抽象函数定义域快速理解.doc
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
抽象函数定义域快速理解
.
；.
抽象函数定义域的求法
抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。
抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性
强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策. 在人教版必修1的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
首先让学生明确两点：
①单独看某个函数，定义域一定是指单位x（自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。
②几个函数在一起，函数()Θ
=f
y与函数()Φ
=f
y（其中Φ
Θ，是关于x的表达式）中Φ
⇔
Θ，即括号内Φ
Θ，看作整体，它们的范围相同——相对情况。
1、函数f(x)的定义域为[a,b]是指谁的范围？
2、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]是指谁的范围？
3、函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(2x+1)中谁的范围是[a,b]？
4、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]，则函数f(x)的定义域为[a,b]对吗？
在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组：
1、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域；
2、已知函数f(3x-5)的定义域为[－1，5]，求f(x)的定义域；
3、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域；
4、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(-x)＋f(x2)的定义域；
5、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(1+m)+f(1-m)的定义域。
抽象函数定义域的类型和计算规则
抽象函数定义域的类型和计算规则
概述
抽象函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在定义抽象函数时，我们需要明确函数的定义域（输入的类型）和值域（输出的类型）以及计算规则。
本文将详细介绍抽象函数定
义域的类型和计算规则。
定义域的类型
抽象函数的定义域表示函数所能接受的输入的类型。
在数学中，定义域可以是实数、整数、有理数等具体的数集，也可以是更为抽
象的集合，例如线性空间、拓扑空间等。
定义域的类型取决于具体
的数学模型和问题，需要根据实际情况进行定义和限定。
计算规则
抽象函数的计算规则描述了函数如何根据输入的值来计算输出
的值。
计算规则可以是简单的算术运算，也可以是复杂的数学公式。
具体的计算规则取决于函数的定义和所解决的问题。
在计算抽象函数的值时，通常根据定义域的类型和计算规则进行相应的操作。
如果函数的定义域是数的集合，可以使用数学运算进行计算；如果函数的定义域是集合的元素，可以使用集合论中的运算进行计算。
总结
抽象函数的定义域的类型和计算规则是描述函数的重要方面。
合理定义抽象函数的类型和规则，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，从而应用于实际问题的解决中。
以上是抽象函数定义域的类型和计算规则的简要介绍。
根据具体的数学模型和问题，我们需要仔细定义和限定函数的定义域，并使用合适的计算规则进行函数值的计算。
抽象函数定义域、值域、解析式
抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。
人教版高中数学必修1--第三章 抽象函数或复合函数的定义域
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(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的 t，φ(x)，h(x)在对应关系 f
下的范围相同；
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第三章 函数的概念与性质
(4)已知 f(x)的定义域为 A，求 f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)
的范围(值域)为 A，求出 x 的取值范围； (5)已知 f(φ(x))的定义域为 B，求 f(x)的定义域，其实质是已知 f(φ(x))
的定义域． 解析：根据 f(x2－1)的定义域为{x|0≤x≤3}， 得 0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8. 故 f(x)的定义域为{x|－1≤x≤8}．
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第三章 函数的概念与性质
三、已知 f(g(x))的定义域，求 f(h(x))的定义域 定义域为_若_x_函_32_≤数_x_≤_f(_x4_＋__1_)_的．定义域为x－12≤x≤2 ，则函数 f(x－1)的
第三章 函数的概念与性质
解：由题意得00≤≤xx＋－mm≤≤11，. 即－ m≤mx≤≤x≤ 1＋1－ m.m， ∵－m<m，1－m<1＋m，而 m 与 1－m 的大小不确定，∴对 m 与
1－m 的大小讨论．
①若 m＝1－m，即 m＝12 ，则 x＝m＝12 ；
②若
m<1－m，即
1 m<2
பைடு நூலகம்，则 m≤x≤1－m；
解析：由题意知－12 ≤x≤2，则12 ≤x＋1≤3，即 f(x)的定义域为 x12≤x≤3 ，∴12 ≤x－1≤3，解得32 ≤x≤4.故 f(x－1)的定义域是 x32≤x≤4 .
