导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)
导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)
导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。
完整版导数的概念及其几何意义同步练习题理科教师版
导数的概念及其几何意义同步练习题 （理科）、选择题1. y 2x 1在（1,2）内的平均变化率为（ B ) A . 3B.2C . .1 D. o2. 质点运动动规律 s t 2 3，则在时间(3,3t ）中，相应的平均速度为（A ）A . 6 tB• 6 t - C .3 t D . 9 tt3. 函数y =f (x )的自变量x 由x o 改变到x o +/x 时，函数值的改变量 /y 为(D )A.f (x o +/x )B.f (x o )+ /xC.f (x o )?/x D. f (x o +/x )- f (x o )4. 一质点运动的方程为 s = 5 — 3t 2,则在时间［1 , 1 + △ t ］内相应的平均速度为(D ) A. 3 △ t + 6 B. — 3 A t + 6 C. 3 △ t — 6 D. — 3 A t — 67. 曲线y=2x 2+1在点P （-1,3 ）处的切线方程是（A ） A. y =-4 x -1B.y =-4 x -7 C. y =4x -1 D. y =4x -78. 过点(-1,2 )且与曲线y =3x 2-4 x +2在点M( 1,1 )处的切线平行的直线方程是( A. y =2x -1B.y =2x +1 C. y =2x +4 D .y =2x -49. 下面四个命题：① 若f '（X 。
）不存在，则曲线y = f （x ）在点（X 。
，f （x 。
））处没有切线； ② 若曲线y = f （x ）在点（x o , f （x o ））处有切线，则f ' （x o ）必存在；③ 若f ' （x o ）不存在，则曲线y =f （x ）在点（x o , f （x o ））处的切线斜率不存在； ④ 曲线的切线和曲线有且只有一个公共点•其中，真命题个数是 （B ）A. oB. 1C. 2D. 310. 曲线y = 2x 2上有一点A （2,8），则点A 处的切线斜率为（C ） A.4 B. 16 C. 8 D. 211. 曲线y = x 3 — 3x 2 + 1在点（1 , — 1）处的切线方程为（B ） A. y = 3x — 4 B. y =— 3x + 2 C. y =— 4x + 3 D. y = 4x — 5一A S12. 一直线运动的物体，从时间 t 到t + A t 时，物体的位移为A S ,那么Ai x n o 云为（A ） 5.设函数f (x )=—，则lim x? af(x )- f(a)等于(C )A.-- aB.C.D.3（t 是时间,s 是位移），则物体在时刻t = 2时的速度为（D ）1917A. B. ~4C415D.13 7A .在t 时刻该物体的瞬时速度•当时间为A t 时物体的瞬时速度6.已知物体的运动方程为s =t 2+C.从时间t 到t + △ t 时物体的平均速度 D •以上说法均错误 2A . 1在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(曲线y=2sinx 在点P (n, 0)处的切线方程为13. (2012 •宝鸡检测)已知函数f (x ) = x 3 — x 在x = 2处的导数为f '⑵=11,则(D )A . f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时对应的函数值 B. f '⑵ 是曲线f (x ) = x 3— x 在点x = 2处的割线斜率 C. f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时的平均变化率⑵ 是 曲线f (x ) =x 3 — x 在点 x =2处的切线的斜率214. (2012 •上饶检测)函数y = 3x 在x = 1处的导数为( A . 2B . 31215. 设 f (x ) = ax + 4,若 f ' (1) = 2,贝U a 等于(A )16.设曲线y = ax 2在点(1 , a )处的切线与直线 2x — y — 6 = 0平行，则 a 等于(A . 1 B.17.已知曲线 122x y =4的一条切线斜率为 1 —21 一2，则切点的横坐标为18 .曲线 A. e 2B.2e 2C.4e 2D.19 . 函数 f(x)x 2在点(2, f (2))处的切线方程为20 . y 4x 4 B . y 4x 44x曲线y e x 在点A 处的切线与直线0平行, 则点 A 的坐标为(A )1,e 1(B ) 0,1 (C )1,e(D ) 0,221 .A. y 2x 2B.C.2x 2 D. y 2x 222 . 设曲线y x n1 *(n N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ，则捲 X 2 L X n 的值为(B )【答案】B 【解析】试题分析：因为, n n 1x n 1(n ，所以，y' (n 1)x n，曲线yn 1 *x (n N )在点(1,1)处的切线斜率为n+1，切线方程为(n 1)x令 y=0 得，x= —，即 x n ―,n 1 n 1所以 x , x 2 L x n12 32 3 4、填空题23.若质点M 按规律s = 2t 2 — 2运动，则在一小段时间［2,2 +△ t ］内，相应的平均速度_ 8 + 2A t24.已知函数y = f (x )的图像在点M』1 , f (1))处的切线方程是y =产+ 2,则f (1) + f ' (1) = 3325.曲线y = f (x ) = 2x — x 在点(1 , 1)处的切线方程为 _____________ .答案：x + y — 2= 0 26.直线y 2x b 与曲线y x 3ln x 相切，则b 的值为 -3 . ______ 27.(如图所示)函数y f(x)在点P 处的切线方程是y x 8，则f(5) f (5) = 2因为函数 y f (x)在点P 处的切线方程是 y x 8，所以J Q A【答案】 ■【解析】解：因为在两曲线y sinx 和y cosx 的交点(一,)处，两切线的斜率之积等于24 22 12=2即 4x + y — 4 = 0.f 5 =-1,f 5 =-5+8=3，所以f(5) f (5)=2.28 .在两曲线 y sinx 和y cosx 的交点(一,—)处，两切线的斜率之积等于4 ' 2.229.函数y = x 2在x = 处的导数值等于其函数值.2解析：y = f (x ) = X 在x = X o 处的导数值为f '(X o )f ( X 0+A x )— f ( X 0) ymi2=A m ^0( A x + 2x °) = 2x 0.由 2x 0= x °，解得x °= 0或x ° = 2.答案：0或2 230. (2012 •南昌调研)若一物体的运动方程为 s = 3t + 2,求此物体在三、解答题t = 1时的瞬时速度是61 31.求等边双曲线y =-在点x12,2处的切线的斜率，并写出切线方程. A y解析：••• y '=A X =阿1 1 x +A xxA x点£ 2在曲线上,切线的斜率 k = y ' x = 1=—4.二切线方程为y — 2=— 432.已知抛物线f (x ) = ax 2 + bx — 7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x — y — 3= 0，求a , b 的值.a +b — 7 = 1由已知可得2a + b = 4 ，解得a =—4, b =1233. (2012 •榆林调研)已知曲线y = 1x 3上一点P 2, 3。
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
导数的概念及几何意义和导数的运算强化训练
