正态分布随机数
正态分布的概率计算
正态分布的概率计算正态分布是统计学中最常用的分布之一，也被称为高斯分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都服从于正态分布。
例如，身高、体重、智力、成绩等等。
正态分布具有许多优良的性质，使得其在实际应用中得到广泛的应用。
本文将介绍正态分布的概念、性质、参数估计、假设检验以及在实际问题中的应用。
正态分布的概念正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$其中，$mu$ 是分布的均值，$sigma$ 是分布的标准差，$pi$ 是圆周率。
正态分布的图像呈钟形曲线，以均值为对称轴，标准差越小，曲线越尖锐。
正态分布的性质1. 正态分布的均值和标准差唯一确定了整个分布。
2. 正态分布的概率密度函数在均值处取得最大值，即$f(mu)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}$。
3. 正态分布的标准差越大，分布的形状越平坦，标准差越小，分布的形状越尖锐。
4. 正态分布的面积为1，即 $int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$。
5. 正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布的累积分布函数来表示，即 $F(x)=Phi(frac{x-mu}{sigma})$，其中，$Phi(z)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。
正态分布的参数估计在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计正态分布的参数，即均值和标准差。
下面介绍两种参数估计方法。
1. 极大似然估计假设我们有 $n$ 个来自正态分布 $N(mu,sigma^2)$ 的独立观测值 $x_1,x_2,cdots,x_n$。
它们的联合概率密度函数为：$$L(mu,sigma^2)=prod_{i=1}^{n}frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-fr ac{(x_i-mu)^2}{2sigma^2}}$$对 $L(mu,sigma^2)$ 取对数，得到对数似然函数：$$lnL(mu,sigma^2)=-frac{n}{2}ln(2pi)-nlnsigma-sum_{i=1}^{n}frac {(x_i-mu)^2}{2sigma^2}$$极大似然估计就是找到可以最大化对数似然函数的参数值。
产生正态分布随机数的matlab方法random
产生正态分布随机数的matlab方法random在Matlab中生成正态分布随机数有多种方法，下面将介绍其中几种常用的方法，并对它们进行全面评估。
1. 使用randn函数生成正态分布随机数- randn函数是Matlab中用于生成符合标准正态分布的随机数的函数。
- 该方法的优点是简单易用，一行代码就可以生成所需的随机数序列。
- 但是，这种方法生成的随机数序列可能不够随机，存在一定的偏差。
2. 使用Box-Muller变换生成正态分布随机数- Box-Muller变换是一种经典的生成正态分布随机数的方法，通过均匀分布的随机数生成正态分布的随机数。
- 这种方法生成的随机数更加符合正态分布的特性，具有更好的随机性和分布性。
- 但是，实现Box-Muller变换需要一定的数学基础和编程技巧，相对复杂一些。
3. 使用truncated normal distribution生成截尾正态分布随机数- 有时候我们需要生成一定范围内的正态分布随机数，这时可以使用truncated normal distribution方法。
- 这种方法可以有效地控制生成的随机数范围，使其符合实际应用需要的要求。
- 但是，对于一些特殊情况，需要考虑truncated normal distribution生成的随机数是否符合实际问题的分布需求。
总结回顾：在Matlab中生成正态分布随机数有多种方法，每种方法都有各自的优点和局限性。
根据实际需求，选择合适的方法是非常重要的。
在编写程序时，需要根据具体情况综合考虑随机性、分布性和实际应用需求，选择最合适的方法来生成正态分布随机数。
个人观点和理解：在实际编程中，生成符合实际需求的随机数是非常重要的。
