边分别为a,b ，c ,且方vc, V^7 = 2bsin/ • （ I ）求角B 的大小；（II ）若a = 2, b = * ,求c 边的长和△MC 的面积y \ O亍-\18.（木小题满分12分）某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司中报，总公司有I、II、III三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为丄、22 2兰、兰.只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万的3 3投资.⑴求甲项目能立项的概率；（2）设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X,求X的概率分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E 是棱AB上的动点.（I ）求证：DA】丄ED［；（II）若直线DA|与平面CED］成角为45。
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。
1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。
完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。
2023年下半年教师资格证考试《高中数学》题(含答案)
2023年下半年教师资格证考试《高中数学》题（含答案）一、单项选择题。
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1极限的值是（）。
A、-1B、0C、1D、22在平面直角坐标系中，圆围成的面积可以用定积分表示为（）。
A、B、C、D、3平面x=2与双曲面的交线是（）。
A、两条直线B、椭圆C、抛物线D、双曲线4已知向量a=(1,2,1)，b=(t,3,0)，c=(2,t,1)线性相关，则t的取值是（）。
A、-3或-1B、-3或1C、-1或3D、1或35矩阵是可逆矩阵，E是二阶单位矩阵，则下列叙述不正确的是（）。
A、行列式B、a=c=0C、向量与向量线性无关D、存在N，使得MN=E6若同一样本空间中的随机事件A，B满足P(A)+P(B)=1.2，则下列叙述一定正确的是（）。
A、P(A)=P(B)=0.6B、A与B相互独立C、D、A与B互不相容7贯穿普通高中数学课程内容的四条主线之一是（）。
A、三角函数B、几何与代数C、频率与概率D、应用统计8南北朝科学家祖暅在实践基础上提出了体积计算原理“幂势既同，则积不容异”，这一原理也常常被称为祖暅原理，其中“幂”和“势”的含义分别是（）。
A、乘方、高B、乘方、宽C、面积、高D、面积、宽二、简答题。
本大题共5小题，每小题7分，共35分。
9已知实系齐次线性方程组有无穷多个解。
根据以上材料回答问题：（1）求k的值。
（3分）（2）求此时方程组的通解。
（4分）10在空间直角坐标系中，直线过点P(4,0,2)且与直线：垂直相交。
根据以上材料回答问题：（1）求两条直线的交点坐标。
（4分）（2）求直线的标准方程。
（3分）11某设备由甲、乙两名工人同时操作，两人的操作相互独立，每名工人出现操作失误的次数只能是0、1、2，对应的概率分别是0.7、0.2、0.1，将两名工人操作失误的总数记为X，若X2，则该设备不能正常工作。
根据以上材料回答问题：（1）求该设备正常工作的概率。
（3分）（2）求X的分布列与数学期望。
教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力试卷及答案指导
教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力自测试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、下列关于高等数学中极限概念的理解，正确的是（）。
A、极限是指当自变量趋向某个值时，函数值也趋向于一个确定的值。
B、极限是指当自变量趋向于无穷大时，函数值趋向于零。
C、极限是指当自变量趋向一个特定值时，函数值可能趋向于无穷大。
D、极限是指当自变量趋向无穷小时，函数值趋向于无穷大。
2、在解析几何中，对于直线方程y = 2x + 1，下列说法正确的是（）。
A、直线的斜率为-2，y轴截距为1。
B、直线的斜率为2，y轴截距为-1。
C、直线的斜率为2，y轴截距为1。
D、直线的斜率为-2，y轴截距为-1。
3、以下哪一项不属于数学教学的基本原则？A、启发性原则B、直观性原则C、简洁性原则D、量力性原则4、在几何证明的教学中，教师引导学生通过探究性学习来发现定理，这主要体现了哪种教学策略？A、讲授式教学B、探究式教学C、合作式教学D、演示式教学5、在概率论教学中，教师选择以下哪个实验来帮助学生理解“对立事件”的概念最为恰当？A、掷一枚硬币，观察正反面的概率B、掷一枚骰子，观察大于3和小于或等于3的概率C、随机安排学生为小组成员，观察小组中有男生和全部是女生的概率D、从一副扑克牌中抽一张，观察是红心和不是红心的概率6、在讲解函数的性质时，教师下列哪一实例最适合作为“奇函数”的概念例子？A、y = x^2B、y = 2^xC、y = log xD、y = -x)的周期是（）。
7、三角函数y=3sin(2x+π4A、π2B、πC、2πD、4π8、在一个尺寸为4×4的矩阵中，用行列式法求其行列式的值，如果第一行元素分别是1,2,3,4，第二行元素分别是−1,−2,−3,−4，第三行元素分别是2,1,0,−1，第四行元素是−3,4,1,1，那么该矩阵的行列式值是（）。
A、0B、24C、-24D、48二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题题目：请简述高中数学中导数的概念及其在数学中的应用，并举例说明在中学数学教学中应如何利用导数这一概念进行有效的教学。