5.1导数的概念及几何意义5.2导数的运算强化训练一、选择题1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是() A．－3B．3 C．6 D．－62、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝π6d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为()A．2πB．πC．π2D．π43、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是()A．[x1，x2] B．[x2，x3]C．[x1，x3] D．[x3，x4]4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是()A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是705、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝()A.－2sin 2x＋2e2xB.sin 2x＋e2xC.2sin 2x ＋2e 2xD.－sin 2x ＋e 2x6、若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( )A.f (0)<f (4)B.f (0)＝f (4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对7、已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )8、曲线f (x )＝2ln x 在x ＝t 处的切线l 过原点，则l 的方程是( )A.2x －e y ＝0B.2x ＋e y ＝0C.e x －2y ＝0D.e x ＋2y ＝09、函数f (x )＝e x －2x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A.2x ＋y ＋e －4＝0B.2x ＋y －e ＋4＝0C.2x －y ＋e －4＝0D.2x －y －e ＋4＝010、已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－111、函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)12、已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72B.(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，72D.(0，3)13、(多选)下列导数的运算中正确的是( )A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x cos x )′＝cos 2x14、(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A.f ′(3)＞f ′(2)B.f ′(3)＜f ′(2)C.f (3)－f (2)＞f ′(3)D.f (3)－f (2)＜f ′(2)15、(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0∈R 使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x二、填空题16、曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________．17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝4 015100－x (80<x <100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t.18、若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝________. 19、曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.20、过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为________.21、曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.22、设函数f (x )＝13x 3＋43，则曲线y ＝f (x )过P (2，4)的切线方程为________.23、设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e4，则a ＝________.24、已知函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －ay －1＝0平行，则实数a ＝________.25、已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.26、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 三、解答题27、求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.28、已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.29、设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.30、已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.5.1导数的概念及几何意义5.2导数的运算强化训练（答案）一、选择题1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(D)A．－3B．3 C．6 D．－62、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝π6d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为(C)A．2πB．πC．π2D．π43、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(D)A．[x1，x2] B．[x2，x3]C．[x1，x3] D．[x3，x4]4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是(C)A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是705、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝(A)A.－2sin 2x＋2e2xB.sin 2x＋e2xC.2sin 2x＋2e2xD.－sin 2x＋e2x6、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(B)A.f(0)<f(4)B.f(0)＝f(4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对7、已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( B )8、曲线f (x )＝2ln x 在x ＝t 处的切线l 过原点，则l 的方程是( A )A.2x －e y ＝0B.2x ＋e y ＝0C.e x －2y ＝0D.e x ＋2y ＝09、函数f (x )＝e x －2x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( C )A.2x ＋y ＋e －4＝0B.2x ＋y －e ＋4＝0C.2x －y ＋e －4＝0D.2x －y －e ＋4＝010、已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－111、函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( B )A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)12、已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 B.(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72D.