第二章 单纯形法

函数约束的增广矩阵为：
2 3 1 0 100 A, b 4 2 0 1 120
很显然 R（A） = R（A，b）= 2 < 5，即 该方程组有无穷多组解。
系数矩阵为：
2 3 1 0 A 4 2 0 1 1 2 3 4
*
T
z 42
*
几何意义
X1=(0,6,8,0,12)T
x2
9 6 3
X2=(4,6,4,0,0)T
D
C(4,6)
x1 =8 2x2 =12 B A x1
0 X0 =(0,0,8,12,36)T
4
8
12
3x1 +4 x2 =36
2.2 单纯形法的计算过程
2.2.1 单纯形表 方程组形式的单纯形法求解LP问题使用起来很不 方便，为便于单纯形法的计算、判断和检验，人们设 计了若干种形式不同的迭代表格，但其基本思想都是 一致的。下面的一种表格就是为了用更简洁、紧凑的 方式描述方程组形式单纯形法的计算步骤，兼有增广 矩阵的简明性和便于检验的优点而专门设计的，使用 较为广泛，一般称为单纯形表。
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
增加的单位产品对目标函数的 贡献值，这就是检验数的概念。
只要目标函数表达式中还存在 正检验数，就需要把它所对应的非 基变量变为基变量！
单纯形法一次只能把一个非基变量变为基变量
选择先将哪个非基变量变为基变量？ 增加单位产品甲比增加单位产品乙对目 标函数值的贡献大。（检验数大） 一般选择正系数最大所对应的那个非基 变量作为换入变量，将它换入到基变量中 去，与此同时还要确定基变量中有一个要 换出来变为非基变量！
3 z 180 x2 x4 2
x 1 x 1 x 20 2 3 4 2 4 1 3 x1 x3 x4 20 4 8
3 z 180 x2 x4 2 1 1 3 180 20 x3 x4 x4 2 4 2 1 5 200 x3 x4 2 4
1 0 1 0 0 8 A, b 0 2 0 1 0 12 3 4 0 0 1 36
R A R A, b 3 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解。
1 0 0 B 0 1 0 为基矩阵 取 0 0 1 基变量为： x , x , x
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
x3 100 2 x1 0 x4 120 4 x1 0
100 120 120 x1 m in , 30 2 4 4
当且仅当 x1 30 时，原基变量中才有一个 变量等于0，即 x4 0，故选择 4 离基。 因此可以确定：
x
100 120 120 x1 m in , 30 2 4 4
几个名词
进基、进基变量 离基、离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/主方程 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大（600>400），故先把非 基变量 x1 变成基变量，称为让 x1 进基，同时称 x1 为进基变量。
最大检验数规则
若记检验数为 j j 1,2, , n ，其中包括 基变量的检验数（它们全部为0），最大检验数规 则的数学表达式为：
这样既确定了离基变量，同时又保证另外的 基变量 x3 0 ，也即保证了下面转换得 到的解仍然是一个基本可行解。
记得：满足条典！！！
为了求得以 x1 , x3 为基变量的一个新的 基本可行解，又为使其满足条典，以便检验 它是否最优，必须对方程组进行一番初等变 换，其主要目的是让进基变量 x1 的系数列 向量变为单位向量。 在这里，我们把上式中的最小比值120/4 的分母4称为主元。主元所在方程为主方程。
z 3 x1 5 x2 12 x4 3 x1 5 2 5 30 3 x1 x4 2
1 3 0
x1 为进基变量
由最小比值规则有：
12 12 8 m in , , 3 3 1
3是主元，其所在方程为主方程，且
x5 为离基变量。
经济含义—— 分别生产甲、乙产品20个，此时可获得 利润200百元。
X 2 20,20,0,0 Z 200
分析
1 5 z 200 x3 x4 2 4 目标函数中的非基变量的系数无正数， 即所有检验数小于或等于0 则有—— T * X 20,20,0,0 是最优解 * z 200 是最优值
换基运算
得到：
1 2 x x x 40 2 3 4 2 1 1 x1 x2 x4 30 2 4
z 6 x1 4 x2 1 1 6 30 x2 x4 4 x2 2 4 3 180 x2 x4 2
令新的非基变量 x2 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