高中教师备考基本功考核 数学试卷及解题分析
高中教师备考基本功考核试卷数 学(满分100分；考试用时120分钟)第Ⅰ卷 试题解答（53分）一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x A ，则AB =A ． )23,3(-- B ． )23,3(- C ． )23,1( D ．），（3232.从区间]1,0[随机抽取2n 个数n n y y y x x x ,...,,,,...,,2121构成n 个数对),()...,,(),,(2211n n y x y x y x ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 A ．m n 4 B ．m n 2 C ．n m 4 D ．nm 2 3．已知21,F F 是双曲线E : 12222=-b y a x 的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ,则E 的离心率为 A ．2 B ．23C ．3D ．24．设函数()x f '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，()()0<-'x f x f x ，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞5．在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上． 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．2B ．22C ．5D ．36. 若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ． 62ππ-=k x (k ∈Z ) B ． 62ππ+=k x (k ∈Z ) C ． 122ππ-=k x (k ∈Z ) D ． 122ππ+=k x (k ∈Z ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．7．设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为_______ . 8． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______ .9．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为_______ . 10．已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图象的交点为)(1,1y x ，),(22y x ，…，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(_______ .三、解答题：本大题共3小题，共23分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11．（本小题满分7分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求C B sin sin ；（2）若3,1cos cos 6==a C B ，求ABC ∆的周长.12．（本小题满分7分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [)1015， [)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 13．（本小题满分9分）已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++-，a ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x '是()f x 的导函数，且不等式()ln f x x x '≤恒成立，求a 的值．第Ⅱ卷 试题解析（47分）四、试题解析：第14题 、第15题要求分析试题的解题思路和方法．第16题要求分析试题的难点、考查意图、设计特点.14．（本小题满分16分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求点M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积.14.解：（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4.设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--. 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.（2）由（1）可知点M 的轨迹是以点(1,3)N 为圆心，2为半径的圆.由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，所以l 的方程为1833y x =-+. 又||||22OM OP ==，O 到l 的距离为，510410|8|=-=d , 50`4)5104()22(22||2222=-=-=d OP PM ， 所以516||21=d PM ,即POM ∆的面积为165. 15．（本小题满分16分）设函数2()mxf x ex mx =+-.（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围. 15.解：（1）()(1)2mx f x m e x '=-+.