(0，3)13、(多选)下列导数的运算中正确的是( ABD )A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x cos x )′＝cos 2x14、(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( BCD )A.f ′(3)＞f ′(2)B.f ′(3)＜f ′(2)C.f (3)－f (2)＞f ′(3)D.f (3)－f (2)＜f ′(2)15、(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0∈R 使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( AC )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x二、填空题16、曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝____－2____．17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝4 015100－x (80<x <100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是___40.15_____元/t.18、若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝____－143____. 19、曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为___ y ＝5x ＋2_____.20、过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为___y ＝0或27x －4y ＝0_____.21、曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____2x －y ＝0____.22、设函数f (x )＝13x 3＋43，则曲线y ＝f (x )过P (2，4)的切线方程为___x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0_____.23、设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e4，则a ＝___1_____.24、已知函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －ay －1＝0平行，则实数a ＝___ 13_____.25、已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝____0____.27、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是__(e ，1)______.三、解答题27、求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′ ＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x －cos x （e x ）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .28、已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2).(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12. 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 29、设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又∵f ′(x )＝a ＋b x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.30、已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增. (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（1＋a ）x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a .所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a ).。
(完整版)导数的概念及其几何意义同步练习题(教师版)
导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ B ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ A ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ D ） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ C ）A.4B.4xC.4+2⊿xD.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( D ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －66.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h®+-的值（ B ）A.与x 0，h 有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C. 仅与h 有关，而与x 0无关D. 与x 0，h 都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ C ）A.2B.1C.0D.-1 8.设函数f (x )=，则()()limx af x f a x a®--等于( C )A.1a -B.2aC.21a- D.21a 9. 下列各式中正确的是( D )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( C ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( A ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为(D)A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ A ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -714.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ C ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( A )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( C ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( B ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0ΔsΔt为( ) A ．在t 时刻该物体的瞬时速度 B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度 C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 D ．以上说法均错误解析：选A.根据导数的概念可知，lim Δx →0 ΔsΔt 表示瞬时变化率，即t 时刻该物体的瞬时速度． 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( D )A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时的平均变化率D ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的切线的斜率21.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 解析：选B.f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )．22.