概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲
概率论常考题解析与讲解
概率论常考题解析与讲解在数学领域中，概率论是一门研究随机事件发生的可能性的学科。
它有着广泛的应用领域，并且在各个科学和工程领域中都扮演着重要角色。
概率论的研究对象包括基本概率模型、随机变量、概率分布等。
在学习概率论的过程中，经典概率、条件概率、随机变量及其概率分布、大数定律和中心极限定理等是常见的考题。
本文将对这些常考题进行解析与讲解。
一、经典概率经典概率是指当随机试验的样本空间为有限个元素时，利用计数原理进行概率计算的方法。
常见的经典概率问题包括：从一副扑克牌中抽取一张牌，求出抽到红桃的概率；从一个装有红、蓝、绿三种颜色球的袋子中抽取一颗球，求出抽到红球的概率等。
解答这类问题时，首先要确定样本空间和事件空间，然后利用计数原理计算出每个事件发生的可能性，并得出概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，样本空间为52张牌，事件空间为抽到红桃的牌，分析可知红桃有13张，因此红桃的概率是13/52=1/4。
二、条件概率条件概率是指在已知某事件发生的前提下，另外一个事件发生的概率。
条件概率的计算需要利用到贝叶斯定理或全概率公式。
常见的条件概率问题包括：在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，求抽到的是红桃的概率；某疾病在人群中的患病率是1%，一个新的检测方法能够准确地检测出病人患病的概率是99%，如果一个人被检测出患病，求他真正患病的概率等。
解答条件概率问题时，需要根据题目的描述利用贝叶斯定理或全概率公式计算条件概率。
例如，在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，事件A代表抽到红桃，根据条件概率的定义，所求的是P(A|B)，其中B代表抽到的是红心。
利用贝叶斯定理可得，P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)，其中P(A)=1/4，P(B|A)=12/51，P(B)=1/2。
代入计算可得，P(A|B)=1/2。
三、随机变量及其概率分布随机变量是指对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散型或连续型的。
概率分布是描述随机变量取值与其概率之间关系的函数。
概率论习题答案及答题范例
P( A) 1
202 212 22
242
311 1152
5
P59，习题34
6
(N 1)! 1
P( Ai )
N!
N
P( Ai Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN
P57，习题6
1Байду номын сангаас
P57，习题10
• 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只 白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两 球颜色相同的概率。
• 解：分别求出同取白、红、黑球的概率，再相加即可
P 3 10 7 6 15 9 207 25 25 25 25 25 25 625
15
P114，习题37
7
C7k 0.6k 0.47k 0.71
k 4
16
P115，习题41
P( A)
1
20 0!
e 2
5
0.484
P(B)
5 k3
C5k
1
20 0!
e 2
k
20 0!
e 2
5k
=0.98
17
P115，习题47
• 某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验人员从该 车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品， 能否据此断定该车间谎报合格率？
2
P58，习题13
• 从6双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概 率是多少？
• 解：
P C61C52C21C21 16
概率论练习题与解析
概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
概率论例题解析
P ( B | A)
P ( AB ) P ( B ) m 1 P ( A) P ( A) 2M m 1
(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格 品”。则
m M m M m 1 1 2 P (C ) M 2
例12 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽 车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。 如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概 率分别是1/4、1/3、1/12，而乘飞机不会迟到。 结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多 少？ 解: 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友 乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示 “朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 由贝叶斯公式，
(1) P ( Ak | A1 Ak 1 ) 1 1 n (k 1) n k 1
n1 n 2 1 1 n n1 n k 1 n
(2) P( Ak ) P( A1 Ak 1 Ak )
例10 某厂调进号码为1的箱子10个，号码为2 的箱子20个，其中号码为1的每个箱子有A等 品10件，B等品5件；号码为2的每个箱子有A 等品10件，B等品20件，现任取1个箱子并从 中任取1件物品，问取到A等品和B等品的概率 分别是多少？
例题解析
例1 写出下列实验的样本空间
（1）生产产品直到得到10件正品，记录生产产 品的总件数。
（2）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上 正品，不合格的盖上次品，如连续查出两个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检 查的结果。
答案：(1) {10,11,12,} (2) {00,100,0100 ,0101 ,0111 ,0110 ,1010 ,1011 ,1100 ,1101 ,1110 ,1111 }
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
概率论解题示例详解
概率论解题示例详解概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。
通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。
概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领域中都能看到它的身影。
本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。
示例一：抛硬币问题抛硬币是常见的概率论例题。
假设有一枚公平的硬币，正反两面出现的机会均等。
现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率是多少：1. 出现三次正面的概率2. 出现两次反面的概率3. 至少出现一次正面的概率解答：1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果，即正面和反面。
因此，出现三次正面的概率可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。
2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。
根据排列组合的原理，两次反面和一次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。
因此，出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。
3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的概率，然后用1减去该概率即可。
出现一次反面的概率可以表示为：(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。
因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。
示例二：生日悖论生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？解答：假设每个人的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。
我们可以通过计算每个人生日不相同的概率，然后用1减去该概率得到至少有两个人生日相同的概率。
第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个人的生日不能与第一个人相同，即概率为364/365。
第三个人的生日不能与前两个人相同，即概率为363/365。
《概率论与数理统计》习题及答案要点
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率与事件综合经典题(含详解答案)
概率与事件综合经典题(含详解答案)问题一：投色子小明和小王玩一个游戏，游戏规则为两个人轮流投掷一个均匀的六面色子，投到点数为6的人获胜。
若小明先投，请问小明获胜的概率是多少？解析：设小明获胜的概率为p，则小王获胜的概率为1-p。
若小明投到6，则小明获胜；若小明投到1、2、3、4、5，则轮到小王投掷。
所以小明获胜的概率为：p = 1/6 + (1-p) * 1/6 + (1-p)^2 * 1/6 + (1-p)^3 * 1/6 + ... ...化简得到：p = 1/7，即小明获胜的概率为1/7。
问题二：选球有10个编号为1到10的球，从中不放回地抽取3个，求编号之和为偶数的概率。
解析：球的编号之和为偶数有两种情况：1. 选出的三个球编号均为偶数。
2. 选出的三个球编号中有两个是奇数，一个是偶数。
情况1的概率为：C(5,3)/C(10,3) = 5/42。
情况2的概率为：C(5,2) * C(5,1)/C(10,3) = 10/42。
所以编号之和为偶数的概率为：5/42 + 10/42 = 5/21。
问题三：小球分组有10个编号为1到10的球，其中2个是红球，3个是黄球，5个是白球。
现从中任意抽取5个球，求其中恰好有3个白球的概率。
解析：从10个球中任意选出5个的组合数为：C(10,5) = 252。
从5个白球中任选出3个，从5个非白球中任选出2个的组合数为：C(5,3) * C(5,2) = 100。
所以恰好有3个白球的概率为：100/252 = 25/63。
概率论部分习题解答
Chap3证：由加法公式得到又P(E⋃F)≤1, 所以得证。
证：(a) 由于E=ES=E(F⋃F c)= (EF)⋃(EF c), 且(EF)(EF c)⊂ FF c=∅，所以由概率的可加性（第3条公理）得到P(E)=P(EF)+P(EF c)整理得到所需的公式。
(2) 由于P(E c F c)=P((E⋃F)c)=1-P(E⋃F), 根据加法公式得证。
解：(a) AB=∅, P(A⋃B)=P(A)+P(B)=0.5;(b) P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)(根据独立性)= P(A)+P(B)-P(A) P(B)=0.2+0.3-0.2*0.3=0.44;(c) 根据独立性，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)=0.024.(d) ABC=∅, P(ABC)=0.Chap4解：P(N1=1, N2=0)=P(次、次)=3/5*2/4=3/10;P(N1=1, N2=1)= P(次、正、次)=3/5*2/4*2/3=1/5;P(N1=1,N2=2)= P(次、正、正)=3/5*2/4*1/3=1/10;P(N1=2.N2=0)=P(正、次、次)=2/5*3/4*2/3=1/5;P(N1=2.N2=1)=P(正、次、正)=2/5*3/4*1/3=1/10;P(N1=3.N2=0)= P(正、正)=2/5*1/4=1/10;解：从而a=3/5, b=6/5.解：设一个学生成绩X, 根据马尔科夫不等式根据切比雪夫不等式设有n人参加考试，其中X i为第i个学生的成绩，它们相互独立，均值75, 方差25。
