因式分解最全方法归纳

因式分解最全方法归纳

一、因式分解的概念与原则

1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：

（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；

（2）结果最后只留下小括号；

（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；

（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；

（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；

（6）相同因式的乘积写成幂的形式；

（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。

3、因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；

（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

二、因式分解的方法

1、提取公因式

公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。

注意事项：

（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；

（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉；

（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。

例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab

解：原式=3ab (2a-3c+1 )

例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3

解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y)

总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

2、公式法

分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

平方差a2 –b 2 = (a+b ) (a– b )

完全平方(a±b )2 =a 2 +b 2 ±2ab (a+b+c ) 2 =a 2 +b 2

+2ab+2bc+2ca

立方差a3 –b 3 = (a– b ) (a 2 +b 2 +ab )

立方和a3 +b 3 = (a+b ) (a 2 +b 2 – ab )

三项立方和a3 +b 3 +c 3 – 3abc= ( a+b+c ) ( a 2 +b 2 +c 2 – ab–

bc– ac )

完全立方(a+b ) ³ =a³ +3ab² +3a² b+b³ (a-b) ³ =a³ +3ab² -3a² b-b³高次方和a n –bn =(a–b ) [ a ( n –1 ) +a ( n–2 ) b+……+b ( n–2 )

a+b ( n–1 )]

高次方差a m +bm =(a+b )[ a ( m–1 ) -a ( m–2 ) b+……-b (m–2 )

a+b ( m–1 )] ( m 为奇数)

部分公式的推导：

a 2 –

b 2 =a 2 +ab–ab–b2 = (a 2 +ab ) – (ab+b 2) =a( a+b ) –b (a+b ) =( a+b ) ( a–b )a3 +b 3 =a 3 +a 2 b-a 2 b+b 3 =a 2(a+b ) -b (a2 -b 2) =a2(a+b ) -b ( a+b ) ( a-b )=(a+b ) [ a2 -b ( a-b ) ] = ( a+b ) ( a 2 -ab+b 2)a3 -b 3 =a 3 -a 2 b+a 2 b-b 3 =a 2(a-b ) +b (a2 -b 2) =a2(a-b ) +b ( a+b ) ( a-b )= ( a-b ) [ a2 +b( a+b ) ]= ( a-b ) ( a 2 +ab+b 2) 例3、分解因式：x 6 -64y 6

解一：原式= (x 3 )2 – (8y 3)2 =(x 3 +8y 3) (x 3 –8y 3 )=( x+2y) (x 2

–2xy+4y 2 ) (x–2y) ( x 2 +2xy+4y 2 )

解二：x 6 -64y 6 =( x 2 )3 –(4y 2)3 =( x 2 –4y 2) ( x 4 +8x 2 y 2

+16y 4 –4x 2 y 2 )=( x+2y) (x–2y)[ (x 2 +4y 2 )2 –(2xy) 2]=( x+2y) (x–2y)( x 2 +2xy+4y 2 ) (x 2 –2xy+4y 2 )

注意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。

3、分组分解法

多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。

例4、分解因式：am+an–bm–bn

解：原式= (am+an ) – (bm+bn ) =a ( m+n ) –b ( m+n) = ( a– b )

( m+n )3

例5、分解因式：a 2 +b 2 –c 2 –2ab

解：原式= (a 2 –2ab+b2) –c 2 = (a–b )2 –c 2 = (a–b+c ) (a–b–c )

4、十字相乘法

（1）形如ax 2 +bx+c 的二次三项式，如果有mn=a，pq=c，且mq+np=b, 则可把该式分解为ax 2 +bx+c=(mx+p ) ( nx+q) 。

注意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ =b2 –4ac≥0，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。

例6、分解因式：3x 2 –11x+10

解：原式=( 3×1 ) x 2 + [ 1× (-5 ) +3× ( -2 ) ] x+(–2 ) × (–5 )=(x-2 ) ( 3x-5 )