对于正态分布随机数的生成，需要考虑到数据的随机性和分布特性，才能更好地应用于实际问题中。
也要注意选择合适的方法，并在实际应用中进行验证和调整，以确保生成的随机数符合实际需求。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它具有许多重要的统计特性，如均值、标准差和形态等。
正态分布随机数生成算法
正态分布随机数生成算法正态分布（也称为高斯分布）是统计学中非常重要的概率分布之一、生成服从正态分布的随机数是许多应用程序和模型的基本要求之一、下面将介绍几种常见的正态分布随机数生成算法。
1. Box-Muller算法：Box-Muller算法是最常见的生成服从标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机数的方法之一、它的基本思想是利用两个独立的、均匀分布的随机数生成一个标准正态分布的随机数对。
具体步骤如下：-生成两个独立的、均匀分布在(0,1)区间的随机数u1和u2- 计算z1 = sqrt(-2 * ln(u1)) * cos(2 * pi * u2)和z2 =sqrt(-2 * ln(u1)) * sin(2 * pi * u2)两个服从标准正态分布的随机数。
2. Marsaglia极坐标法：Marsaglia极坐标法也是一种生成服从标准正态分布随机数的方法。
它基于极坐标系的性质，即生成的随机数对所对应的点的距离（模长）服从Rayleigh分布，方向（角度）均匀分布。
具体步骤如下：-生成两个独立的、均匀分布在(-1,1)区间的随机数u1和u2-计算s=u1^2+u2^2，如果s>=1，则重新生成u1和u2- 计算f = sqrt(-2 * ln(s) / s)和z1 = f * u1，z2 = f * u2即为两个服从标准正态分布的随机数。
3. Box-Muller/Box-Muller Transformation组合方法：此方法是将两种算法结合起来，先用Box-Muller算法生成两个服从标准正态分布的随机数，然后进行线性变换得到多种均值和标准差的正态分布随机数。
4. Ziggurat算法：Ziggurat算法是一种近似生成服从标准正态分布随机数的算法，它基于分段线性逼近的思想。
Ziggurat算法将正态分布的概率密度函数拆分成多个长方形和一个截尾尾巴（tail）部分。
具体步骤如下：- 初始化一个包含n个长方形的Ziggurat结构，每个长方形包括一个x坐标、一个y坐标、一个面积。
对数正态分布随机数
如果想产生服从平均值为m和方差为v的对数正态分布，
先转换u = log((m^2)/sqrt(v+m^2))，σ= sqrt(log(v/(m^2)+1));
转换后再用X=lognrnd（u，σ，t1，t2）即可产生服从平均值为m和方差为v的对数正态分布，这里t1，t2控制维数，比如X=lognrnd（u，σ，1，100）即产生100个数，X=lognrnd（u，σ，2，t2）可以二维你自己试试
我知道log10（x）~N（1.3241，0.2^2）
但是作积分时需要用到x，我想要得到用蒙特卡洛法抽取随机数得到x的随机数怎么做？
如果就按照正态分布，先得到y=log10（x）的随机数，y=normrnd（1.3241，0.2,1,n）,再x=10.^y对么？或者直接用对数函数x=lognrnd（mu，sigma，1，n），这里的mu是1.3241么？
这个题必须转化一下，
)2
2.0,
3241
.1(
N
~^
10
10ln
ln
log x
x
=
，必须转化成ln (x),
现在假设ln(x）~N（mu，sigma），则x=lognrnd（mu，sigma，1，n）服从平均值为m和方差为v的对
数正态分布，这里
)1
)
)(ex p(
2
ex p(
,),
ex p(2
2
2
-
+
=
+
=σ
σ
σμ
μv
m
，
也可以直接调用matlab函数[m,v]= lognstat(mu,sigma)求解对数正态分布的平均值m和方差v。
产生正态分布随机数及M序列
1. 编制两种方法产生正态分布随机数的程序并进行验证分析； 编程思路：产生正态分布随机数的两种方法：（1） 统计近似抽样法：a.设{i y }是（0,1）均匀分布的随机数序列，则{}1()0.5y i i i i E y y p y dy μ===⎰1220()()1/12y i y i i y p y dy σμ=-=⎰b.根据中心极限定理，当N →∞时，112()2()~(0,1)/12NNi yi i i yNy k N y x k N N N μσ==--==∑∑c.如需产生均值为x μ，方差为2x σ的正态分布随机变量x ，只需如下计算：212~(,)/12Ni i x x x x N y x N N μσμσ=-=+∑，试验证明12N =时，x 的统计性质就比较理想了。