若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<； 当(0,)x ∈+∞时，10mxe-≥，()0f x '>.若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><； 当(0,)x ∈+∞时，10mxe-<，()0f x '>.所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.（2）由（1）知，对任意的,()m f x 在]0,1[-单调递减，在[0,1]单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意1212,[1,1],|()()|1x x f x f x e ∈--≤-的充要条件是(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,mm e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩① 设函数()1t g t e t e =--+，则()1tg t e '=-.当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>， 故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤. 当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1me m e ->-； 当1m <-时，()0g m ->，即1me m e -+>-.综上，m 的取值范围是]1,1[-.16．（本题满分为15分）如图，在以点F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，90AFD ∠=，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60． （1）证明：EFDC ABEF 平面平面⊥； （2）求二面角A BC E --的余弦值．16.解：（1）由已知可得，DF AF ⊥，EF AF ⊥，所以EFDC AF 平面⊥． 又ABEF AF 平面⊂，故EFDC ABEF 平面平面⊥．（2）过点D 作EF DG ⊥，垂足为点G ，由（1）知ABEF DG 平面⊥． 以点G 为坐标原点， GF ，GD 的方向分别作为x 轴、z 轴的正方向， ||GF 为单位长度，建立如图所示的 空间直角坐标系xyz G -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，学校 姓名 序号…………密……………………封……………………装……………………订…………………线………………故60=∠DFE ，则2||=DF ， 3||=DG ， 4||=FA .所以)0,4,1(A ，)0,4,3(-B ，)0,0,3(-E ，)3,0,0(D ． 由已知，EF AB //，所以EFDC AB 平面//． 又DC EFDC ABCD =平面平面 ，故CD AB //，EF CD //．由AF BE //，得EFDC BE 平面⊥，故CEF ∠为二面角F BE C --的平面角，所以60=∠CEF ．从而可得)3,0,2(-C ． 所以)3,0,1(=EC ， )0,4,0(=EB ，)3,4,3(--=AC ，)0,0,4(-=AB ．设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EB n EC n ,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取()3,0,3n =-． 设m 是平面ABCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AB m AC m .同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-． 故二面角A BC E --的余弦值为21919-．高中教师备考基本功考核数学参考答案及评分细节第Ⅰ卷 试题解答（53分）一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1. D2. C3. A4. A5. D6. B二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．7. 64 8. 6. 9. 36π 10. m 三、解答题：本大题共3小题，共23分． 11. （本小题满分7分）解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A = .............1分由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A = ...........................2分故2sin sin 3B C = .........................................3分（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π= ..................................4分由题设得21sin 23sin a bc A A=，则8bc = ........................5分由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=.由此得33b c += ......................................6分故ABC ∆的周长为 333+....................................7分 12．