那么总成绩（注意：并不是nX）为，平均成绩那么根据切比雪夫不等式从而n 10.Chap5解：；P(X>12)=0.解：中奖数X~B(50, 0.01), 近似参数为50*0.01=0.5的泊松分布P(X≥1) =0.39；P(X=1)= 0.3；P(X≥2)= P(X≥1)- P(X=1)=0.09解：X~B(1000, 1/1000),用参数为1的泊松分布近似值1-e-1(1+1+1/2)=0.08证：令V=a+(b-a)U. 那么V在[a, b]上取值。
《概率论》数学3章课后习题详解
概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。
解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。
概率论例题讲解
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) 0.2 0 (2) P( B1 | A) 5 0 P( A) 0.5 P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
P( B2 | A) P( B3 | A) P( B4 | A) P( B5 | A)
解：设A " 任取一个硬币抛掷出现字面 "事件； Bi " 被选出的是第i个硬币" 事件 i=1,2,3,4,5 B1 B2 B3 B4 B5 P( Bi ) 1/ 5 P( A | Bi ) pi i=1,2,3,4,5 i=1,2,3,4,5
(1) 任取一个硬币抛掷出现字面的概率=P ( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) +P ( B4 ) P ( A | B4 ) P ( B5 ) P ( A | B5 ) 1 1 1 3 (0 1) 0.5 5 4 2 4
pqkpqekk??0kk?0kqkk?????111?pqppqqpqe?xxxxxkxk??kk??kk??k???????????????????????????????22211111111122211011221222122221122kkkk?k?k?kkkk?k?k?kkkkkke?kpqpqkkqpqkqqpqkkqpqkqpqkkqpxx?????????????????????????????????????????????????k???k???k??3222222322111221kkxxxxxqqqe?pqqpppd?e?e???????????????????2222222qqqqqppppp???????????十三习题55证明
概率论与数理统计典型例题与解析(期末考试与考研必备的超强资料)
概率论与数理统计典型例题分析（期末考试与考研必备）1.在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？(3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立．2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？ 解 由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+=== ()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？3.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题 怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示 利用事件的关系与运算导出．4.设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解 由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===5.某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解 设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 6.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解 这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P7.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析 这是一个条件概率问题．解 因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 8.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P9.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P 所以 ⋅=⨯=514154)(2A P10.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．11.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．12.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率． 答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或． 13.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？分析 本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式．解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有,16.04.04.0)()()()(2121=⨯===B P B P B B P A P于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即.026.53979.024.0lg 01.0lg ≈--==n 因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．14.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、⋅12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？ 解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：,103)(1=A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,52)(4=A P,41)|(1=A B P ,31)|(2=A B P ,121)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有⋅=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=203052121101315141103)|()()(41i i i A B P A P B P (2)由逆概率公式 ),4,3,2,1()|()()|()()|(41==∑=i A B P A P A B P A P B A P jj j i i i得到.0)|(,181)|(,94)|(,21)|(4321====B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．15.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P并且.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P同理)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P (B 2)＝0.44；P (B 3)＝0.21．利用全概率公式便得到)|()()(30i i i B C P B P C P ∑==＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的．练习：两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．16.某类电灯泡使用时数在1000 h 以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h 以后最多只坏一个的概率．解 这是一个n ＝3，p ＝0.8二项概型问题P 3(μ≤1)＝P (μ＝0)＋P (μ＝1)．17.袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率．解 方法1 设A ＝{恰有2个白球}，由古典概型，有310=n , 8232⨯⨯=m ，因此 ⋅⨯⨯=3210823)(A P 方法2 由二项概型，有⋅⨯⨯====321223310823)108()102()2()(C P A P μ18.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．分析 设A i ＝{第i 次取到白球}，根据古典概型，我们有⋅==104)(110141C C A P 由于 ,)(212111222A A A A A A A ΩA A +=+==并且,94106)|()()(,93104)|()()(1212112121⨯==⨯==A A P A P A A P A A P A P A A P 因此 ⋅=⨯⨯+⨯=1049104634)(2A P 同理 ⋅=104)(5A P 19.有一批产品，其中正品有n 个，次品有m 个，先从这批产品中任意取出l 个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )．方法1 设A k ＝{前l 次中恰有k 个正品}，k ＝q ，q ＋1，…，p ；其中q ＝max(l －m ，0)，p ＝min(n ，l )．又设B ＝{第l ＋1个恰为正品}，有,)(,1nm k l m k n k p q q C C C A P ΩA A A +-+==+++ 而 ,)|(11ln m k n C C A B P l n m k n k -+-==-+- 由全概率公式有⋅+==∑=nm n A B P A P B P k k p q k )|()()( 举例说明：(1)n ＝3，m ＝5，l ＝4，这时k ＝0，1，2，3．⋅=+++=8)4/()0306015()(48C B P⋅=+++=8)4/()5609020()(48C B P 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到⋅+n m n 方法3 前l ＋1次取到正品的概率减去前l 次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一定方便)方法4 (全排列方法)令第l ＋1个位置上为正品，由于有n 个正品，故有n 种方法，于是⋅+=+-+=nm n n m n m n B P )!()!1()( 方法5 将第l ＋1次看成第1次，于是⋅+==+nm n C C B P n m n 11)( 20.袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )．分析 设A ＝{前3次取到红球}，根据古典概型，有⋅==53)(352411C C C A P说明 利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P {第3次取到红球}＝P {前3次取到红球}－P {前2次取到红球}⋅=-=-=515253251411352411C C C C C C 注意 这里实际用到了互斥情况下的加法公式．21.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．情况下的加法公式，有P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )， 即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P 说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立．(2)由ABC ＝⇒∅P (ABC )＝0，反之不真．22.设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立．分析 (1)由于事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0．可见，AB ≠∅，即事件A 与B 不互斥(相容)．(2)由于事件A 与B 互斥，即AB ＝∅，因此P (AB )＝0，而P (A )＞0，P (B )＞0，故P (AB )≠P (A )P (B )，即事件A 与B 不可能相互独立．说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然．(2)在P (A )＞0，P (B )＞0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的．