第四章导热问题数值解法基础传热学PPT课件
基础类传热学讲义PPT教学课件
导热机理
• 机理：发生导热时，物体各部分之间不发生宏 观相对位移。
• 对气体，导热是由于气体分子无规则热运动相 互碰撞引起。
• 对固体，导电体的导热由自由电子的运动引起， 而非导电固体则通过晶格的振动来传递热量。
多层壁
复合壁
通过单层平壁的导热
➢λ为常数，第一类边界条件 ➢λ为常数，第三类边界条件 ➢λ变化，第一类边界条件
λ为常数，第一类边界条件
➢无内热源，λ为常数，壁厚δ已 知。两个表面分别维持均匀而恒 定的温度t1、t2。
➢方程：d2t/d2x=0
t
t1 t2
➢定解条件：x=0，t=t1
0δ
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x=δ， t=t2
t tf1,h1
t1 t2
tf2,h2
➢方程：d2t/d2x=0
定解条件
➢导热问题完整的数学描述：
导热微分方程式 + 定解条件
➢定解条件：包括初始条件和边界条件
➢初始条件：τ=0 t(x,y,z,0)=f(x,y,z) ➢边界条件：指凡说明边界上过程进行的特点，反 映过程与与周围环境相互作用的条件；导热问题常 见的三类边界条件如下：已知与未知？？
➢第一类： τ＞0，tw=f1(τ) ；稳态？ ➢第二类： τ＞0，qw=-λ（υt/υn）w=f2(τ)；稳态？ ➢第三类： τ＞0， -λ（υt/υn）w =h（ tw - tf ）；稳态？
求解思路
➢思路：首先分析物理问题，在一定的简化假设条件
下，得到其数学描写(导热微分方程及定解条件)，然 后求解得到温度场。接着利用傅里叶定律进一步求解 通过物体界面的热流量或热流密度 。
传热学-学习课件-4-1 导热问题数值求解基本思想
有限差分法（FDM），主要介绍方法 有限元法（FEM） 边界元法（BEM）
传热学 Heat Transfer
三、数值解法的基本步骤
传热学 Heat Transfer
以一个二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的具体 过程，重点是节点离散方程的建立和代数方程组的迭代求解。
（1）物理问题 二维矩形域稳态无内热源，常物性的导热问题 y
传热学 Heat Transfer
4-1 导热问题数值求解的基本思想
一、数值解法的本质
数值解法是用物理问题所 涉及的空间和时间区域内有 限个离散点（称为节点）的 物理量近似值来代替物体内 实际连续的物理量分布，将 连续物理量分布函数的求解 问题转化为各节点物理量值 的求解问题。
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
主讲老师：王舫 适用专业：能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
第四章 热传导问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析 (2)实验 (3)数值计算
2 三种方法的特点 3 三种方法的基本求解过程
传热学heattransfer?本章教学内容41导热问题数值求解基本思想42内节点离散方程的建立43边界节点离散方程的建立及代数方程的求解44非稳态导热问题的数值解法传热学heattransfer41导热问题数值求解的基本思想一数值解法的本质数值解法是用物理问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点称为节点的物理量近似值来代替物体内实际连续的物理量分布将连续物理量分布函数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题
传热学 Heat Transfer
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
(完整PPT)传热学
(完整PPT)传热学contents •传热学基本概念与原理•导热现象与规律•对流换热原理及应用•辐射换热基础与特性•传热过程数值计算方法•传热学实验技术与设备•传热学在工程领域应用案例目录01传热学基本概念与原理03热辐射通过电磁波传递热量的方式，不需要介质，可在真空中传播。
01热传导物体内部或两个直接接触物体之间的热量传递，由温度梯度驱动。
02热对流流体中由于温度差异引起的热量传递，包括自然对流和强制对流。
热量传递方式传热过程及机理稳态传热系统内的温度分布不随时间变化，热量传递速率保持恒定。
非稳态传热系统内的温度分布随时间变化，热量传递速率也随时间变化。
传热机理包括导热、对流和辐射三种基本传热方式的单独作用或相互耦合作用。
生物医学工程研究生物体内的热量传递和温度调节机制，为医学诊断和治疗提供理论支持。
解决高速飞行时的高温问题，保证航空航天器的安全运行。
机械工程用于优化机械设备的散热设计，提高设备运行效率和可靠性。
能源工程用于提高能源利用效率和开发新能源技术，如太阳能、地热能等。
建筑工程在建筑设计中考虑保温、隔热和通风等因素，提高建筑能效。
传热学应用领域02导热现象与规律导热基本概念及定律导热定义物体内部或物体之间由于温度差异引起的热量传递现象。
热流密度单位时间内通过单位面积的热流量，表示热量传递的强度和方向。
热传导定律描述导热过程中热流密度与温度梯度之间关系的定律，即傅里叶定律。
导热系数影响因素材料性质不同材料的导热系数差异较大，如金属通常具有较高的导热系数，而绝缘材料则具有较低的导热系数。
温度温度对导热系数的影响因材料而异，一般情况下，随着温度的升高，导热系数会增加。
压力对于某些材料，如气体，压力的变化会对导热系数产生显著影响。
稳态与非稳态导热过程稳态导热物体内部各点温度不随时间变化而变化的导热过程。
在稳态导热过程中，热流密度和温度分布保持恒定。
非稳态导热物体内部各点温度随时间变化而变化的导热过程。
第五版传热学第四章
3.C＋＋ —— C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计 语言，数值计算软件主要使用的语言。
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
物理问题的数值求解过程