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．12解析：选C.f ′(1)＝lim Δx →0 3（1＋Δx ）2－3×12Δx ＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3（Δx ）2－3Δx ＝6. 23.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 解析：选A.∵f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，∴a ＝2.24.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A.令f (x )＝y ＝ax 2，则2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝2a ，故a ＝1.25．已知曲线y ＝x 24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为 ( A )A ．1B ．2C ．3D ．426．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( A )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0二、填空题27. 在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为_Δx ＋2____．28. 若质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt ]内，相应的平均速度_ 8＋2Δt _．29.已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__3___．30．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．答案：x ＋y －2＝031.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．解析：y ＝f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数值为f ′(x 0) ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0.由2x 0＝x 20，解得x 0＝0或x 0＝2.答案：0或2 32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度是 633．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___2x －y ＋4＝0__．34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 . 解析. Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1. lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴ y ′| x ＝1＝12.三、解答题35. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)求当x 1＝4，且Δx ＝0.01时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；解析： f (x )＝2x 2＋3x －5，∴ Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5)＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴ Δy Δx ＝211＝21.(2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝1.92.∴ Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.(3)当x 1＝4，Δx ＝0.01时，Δy ＝2×0.012＋(4×4＋3)×0.01＝0.190 2，∴ Δy Δx ＝0.190 20.014＝19.02.36. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t ＝2 s 时的瞬时速度． 解析： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内(即Δt 时间内)取得的路程增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20.因此，落体在这段时间内的平均速度为v ＝Δs Δt ＝12g t 0＋Δt 2－12gt 20Δt ＝12g (2t 0＋Δt )．(2)落体在t 0时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0v ＝lim Δt →0 12g (2t 0＋Δt )＝gt 0. (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 时，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1 s ，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05g ≈2.05×9.8＝20.09(m/s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 的瞬时速度为v ＝g ×2≈9.8×2＝19.6(m/s)．37. 求等边双曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程． 解析：∵ y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x Δx ＝－1x 2，又 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在曲线上， ∴ 切线的斜率 k ＝y ′⎪⎪⎪x ＝12＝－4.∴ 切线方程为 y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即 4x ＋y －4＝0.38. 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．解析： f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x . 设点P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即点P (2,4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即 2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 39．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．解析：f′(x)＝li m Δx→0 a x ＋Δx 2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝1240. (2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83。
高中数学 2.2.2导数的概念及其几何意义同步练习 北师
2.2.2 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线（ ）
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线241x y =
过点（-2，1），（2，1）的切线方程。
3、已知曲线12-=x y 和其上一点，且这点的横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。
４、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点，求过点),(00y x 的切线方程。
５、求抛物线241x y =
过点（4，47）的切线方程