(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”．23.设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析 由公式()()()(|),(|),()()1()P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A ===- 由题设 ),|()|(A B P A B P =即,)(1)()()(A P B A P A P AB P -= 于是，有 ()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=即A 、B 相互独立．说明 (1) )|()|(A B P A B P =是A ，B 独立的一个充要条件．(2)若此题换成下述选择题：设……，则______ (A)).|()|(B A P B A P = (B)(|)(|).P A B P A B =/(C)P (AB )＝P (A )P (B )． (D )P (AB )≠P (A )P (B )．时，能否认为(A )与(B )，或(C )与(D )之中必有一个成立．24.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则 P (A )＝______，P (B )＝______．分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7) 由于)()(B A P B A P =，有 ),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=于是由式(1－6)，式(1－7)有,))((21))(()(222A P A P A P +=- 即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是,41))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P 因此 ⋅==21)()(B P A P 问题 比较上述两种方法，哪个更简单一些，还有没有其他方法？25.设随机事件A 与B 的和事件的概率为0.6，且积事件B A ⋅的概率为0.3，则事件A 的概率P (A )＝( )．分析 因为B A B A +=⋅，所以.4.06.01)(1)()(=-=+-=+=⋅B A P B A P B A P又因为,)(B A B A B B A ΩA A +=+==故 .7.04.03.0)()(=+=+=B A B A P A P26.甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )．分析 这是一个古典概型问题，有1422,5C m n ⨯==，因此P (A )＝0.32．问题 (1)如何将信投入信箱转化为在信封上写号问题？ (2)本题是否可用(有放回)摸球问题来解决？27.袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球．从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率．分析 这一个古典概型问题，样本空间中样本点的总数为⋅=310C n方法1 设A ＝{至少有1个白球}，有⋅=++=65)(310063416242614C C C C C C C A P 方法2 设B ＝{取出的全是红球}，有⋅-=-=3104361)(1)(C CC B P A P方法3 先从4个白球中任取一个，然后再从剩下的9个球(有红球又有白球)中任取2个，因此⋅=3102914)(C CC A P问题 上述三种方法都对吗，为什么？28.一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品．如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率．解 设A i ＝{被检查的第i 件产品是废品}，i ＝1，2，3，4，5；B ＝{该批产品被拒绝接收}．方法1 由于,54321A A A A A B ++++=于是1234512345()1()1()P B P A A A A A P A A A A A =-++++=-1213124123512341()(|)(|)(|)(|),P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A =-而 ,9893)|(,9994)|(,10095)(213121===A A A P A A P A P ⋅==9691)|(,9792)|(432153214A A A A A P A A A A P因此 .23.09691979298939994100951)(=⨯⨯⨯⨯-=B P方法2 .23.01)(1)(5100595=-=-=C C B P B P29.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．由全概率公式可知)()|()(31i i i A P A B P B P ∑==05.01.015.090.08.098.0333⨯+⨯+⨯= 8624.0≈．由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是,8731.08624.08.098.0)()()|()|(3111≈⨯==B P A P A B P B A P,1268.08624.015.090.0)()()|()|(3222≈⨯==B P A P A B P B A P.0001.08624.005.01.0)()()|()|(3333≈⨯==B P A P A B P B A P由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．30.掷两枚匀称的骰子，X ＝{点数之和}，求X 的分布． 答案是：⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡36/136/236/11232~ X 31.设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,0,0,11)(2x x x x f f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解 由于,2πd )(=⎰+∞∞-x x f 所以f (x )不是分布密度函数．令⎪⎩⎪⎨⎧≤>+⋅==.0,0,0,11π2)(π2)(2x x x x f x p则p (x )是分布密度函数．32.设随机变量X 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x Cx x p求(Ⅰ)常数C ；(Ⅱ)P (0.3≤X ≤0.7)；(Ⅲ)P (－0.5≤X ＜0.5)．解 (Ⅰ)由p (x )的性质，有,21|2d d )(110210C x C x Cx x x p =⋅===⎰⎰∞+∞-所以C ＝2．(Ⅱ).4.0|d 2)7.03.0(7.03.027.03.0===≤≤⎰x x x X P(Ⅲ).25.0|d 2d 0)5.05.0(5.0025.0005.0==+=≤≤-⎰⎰-x x x x X P问题 若连续型随机变量X 的分布密度函数p (x )为不可求积函数，如何计算P (X ∈D )呢？33.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X 的分布列和分布函数，并求⋅≤<)2521(X P 解 先求X 的分布列，X 的所有可能取值为0，1，2，由古典概型的概率计算公式知3122113213213323151********(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C =========⋅ 故X 的分布列为四个区间．当x ＜0时，F (x )＝P (X ≤x )＝0．当10<≤x 时，⋅===3522)0()(X P x F 当12x ≤<时，⋅==+==3534)1()0()(X P X P x F 当x ≥2时，F (x )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1． 综上有X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,3534,10,3522,0,0)(x x x x x F由分布函数可求出⋅=-=-=≤<351335221)21()25()2521(F F X P 34.设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-,0,0,0,e )(22x x B A x F x求系数A 和B ．解 由lim ()1n F x →+∞=，知A ＝1．再由F (x )在x ＝0处的连续性可知,)e(lim )(lim 02200B A B A x F x x x +=+==-+→→故 B ＝－A ＝－1．35.设连续型随机变量X 的分布函数为()1xAF x e-=+， +∞<<∞-x ， 求(Ⅰ)常数A ． (Ⅱ)X 的分布密度函数p (x )． (Ⅲ)P {X ≤0}．答案是：(Ⅰ)A ＝1．(Ⅱ)2)e 1(e )(x xx p --+= +∞<<∞-x ． (Ⅲ)⋅==<21)0()0(F X P 问题 (1)离散型随机变量的概率分布与分布函数之间有什么关系？(2)连续型随机变量的概率分布密度与分布函数之间有什么关系？ (3)如何利用分布函数计算P (X ∈D )？其中D ＝(a ，b ]． (4)如何确定分布函数中的待定常数？36.设X 服从指数分布，则Y ＝min{X ，2}的分布函数( )．(A)连续． (B)至少有两个间断点． (C)阶梯函数． (D)恰有一个间断点． 答案是：D ．分析 方法1 由题设可知X ～E (λ)，有⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x p x λλ 令X 1＝X ，X 2＝2，则⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧>-≤=-.2,1,2,0)(;0,e 1,0,0)(21x x x F x x x F xλ于是，Y ＝min{X ，2}＝min{X 1，X 2}的分布函数为))(1))((1(1)(21y F y F y F ---=○一⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-.2,1,20,e 1,0,0y y y y λ 可见它只有一个间断点y ＝2．方法2 从图2－1中，容易看出它只有一个间断点y ＝2．图2－137.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数．解 X 的可能取值为3，2，1．,106/)1(,103/)2(,101/)3(352435233522=========C C X P C C X P C C X P 即X 的分布阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101103106321, 从而X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,109,21,106,1,0)(x x x x x F38.设X ～U (a ，b )，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,1)(其他b x a a b x p则⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1,,,,0)(b x b x a a b a x a x x F 其图形是一条连续的曲线，见图2－3．图2－339.设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056．P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788．40.设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有.5.0,2--=-σμασμβ 于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．41.若X ～N (μ，σ2)，求(Ⅰ)P {μ－σ＜X ＜μ＋σ}； (Ⅱ)P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}； (Ⅲ)P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}． 解 (Ⅰ)由于X ～N (μ，σ2)，故)()(}{σμσμσμσμσμσμ----+=+<<-ΦΦX P ＝Ф(1)－Ф(－1)＝2Ф(1)－1＝0.6826≈0.68．同理有：(Ⅱ) P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}＝2Ф(2)－1＝0.9545≈0.95． (Ⅲ) P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}＝2Ф(3)－1＝0.9973≈0.99．