抽象函数定义域的类型和求解方式
抽象函数定义域的类型和求解方式介绍抽象函数是数学中重要的概念之一，它描述了输入和输出之间的关系。
在定义抽象函数时，我们需要考虑函数的定义域和值域。
本文将介绍抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
抽象函数定义域的类型抽象函数的定义域可以分为有限定义域和无限定义域两种类型。
有限定义域有限定义域是指抽象函数的输入值集合是有限的。
在这种情况下，我们可以使用离散的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个集合中每个元素的身高，那么定义域就是该集合中的元素。
无限定义域无限定义域是指抽象函数的输入值集合是无限的。
在这种情况下，我们需要使用连续的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个物体的位置随时间的变化关系，那么定义域就是一个时间区间。
求解抽象函数的方式求解抽象函数是指根据函数的定义域和值域来确定函数的输入和输出之间的关系。
解析法解析法是一种常用的求解抽象函数的方式。
通过分析函数表达式，我们可以得到函数的解析形式。
例如，对于线性函数 f(x) = ax + b，我们可以通过解析法得到函数的斜率和截距，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
图像法图像法是一种直观的求解抽象函数的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的特点，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的开口方向和顶点位置。
数值法数值法是一种通过计算来求解抽象函数的方式。
通过选择一组特定的输入值，计算函数的输出值，我们可以得到函数的部分输入和输出关系。
例如，对于三角函数 sin(x)，我们可以选择不同的角度值，计算函数在这些角度下的值，从而得到函数的近似的输入和输出关系。
总结本文介绍了抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
通过了解抽象函数的定义域和值域，我们可以更好地理解抽象函数的输入和输出之间的关系，从而应用它们到实际问题中。
抽象函数的定义域课件
掌握抽象函数定义域的特性，如域的纯粹性、域的依赖性等。
抽象函数定义域的求法
学会如何根据函数的解析式和上下文信息，求出抽象函数的定义域。
对于抽象函数定义域的应用的展望
数学学科中的应用
了解抽象函数定义域在数学学科 中的应用，如代数、分析、拓扑等。
其他学科中的应用
探讨抽象函数定义域在其他学科中 的应用，如物理、例函数是指形如$y=cx$的函数，此时函数的定义域通常为全体实数。
03
确定根式函数的定义域
根式函数是指形如$y=√x$的函数，此时函数的定义域通常为非负实数。
抽象函数定义域的应用
在数学建模中的应用
数学建模中的抽象函数定义域通常用来描述变量 之间的函数关系，帮助我们更好地理解问题的本 质和规律。
之间的关系。
通过定义域，我们可以确定算法 的输入和输出范围，从而更好地
理解和设计算法。
此外，抽象函数定义域在算法设 计中还可以帮助我们更好地理解 算法的复杂度和效率，以及优化
算法的性能。
总结与展望
对于抽象函数定义域的理解和掌握
定义域的基本概念
了解定义域是什么，如何确定定义域，以及定义域在函数中的重 要性。
限制定义域在确定函数性质和 运算规则时具有重要作用。
抽象函数定义域的求法
根据函数的性质求定义域
01 确定性
函数中的映射关系应明确，不能含糊不清。
02 互异性
函数的定义域中的每一个元素，在函数的值域中 只能对应一个元素。
03 任意性
函数中的对应关系可以在定义域的任意子集上进行。
根据实际应用求定义域
抽象函数的特性
01 非具体性
抽象函数没有具体的解析表达式，不能通过解析 表达式来表达函数关系。
高三抽象函数知识点汇总
高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。
本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。
简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。
定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。
函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。
输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。
4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。
符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。
三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。
2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。
3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。
4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。
四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。
2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ） ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1，+∞ ； 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ；[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3]，则函数f(x)的定义域为[0，4] ；
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析：∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3， , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4， x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x )的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
解 ∵f(x)的定义域为[0,4]，
2
2
(1)有 0≤x ≤4，∴－2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[－2,2]． 0≤x＋1≤4， (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x－1≤4， 故 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2]，则函数f(log2x)的定义域为 解：∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2]， 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域．
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
高考抽象函数知识点
高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。
抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。