(本小题满分7分）解：（1）由题意知，X 所有可能取值为200, 300, 500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===.因此X 的分布列为：X 200 300 500 P0.2 0.4 0.4................2 分（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，设进货量为n ，则只需考虑200n ≤≤500. ①当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25），则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-. 故n n n n Y E 4.06402.0)2800(4.0)21200(4.02)(-=⨯-+⨯-+⨯=..4分②当200300n ≤<时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-.故n n n Y E 2.11602.0)2800()4.04.0(2)(+=⨯-++⨯=. (6)分所以300=n 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.......7分13．（本小题满分9分）解:（1）2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=-++-=---，令()0f x '=，得121,x x a ==． ................................1分 （ⅰ）当1=a 时，()0f x '≤恒成立，当且仅当1x =时，()0f x '=，此时()f x 在R 上单调递减； ...............................2分（ⅱ）当1a >时，由()0f x '>，得1x a <<，由()0f x '<，得1x <或x a >，所以()f x 在（1，a ）单调递增，在（－∞，1）和（a ，+∞）单调递减； (3)分.（ⅲ）当1a <时，同理得()f x 在(,1)a 单调递增，在(,)a -∞和(1,)+∞单调递减． .........4分（2）法一：()ln f x x x '≤,即2ln (1)0x x x a x a +-++≥，可化为ln 10ax x a x++--≥，x >0． 令()ln 1a g x x x a x =++--，则22211)(x ax x x a x x g -+=-+='...5分（ⅰ） 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增． 又因为(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，故不满足题意． ..6分（ⅱ） 当0a >时，由()0g x '=，得20x x a +-=，此方程有唯一正根x 0，所以200a x x =+． （*） ...............7分 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x（0，0x ）0x（0x ，+∞）'()g x － 0 + ()g x单调递减极小值单调递增所以min 0000()()ln 1ag x g x x x a x ==++-- =220000000ln 1x x x x x x x +++---＝2000ln x x x -+，要使()0g x ≥对任意正数x 恒成立，须且只须g (x )min = ln x 0－x 02+x 0≥0． ① .........................8分 令2()ln u x x x x =-+，x >0，则1(1)(21)'()21x x u x x x x--+=-+=． 当x 变化时，(),()u x u x '的变化情况如下表：x（0，1）1 (1，+∞)'()u x + 0 － ()u x单调递增极大值单调递减得max ()(1)0u x u ==，即ln x 0－x 02+x 0≤0． ② 由①②得ln x 0－x 02+x 0＝0，所以01x = 结合（*）式得200a x x =+=2．综上，不等式()ln f x x x '≤对任意的正数x 恒成立时，2a =．. ....9分 法二：不等式()ln f x x x '≤可化为2ln (1)0x x x a x a +-++≥，0>x ． 令2()ln (1)g x x x x a x a =+-++，则(1)0g =． .. (5)分所以要使()0g x ≥对任意的正数x 恒成立，须且只须()g x 在1x =处取到最小值． ..........................6分因为()ln 2g x x x a '=+-，12ga '-（）＝， 令20a -=，得2a =． .... ..................................7分又2a =时，2()ln 32g x x x x x =+-+，()ln 22g x x x '=+-．因为()g x '在（0，+∞）单调递增，且(1)0g '=， 所以()g x '有唯一零点，且为1x =，所以()g x 在1x =处取到最小值，且最小值(1)0g =，即()0g x ≥．综上，不等式()ln f x x x '≤对任意的正数x 恒成立时，2a =．.............9分 第Ⅱ卷 试题解析（47分）四、试题解析：第14题 、第15题要求分析试题的解题思路和方法．第16题要求分析试题的难点、考查意图、设计特点.14．（本小题满分16分）简明清晰正确分析试题的解题思路，中间结果及最终结论（答案）正确，满分10分，11 每增加一种正确解法另加2分，累加到16分为止．15．