42.设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3}＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}}322322{21}3232{21⨯+<≤⨯-++<≤-=X P X P.815.0295.0268.0=+≈(Ⅱ)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2}.975.021295.0=+≈(Ⅲ)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3}.995.0299.021=+≈43.设X ～N (3，σ2)，并且P (3≤X ≤7)＝0.4，求P (X ≤－1)．答案是：0.1． 分析(略)44.设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ＝10.05，σ＝0.06的正态分布，规定长度在范围(10.05±0.12)cm 内为合格品，求螺栓的次品率．答案是：0．0455(或0．05)． 分析(略)．求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即,21)2()2()5(==+-===X P X P Y P ,103)1()1()2(==+-===X P X P Y P ⋅====51)0()1(X P Y P 所以46.设X ～U (0，1)，并且Y ＝X ，求Y 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎩⎨⎧∈=.,0],1,0[,1)(1其他x x p 对于函数y ＝x 2，当x ∈[0，1]时，α＝min{x 2}＝0，β＝max{x 2}＝1，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10*,,0,0)(y y y y F 当0＜y ＜1时)()()()(2y X P y X P y Y P y F ≤=≤=≤=.d 1d 0d )(01y x x x x p yy=+==⎰⎰⎰∞-∞-由 ,21)()()(2yy y F y p ='='=故随机变量Y 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,10,21)(2其他y yy p47.设随机变量)2π,2π(~-U X ，求随机变量Y ＝sin X 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.0,],2π,2π[,π1)(1其他x x p因为y ＝sin x 在)2π,2π(-内单调增加，所以存在反函数x ＝arc sin y ，其导数为 ⋅-='211yx y利用公式求出Y 的分布密度函数，首先计算,1}{sin min 2π2π-==≤≤-x x α ππ22max {sin }1,x x β-≤≤== 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-'⋅=-.,0,11|,|))(()(112其他y x y f p y p y⎪⎩⎪⎨⎧<<--=.,0,11,11.π12其他y y 48.X ～U (0，π)，Y ＝sin X ，求p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],π,0[,π1)(1其他x x p0π0πmin{sin }0,max{sin } 1.x x x x αβ≤≤≤≤====当0＜y ＜1时，F (y )＝P (Y ≤y )＝P (sin X ≤y )＝P (0≤X ≤arc sin y )＋P (π－arc sin y ≤X ≤π),sin arc π2y =所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,,11,0,sin arc π20,,0)(y y y y y F 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,1π2)(22其他y yy p 49.(1).,,2,1,}{N k NAk X P ⋅⋅⋅=== (2) ,!}{k B k X P kλ⋅==k ＝0，1，2，…，λ＞0且λ为常数，试确定常数A 和B ．解 (1)由分布律的性质可知,)(111A N NAN A k X P Nk N k =⋅====∑∑== 因此，A ＝1．于是，X 的分布律为).,,2,1(1)(N k Nk X P === 称这样的分布为离散型的均匀分布．(2)由分布律的性质，有,e !!10λλλ⋅===∑∑∞=∞=B k B k Bkk kk解得B ＝e －λ．于是.e !)(λλ-==k k X P k这表明X 服从参数为λ的泊松分布．50.设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成(如图2－5)，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．图2－5分析 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=51.设随机变量X 具有连续的分布函数F 1(x )，求Y ＝F 1(X )的分布函数F 2(y )．(或证明题：设X 的分布函数F 1(x )是连续函数，证明随机变量Y ＝F 1(X )在区间(0，1)上服从均匀分布．)分析 由于F 1(x )为X 的连续分布函数，可知α＝min{F 1(x )}＝F 1(－∞)＝0， β＝max{F 1(x )}＝F 1(＋∞)＝1． 因为F 1(x )是单调递增函数，所以11-F (y )存在(单调函数必有单值反函数存在)，因而有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤.1,1,10*,,0,0)()(def2y y y y Y P y F 当0≤y ＜1时，*＝F 2(y )＝P (F 1(X )≤y )＝P (X ≤11-F (y )) ＝F 1(11-F (y ))＝y ．代入F 2(y )表达式有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F 因此，Y 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1)(2其他y y p即 ).1,0(~U Y52．设X ～E (2)，证明Y ＝1－e －2X～U (0，1)分析 由于X ～E (2)，因此⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x p x 当x ＝0时，y ＝0＝α；当x →＋∞时，y →1＝β：因为y ＝1－e －2x单调增加，所以其反函数为)1ln(21y x --=，有 .e 21112111212x yy y x =-=---='方法1(公式法)⎩⎨⎧≤≤'=--.,0,10|,))((|))(()(1112其他y y f y f p y p⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=-.,0,10,e 21e 222其他y xx ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y 即Y ～U (0，1)．方法2(定义法) 由分布函数的定义⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1,10*,,0,0)(2y y y y F 当0≤y ≤1时，有))1ln(21()e 1()()(22y X P y P y Y P y F X --≤=≤-=≤=-12(ln(1))211(ln(1))1e 2---=--=-y F y,)1(1y y =--=因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,1,1,10,,0,0)(y y y y y F即Y ～U (0，1)．53.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0],8,1[,31)(32其他x x x fF (x )是X 的分布函数．求随机变量Y ＝F (X )的分布函数．解 易见，当x ＜1时，F (x )＝0；当x ＞8时，F (x )＝1． 对于x ∈[1，8]，有.1d 31)(1332-==⎰xx t t x F设G (y )是随机变量Y ＝F (X )的分布函数．显然，当y ≤0时，G (y )＝0；当y ≥1时，G (y )＝1．对于y ∈(0，1)，有}1{})({}{)(3y X P y X F P y Y P y G ≤-=≤=≤=,])1[(})1({33y y F y X P =+=+≤=于是，Y ＝F (X )的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,0)(y y y y y G即Y ～U (0，1)．54.设随机变量X ～U (0，5)，求方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的概率． 分析 因为X 在(0，5)上服从均匀分布，故X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,50,51)(其他x x p方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的条件是∆＝16X 2－16(X ＋2)≥0，即 (X ＋1)(X －2)≥0．解 得X ≤－1或X ≥2．舍去X ≤－1，最后得2≤X ≤5．因此，所求概率为⋅==≤≤⎰53d 51)52(52x X P 问题 本题可否使用其他方法？55. 设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X |≤1，且===-=)1(,81)1(X P X P41，在事件{－1＜X ＜1}出现的条件下，X 在(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求X 的分布函数F (x )及P (X ＜0)(即X 取负值的概率)．分析 (1)由题设，我们有x ＜－1时，F (x )＝0；x ≥1时，F (x )＝1．以下考虑－1＜x ＜1时的情形．由于1＝P (|X |≤1)＝P (X ＝－1)＋P (－1＜X ＜1)＋P (X ＝1)， 故 ⋅=--=<<-8541811)11(X P 另据条件，有),1(21)11|1(+=<<-≤<-x X x X P 于是，对于－1＜x ＜1，有(－1，x ]⊂(－1，1)，因此P (－1＜X ≤x )＝P (－1＜X ≤x ，－1＜X ＜1)＝P (－1＜X ＜1)P (－1＜X ≤x |－1＜X ＜1)),1(165)1(2185+=+⨯=x x ⋅+=≤<-+-≤=1675)1()1()(x x X P X P x F综上，有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.1,1,11,16/)75(,1,0)(x x x x x F (2)P (X ＜0)＝P (X ≤0)－P (X ＝0)＝F (0)＝7/16．56.射击用的靶子是一个半径为R 的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比．设随机变量X 表示击中点与靶心的距离，求X 的分布密度函数．分析 根据分布函数的定义及几何概型，由图2－6有图2－6),0(ππ)()(2222R x R x R x x X P x F ≤≤==≤=于是 22()(),xp x F x R='=因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2)(2其他R x R xx p 说明 (1)注意其分布函数应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.,1,0,,0,0)(22R x R x R x x x F 57.点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数p 1(x )．(2)落点与点(－R ，0)的弦长的概率分布密度函数p 2(y )． (提示：落点的极角θ均匀地分布在(0，2π)上)分析 设落点的极角为Θ，落点P 的横坐标为X ，落点与(－R ，0)点的弦长为Y ，则由题设可知Θ～U (0，2π)，即()1,02π,2π0,.p θθΘ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他 由图2－7不难看出⋅==2cos2,cos ΘR Y ΘR X图2－7(1)定义法试求点P 的横坐标X ＝R cos Θ的密度函数．