（2） 变换抽样法：设12,y y 是两个相互独立的（0,1）均匀分布的随机变量，则新变量1/21121/2212(2log )cos(2)(2log )sin(2)x y y x y y ππ⎧=-⎨=-⎩ 是相互独立的，服从(0,1)N 分布的随机变量。
利用统计近似抽样法和变换抽样法的定义及之前产生（0,1）均匀分布的随机数的基本方法如乘同余法、混合同余法等产生正态分布随机数。
调试过程遇到的问题：（1）在用统计近似抽样法产生正态分布随机数时，给定,μσ，然后用Matlab 自带函数检验结果，感觉数据老对不上？解决方法：自己设定的,μσ分别是均值，标准差，利用Matlab 自带函数mean(),var()计算出来的分别是均值，方差，总觉得方差老对不上，其实是自己理解问题，var()计算出来的方差数值肯定是自己设定的标准差的平方大小左右。
（2）Matlab 下标从1开始；做运算两个矩阵的尺寸大小得对应上，还有调用的值一定得有值。
程序运行结果分析得到的结论：（1）统计近似抽样法：50010001500200025003000350040004500-50510统计近似抽样法（1）-4-202468050100150200 050100150200250300350-4-20246统计近似抽样法（2）-3-2-101234567010203040统计近似抽样法中要用产生的（0,1）序列的12个数的和，但具体哪12个，不太清楚，图（1）是：z(1)用的是x(1)~x(12),z(2)用的是x(2)~x(13),以此类推。
正态分布随机数的生成
正态分布随机数的⽣成正态分布随机数的⽣成与π的估计学院：数学学院专业：统计学班级: 06班姓名：⽩杨学号：10130605赵俊鹏 10130607尹鹏 101306101⽬录:（⼀）正态分布随机数的⽣成⽅法： (2)（1）逆变换法 (2)（2）筛选法 (2)（3）极坐标法 (4)（4）中⼼极限定理逼近法 (5)（⼆）圆周率π值的估计： (8)（1）蒙特卡洛⽅法 (8)（2）蒲丰投针法 (11)（3）积分法 (13)（4）条件期望法 (13)（5）对偶变量法 (14)（6）控制变量法 (15)（7）分层抽样法 (16)（⼀）正态分布随机数的⽣成⽅法：（1）逆变换法：function binonorm1() ticU=unifrnd(0,1); X=norminv(U); toc end>>binonorm1()时间已过 0.008417 秒。
-3-2-10123-3-2-1123Standard Normal QuantilesQ u a n t i l e s o f I n p u t S a m p l e100次模拟下的QQ 图（2）筛选法为⽣成标准正态随机变量Z ，注意到其绝对值Z 的概率密度函数为∞<<=-x e x f x 0,22)(2/2π⾸先利⽤筛选法⽣成具有上述密度函数的随机变量，密度g(x)采⽤均值为1的指数密度，即 ∞<<=-x e x g x 0,)(此时2/2/2)()(x x e x g x f -=π且其最⼤值在使得2/x 2x -达到最⼤值处取得。
由微分法可知最⼤值点为x=1.于是，取π/2)1()1()()(maxe gf xg x f c === 由于， }2)1(exp{}212exp{)()(22--=--=x x x x cg x f故⽣成Z 的算法如下：步骤1：⽣成参数为1的指数随机变量Y; 步骤2：⽣成⼀个(0,1)上的均匀分布随机数U ；步骤3：如果U<=exp{-(Y-1)^2/2},则令X=Y.否则转⾄步骤1.function binonorm2()ticY = exprnd(1); U = unifrnd(0,1);while (U>exp(-(Y-1)^2/2)) Y = exprnd(1); U = unifrnd(0,1); end X = Y; toc end>>binonorm2()时间已过 0.007354 秒。
matlab正态分布的随机整数
