概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲

设甲、乙两厂生产同样的灯泡,
其寿命
X
,
Y
分别服从正态分布
N
(1
,
2 1
),
N
(
2
,
2 2
),
已知它们寿命的标准差分别为 84h 和 96h, 现从两厂生产的灯泡中各取 60 只,
测得平均寿命甲厂为 1295h, 乙厂为 1230h, 能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异
( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2.
(4)
由于 x 1 10 10 i j
xi
575.20,
2
64,
所以
| u | x 0 2.06 1.96, / n
（5）拒绝 H 0 , 即认为折断力的均值发生了变化.
10
例 2 一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命 X 服从正态分布 N(,40000), 根据以往的 生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过 1500 小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了 新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺生产 的 25 只灯管的寿命, 其平均值是 1575 小时. 尽管样本的平均值大于 1500 小时, 试问: 可否 由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这 25 只灯管的平均寿命较长呢?
2 1
(n
1)
2 0.95
(9)
16.919.
从而有
2
n 1
2 0
sn*2
9 75.74 64
10.65
16.919
2 0.95
,
故不能拒绝原假设 H0,
从而认为样本方差的偏大系偶然因素, 生产流程正常, 故不需再作进一步的检查.
15
双正态总体均值差的假设检验
1．方差
2 1
,
2 2
已知情形
例7
570, 2 82 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即
仍有 2 82 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化?
8.5 单个正态总体， 2未知情况下的的双Leabharlann Baidu（边）检验
用t检验法，检验统计量为：X 2.15 : t(9)
S
* n
/
10
8.6 单个正态总体，未知情况下的 2的双侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：13S
2 n
0.152
:
2 (12)
8.7 单个正态总体，未知情况下的 2的右侧（边）检验
用
2检验法，检验统计量为：8Sn*2 0.0052
解 本题要求在水平 0.02 下检验假设 H0 : 5000, H1 : 2 5000. 现在
n 26,
2 0
5000,
2 1
/
2
(n
1)
2 0.99
(25)
44.314,
2 /2
(n
1)
2 0.01
(25)
11.524,
根据 2 检验法, 拒绝域为W [0,11.524) (44.314,)
寿命并不比公司宣称的寿命短.
13
单个总体方差的假设检验 例 5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差 2 5000 的正
态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变.现随机取 26 只
电池, 测出其寿命的样本方差 sn*2 9200. 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化(取 0.02)?
578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570. 由上述样本数据算得:
x 575.2, sn*2 75.74.
为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题.
/ n
200
由于 u 1.875u1 1.645, 从而否定原假设 H 0 , 接受备择假设 H1, 即认为新工艺事
实上提高了灯管的平均寿命.
11
2．方差 2 未知情形 例 3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查了 9 袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( 0.05)?
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的
第八章 假设检验 部分习题与典型例题选讲
1
一、部分习题解答与提示
2
8.1 解：H0 : 6, H1 : 6.5 P(接受H1 | H0为真) P( X 6 u0.95 | 6) 而X : N (,16 /16) X : N (0,1) P( X 6 u0.95 | 6) P( X 6 u0.95 ) 0.05 P(接受H0 | H1为真) P( X 6 u0.95 | 6.5)
P( X 6.5 u0.95 0.5) P( X 6.5 1.145) 0.8739
3
8.2 解：H0 : 0.2, H1 : 0.1
10
P(接受H1 | H0为真) P( Xi 0 | 0.2) i 1
10
注意到 Xi : Pois(10) i 1
10
P(
解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力服从正态分布, 并作下述假设检
验: H0 : 2 64, H1 : 2 64.
上述假设检验问题可利用 2 检验法的右侧检验法来检验, 就本例中而言, 相应于
2 0
64,
n 10.
对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 0.05, 查附表知,
是否小于等于2的右边t检验. 检验统计量为： X Y 2
Sw
11 12 10
7
8.13 两个正态总体,未知知方差意义下，两个总体均值差
是否大于等于0的右边t检验. 检验统计量为： X Y
Sw
11 99
8.14 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否等于1的双边F检验.
检验统计量为：S1*m2 S *2
2n
(其中m 7, n 8)
8.15 两个正态总体,未知均值意义下，两个总体方差比
是否大于1的单边F检验. 检验统计量为：S1*m2 (其中m 8, n 9) S *2
2n
8
二、假设检验典型例题
9
单个总体均值的假设检验 1. 方差 2 已知情形 例 1 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力, 由经验判断 X ~ N (, 2 ), 其中
司制造的 6 套电池, 得到如下的寿命小时数:
19, 18, 22, 20, 16, 25
试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平
0.05).