因为x ＝R cos θ(0≤θ＜2π)不是单调函数，由图2－8得到，使R cos θ≤x 成立的θ应满足⋅-≤≤Rx R x cos arc π2cosarc θ图2－8于是，对－R ≤x ≤R ，有θθθd )()cos ()()(cos ΘxR X p x ΘR P x X P x F ⎰≤=≤=≤=⋅-==⎰-Rx Rx Rx os arcc π11d 2π1arccosπ2arccosθ 对x ＜－R ，有.0)()cos ()()(=∅=≤=≤=P x ΘR P x X P x F X对x ＞R ，有,1)()cos ()()(==≤=≤=ΩP x ΘR P x X P x F X即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤=.,1,,cos arc π11,,0)(R x R x R R xR x x F X 所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=.,0,,π1)()(22其他R x R x R x F x p X X(2)公式法设θ∈(－π，π)．由,2cos 2θR y =有当0≤θ≤π时，单调递减，⋅--='=2242,2cosarc 2y R R y y θθ 当－π≤θ≤0时，单调递增，2arccos,2y y R θθ=-=' 可见p Y (y )＝P θ(f －1(y ))|y y f'-))((1|⋅-=--+-=22222241π2|42|2π1422π1yR y R y R 因此⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=.,0,20,4π2)(22其他R y y R y p Y58.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=.,0],6,3[,92],1,0[,31)(其他x x x p若使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是________． 分析 由图2－9可知图2－9,32)36(92)63(=-⨯=≤≤X P 因此k ∈[1，3]时，⋅=≤≤=≥32)63()(X P k X P 59.设随机变量X 的分布函数为F (x )，则Y ＝－2ln F (X )的概率分布密度函数P Y (y )＝______．分析 用定义法求出Y 的分布，首先求出Y 的分布函数． 当y ＞0时，有F (y )＝P (Y ≤y )＝P (－2ln F (X )≤y ))e )((2y X F P -≥= ))e ((21y F X P --≥= ))e ((121y F F ---=.e 12y--=当y ≤0时，F (y )＝0．因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(2y y y F y 再求出Y 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-.0,0,0,e 21)()(2y y y F y p yY60.设)2π,2π(~-U X ，并且y ＝tan x ，求Y 的分布密度函数p (y )． 分析 由)2π,2π(~-U X ，有⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.,0],2π,2π[,π1)(1其他x x p 下面利用公式法求出Y ＝tan X 的分布，为此先求出：α＝－∞，β＝＋∞．,tan arc )(1y y f x ==-⋅+='='-2111))((yy f x y y 于是有121()(())|(1'())|y p y p f y f y --=⋅').(11.π12+∞<<-∞+=y y61.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，则(X ，Y )的联合分布及边缘分布为62.设(X ，Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧≥≥=+-.,0,0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )．解 (1)由p (x ，y )的性质，有y x C y x y x p y x d d e d d ),(1)43(0+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰==3401e d e d ,12x y C x y C +∞+∞--=⋅⋅=⎰⎰ 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有y x y x p D Y X P Y X P Dd d ),(}),{(}20,10{⎰⎰=∈=<<<<).e 1)(e 1(d e d e 12d d e 128342310)43(----+---===⎰⎰⎰⎰y x y x y x y x D(3)先求X 的边缘分布：①当x ＜0时，p (x ，y )＝0，于是10()(,)d 0.p x p x y y +∞==⎰②当x ≥0时，只有y ≥0时，p (x ，y )＝12e－(3x ＋4y )，于是⎰+∞∞--+-==.e 3d e 12)(3)43(1x y x y x p因此⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 3)(31x x x p x 同理⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 4)(42y y y p y 63.设二维连续型随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中D ＝{(x ，y ):|x ＋y |≤1，|x －y |≤1}，求X 的边缘密度p X (x )．解 区域D 实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为2，面积S D ＝2，因此(X ，Y )的联合密度是图3－9⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 11111d ,10,21()(,)d d ,01,20,.x x x X x y x p x p x y y y x +--+∞--∞-⎧-≤≤⎪⎪⎪==<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他即 1,10,()1,01,0,.X x x p x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 64.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----.,0,0,0,333),(其他y x C y x F y x y x求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：yx Fy x p ∂∂∂=2),(有3ln 33ln 3,x x y Fx--∂=-∂ .)3(ln 3)3ln 33ln 3(22y x y x x yyx F -----=-∂∂=∂∂∂故 ⎩⎨⎧≥≥=--.,0,0,0,)3(ln 3),(2其他y x y x p y x65.设D 2是x ＝0，y ＝0，y ＝2x ＋1围成的区域，ξ＝(X ，Y )在D 2上均匀分布，求F (x ，y )．答案是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅∈∈-∈+∈-+∈=54232221),(,1,),(,2,),(,)12(,),(,)12(2,),(,0),(D y x D y x y y D y x x D y x y x y D y x y x F 其中区域D 1，D 2，D 3，D 4，D 5如图3－10所示．图3－1066.求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解(1)由公式),3,2,1()(====∑⋅i p x X p p ijji i),2,1()(====⋅j p y Y p p ijij j(2)计算下面各条件概率：,8380.030.0)(),()|(,16380.015.0)(),()|(1121211111======y p y x p y x p y p y x p y x p⋅===16780.035.0)(),()|(11313y p y x p y x p因此，X 关于Y(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为67.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布密度为.e π1),()52(2122y xy x y x p ++-=求(1)X 与Y 的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解 (1)由公式y y y x p x p y xy x d e π1d ),()()52(21122++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰==)10125(d e 52e e π1222)10125(102x y x y x x +=⎰∞+∞-+-- ,e 5π2πe 52π1224.04.0x x --=⋅=这里应用了.πd e2=-+∞∞-⎰u u 同理，可求得Y 的边缘分布密度为.e π2)(222y y p -=(2)在给定Y ＝y 的条件下，X 的条件分布密度为,e 2π1)(),()|(2)(5.02y x y p y x p y x p +-==而在给定X ＝x 的条件下，Y 的条件分布密度为.e 2π5)(),()|(2)5(1.01y x x p y x p x y p +-==69.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1),2418161=-=考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，⋅===4161241}{1x X P所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为70.设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立． 证 X 的分布函数为⎩⎨⎧≥<=.0,1,0,0)(1时当时当x x x F 设Y 的分布函数为F 2(y )，(X ，Y )的分布函数为F (x ，y )，则当x ＜0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P {X ≤x ，Y ≤y }＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P (∅∩{Y ≤y })＝P (∅)＝0＝F 1(x )F 2(y )．当x ≥0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P {Y ≤y }＝F 2(y )＝F 1(x )F 2(y )．因此，对任意的x ，y 均有F (x ，y )＝F 1(x )F 2(y )，即X 与Y 相互独立．71.设(X ，Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.,0,1||,1||,41),(其他y x xy y x p试证明：(1)X 与Y 是相依的． (2)X 2与Y 2是相互独立的．证 (1)先求X 的边缘分布密度．当|x |＜1时，有⋅=+==⎰⎰-+∞∞-21d 41d ),()(111y xy y y x p x p当|x |≥1时，p 1(x )＝0，因此⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(1其他x x p 同理⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(2其他y y p 可见，当|x |＜1，|y |＜1时p (x ，y )≠p 1(x )·p 2(y )，所以X 与Y 不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X 2，η＝Y 2，其分布函数分别为F 1(x )和F 2(y )，于是当0≤x ＜1时，有)()()(21x X x P x X P x F ≤≤-=≤=⎰-==x x x x ,d 21因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(1x x x x x F同理可求得Y 2的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F如图3－11所示，将Oxy 平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F 3(x ，y )，则图3－11①当x ＜0或y ＜0时，F 3(x ，y )＝0． ②当0≤x ＜1，y ≥1时，.)(),(),(2223x x X P y Y x X P y x F =≤=≤≤=③当0≤y ＜1，x ≥1时，同理.),(3y y x F =④当0≤x ＜1，0≤y ＜1时， F 3(x ，y )＝P (X 2≤x ，Y 2≤y )),(y Y y x X x P ≤≤-≤≤-=1d 4sxs t +==⑤当x ≥1，y ≥1时，.1d d 41),(),(1111223=+=≤≤=⎰⎰--y x xyy Y x X P y x F综合起来得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤<≤≥<≤≥<≤<<=.1,1,1,10,10,,1,10,,1,10,,00,0),(3y x y x xy x y y y x x y x y x F 或不难验证，对于所有x ，y 都有F 3(x ，y )＝F 1(x )·F 2(y )，所以ξ与η相互独立，即X 2与Y 2相互独立．72. 设(X ，Y )的联合分布为求(Ⅰ)Z 1＝X ＋Y ；23解 (Ⅰ)Z 1＝X ＋Y 的正概率点为0，1，2，3．因为。