matlab正态分布的随机整数摘要：1.MATLAB 简介2.正态分布的概念3.MATLAB 生成正态分布的随机整数4.应用实例正文：1.MATLAB 简介MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，它提供了强大的矩阵计算能力和各种数学函数，使得用户可以方便地进行科学计算和数据分析。
在MATLAB 中，用户可以通过命令窗口或脚本方式进行编程，以解决各种实际问题。
2.正态分布的概念正态分布，又称为高斯分布，是一种常见的概率分布。
它具有一个对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）和标准差（σ）决定了曲线的位置和形状。
正态分布的概率密度函数（pdf）可以表示为：f(x) = (1 / (√(2π)σ)) * exp(-(x-μ) / 2σ)3.MATLAB 生成正态分布的随机整数在MATLAB 中，可以使用random 函数生成正态分布的随机整数。
具体做法是：```matlab% 设定正态分布的参数mu = 0; % 均值sigma = 1; % 标准差% 生成正态分布的随机数random_number = randn(1, 10); % 生成10 个随机数% 对随机数进行向下取整，得到整数integer_random_number = floor(random_number);```上述代码首先设定了正态分布的均值和标准差，然后使用randn 函数生成一个10 个元素的正态分布随机数矩阵。
接着使用floor 函数将随机数矩阵中的每个元素向下取整，得到10 个正态分布的随机整数。
4.应用实例假设我们要模拟一个考试成绩的分布情况，已知该成绩符合正态分布，均值为80，标准差为10。
我们可以使用MATLAB 生成100 个随机整数，来模拟这个分布情况。
蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数
《蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数》一、引言“蒙特卡罗法”这一词汇，源自于蒙特卡罗赌场，是一种通过随机抽样和统计模拟来解决问题的方法。
而生成服从正态分布的随机数，是在数理统计、金融工程、风险管理等领域中常常遇到的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，从而可以更深入地理解这一方法并应用于实际问题中。
二、蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗法是一种基于随机抽样的方法，通过对概率模型进行模拟实验来获取近似解。
对于生成服从正态分布的随机数，我们可以利用蒙特卡罗法来模拟正态分布的概率密度函数，从而得到符合正态分布的随机数。
在生成正态分布的随机数时，我们可以采用以下步骤：1. 生成服从均匀分布的随机数2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布三、蒙特卡罗法生成正态分布的随机数的具体步骤1. 生成服从均匀分布的随机数我们可以利用随机数发生器生成服从均匀分布的随机数。
均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1，x∈[0,1]。
我们可以生成若干个0到1之间的随机数作为初始值。
2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数利用反函数法，我们可以将服从均匀分布的随机数转化为服从正态分布的随机数。
正态分布的累积分布函数为Φ(x) = ∫(-∞,x) (1/√(2π) * exp(-t^2/2)dt，而其反函数可以通过查表或近似计算得到。
利用反函数法，我们可以将生成的均匀分布的随机数通过正态分布的反函数转化为符合正态分布的随机数。
3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布在生成的随机数不符合所需的正态分布时，我们可以不断地调整参数、增加模拟实验的次数，直至得到符合所需的正态分布的随机数。
四、总结与回顾通过蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，我们可以发现这一方法的灵活性和强大性。
在EXCEL表中产生正态分布随机数
在excel产生正态分布的随机数,并图示其概率分布-追忆似水年华-搜狐博客
如果用Matlab就为简单些,normrnd+normpdf就可实现;但是考虑到excel的普及性,所以采用excel来解决：