６、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐标。
７、曲线22
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
参考答案：
1、B
2、答案提示：01=++y x ；01=--y x
3、答案提示：022=++y x
4、答案提示：))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示：0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示：（0，1）
7、答案提示：)2
3,1(。
导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)
导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析：设()af x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12a =，所以12()f x x ==()f x '=，1()14f '=，所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线.2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43πD 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ，1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2(2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'222xx x k ye e --===，∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2(0,)e -，(1,0)，∴221122e S e =⨯⨯=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.4．函数2()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =-B ．44y x =+C ．42y x =+D ．4y =【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。
导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)解析
1导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1.若幂函数(y f x =的图像经过点11(,42A ,则它在A 点处的切线方程是( A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C .20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析:设(af x x =,把11(,42A 代入,得1142a =,得12a =,所以12(f x x =(f x '=,1(14f '=,所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=,选B.考点:幂函数、曲线的切线.2.函数(x e x f xcos =的图像在点((0,0f 处的切线的倾斜角为(A 、4π B 、0 C 、43π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析:由sin (cos ('x x e x f x -=,则在点((0,0f 处的切线的斜率10('==f k ,1.利用导数求切线的斜率;2.直线斜率与倾斜角的关系3.曲线xy e =在点2(2e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析:∵点2(2e ,在曲线上,∴切线的斜率'222xx x k y e e --===,∴切线的方程为22(2y e e x -=-,即220e x y e --=,与两坐标轴的交点坐标为2(0,e -,(1,0,∴221122e S e =⨯⨯=.考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式.4.函数2(f x x =在点(2,(2f 处的切线方程为( A .44y x =-B .44y x =+C .42y x =+D .4y =【答案】A 【解析】试题分析:由x x f 2(='得切线的斜率为42(='f ,又42(=f ,所以切线方程为2(44-=-x y ,即44-=x y .也可以直接验证得到。
高中数学北师大版选修2-2同步训练：(6)导数的概念及其几何意义
（6）导数的概念及其几何意义1、已知曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为210x y ++=,则( )A. ()00f x '=B. ()00f x '<C. ()00f x '>D. ()0f x '不确定 2、已知曲线32y x =上一点()1,2A ,则A 处的切线斜率等于( )A. 2B. 4C. ()2662x x +∆+∆D. 63、设()f x 为可导函数,且满足0(1)(1)lim 1x f f x x→--=,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是( )A.2B.-1C.12D.-24、设()f x 存在导函数,且满足()()0112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆,则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为( )A.2B.-1C.1D.-25、已知点()1,1P -为曲线上的一点, P Q 、为曲线的割线,若当0x ∆→时PQ k 的极限为2-,则在点P 处的切线方程为( )A. 21y x =-+B. 21y x =--C. 23y x =-+D. 22y x =--6、已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A. 3?B. 2C. 1D. 127、设点P 是曲线3y x b =+ (b 为实常数)上任意一点, P 点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )A. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭8、设()f x 为可导函数,且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-,则过曲线()y f x =上点(1,(1))f 处的切线斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-29、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为( ) A. 1 B.4π C. 54π D. 4π- 10、曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为( ) A. 34y x =-B. 45y x =-C. 43y x =-+D. 32y x =-+11、已知函数2y ax b =+在点()1,3处的切线斜率为2,则b a =__________. 12、在曲线323610y x x x =++-的所有切线中,斜率最小的切线方程是__________.13、曲线C 在点()00,P x y 处有切线l ,则直线l 与曲线C 的公共点有__________个14、若函数1()f x x x =-,则它与x 轴交点处的切线的方程为__________ 15、设函数()()32910f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：曲线在某点处的切线的斜率为负,说明函数在该点处的导数也为负.2答案及解析：答案：D解析：∵32y x =,∴()330022'lim lim x x x x x y y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆()()3220332lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆()2202lim 33x x x x x ∆→⎡⎤=∆+∆+⎣⎦26x =.