概率论部分习题参考解答
两只必须在前六次检测出，相应检测方法数为
7 4
3 2
A66
因此所求概率为
p
74
3 2
A66
A170
1/8
1.14 一个质地均匀的陀螺，在其圆周的半圈上均匀地标明刻度1， 另外半圈均匀地刻上[0, 1]上的诸数，在桌面上旋转它，求当它 停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[0.2, 0.5]内的概 率。
k
e
1 i !
2
i
ki
(k
1 i)!
2
ki
1 i !
2
i
e2
i 0,1,2,
白球的放法有 130 种，若规定白球只能放前7个位置，且第7个位置只能放白球，
则白球的放法有
6 2
，因此所求概率为 p
6 2
130
15
/120
1/
8
解法一：把10只电子管看成两类，并且类内编号，进行7次检测，检测方法总数为
A170 ，现要求三只坏的电子管要在前7次检测出，且第7次必须检测一只坏的，另
P(AB) p(A)P(B | A) 0.15.
1.22 证明： （1）
P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P(CA) P( ABC ) a a a a 2 a 2 a 2 0 3a(1 a) 3 / 4 (因为a(1 a) ( a (1 a))2 1/ 4)
a x1c a b (k 2)c
pk 1,红
a 所以 pk ,红 pk 1,红 L p1,红 a b
习题1.37 某实验室在器皿中繁殖成k个细菌的概率为
pk
k e, k!
0,
(完整版)概率论高等数学习题解答
1(A )三、解答题1•一颗骰子抛两次，以 X表示两次中所得的最小点数(1) 试求X 的分布律； (2)写出X 的分布函数.解：(1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C 2 6-1 (这里C 2指任选某次点 数为1, 6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C ； 6多1 1算了一次)或C 2 5 1种，故P X 1 C 26-1C25 1耳，其他结果类似36 3636可得•0, X1P{X 1} ,1X 2P{X 1} P{X 2} ,2X3F(x)P{X 1} P{X 2} P{X 3}， 3 x 4P{X 1} P{X 2} P{X3}P{X 4}, 4 x 5 P{X1} P{X2} P{X 3} P{X4} P{X5}, 5 x 61 ,x 622 •某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖,以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律.解:注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然P X 99k3.设随机变量 X 的分布律为P{X k} a ,k 0,1,2, k!k解：因为 a ae 1，所以a e k 0 k!4.设随机变量X 的分布律为X -1 2 3 p1/41/21/4(1)求X 的分布函数;1 3 512627，3 翌,4 3635,5 36x 2 x 3x 4 x 5x 6 62 1 C ；0 1260为常数，试求常数 a .3⑵求P{X 丄}，P{- X 5}，P{2 x 3}.2 2 2解:40, x -1布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率. 解：(1) X ~ P 0.5t P 1.5 P X 0 e 1.5. (2) 0.5t2.50, x -1P{X 1}， 1 x2(1) F (x)P{X 1} P{X 2}1, x 3⑵P 1XX1 124P 2 X 3 P X 2X 3 5.设随机变量X 的分布律为 P{X k}(1) P{X =偶数｝(2) P{ X 5}(3) P{ X=3的倍数｝2 x 33 ， ,2x341, x 33 51 P — X P X2 —222P X2 3 P X 3.4扌,k 1,2, 求：解：(1) P X 偶数丄1丄 22 221 lim i1(2) P X 51 P X 4115 1 16 16⑶P X 3的倍数23236.某公安局在长度为i123ilim123t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分2.5丄，1x2 45 7.某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概6解：设射击的次数为 X ，由题意知X ~ B 400,0.2i k k 400 kP X 2 1 P X 11 C 4000.02 0.98k 0查表泊松分布函数表得:P{X 2} 1 0.28 0.99728.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信(1)系数a ;(2) X 落在区间(0,[)内的概率.号•现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,则指示灯发出信号的概率 X ~ B 5,0.3 p P X 3 1 P X 3 1 (C 00.3°0.75 C 50.310.74 C ；0.320.73) 1 0.8369 0.1631. 9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X (以分钟计) 在窗口等待服务，若超过 务而离开窗口的次数.写出 服从参数为 5 10分钟，他就离开.他一个月要到银行 5次，以 Y 的分布律，并求P{Y 1}.指数分布•某顾客 Y 表示他未等到服 x 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则F(x) 1 e T , P X 10 Y~ B5, e 2 , 1 F(10) e 2 ,则 P{Y k} C5 (e 2)k (1 e 2)5k,k 0,1, 5 P{Y 1} 1- P{Y 0} 1 (1 e 2)5 0.5167 a cosx. 10.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)0,|x|~2，试求:|x |2解：(1)由归一性知：1 f (x)dx2a cosxdx 2a ，所以 a2由于上面二项分布的概率计算比较麻烦, 所以而且X 近似服P{X 2}18k ek 0k!7⑵-11.2.P{0 X —} ； cosxdx sin x |(424 .0,x011 . 设连续随机变量X的分布函数为F(x)Ax,0x 11,x1⑶X的概率密度.试求:(1) 解系数(1)A；由⑵X落在区间(0.3, 0.7)内的概率；的连续性可得lim F(x)F(x )在x=1 lim F(x) F(1)，即A=1.x 1(2) 0.3 X 0.7 F(0.7) F(0.3) 0.4.(3) X的概率密度 f (x) F (x)2x,00,12.设随机变量X服从(0, 5)上的均匀分布，求的概率.x的方程4x2 4Xx X 0有实根解：因为X服从(0, 5)上的均匀分布，所以1f(x) 50x5其他2 2方程4x 4Xx X(x 2)( X2(4X) 16X1，所以有实根的概率为0有实根，则32 51dx2510dxX〜N(3, 4)13.设求P{2 X 5}, P{(1) X 10}, P{ X 2}, P{X解: 确定c使得P{X c}设d满足P{X d} 0.9，问d至多为多少？(1)因为X ~ N(3,4)所以P{X c};2 3P{2 X 5} P{〒穿}P{1}(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 0.5328P 4 X 108F(2)(2.5)经查表得1 (0)，即2专)故斗214.设随机变量1.29，解：P XF(所以(k)15.设随机变量如何变化的？(3.5)2 0.999810 3 4 3(^)2 2(3.5) 2 (3.5)1 0.99962) 1(0.5)0.1，解：X ~ N(,(0.5)0.3023F(3)，则P X2X2(2.5)0.6977(0)得c 3 ；由概率密度关于即(-d 3)20.42.X服从正态分布2 2 (k)0.95 , p XN(0,1 0.5 0.5.c 3 1F(c)(〒)-，x=3对称也容易看出。
概率论课后习题解答
一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：1某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω；2掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；3观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{ ,2,1,03=Ω； 4从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故： 5检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；6观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2;解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；7在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；8在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A,B,C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；6 A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；7 A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；8 A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式;设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：1AB ; 2 B A - ; 3 B A -; 4 B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；2 B A -=}{8.05.0≤≤x x ；3 B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;4 B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x用作图法说明下列各命题成立：略用作图法说明下列各命题成立：略按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤,而由加法公式,有：)()()(B P A P B A P +≤⋃若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且PW = ; PE = ,PWE = , 求下列事件的概率：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛;2 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 设A 与B 是两个事件, PA = ; PB = ;试问：1 在什么条件下PAB 取到最大值 最大值是多少2 在什么条件下PAB 取到最小值 最小值是多少解：1 由于B AB A AB ⊆⊆,,故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时PAB 取到最大值; 最大值是.2 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=;显然当1)(=⋃B A P 时PAB 取到最小值,最小值是.