1、产生符合正态分布的随机数：输入“＝
NORMINVRAND,mean,standard_dav”,mean是均值,standard_dav是标准方差;
2、下拉的方式产生需要数目的随机数,全选,复制,再右键点“选择性粘贴”,选“数值”这样做的目的是为了将公式形式去掉,不然它会再次产生新的随机数,而你被蒙在鼓里,然后排序;
3、另起一栏,输入“＝NORMDISTX,mean,stardard_dav,false”,X是刚才你输入的随机数所在位置,产生概率后,下拉,得到你需要的全部随机数对应的概率,然后就可以作出我们熟悉的正态分布曲线了。
正态分布随机数
正态分布随机数正态分布随机数是指符合正态分布的随机变量，也叫正态分布随机变量。
它是一种特殊的概率分布，也可以称为钟形曲线或正太分布。
它在自然科学、金融投资等领域中都有着广泛的应用。
它的概率密度函数如下：f（x）= 1/√2πσexp（-x^2/2σ^2），其中μ表示均值，σ表示标准差，x表示随机变量的取值。
正态分布随机数的概率分布图如下：正态分布随机数的特征在于它的概率分布函数的形式上，沿着X轴呈现出高原之形，被称为正态分布曲线。
它的概率分布函数居中，逐渐向正无穷方向和负无穷方向的峰值降低，因此曲线的表面积总是1。
概率密度函数：正态分布随机数的概率密度函数是均值μ处处峰值，以μ-σ和μ+σ为两条边界，朝中间变小至0，而不断延伸到正无穷和负无穷处。
最大值为1/√2πσ，常被称为正态分布的概率密度函数区间。
均值期望：正态分布随机数的期望值为μ，即概率密度函数的最大值处。
正态分布的均值期望也是均值。
方差：正态分布随机数的方差为σ^2，即概率密度函数的幅度的平方，其定义为常数σ的平方。
微分准则：正态分布随机数的概率密度函数满足微分准则，即假设X~N(μ，σ^2），E[X] = μ，则E[X^2] = μ^2 + σ^2。
高斯分布函数：正态分布也称为高斯分布，其概率密度函数f（x）= 1/√2πσexp（-x^2/2σ^2），即高斯分布函数，其均值期望的平方为μ^2+σ^2，其方差为σ^2。
总结：正态分布随机数是指符合正态分布的随机变量，其概率密度函数f（x）= 1/√2πσexp（-x^2/2σ^2），均值期望为μ，方差为σ^2，其图形呈钟形曲线，满足微分准则，还称为高斯分布函数。
matlab正态随机数
matlab正态随机数
在matlab中，可以使用 normrnd 函数生成正态分布的随机数。
该函数的语法如下：
r = normrnd(mu, sigma)
其中，mu 和 sigma 分别表示正态分布的均值和标准差，r 表示生成的随机数。
例如，要生成均值为 10，标准差为 2 的正态分布随机数，可以使用以下代码：
r = normrnd(10, 2);
生成的随机数 r 即为符合要求的正态分布随机数。
除了 normrnd 函数外，还可以使用 randn 函数生成标准正态分布的随机数。
标准正态分布的均值为 0，标准差为 1。
该函数的语法如下：
r = randn(n)
其中，n 表示要生成的随机数的个数。
例如，要生成 100 个标准正态分布的随机数，可以使用以下代码：
r = randn(100);
生成的随机数 r 即为符合要求的标准正态分布随机数。
- 1 -。
excel正态分布随机数
excel正态分布随机数正态分布随机数是统计抽样中常用的概率论算法，用它可以生成一系列随机数，其特点是遵循正态分布规律。
一、定义：正态分布随机数是指服从正态分布概率密度函数的随机变量，其标准正态分布概率密度函数形如：f(x)=(1/σ√2π)exp(-(x-μ)2/2σ^2)其中μ代表均值，σ代表标准差。
二、应用：1、模拟蒙特卡洛法蒙特卡罗法是采用正太分布的随机数来模拟复杂的系统的行为，以此获得可行的解答，用计算机来计算出一系列个体在指定的条件下的表现情况，以此来进行分析和研究。
2、期望收益率计算正态分布随机数常用于计算一定投资组合的期望收益率，通过把投资组合的不同资产回报率的分布图拟合成一个正态分布，找出均值和标准差，生成正态分布的随机数，计算投资组合收益率的分布。
3、实验设计优化实验设计分析应用正态分布随机数的一个重要场景就是对实验设计进行优化，首先要运用数学统计决定实验任务的参数，接着利用正态分布随机数生成实验任务，观察实验任务完成情况，并做出必要的优化调整，反复调整实现实验任务最佳优化。