∴1'|6x y ==.∴点()1,2?A 处的切线斜率为6.3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：A解析： ()()0112lim 2x f f x x ∆→--∆∆()()()20121lim '112x f x f f x-∆→-∆-===--∆.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：B 解析：00(1)(12)(12)(1)lim lim 122x x f f x f x f x x→→----==--即'11y x -=-,则()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1-,故选B9答案及解析：答案：B解析：'(),'(1)1f x x k f ===,则tan 1,4k πθθ===故选B.考点:1、导数的几何意义;2、函数的求导.10答案及解析：答案：D解析：由曲线3231y x x =-+,所以2'36y x x =-,曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线的斜率为: 1'|3x y ==-,此处的切线方程为: ()131y x +=--,即32y x =-+.点评:本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程,考查计算能力.11答案及解析：答案：2解析：∵()201lim x a x a x ∆→+∆-∆ ()0lim 222x a x a a ∆→=⋅∆+==, ∴1a =,又231a b =⨯+,∴2b =,即2b a=.12答案及解析：答案：3110x y --=解析：()22'366311,y x x x ⎡⎤=++=++⎣⎦当1x =-时, y '取得最小值3,即斜率最小值为3,又当1x =-时, 14,y =-所以斜率最小的切线方程为()1431,y x +=+即3110.x y --=13答案及解析：答案：至少一解析：由切线的定义,直线l 与曲线在()00,P x y 处相切,但也可能与曲线其他部分有公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个14答案及解析：答案：2(1)y x =-或2(1)y x =+解析：由1()0f x x x=-=得1x ±,即与x 轴交点坐标为(1,0)或(1,0)- ∵()()2001111'()lim lim 11x x x x x x x x f x x x x x x ∆→∆→+∆--+⎡⎤+∆==+=+⎢⎥∆+∆⎣⎦ ∴切线的斜率1122k =+= ∴切线的方程为2(1)y x =-或2(1)y x =+15答案及解析：答案： ∵()()00y f x x f x ∆=+∆-()()()()32320000009191x x a x x x x x ax x =+∆++∆-+∆--+-- ()()()()2320003293x ax x x a x x =+-∆++∆+∆ ∴()()220003293y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆. 当x ∆无限趋近于零时, y x ∆∆无限趋近于200329x ax +-. 即()2000'329f x x ax =+-. ∴()2200'3933a a f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. 当03a x =-时, ()0f x '取得最小值293a --. ∵斜率最小的切线与126x y +=平行,∴该切线的斜率为12-. ∴29123a --=-. 解得3a =±.又0a <,∴3a =-.解析：由Ruize收集整理。
高中数学2.2导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修2-2
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修2-21.函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )．A ．－3B ．－2C ．－5D ．－12．设函数f (x )为可导函数，则0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-∆等于( )． A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C ．12f ′(1)D ．f ′(2) 3．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( )．A ．2B ．12-C ．－2D ．124．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点3)，则在该点处的切线方程是( )．A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋7 5．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，则曲线与切线相切的切点坐标为( )．A ．(1，－8)B ．(－1，－12)C ．(1，－8)或(－1，－12)D ．(1，－12)或(－1，－8) 7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________. 8．已知f (x )在x ＝6处可导，且f (6)＝8，f ′(6)＝3，则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线f (x )＝13x 3－4x ＋4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．参考答案1.答案：A 解析：f ′(2)＝00(2)(2)13(2)(132)limlim x x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ ＝0lim x ∆→(－3)＝－3. 2.答案：B 解析：00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ ． 3.答案：B 解析：因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.4.答案：B 解析：由3＝2a 2＋1，得a ＝1或a ＝－1(舍去)．又∵f ′(1)＝22002(1)1(211)lim lim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4＋2Δx )＝4， ∴在点(1,3)处的切线方程为y －3＝4(x －1)，∴y ＝4x －1.5.答案：B 解析：k ＝3300(2)2lim lim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， ∴过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴a ＝1.6.答案：B 解析：设切点坐标为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 03＋x 0－10. 切线斜率为k ＝3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ =0lim x ∆→(3x 02＋1)＋3x 0·Δx ＋(Δx )2] ＝3x 02＋1＝4，∴x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－8；当x 0＝－1时，y 0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12)．7.答案：3 解析：f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.