优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算 (k+1)Δ τ 时刻温度分布
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四节 常用算法语言和计算软件简介
一、常用算法语言
1.FORTRAN语言 ——Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。
2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合 起来的应用程序设计语言。
k k k k ti Fo ti 1 ti 1 1 2 Foti
优点——可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算(k+1)Δ τ 时刻温度分布 缺点——选择Δ x和 Δ τ 时必须满足稳定性条件 a a 1 或 1 2 0 2 2 x x 2
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
t 2t a x 2
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
传热学-4 导热问题数值解基础
hx
1 ti, j
ti1, j
ti, j1
x2 i, j
2
2hx
t
f
（c）内部角点
g
2
hx
3
ti,
j
2
ti1, j ti, j1
ti1, j
ti, j1
3x2 i, j
2
2hx
tf
三 节点差分方程的求解
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方 法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初 场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前 的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法， 称迭代计算收敛。
4-2 稳态导热问题的数值计算
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及 热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场 及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上 的结论。
4-2 稳态导热问题的数值计算
建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
j
y
y
x
x
i
I
除 i=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (i-1)j 个 节点均需建立离散方程，共有 (i-1)j 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。
4-2 稳态导热问题的数值计算
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各 项系数在整个求解过程中不再变化； 2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新； 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
传热学课件第四章非稳态导热
exp
hA
cV
hA
cV
h V
A
c
V
A2
hl
c
l2
hl
a
l2
BiV
FoV
0
e BiV FoV
exp
BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
在0~ 时间内物体和周围环境之间交换的热量
升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的 空气接触。这时紧挨高温表面那部分的温度
很快上升，而其余部分则仍保持初始温度t0， 如图中曲线HBD所示。随着时间的推移，经τ 1, τ 2，τ 3…平壁从左到右各部分的温度也依次 升高，从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐
渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地表示
• 二、Bi数对导热体温度分布的影响
•
Bi hL L / 的大小对非稳态导热过程中导
热体内的 温1度/ h 分布有重要的影响。
• 厚为2δ的平壁突然置于流体中冷却时 ，Bi数 不同壁中温度场的变化会出现三种情形 。
思考题: 试说明毕渥数的物理意义。 毕渥数趋于
零和毕渥数趋于无穷各代表什么样的换热条件？ 有人认为，毕渥数趋于零代表了绝热工况，你 是否赞同这一观点，为什么？
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点
相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1
i
i+1
A ti( k 1 ) ti(k )A ti( k 1 ) ti(k )c x A ti(k 1 ) ti(k )
x
x
整理，得：
x
x
ti(k 1 )[12 ( a x )2]ti(k)(a x)2[ti( k1 )ti( k1 )]
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x —第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性 条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2,3,...... 时刻各节点的温度，直到指定
例 如 t03 t1 3， 但 t0 4<t1 4。
i0 1 2 3 4 5 6 7
t
n
0
100 100 100 100 60
148 -109.6 550
1
100 100 100 80
104 19.2 220.2 -328.9
2
100 100 80
84