设PA = , PB = , PC = , PAB = 0, PAC = , PBC = , 求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 PAB = 0,故 PABC = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P计算下列各题：1 设PA = , PB = , PA ⋃B = , 求PAB;2 设PA = , PA ⋃B = , 求PAB;3 设PAB = PA B; PA = , 求PB;解：（1）通过作图,可以知道,3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3 概率各为多少解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3;三只球放入四只杯中,放法有44464⨯⨯=种,每种放法等可能;对事件1A ：必须三球放入三杯中,每杯只放一球;放法4×3×2种,故83)(1=A P 选排列：好比3个球在4个位置做排列;对事件3A ：必须三球都放入一杯中;放法有4种;只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种,故161)(3=A P ;169161831)(2=--=A P 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少 解：此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36;.出现点数和为“3”对应两个基本事件1,2,2,1;故前后两次出现的点数之和为3的概率为181; 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是91,121; 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; 2 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数,共有120310=C 种取法,亦即基本事件总数为120;(1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有624=C 种,故所求概率为201; 2 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有1025=C 种,故所求概率为121; 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球;现从这12 只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用321,,A A A 表示事件：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P ; 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ,故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P ; 计算下列二式：1);(B A P ⋃2);(B A P ⋃解：1;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P 2;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ,所以5.0)(1)(=-=B A P B A P ;一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品;现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：1 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;2 第三次才取到次品;3 第三次取到次品.解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”3,2,1=i ,则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”3,2,1=i ;11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： 3125()18P A A A =;2 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3）事件“第三次取到次品”的概率为：41此题要注意区分事件1、2的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率;再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品;用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”2,1=i , 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P ;区别是显然的; 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中;今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率;解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”;用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”;则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =,12()12P B A =,23()12P B A =,根据全概率公式,有：一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子;已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%;假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”,B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”;则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =,2()0.15P B A =,3()0.1P B A =,根据全概率公式,有：设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率; 解：用B 表示色盲,A 表示男性,则A 表示女性,由已知条件,显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式,所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为, 被试验者患有癌症的概率为;若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用B 表示对试验呈阳性反应,A 表示癌症患者,则A 表示非癌症患者,显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式,所求概率为：仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.1 求该批产品的合格率;2 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少解：设,},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B}{产品为合格品=A ,则1根据全概率公式,94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ,该批产品的合格率为.2根据贝叶斯公式,9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419; 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为, 和 ,求目标被击中的概率;解：记A ={目标被击中},则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P在四次独立试验中, 事件 A 至少发生一次的概率为, 求在三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率.解：记4A ={四次独立试验,事件A 至少发生一次},4A ={四次独立试验,事件A 一次也不发生};而5904.0)(4=A P ,因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P ;所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((213=⨯⨯=-A P A P C ;。
概率论例题与详解
例题1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式()()()94.01.01.018.042041842041920≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式85.0)()()()(000≈=B P A P A B P B A P2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件（1）由全概率公式4.02130********)()()()()(111=⨯+⨯=+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有 )()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(3B P )(321A A A P)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=由全概率公式)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）θθπθθπd r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204021)( θθπd a ⎰=4022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上41个圆的面积）故πππ12121214)()()(22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a a D S G S A P 6.设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，证明：B A 、独立⇔1)|()|(=+B A P B A P . 证明：1)|()|(=+B A P B A P ⇔)()|(1)|(B A P B A P B A P =-= ⇔)(1)()()(B P B A P B P AB P -=⇔)()()()()(B A P B P AB P B P AB P =- ⇔)()()]()()[()(A P B P B A P AB P B P AB P =+=⇔B A 、独立7. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i B ={随机地取3件乐器，其中有i 件是音色不纯的}（3,2,1,0=i ）A={这批乐器被接收}30)99.0()(=B A P ，05.0)99.0()(21⋅=B A P ，22)05.0(99.0)(⋅=B A P33)05.0()(=B A P31003960)(C C B P =，3100142961)(C C C B P =，3100241962)(C C C B P =，3100343)(C C B P = 故由全概率公式有8629.0)()()(30==∑=i i i B P B A P A P8.一 猎人用猎枪射击野兔，第一枪距离200米，如果未击中就追到150米处第二次射击，如果仍未击中，再追到100米处第三次射击，此时击中的概率为0.5，如果猎人的命中率始终与距离的平方成反比，求猎人击中野兔的概率。
概率论第三章部分习题解答
x EX
f ( x )dx
2
有关方差的定理： 定理1
推论：Db
DaX b a 2 DX
0; D X b DX ; D(aX ) a 2 DX .
6
定理2： 若X与Y 独立， D X Y DX DY
n n 推论：D X i D X i i 1 i 1
所以X 的概率分布列为
X
PX xi
0
3 4
1
9 44
2
9 220
3
1 220
3 9 9 1 EX 0 1 2 3 0.3. 4 44 220 220 9 1 3 2 9 9 2 2 2 2 3 EX 0 1 2 . 44 220 220 22 4 9 9 2 2 DX EX EX 0.319. 22 100 X DX 0.565.