（本小题满分16分）简明清晰正确分析试题的解题思路，中间结果及最终结论（答案）正确，满分10分，每增加一种正确解法另加2分，累加到16分为止．16．（本小题满分15分）试题难点（满分5分）： ①理解空间点线面的位置关系；②确定二面角F BE C --的平面角；③证明EF CD //；④正确建立空间直角坐标系；⑤求点C 的坐标；⑥理解二面角与相应法向量所成角的关系；⑦正确运用向量数量积公式求二面角．考查意图（满分5分）： ①考查五面体、二面角及其平面角的概念，正方形的性质，线面平行与垂直的判定及性质定理，面面垂直及线线平行的判定，法向量的概念，向量数量积公式的运用等基础知识；②考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；③考查函数方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．设计特点（满分5分）：①试题以一个面为正方形的五面体为载体，通过问题的分层设计，由浅入深，给不同基础的考生提供想象的空间和展示的平台．②问题（1）的设计，侧重了对立体几何中线面、 面面垂直等基础知识的考查．解题思路明确，证明方法简单，使不同层次考生的水平都能得到发挥．③问题（2）的设计，在考查考生运算求解能力的同时，侧重了对空间想象能力、推理论证能力的考查．给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，提升了对考生数学能力和数学素养的考查．④试题设计简洁，设问明确，能准确把握相关几何元素的关系，把空间想象能力、推理论证能力等能力和向量运算、建立空间直角坐标系等知识较好地融入题中，使相关的知识和能力得到了有效的考查．（本答案仅给出要点，评分时视答题具体情况酌情给分）。
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.（）在高中数学课程中，函数是描述变量之间关系的重要工具。
A. 立方体B. 圆周率C. 三角形D. 数列2.在高中数学中，下列哪个定理说明了命题之间可能存在的关系？A. 欧拉公式B. 勾股定理C. 中位线定理D. 正弦定理3、在高中数学教学中，代数子集关系是重要的概念之一。
下列关于代数子集关系的表述，错误的是哪一项？A、集合A是集合B的子集，当且仅当集合A中的所有元素都在集合B中，且A和B可能有公共元素。
B、如果集合A是集合B的真子集，那么集合A中的所有元素都在集合B中，但集合B中至少存在一个元素不在集合A中。
C、集合A和集合B没有公共元素时，我们说集合A是集合B的完全子集。
D、集合A不是集合B的子集，当且仅当集合A中存在至少一个元素不在集合B中，或者集合A和集合B没有任何公共元素。
4、在高中数学的教学中，函数的概念是核心内容之一。
若定义两个函数f(x)和g(x)，且满足f(x) = g(x) + h(x)，其中h(x)是一个非零函数。
下列关于这三个函数的表述中，错误的是哪一项？A、如果h(x)是奇函数，那么f(x)和g(x)都是奇函数。
B、如果g(x)是一个偶函数，h(x)是一个奇函数，那么f(x)是偶函数。
C、如果h(x)是周期函数，那么f(x)和g(x)都是周期函数，且它们具有相同的周期。
D、如果h(x)是一个常函数（即h(x) = C，对于所有x，C是一个常数），那么f(x) = g(x) + C，且函数f(x)是g(x)的平移，而不是改变函数的性质。
5、设函数f(x)={x2+2x−3,x≤23x−1,x>2，则f(3)等于A. 0B.23C. 3D. 46、已知极轴上极点到椭圆焦点的距离为 2，椭圆上一点到两个焦点的距离之比为 3：1，则该椭圆的离心率为A.12B.23C.34D.437、下列哪个性质是数列发散的充分条件？A. 各项的雪花值超过1B. 存在删项后发散的子列C. 该物种在一段时期内有增长趋势D. 所有项均无法与其极限边界保持一致8、以下哪个选项是分段函数例子？A.(f(x)=x2)对于所有(x∈R)B.(f(x)={1,x=0 x−3,x≠0)C.(f(x)=1x)对于所有(x>0)D.(f(x)=sinx)对于所有(x∈R)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题题目：简述函数单调性的定义，并举例说明如何利用函数的单调性解决实际问题。
2017年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)
(
y0
4 x0 8 y0 2 (4 x0 2 4 x0 8) 2 2 4 y0 x0
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8 y0 2 4 x0 2 8 4(2 y0 2 x0 2 ) 8 4 2 8 y y0 2 0． 0 2 2 2 2 2 4 y0 x0 4 y0 x0 4 y0 x0
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．
所以 S OAB
当且仅当
x0 2 2 时， OAB 面积的最小值为 2 ． … 7 分 y0 2 ，即 x0 1, y0 2 2
（Ⅲ）①当 x0 0 时， P(0, 1) ． 当直线 l : y 1 时，易得 Q(1, 2) ，此时 kF2 P 1 ， kF2Q 1 ． 因为 k F2Q k F2 P ，所以三点 Q, P, F2 共线． 同理，当直线 l : y 1 时，三点 Q, P, F2 共线． ②当 x0 0 时，设点 Q(m, n) ，因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称，
3 1 < b6 ， 32 64 3 ． 64 3 ， ) ．…………………………………………10 分 64
0.3y，……………………1 分
∴ bn 的最大值是 b6
∴ 实数 k 的取值范围是 [
18. 解：（Ⅰ）随机变量 的可能取值为 0.6y，0， 随机变量 的分布列为