了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。
本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。
一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。
常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。
其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。
抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。
同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。
2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。
3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。
二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。
1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。
根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。
2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。
将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。
3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。
如何突破抽象函数求定义域
如何突破抽象函数求定义域宣威市第一中学王知涛在刚由初中升上高中的学生开始学函数的时候，会遇到求函数定义域的问题，有一类问题——抽象函数定义域问题。
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策. 在人教版必修1的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解。
我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
一、首先让学生明确两点：①单独看某个函数，定义域一定是指单位x（自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）。
②函数y=f(□) （其中“□”是关于x的表达式），函数y=f(□)的定义域指“□”中X的取值范围而y=f(□)中的“□”等价于y=f(x)中的X，把括号内的“□”看作一个整体，“□”的范围与“X”的范围相同。
所以y=(□)的定义域只需根据“□”所满足的条件求出“□”对应的X的范围即为函数y=(□)的定义域。
首先明确下列三个问题：1、函数f(x)的定义域为[a,b]是指谁的范围？2、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]是指谁的范围？3、函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(2x+1)中谁的范围是[a,b]？函数f(2x+1)的定义域为[a,b]，则函数f(x)的定义域为[a,b]对吗？二、抽象函数常见的四中题型1.已知)(x f 的定义域 (□=x)，求复合函数()][x g f （□=g(x)）的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f （□=g(x)）的定义域，求 )(x f (□=x)的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
抽象函数定义域
全力以赴，用拼的精神创造奇迹！
课后作业
1.设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(2x+1)的定义
域为________。
2.已知函数f(x2+2x+3)的定义域为(2,6)，则f(x)的定
义域为______。
3.已知函数f(x2+2x+3)的定义域为(2,6)，则f(3x-5)的
定义域为________。
4.设函数f(x)的定义域为[0,1]，求y=f(x+3)+f(x2+x-3)
定义域。
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如何判断抽象函数定义域
阜阳翰林院教育数学部
全力以赴，用拼的精神创造奇迹同学们来说具
有一定难度，特别是求其定义域时，许多
同学解答起来总感棘手。下面结合实例具
体的介绍一下求解抽象函数定义域问题的 四种题型及方法。
全力以赴，用拼的精神创造奇迹！
解：先求f(x)的定义域 因为f(x+1)的定义域是(0,2)，所以1<x+1<3 即f(x)的定义域是(1,3)，再求f(2x-1)定义域 因为1<2x-1<3，所以1<x<2
即f(2x-1)的定义域是(1,2)。
返回
全力以赴，用拼的精神创造奇迹！
解：由f(x)的定义域为(0,3)， 则必有0<x+1<3且0<x-1<3 解得1<x<2。
的定义域。
解析
（2）已知函数f(3x-5)的定义域为(0,2)，求函数f(x)
的定义域。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
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抽象函数定义域的求法
抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。
抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖 ,条件隐蔽 ,技巧性强,解法灵活 .由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策 . 在人教版必修 1 的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
首先让学生明确两点：
①单独看某个函数，定义域一定是指单位x （自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。
②几个函数在一起，函数y f与函数y f（其中，是关于x的表达式）中，即括号内，看作整体，它们的范围相同——相对情况。
1、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
2、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
3、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(2x+1) 中谁的范围是 [a,b]？
4、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(x) 的定义域为 [a,b]对吗？
在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组：
1、已知函数 f(x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
2、已知函数 f(3x-5) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(x) 的定义域；
3、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
4、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(-x) ＋f(x2)的定义域；
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