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数学基础：用差商代替微商（导数） 几何意义：用函数在某区域内的平均变化率代替函数
的真实变化率
差分格式：向后差分格式 、向前差分格式 、中心差分
格式
9
举例说明
图中用T0、T1、T2…表示连续 的温度场T；Δx为步长，它将区
T
a TT
Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰 文指出了促使数值传热学应用于实际应解决的 问题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除， 中国科技大学火灾实验室首先买进了使用权
具有一定精度
只能求解离散点上的温 度场，无法获得连续的 温度场
近似的方法
7
数值解法的基本思路
物理问题 数学描写（方程及边界条件，初始条件） 分析解
区域离散化或区域-时间离散化
建立节点离散方程（节点代数方程） 代数方程求解
问题的解及解的讨论
8
有限差分法的基本思想
基本思想：把原来在时间和空间坐标中连续变化的物
5
§4-2 导热问题数值解概述
分析解法与数值解法各自的优缺点 数值解法的基本思路 有限差分法的基本思想
6
分析解法与数值解法各自的优缺点
求解过程中的数学分析
分 较严谨
析 解
求解结果以函数形式表 示，能清楚地显示各种
数
因素对温度分布的影响 值
法 只能求解一些非常简单 解
的问题
法
可以求解许多复杂导热 问题，如多维、复杂边 界条件 、复杂几何形状 和物性不均匀的问题
dx
x
c为向前差分格式
d1TT(x11
T2
c T3
b
d
d为中心差分格式
d1T T(x1 x)T(x1 x)
dx
2 x
Δx0 Δx1Δx2 Δx3
x
对于二阶微商的差分格式
d2T1T(x1x)2T(x1)T(x1x)
d2x
(x)2
11
§4-3 建立离散方程的方法
区域与时间的离散化 建立离散方程的方法
第四章 导热问题的数值解法基础
§4-1 计算传热学的发展简史 §4-2 导热问题数值解概述 §4-2 建立离散方程的方法 §4-3 节点离散方程组的求解
1
§4-1 计算传热学的发展简史 萌芽阶段 开始走向工业应用阶段 近代发展
2
萌芽阶段（1965-1974年）
1933年英国科学家Thom应用手摇计算机 解 决了外掠圆柱流动的数值计算 始于1960年 1966年，世界上第一本介绍计算传热学的杂 志Jounal of Computational Physics创刊 1969年，Spadling 在英国帝国理工学院创建 了CHAM（Concentration Heat and Mass ,Limited) 1972年，SIMPLE算法问世
t i 1 ,j t i,j ( x t) i,j x ( x 2 t 2 ) i,j( 2 x ! ) 2 ( x 3 t 3 ) i,j( 3 x ! ) 3 • • •
2 t ( x2)i,j
ti 1 ,j2 tx i,2 j ti 1 ,j
o ( x2)
15
举例：常物性、无内热源二维稳态导热
2t x2
2t y2
0
ti 1 ,j2 ti,jti 1 ,j x2
ti,j 12 ty i,2 jti,j 10
16
建立离散方程的方法二：控制体热平衡法
控制体热平衡法建立节点方程的过程：
将能量守恒方程应用于控制体，建立该节点与周围节点 之间的能量平衡关系式，再利用傅立叶的导热定律，最 后获得控制体节点温度与周围节点温度之间的关系式
3
走向工业应用阶段（1975-1984年）
1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 和 Fundamentals
1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Numerical Integration Code Series)问世
12
区域与时间的离散化
y
1. 区域与时间的分割：
在所研究的时间和空间区域
内把时间和空间分割成为
有限大小的小区域
1. 步长和节点:
Δy
2. 节点控制体：以节点为
中心，在两个节点的中心
处划分界限，定出节点的 控制面积，对于三维情况 τ
则为控制体积或控制容积
N
W PE N
W P ES N
W E P S
K-1时刻
S Δx
K时刻 K+1时刻 x
13
建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开
泰勒级数：
t
2 t ( x ) 2 3 t ( x ) 3
ti 1 ,j ti,j ( x ) i,j x ( x 2 ) i,j
2 ! ( x 3 ) i,j
• • • 3 !
t i 1 ,j t i,j ( x t) i,j x ( x 2 t 2 ) i,j( 2 x ! ) 2 ( x 3 t 3 ) i,j( 3 x ! ) 3 • • •
域的x方向划分为有限个数的区 T 1 2
c T
域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们
0
3
可以相等，也可以不相等。当
Δx相等时，T1处的真实变化率a
b
d
可以用平均变化率b、c或d来表
示，其中b、c和d分别表示三种
不同差分格式下的温度随时间的
Δx0 Δx1Δx Δx3
2
x
变化率。
10
b为向后差分格式
d1TT(x1)T(x1x)
( x t)i,j
ti1,j ti,j x
o(x)
( x t)i,j
ti,j
ti1,j x
o(x)
t (x)i,j
ti1,j ti1,j 2x
o(x2)
14
ti 1 ,j ti,j ( x t) i,j x ( x 2 t 2 ) i,j( 2 x ! ) 2 ( x 3 t 3 ) i,j( 3 x ! ) 3 • • •
1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式(精度高和稳定性好 ）
1980年，Patanker教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版
随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
4
近代发展（1985年-至今）