江门市2011年普通高中青年教师基本功比赛数学初赛试卷与评分参考
AD EF 江门市2011年普通高中青年教师基本功比赛初赛数 学 科 试 题本试卷共4页，21小题，满分150分。
答卷用时120分钟。
参考公式：独立性检验临界值表一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}21|<<-=x x A ，集合{}31|<<=x x B ，则=B A （必1P8例5） A ．{}21|<<x x B ．{}11|<<-x x C ．{}31|<<-x x D ．{}32|<<x x 2．i 是虚数单位，则=+-+)23)(23(i iA ．1B ．1-C ．5D ．5-（选2-2P111练习2） 3．已知0>a 且1≠a ，下列不等式恒成立的是A ．5.8log 4.3log 22<B ．7.2log 8.1log 3.03.0<C ．9.5log 1.5log a a <D ．9.5log 1.5log a a >（必1P72例8） 4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。
若211=a ，204=S ，则=6S A ．16 B ．24 C ．36 D ．48（2008广东理数2） 5．“41<m ”是“一元二次方程02=++m x x 有实数解”的（2010广东理数5） A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 6．如图1，ABC ∆是边长为1的正三角形，D 、E 、F 是各边 中点，将ABC ∆沿DE 、EF 、FA 折叠，使A 、B 、C 重合 为一点，得到一个正三棱锥，这个正三棱锥的体积=V A ．322 B ．962 C ．326 D ．966（必2P9A5）7．随机抽检某熟食10件，图2是其热含量的茎叶统计图。
则这10件熟食热含量的中位数和平均数分别是 A ．122和129 B ．124和129 C ．122和130 D ．124和1308．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶。
【免费下载】21南通市高中数学青年教师基本功大赛笔试0
南通市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）基础知识与解题能力测试卷（满分120分，考试时间90分钟）姓名单位得分第一部分基础知识（30分）一、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填在题后横线上．1．数学是中国古代科学中一门重要的学科．中国古代数学的发展取得了许多丰硕的成果．请写出我国古代数学著作（只要写出四本著作书名即可）：．2．我国古代，出现了许多著名的数学家，这些数学家为中国古代数学的发展做出了重要贡献．请写出四位古代数学家的名字：．3．数学思想是数学的灵魂．请写出一些常见的数学思想（只要写出四个）：．4．读书是学习方法中最基本的方法之一．科学的读书方法，有利学生掌握学习主动权，有利于学生获得终生受用的自学能力，养成认真读书和独立思考的习惯．指导学生阅读数学课本的至少有10种方法．请你写出其中的四种：．5．读书的操作技巧至少有15种，请你写出其中的四种：．6．根据心理学的理论和数学的特点，分析数学课堂学习，数学课堂学习应遵循以下原则（只要写出四条即可）：．二、简答题：共4小题，每小题3分，共12分．简要回答问题即可（特别要求的除外）．7．我们在数学教学中经常要涉及到勾股定理及其逆定理．请你写出：（1）勾股定理；（2）勾股定理的逆定理．8．教师在讲课前做短暂的讲话是必要的，它是组织教学的重要一环．它对于调动学生的学习动机，稳定学生的情绪，集中学生的注意力起着重要作用．它是使教学顺利进行的保证．教师在课前采用何种方式开头，才能达到组织教学的目的呢？请结合你的教学实践，写出几种方式（不少于3种）．9．数学归纳法是十分重要的数学方法．请你用数学归纳法证明：1+2+3+…+n =．1(1)2n n （要求写出具体的证明过程）10．“万事开头难”，解题也一样，面对一道数学题目，尤其是解那些变式或综合题，从何处入手找到解题思路的突破口，这是许多学生的一大苦衷．因此，教师要想学生所想，在解题教学中，突出解题思路入口寻找的指导，使学生在潜移默化中逐步学会寻找解题思路的一般方法，从而顺利地解题．请你结合教学实践，谈谈怎样寻找解题思路的入口？第二部分 解题能力（90分）三、教材基础：共2小题，每小题18分，共36分．解答应写出解题（证明）过程或演算步骤．11．按照苏教版高中数学课标教材的设计思路，用向量证明两角差的余弦公式。
江苏省东海县青年教师基本功比赛数学试题
数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.A={1，m}，B={1，4}，f ：2x x →是A 到B 的映射，则m 的值组成的集合为 . 2.已知2)(x x f y +=是奇函数，且2)1(=f ．若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 3.从甲、乙等5人中选出3人排成一行，则甲不在左侧排头的排法种数是(用数字作答) .4.在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到直线s in o s θθ=的距离是 .5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，若2a c =，2A C B +=，则A = .6.球面上有S ，A ，B ，C 四点，且SC =1，SA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，则球面面积为 .7.