答案：48 解析：f ′(6)＝3，∴6()(6)lim 6x f x f x →--＝3. ∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝6[()(6)][()(6)]lim 6x f x f f x f x →-+- ＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48.9.答案：解：Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3＋2(Δx )2， ∴13y x ∆=∆(Δx )2＋2Δx ， ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦＝0， 即k ＝f ′(2)＝0.∴直线l 的方程为y ＝－1.10.解：f ′(1)＝220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝3， 即l 1的斜率为k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 02＋x 0－2)， ∴f ′(x 0)＝2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ ＝0lim x ∆→(2x 0＋Δx ＋1)＝2x 0＋1， 则直线l 2的斜率为k 2＝f ′(x 0)＝2x 0＋1.又∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即3(2x 0＋1)＝－1，∴x 0＝23-，y 0＝22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭－2＝209-. ∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率k 2＝13-， ∴直线l 2的方程为y ＋2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3x ＋9y ＋22＝0.。
湘教版 作业 3.1.3 导数的概念和几何意义
3．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A.B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 答案 D解析 f (x ＋d )－f (x )d ＝(x ＋d )2－x 2d ＝2x ＋d当x →0时，2x ＋d →2x ， ∴f ′(x )＝2x .∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12C ．－12D ．－1答案 A解析 f (x ＋d )－f (x )d ＝a (x ＋d )2－ax 2d ＝2ax ＋ad .当d →0时，2ax ＋ad →2ax ， ∴f ′(x )＝2ax . ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件Δx →0时，f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案 －4 解析 由Δx →0时f (1)－f (1－x )2x ＝－2，知12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解 f (x ＋d )－f (x )d ＝3(x ＋d )2－4(x ＋d )＋2－(3x 2－4x ＋2)d＝6x＋3d－4.当d→0时，6x＋3d－4→6x－4，∴f′(x)＝6x－4.曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率为：f′(1)＝6×1－4＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.二、能力提升8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．2B．3C．4D．5答案 A解析易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.答案 3解析f(x＋d)－f(x)d＝2(x＋d)2－4(x＋d)＋P－(2x2－4x＋P)d＝4x＋2d－4.当d→0时，4x＋2d－4→4x－4.∴f′(x)＝4x－4.设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P＝1，即P＝3.10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 解析 f (x ＋d )－f (x )d ＝(x ＋d )2＋2(x ＋d )＋3－(x 2＋2x ＋3)d＝2x ＋d ＋2当d →0时，2x ＋d ＋2→2x ＋2， ∴f ′(x )＝2x ＋2.∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12， ∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)f (x ＋d )－f (x )d ＝(x ＋d )2＋4－(x 2＋4)d＝2x ＋d当d →0时，2x ＋d →2x ， ∴f ′(x )＝2x .∴f ′(－2)＝－4，f ′(3)＝6.即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x2＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x2＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9∴f′(x0)＝3(x0＋a3)2－9－a23.当x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.三、探究与创新13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数A.B.c的值．解f(x＋d)－f(x)d＝a(x＋d)2＋b(x＋d)＋c－(ax2＋bx＋c)d＝2ax＋ad＋b.当d→0时，2ax＋ad＋b→2ax＋b.∴f′(x)＝2ax＋b.∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①又f′(2)＝4a＋b.∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.。
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导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析：设()af x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12a =，所以12()f x x ==()f x '=，1()14f '=，所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线.2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43πD 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ，1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2(2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'222xx x k ye e --===，∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2(0,)e -，(1,0)，∴221122e S e =⨯⨯=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.4．函数2()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =-B ．44y x =+C ．42y x =+D ．4y =【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。