5 z 30 3x1 x4 2 1 5 2 30 3 4 x4 x5 x4 3 2 3 1 42 x4 x5 2
1 4 0, 5 1 0 2
此时得到的基本可行解也就是最优解。 即：
X 4,6,4,0,0
运筹学第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法（Simplex Method）是美国著名运 筹学家丹捷格（Dantzig）1947年首先提出的。 该方法简捷、规范，是举世公认的解决LP问 题行之有效的通用方法。 单纯形法不仅是解决LP问题的最基本的算法 之一，而且成为解决整数规划和非线性规划某 些算法的基础。
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
下面的计算都是以它为初始点逐次实施转 换，故将其称为初始基本可行解。
此时，Z=0，其经济含义为：该企业没 有安排甲、乙两种产品的生产，当然也 就没有利润可言。
max z 6x1 4x2 0x3 0x4
条典
初始基本可行解所对应的可行基是一 个m阶的单位阵； 目标函数表达式中所有的基变量的系 数全部为0。
2.1.2 单纯形法的几何意义
性质：LP问题的一个基本可行解与可行域 的一个极点互相对应。
X 0,0,100,120T 对应O（0，0）点 0
X 1 30,0,40,0 对应C（30，0）点
T
X 2 20,20,0,0
T
对应B（20，20）点
例2
用单纯形法的方程组形式求解下列LP问题
百度文库小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T


max j j 0 k
对于本例，则有
故选择让
x1 进基。
max 6,4 6 1
当确定一个非基变量进基后，相应的 就要从基变量中换出某一个基变量，使 其变为非基变量，称为让该变量离基， 同时称其为离基变量。如何选择离基变 量呢?
x2 仍为非基变量即 x2 0
经济含义—— 只安排生产甲产品30个单位，此时可获得 利润180百元。
X1 30,0,40,0 Z 180
这个方案比前方案优，但是否已经是最优？ 分析：
非基变量 x2 的系数仍为正数，由最大检 验数规则，则确定 x2 为进基变量。再按 最小比值规则，确定 x3 为离基变量。 主方程中所含的基变量就是离基变量。
决策变量向量为： X
x1 , x2 , x3 , x4
T
选取 为基 则 x3 , x4 为基变量，x1 , x2 为非基变量
B 3
1 0 4 0 1
令非基变量 x1 x2 0 ，则可以得到一基本 可行解为： T
X 0 0, 0, 100, 120
m ax z 3 x1 5 x2 8 x1 2 x2 12 s.t. 3 x 4 x 36 1 2 x1 , x2 0
将其化为标准形得：
max z 3 x1 5 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x3 8 x1 2 x2 x4 12 s.t. 3 x 4 x x 36 1 2 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
2.1.1 方程组形式的单纯形法
例1 一个企业需要同一种原材料生产 甲、乙两种产品，它们的单位产品所需 要的原材料的数量及所耗费的加工时间 各不相同，获得的利润也不相同（如下 表）。请问，该企业应如何安排生产计 划，才能使获得的利润达到最大？
甲 原材料 （吨）
加工时间
乙 3 2
2 4
可利用 的资源 总量 100
120
（小时）
单位利润
（百元）
6
4
解：该问题的LP模型为
max z 6 x1 4 x2 2 x1 3 x2 100 s.t. 4 x1 2 x2 120 x , x 0 1 2
将该问题的LP模型化为标准形
max z 6 x1 4 x2 100 2 x1 3 x2 x3 s.t. 4 x1 2 x2 x4 120 x , x , x , x 0 1 2 3 4
3 4 5
非基变量为： x1 , x2 令非基变量 x1 x2 0 容易得到初始基本可行解为：
X 0 0,0,8,12,36
T
z0 0
3,5 5 2 max
x2 为进基变量
0 x3 8 x4 12 2 x2 0 x 36 4 x 0 2 5
这是单纯形法所必需的！！！
分析目标函数表达式
max z 6x1 4x2 0x3 0x4
非基变量的系数都是正数，若将它们转换 为基变量，目标函数值则就会可能增加。 经济含义：每分别多生产一个单位产品甲、 乙，目标函数值分别增加6、4，即利润分 别增加600元、 400元。