若非零向量a ，b 的夹角为45°，且|a |=1，|2a -b |=10，则|b |=________.8.设正数a ，b 满足22465a a b b ++=，则2a b +的最小值为 . 9.设α为锐角，若5c o s(30)3α+︒=，则sin (215)α+︒的值为 . 10.设2loglog-==y x ba，2=+b a ，则x y +的取值范围是 .11.过抛物线C ：x y22=的焦点F 的直线交C 于B A ,两点，若3||=AF ，则=||BF .12.过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交函数xy 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 . 13.设a∈R ，若当0x >时均有2(1)[(1)1]0a x x a x --+-≥成立，则a = .14.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点，那么当P A P B 取最小值时，点P 到圆心O 的距离为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（14分）请用两种方法推导两角差的余弦公式．16.（14分）（1）小船以定速直行，航线距灯塔L 的最近距离为600m （如图）．已知灯塔对小船现在的位置B 及小船航线与灯塔的最近点P 的张角80B L P ∠=︒，且该角正以0.6︒/min 的比率减小，求小船的速度；（单位：m /min ；参考数据：2104.2c o s 80π≈︒）（2）请编制一道类似于本题的导数应用题（不用解答）．L600m P B17.（14分）（1）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每一位同学最多有5次投篮机会，若投中3次就算达标，停止投篮；若投篮n （25n <<）次后，发现即使后面的（5n -）次投篮全中也不可能达标了（例如前3次都未投中的情形），则也停止投篮．同学甲投篮的命中率为23，且每一次投篮互不影响．设测试中甲投篮的次数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）请你简述一下本题的讲解关键及教学流程．18.（16分）已知数列{}n a 满足123...n n a a a a n a ++++=-（1,2,3...n =）． 令(2)(1)nn b n a =--（1,2,3...n =），如果存在n ∈N *，使得214n t t b -≤，试求实数t 的取值范围．19.（16分）已知椭圆C 的方程为22221x y ab+=(0)a b >>．（1）若过A (0,a )的直线l 与C 相切于点M ，l 交x 轴于点B ，且AM AB 4=，求C 的离心率；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y 为C 上两动点，且满足条件2212120a y y b x x +=，求P ，Q的中点M 的轨迹方程．20.（16分）设a 为非负实数，函数()||f x x x a a =--． （1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）讨论函数()y f x =的零点个数，并求出其零点．参考答案及评分标准一、填空题：1.{1,2,2}--2.2-3.484.125.2π6.π7.8.29.35010.),2(+∞ 11.53 12.)2,1( 13.1214.P A PB )1cos 2(||22-=αPA )1||||2(||222-=PO PA PA)1||1||2)(1|(|222---=PO PO PO=222||3 3.||P O P O +-≥-二、解答题：15.解法1：在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角,αβ，其终边分别与单位圆交于1(c o s ,s i n )P αα，2(c o s ,s in )P ββ，则12.P O P αβ∠=-……2分由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，只需考虑0αβπ≤-≤的情况. ……………3分设向量a =1(co s ,sin )O P αα=，b =(co s ,sin )ββ，则a b =|a ||b |co s()co s()αβαβ-=-. ……………5分 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a b =co s co s sin sin αβαβ+，所以c o s ()αβ-=c o s c o s s in s in αβαβ+. ……………7分PABO解法2：在直角坐标系x O y 中，单位圆O 与x 轴交于0P .以O x 轴为始边分别作角α，β，αβ-，其终边分别与单位圆交于1(c o s ,s in )P αα，2(c o s ,s in )P ββ，3(c o s (),s in ())P αβαβ--. …………3分22203||[co s()1]sin ()22co s()P P αβαβαβ=--+-=--，…………5分22212||(co s co s )(sin sin )22(co s co s sin sin )P P αβαβαβαβ=-+-=-+，所以c o s()αβ-=co s co s sin sin αβαβ+. ……………7分 16.解：（1）设B P s =（m ），B L Pθ∠=，则600tan s θ=， …….………2分ta n ()ta n 600s ttθθθθθ∆+∆-∆=∆∆∆. ……………4分当0t ∆→时，得2600''c o s t t s θθ=⨯. ……………6分又|'|(0.6)/m in 180t ra d πθ=⨯， ……………8分故小船的速度为26000.6180c o s 80π⨯︒≈208.4（m /min ）. .