三、优势：1、正态分布随机数对社会经济等具有广泛适应性，它能够在复杂的现实社会环境中模拟出一个比较真实的概率分布结果，比较符合客观实际；2、正态分布随机数的计算和提取都比较容易实现；3、可以实现更准确有效的随身和经济方面的决定；4、正态分布模型的灵巧性更好，有效避免反弹的情况。
四、缺点：1、正态分布随机数仅仅能够模拟最简单的概率场景，并不能模拟变化多样且不同类型的变量；2、正态分布随机数模型参数具有一定的敏感性，小的变动可能会引起较大的改变；3、在非常小的概率场景下，正态分布随机数的计算可能不太准确。
正态分布的随机数
正态分布的随机数⼀、功能产⽣正态分布N(µ,σ2)。
⼆、⽅法简介正态分布的概率密度函数为f(x)=1√2πσe−(x−µ)2/2σ2通常⽤N(µ,σ2)表⽰。
式中µ是均值，σ2是⽅差。
正态分布也称为⾼斯分布。
设r1,r2, ...,r n为（0，1）上n个相互独⽴的均匀分布的随机数，由于E(r i)=12，D(ri)=112，根据中⼼极限定理可知，当n充分⼤时x=12ni=1∑n r i−n2的分布近似正态分布N(0, 1)。
通常取n=12，此时有x=i=1∑12r i−6最后，再通过变换y=µ+σx，便可得到均值µ、⽅差为σ2的正态分布随机数y。
三、使⽤说明使⽤C语⾔编程⽣成正态分布函数N(0, 1)/************************************a ---给定区间下限b ---给定区间上限seed ---随机数种⼦************************************/#include "uniform.c"double gauss(double mean, double sigma, long int *s){int i;double x;double y;for(x = 0, i = 0; i < 12; i++){x += uniform(0.0, 1.0, s);}x = x - 6.0;y = mean + x * sigma;return(y);}uniform.c⽂件参见√() Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js。
正态分布随机数
数学模型：设连续型随机变量X 的高斯分布的概率密度为()22()2,x f x μσ-=-∞＜x ＜+∞ (3-1)其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X 服从参数为μ，σ的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X ～N （μ，2σ)。
均值和方差的计算见公式3-2和公式3-3所示，可得到正态分布随机变量X 的均值E(X)=μ和方差D(X)=2σ。
()()E X xf x dx +∞-∞=⎰(3-2)2()()D X x f x dx +∞-∞=⎰ (3-3)()()E X xf x dx +∞-∞=⎰22()2x dx μσ--+∞-∞=⎰令x t μσ-=，则22()()t E X t dt σμσ+∞--∞=+⋅⎰2222t tdt dt σμ+∞+∞---∞-∞=+⋅⎰⎰0μμ=+= 根据方差的定义可知： 2(){[()]}D XE X E X =-所以，2(){[()]}D X E X E X =-2()22()x x dt μσμ--+∞-∞=-⎰2222t t dt σσ+∞--∞=⋅⎰2222t t dt σ+∞--∞=⎰2σ=即知正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。
中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，服从同一分布，且具有相同的均值和方差:()k E X μ=，2()0(1,2,,)k D X k n σ=≠=⋅⋅⋅，则随机变量()nnnkk kn XE X Xn Y μ--==∑∑∑ (3-4)的分布函数()n F x 对于任意x 都满足22lim ()lim }nt kxn n n Xn F x P x dt μ→∞→∞-=≤=∑⎰(3-5) 即当n 趋向于无穷大时，随机变量n Y 近似的服从标准正态分布N(0，l)。
在实际应用中当。
大于等于30时，可以把1ni i Y X ==∑当作服从均值为n μ，方差为n 2σ的正态分布，那么变量'Y =近似服从标准正态分布N ～(0，l)。
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数学模型：