推论 （1）Ea a
定理2
E X Y E X E Y
n n 推论： E X i EX i . i 1 i 1
定理3 若X、Y 独立，则有：
E XY E X E Y
n n 推论 若X1 , X 2 ,, X n相互独立，则 X i EX i . E i 1 i 1
1、X与Y 的协方差（或相关矩）：
定义 cov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}. 注 ⑴ 离散型随机变量：
cov X , Y xi EX y j EY p xi , y j .
i j
概率论部分习题及答案
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-., 00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx 2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数X e Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ= （2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ． 即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，， 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律． 解：注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!}{>===λλ k k a k X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!0==-∞=∑λλae k ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X (1) 求X (2) 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ，}32{≤≤x P ．解：(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ， (2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P ,{}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P .5．设随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k 求：(1) P {X = 偶数} (2) P {X 5}(3) P {X = 3的倍数}解：(1) {}3121121121lim212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P 偶数， (2) {}{}16116151212121211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P ，(3) {}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数. 6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数Xt 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X ,{}{}∑=--=≤-=≥1400400,98.002.01112k k k kC X P X P由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P ()（其中=400×），所以P {X 2}∑=--≈108!81k k e k ，查表泊松分布函数表得：P {X 2}9972.028.01=-≈8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率． 解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(1313322541155005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xe x F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()25~-e B Y ，,则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k ke e C k Y P .0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f ，试求： (1) 系数a ；(2) X 落在区间)4,0(π内的概率．解：(1) 由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f ，所以21=a .(2) .42|sin 21cos 21}40{4040===<<⎰πππx xdx X P .11．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F 试求：(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1. （2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f .12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442=+++X Xx x 有实根的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程024422=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=∆X X ，即0)1)(2(≥+-X x ，得2≥X 或1-≤X ，所以有实根的概率为{}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少?解: (1) 因为4)(3~，N X 所以 }1235.0{}23523232{}52{≤-<-=-≤-<-=≤<X P X P X P5328.016915.08413.01)5.0()1()5.0()1(=-+=-+=--ΦΦΦΦ{}=≤<-104X P )234()2310(----=ΦΦ 9996.019998.021)5.3(2)5.3()5.3(=-⨯=-=--=ΦΦΦ{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0={}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.(2) {}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ， 经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。
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/ n
200
由于 u 1.875u1 1.645, 从而否定原假设 H 0 , 接受备择假设 H1, 即认为新工艺事
实上提高了灯管的平均寿命.
11
2．方差 2 未知情形 例 3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查了 9 袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 50, H1 : 50.
(2) 选择统计量T X 0 ~ t(n 1). Sn / n 1
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{| T |k} 查 t 分布表得 k t1 /2 t0.975 (8) 2.306, 从而拒绝域为 | t | 2.306.
570, 2 82 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即
仍有 2 82 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化?
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的
i 1
Xi
0|
0.2)
(10 0.2)0 0!
e100.2
e2
10
P(接受H0 | H1为真) P( Xi 0 | 0.1) i 1
10
1 P( Xi 0 | 0.1) 1 e1 i 1
4
8.3
解：H 0
: 1
2
0,
H1
: 12
2 2
0
P(接受H1
|
H 0为真)
P(
X
2 1
设两总体均为正.态且方差分别为已知值
2 1
,
2 2
,
现分别在两总体中取一样 X1, X 2 ,
, X n1
和 Y1,Y2 , ,Yn2 , 设两个样本独立.试给出上述假设 H 0 的拒绝域, 取显著性水平为 .
解
检验假设 H0 : 1 22 ,
H1 : 1 22 ,
采用
X
2Y
~
N 1
2
2
,
(4)
由于 x 1 10 10 i j
xi
575.20,
2
64,
所以
| u | x 0 2.06 1.96, / n
（5）拒绝 H 0 , 即认为折断力的均值发生了变化.
10
例 2 一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命 X 服从正态分布 N(,40000), 根据以往的 生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过 1500 小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了 新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺生产 的 25 只灯管的寿命, 其平均值是 1575 小时. 尽管样本的平均值大于 1500 小时, 试问: 可否 由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这 25 只灯管的平均寿命较长呢?
解 本题要求在水平 0.02 下检验假设 H0 : 5000, H1 : 2 5000. 现在
n 26,
2 0
5000,
2 1
/
2
(n
1)
2 0.99
(25)
44.314,
2 /2
(n
1)
2 0.01
(25)
11.524,
根据 2 检验法, 拒绝域为W [0,11.524) (44.314,)
寿命并不比公司宣称的寿命短.
13
单个总体方差的假设检验 例 5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差 2 5000 的正
态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变.现随机取 26 只
电池, 测出其寿命的样本方差 sn*2 9200. 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化(取 0.02)?
是否小于等于2的右边t检验. 检验统计量为： X Y 2
Sw
11 12 10
7
8.13 两个正态总体,未知知方差意义下，两个总体均值差
是否大于等于0的右边t检验. 检验统计量为： X Y
Sw
11 99
8.14 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否等于1的双边F检验.
检验统计量为：S1*m2 S *2
司制造的 6 套电池, 得到如下的寿命小时数:
19, 18, 22, 20, 16, 25
试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平
0.05).
解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 21.5
H1 : 21.5.
这可利用 t 检验法的左侧检验法来解.
2n
(其中m 7, n 8)
8.15 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否大于1的单边F检验. 检验统计量为：S1*m2 (其中m 8, n 9) S *2
2n
8
二、假设检验典型例题
9
单个总体均值的假设检验 1. 方差 2 已知情形 例 1 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力, 由经验判断 X ~ N (, 2 ), 其中
设甲、乙两厂生产同样的灯泡,
其寿命
X
,
Y
分别服从正态分布
N
(1
,
2 1
),
N
(
2
,
2 2
),
已知它们寿命的标准差分别为 84h 和 96h, 现从两厂生产的灯泡中各取 60 只,
测得平均寿命甲厂为 1295h, 乙厂为 1230h, 能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异
( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2.
解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力服从正态分布, 并作下述假设检
验: H0 : 2 64, H1 : 2 64.
上述假设检验问题可利用 2 检验法的右侧检验法来检验, 就本例中而言, 相应于
2 0
64,
n 10.
对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 0.05, 查附表知,
男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40
女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34
2 1
n1
4
2 2
n2
.
在 H 0 成立下
U
X 2Y (1 22 ) ~ N(0,1).
2 1
4
2 2
n1 n2
因此, 类似于右侧检验, 对于给定的 0, 则 H 0 成立时
(1
22 ),
接受域为：W
x 2y
2 1
4
2 2
n1 n2
u
.
17
2.
方差
12
,
2 2
未知,
但
2 1
2 2
2
例 9 某地某年高考后随机抽得 15 名男生、12 名女生的物理考试成绩如下:
X
2 2
c
| 1
2
0)
当1
2
0时,X12
X
2 2
2 0
:
2 (2)
P
(
X
2 1
X
2 2
c
| 1
2
0)
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
1
c
2 2
0 1
(2)
5
8.4 单个正态总体， 2已知情况下的的右侧（边）检验
用u检验法，检验统计量为：X 350 : N (0,1) 12 / 10
8.5 单个正态总体， 2未知情况下的的双侧（边）检验
用t检验法，检验统计量为：X 2.15 : t(9)
S
* n
/
10
8.6 单个正态总体，未知情况下的 2的双侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：13S
2 n
0.152
:
2 (12)
8.7 单个正态总体，未知情况下的 2的右侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：8Sn*2 0.0052
第八章 假设检验 部分习题与典型例题选讲
1
一、部分习题解答与提示
2
8.1 解：H0 : 6, H1 : 6.5 P(接受H1 | H0为真) P( X 6 u0.95 | 6) 而X : N (,16 /16) X : N (0,1) P( X 6 u0.95 | 6) P( X 6 u0.95 ) 0.05 P(接受H0 | H1为真) P( X 6 u0.95 | 6.5)
解 把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 1500, H1 : 1500.
从而可利用右侧检验法来检验, 相应于 0 1500, 200, n 25.