……………10分（2）编制一道类似于本题的导数应用题． ……………14分 17.解：（1）X 的取值应该是3，4，5． ……………2分3X =表示投篮3次，3次全中或全未中，故33211(3)()()333P X ==+=，…………4分 4X =表示投篮4次，前3次投篮投中2次，且第4次投中；或前3次投篮投中1次第4次未中，2213321212110(4)()()33333327P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=， ……………6分 5X =表示前4次投篮中两次投中两次未投中，2224218(5)()()3327P X C ===.………8分 所以X 的分布列为：()E X 178107345.3272727=⨯+⨯+⨯= (10)分（2）感性认识到理性认识；分类讨论；独立重复试验．也可以(4)1(3)(5)P X P X P X ==-=-=． ……………14分18.解：令1n =得111a a =-，故112a =. ……………2分由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①12311n n na a a a a n a+++++++=+-， ②②-①得121n n a a +-=，即111(1)2n n a a +-=-. ……………4分又1112a -=-，所以数列{1}na -是以12-为首项，以12为公比的等比数列.1111()22n n a --=-，11()2nn a =-. ……………6分由(2)(1)nn b n a =--可得22nnn b -=. ……………8分 1111223222n n n nn n n n b b ++++----=-=， ……………10分当3n <时，10n n b b +->；当3n >时，10n n b b +-<；3418b b ==，所以12345n b b b b b b <<=>>>>所以，对任意n ∈N *，有18nb ≤. …………14分如果存在n ∈N *，使得214n t t b -≤成立，则有21148t t -≤，解得1142t -≤≤，所以，实数t 的取值范围是11[,].42- …………16分19.解：（1）由题意可设切线l 的方程为a kx y +=，代入12222=+by ax 可得02)(2232222=+++ca kx a xb ka ， ………2分2222222222226)(0)(44bc c ak a b ka c a ka =-⇒=+-=∆22e k=⇒. ………4分设0(x M ,)0y ，则由上可知22230bka k a x +-=a k =-. ………6分又，，)0(ka B -00(,)A M x y a =-，(,)a A B a k=--，由AM AB 4=得04a x k-=4a k =-. ………8分故2214ke ==，于是1.2e =………10分（2）设P ，Q 的中点M 坐标为(,)x y ，则122x x x +=，122y y y +=.于是222112242x x x x x =++，222112242y y y y y =++. ………12分由条件2212120a y y b x x +=可得222222222222121244b x a y b x b x a y a y +=+++. ……14分因11(,)P x y ，22(,)Q x y 为C 上两动点，所以2211221x y ab+=，2222221x y ab+=，故有222222442b x a y a b +=，P ，Q 的中点M 的轨迹方程为22221.22x y ab+= ……16分20.解：（1）①当0a =时，()||f x x x =，显然是奇函数. ……………1分 ②当a ≠0时，(0)0f a =-≠，()y f x =不是奇函数.()f a a =-，()||f a a a a -=--，()()f a f a ≠-，()y f x =不是偶函数.即当a ≠0时，函数()y f x =不具有奇偶性. ……………3分 （2）①当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为0x =. ……………4分②当0a >时，()f x x x a a =--22,,,.x a x a x a x a x a x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩ ……………6分当x a ≥时，22()()24a af x x a =---，二次函数图象对称轴2a x a =<，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <； ……………8分当x a <时，22()()24a af x x a =--+-，二次函数图象对称轴2a x a =<，∴()f x 在(,)2a a 上单调递减，在(,)2a -∞上单调递增. ……………10分1当()02a f <，即04a <<时，函数()f x 图象与x 轴只有唯一交点，即有唯一零点.由20x a x a --=及x a ≥得()y f x =的零点为2a x +=； ……………12分2当()02af =，即4a =时，函数()f x 图象与x 轴有两个交点，即有两个零点，分别为12x =和222a x +==+ ……………14分3当()02af >，即4a >时，函数()f x 图象与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x a x a -+-=解得2a x ±=，∴函数()f x 的零点为2x =和2x =……………16分。