设连续型随机变量X 的高斯分布的概率密度为
(
)22
()2,x f x μσ-=
-∞＜x ＜+∞ (3-1)
其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X 服从参数为μ，σ的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X ～N （μ，2σ)。
均值和方差的计算见公式3-2和公式3-3所示，可得到正态分布随机变量X 的均值E(X)=μ和方差D(X)=2σ。
()()E X xf x dx +∞
-∞
=⎰
(3-2)
2()()D X x f x dx +∞
-∞
=⎰ (3-3)
()()E X xf x dx +∞
-∞
=⎰
22
()2x dx μσ--
+∞
-∞
=⎰
令
x t μ
σ
-=，则
2
2()()t E X t dt σμσ+∞
--∞
=+⋅⎰
2
2
22t t
dt dt σ
μ+∞
+∞---∞
-∞
=+⋅⎰
⎰
0μμ=+= 根据方差的定义可知： 2
(){[()]}
D X
E X E X =-
所以，2
(){[()]}D X E X E X =-
2()22()x x dt μσμ--
+∞
-∞
=
-⎰
2222
t t dt σσ+∞
--∞
=⋅⎰
2
22
2t t dt σ+∞
--∞
=⎰
2
σ=
即知正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。
中心极限定理：
设随机变量12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，服从同一分布，且具有相同的均值和方差:()k E X μ=，2()0(1,2,,)k D X k n σ=≠=⋅⋅⋅，则随机变量
()
n
n
n
k
k k
n X
E X X
n Y μ
--=
=
∑∑∑ (3-4)
的分布函数()n F x 对于任意x 都满足
2
2
lim ()lim }n
t k
x
n n n X
n F x P x dt μ
→∞
→∞
-=≤=∑⎰
(3-5) 即当n 趋向于无穷大时，随机变量n Y 近似的服从标准正态分布N(0，l)。
在实际应用中当。
大于等于30时，可以把1n
i i Y X ==∑当作服从均值为n μ，方差为n 2σ的
正态分布，那么变量'Y =
近似服从标准正态分布N ～(0，l)。
Box-Muller 变换法：
变换法是通过一个变换将一个分布的随机数变换成一个不同分布的随机数。
高斯分布的密度函数见公式3-1所示，通过Box-Muller 变换，它可以产生精确的正态分布的随机变量。
其变换式如下
:
1)y v π
(3-6) 2)y v π (3-7)
式中u ，v 是在区间[0，1]上服从均匀分布，且相互独立的随机变量，所以得到的随机变量1y ，2y 也应该是相互独立的，且服从N ～(0，1)的标准正态分布。
Box-Muller 变换的推导过程如下: 由公式3-6和公式3-7可得:
221212
2
1
,()2y y y u e
v arctg y π+-
==
(3-8)
因为1y ，2y 在区间（-∞，+∞）上是一一对应的，令22122
y y A e +-
=，对1y ，2y 求雅
可比式，得
:
22
2
2
1212
1
212
2222122
22
12
12
1
1
1122y y y y u u Ay Ay y y J e y y v v y y y y y y ππ+---∂∂∂∂=
=-==-∂∂++ (3-9) 由等式1212(,)(,)y y uv f y y Jf u v =，且已知变量u ，v 在区间[0，1]上服从均匀分布且相互独立，可得变量u ，v 的概率分布如公式3-10所示:
101,01
(,)0,>1,<0uv u v f u v u v u v ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
或 (3-10) 由公式3-9和公式3-10，以及变量另1y ，2y 相互独立，可得:
2
1
12111(),<<+2y y f y e y π
-=-∞∞ (3-11)
2222
221(),<<+2y y f y e y π
-
=
-∞∞ (3-12)
从公式3-11和公式3-12可知，变量1y ，2y 在区间（-∞，+∞）服从标准正态分布，即N ～(O ，l)。