考点：导数求法及几何意义5．曲线e xy =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）()11,e -- （B ）()0,1（C ）()1,e （D ）()0,2【答案】B 【解析】试题分析：直线30x y -+=的斜率为1，所以切线的斜率为1，即 0'1x k y e===，解得00x =，此时01y e ==，即点A 的坐标为()0,1.考点：导数的几何意义.6．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 等于 （ ） A. 2 B. 12 C. 12- D. 2-【答案】D 【解析】试题分析：由()()()221112111x x x y y x x x --++'=⇒==----曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线的斜率为12k =-; 又直线10ax y ++=的斜率为a - ,由它们垂直得()1122a a -⨯-=-⇒=-考点：导数运算及导数的几何意义,直线间的位置关系7．已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-6【答案】D 【解析】试题分析：421y x ax =++，342y x ax '∴=+，当1x =-时，8y '=，即()()341218a ⨯-+⨯-=，即428a --=，解得6a =-.考点：函数图象的切线方程8．曲线y=2sinx 在点P （π，0）处的切线方程为 （ ）A. π22+-=x yB. 0=yC. π22--=x yD. π22+=x y【答案】A 【解析】试题分析：因为，y=2sinx ，所以，y'2cosx =，曲线y=2sinx 在点P （π，0）处的切线斜率为-2，由直线方程的点斜式，整理得，曲线y=2sinx 在点P （π，0）处的切线方程为π22+-=x y ，选A 。
考点：导数的几何意义点评：简单题，曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。
9．若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则根据导数公式可知，2y'3x +a =，将x=0代入可知，y ’=2,故可知a=2，因此答案为C. 考点：导数的几何意义点评：主要是考查由于导数求解曲线的切线方程的运用，属于基础题。
10．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b ==- D ．1,1a b =-=-【答案】A 【解析】试题分析：因为，2y x ax b =++，所以，'2y x a =+，由切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
a=1,将x=0代入直线方程得，y=1,所以，1,1a b ==，故选A 。
考点：本题主要考查导数的几何意义。
点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
11．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅L 的值为（ ）A ．1n B ． 11n + C ． 1nn + D ． 1 【答案】B 【解析】试题分析：因为，1*()n y xn N +=∈，所以，'(1)n y n x =+，曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线斜率为n+1，切线方程为(1)y n x n =+-，令y=0得，x=1n n +，即1n nx n =+， 所以12n x x x ⋅⋅⋅L 123...2341n n =⨯⨯⨯⨯+=11n +。
选B 。
考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。
点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
最终转化成确定数列的通项公式问题。
12．已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂直，则为（ ） A ． 3 B ． C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由导数的几何意义可求曲线y=x 3在（1，1）处的切线斜率k ，然后根据直线垂直的条件可求a b的值. 解：设曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线斜率为k ，则k=f′（1）=3 因为直线ax-by-2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂直,13a b=-，故选D. 考点：导数的几何意义点评：本题主要考查了导数的几何意义：曲线在点（x 0，y 0）处的切线斜率即为该点处的导数值，两直线垂直的条件的运用．属于基础试题． 13．函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是 A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x 【答案】A 【解析】 试题分析：∵xxx f +=1cos )(，∴2(1)sin cos ()(1)x x x f x x -+-'=+，∴在)1,0(处的切线斜率k=2(10)sin 0cos 0(0)1(10)f -+-'==-+，∴在)1,0(处的切线方程为y-1=-1（x-0）即01=-+y x ，故选A 考点：本题考查了导数的几何意义点评：)(x f 在0x x =处导数)(0'x f 即为)(x f 所表示曲线在0x x =处切线的斜率,即)(0'x f k =,则切线方程为:))(()(00'0x x x f x f y -=-14．若2()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ）A. －2B. －4C. 2D. 0 【答案】B 【解析】试题分析：∵2()2'(1)f x xf x =+，∴()2'(1)2f x f x '=+，∴(1)2f '=-，∴ ()24f x x '=-，∴(0)4f '=-，故选B 考点：本题考查了导数的运用点评：利用导数法则求解导函数，然后代入函数求值是解决此类问题的常用方法15．已知函数()4f x ax =+,若0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】A 【解析】 试题分析：∵0(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆，∴(1)2f '=，又()f x a '=，∴2a =，故选A考点：本题考查了导数的概念及运算点评：掌握导数的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题。
二、填空题16．曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 【答案】31y x =+【解析】试题分析：由2'++=x x xe e y ,得32|'00=+===e y k x ，所以所求点（0,1）处的切线方程为：)0(31-=-x y ，即31y x =+.考点：利用导函数处理曲线的切线方程17．函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为221+=x y ，则)1()1(f f '+=______ 【答案】3【解析】试题分析：由题意可知()()21121|1='⇒=='=f k x f x 切，()2521211=+⨯=f ，所以)1()1(f f '+3=. 考点：导数的几何意义.18．直线2y x b =+与曲线3ln y x x =-+相切，则b 的值为 . 【答案】-3【解析】试题分析：由3ln y x x =-+得3'121y x x=-+=⇒=，得切点为(1,1)-，代入切线得3b =-.考点：利用导数求切线方程. 19．已知曲线1*()()n f x xn N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++L 则的值为 .【答案】-1【解析】20．(如图所示）函数)(x f y =在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+=【答案】2【解析】试题分析：因为函数)(x f y =在点P 处的切线方程是8+-=x y ，所以()()'5=-1,5=-5+8=3ff ，所以)5()5(f f '+=2.考点：导数的几何意义。