解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 21.5
H1 : 21.5.
这可利用 t 检验法的左侧检验法来解.
代入观察值 sn*2 9200,
得 2
(n 1)sn*2
2 0
46 44.314,
故拒绝 H 0 , 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.
14
例 6 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表 征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在 64(kg2)与 64 以下. 最近从一批 产品中抽取 10 根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克)如下:
设两总体均为正.态且方差分别为已知值
2 1
,
2 2
,
现分别在两总体中取一样 X1, X 2 ,
, X n1
和 Y1,Y2 , ,Yn2 , 设两个样本独立.试给出上述假设 H 0 的拒绝域, 取显著性水平为 .
解
检验假设 H0 : 1 22 ,
H1 : 1 22 ,
采用
X
2Y
~
N 1
2
2
,
X
2 2
c
| 1
2
0)
当1
2
0时,X12
X
2 2
2 0
:
2 (2)
P
(
X
2 1
X
2 2
c
| 1
2
0)
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
P
X
2 1
X
2 2
2 0
c
2 0
1
c
2 2
0 1
(2)
5
8.4 单个正态总体， 2已知情况下的的右侧（边）检验
用u检验法，检验统计量为：X 350 : N (0,1) 12 / 10
解 (1) 建立假设 H0 : 50, H1 : 50.
(2) 选择统计量T X 0 ~ t(n 1). Sn / n 1
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{| T |k} 查 t 分布表得 k t1 /2 t0.975 (8) 2.306, 从而拒绝域为 | t | 2.306.
(2) 选择统计量U
X Y ~ N (0,1).
2 1
2 2
n1 n2
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{|U | k}
查标准正态分布表 k u1 /2 u0.975 1.96, 从而拒绝域为 | u | 1.96.
(4) 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
2 1
n1
4
2 2
n2
.
在 H 0 成立下
U
X 2Y (1 22 ) ~ N(0,1).
2 1
4
2 2
n1 n2
因此, 类似于右侧检验, 对于给定的 0, 则 H 0 成立时
(1
22 ),
接受域为：W
x 2y
2 1
4
2 2
n1 n2
u
.
17
2.
方差
12
,
2 2
未知,
但
2 1
2 2
2
例 9 某地某年高考后随机抽得 15 名男生、12 名女生的物理考试成绩如下:
u x y 3.95 1.96,
2 1
2 1
n1 n2
（5）拒绝 H 0 , 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差异.
16
例 8 一药厂生产一种新的止痛片, 厂房希望验证服用新药后至开始起作用的时间间隔
较原有止痛片至少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设
H0 : 1 22 , H1 : 1 22 , 此处 1, 2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值.
男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40
女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34
:
2 (8)
6
8.9 两个正态总体,已知方差意义下，两个总体均值差
是否等于0的双边u检验，检验统计量为：X Y 5 9 7 12
8.10 两个正态总体,未知知方差意义下，两个总体均值差
是否等于0的双边t检验. 检验统计量为： X Y
Sw
11 26 14
8.11 两个正态总体,未知方差意义下，两个总体均值差
i 1
Xi
0|
0.2)
(10 0.2)0 0!
e100.2
e2
10
P(接受H0 | H1为真) P( Xi 0 | 0.1) i 1
10
1 P( Xi 0 | 0.1) 1 e1 i 1
4
8.3
解：H 0
: 1
2
0,
H1
: 12
2 2
0
P(接受H1
|
H 0为真)
P(
X
2 1
解 把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 1500, H1 : 1500.
从而可利用右侧检验法来检验, 相应于 0 1500, 200, n 25.
取显著水平为 0.05, 查附表得 u1 1.645, 因已测出 x 1575, 从而
u x u0 1575 1500 25 1.875.
(4) 由于 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036, | t | 0.56 2.036, sn / n 1
（5）接受 H 0 , 即认为包装机工作正常.
12
例 4 一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为 2.15 小时. 有一实验室检验了该公
解 (1) 建立假设 H0 : 0 570, H1 : 570.
(2) 选择统计量U X 0 ~ N (0,1). / n
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{|U | k} 查正态分布表得 k u1 /2 u0.975 1.96, 从而拒绝域为 | u | 1.96.