中考数学专题找规律
初三找规律练习题
初三找规律练习题
在初三数学学习中，找规律是一个非常基础且重要的内容。
通过找规律，可以提高解题的速度和准确性，也有助于培养逻辑思维和问题解决能力。
本文将为大家提供一些初三找规律练习题，帮助同学们巩固和提高这方面的能力。
1. 数列规律题
(1) 2，4，8，16，32，... 下一个数是多少？
(2) 1，3，6，10，15，... 下一个数是多少？
(3) 1，4，9，16，25，... 下一个数是多少？
2. 图形规律题
(1) 下面的图形中，哪个是不同的？
□ □ □ □
□ □ □ ■
■ □ ■ □
□ □ □ □
(2) 下面的图形中，第几个是和其他不同的？
▲ ▲
▲▲ ▲▲
▲▲▲ ▲▲▲
▲▲▲▲ ▲▲▲▲
(3) 继续下面的图形，形成一个规律：
★
★★
★★★
★★★★
★★★★★
3. 数字逻辑题
(1) 请写出下面数字序列的规律： 2，4，8，16，32，64
(2) 请写出下面数字序列的规律： 1，4，9，16，25，36
(3) 请写出下面阴影图案的规律并填写问号处的数字：
■■■
■■■
■?■
■■■
以上是一些初三找规律练习题，同学们可以根据自己的理解和思考，分析规律，并给出答案。
通过反复练习，可以提高自己的观察力和发
现规律的能力。
希望同学们能够善于思考，积极解题，提高数学能力。
祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。
中考数学复习专题——找规律(含答案)
中考数学试复习专题——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．1 2 3n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …6、如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示，并写成最简形式）.○○○○○○○○○○○○○●●○○●●●○○●○○●●○○●●●○○○○○○○○○●●●○○○○○○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．9、如图２，用n表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n的关系是10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。
11、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为．12、观察下列各式：3211=332123+=33221236++=33332123410+++=……猜想：333312310++++=．第一个第二个第三个……第n个第一排第二排第三排第四排6┅┅10 9 8 73 2154答案解析：1解析：1时，5．n再每增加一个数时，m就增加3个数．解答：根据所给的具体数据，发现：8=5+3，11=5+3×2，14=5+3×3，…．以此类推，第n个圈中，5+3（1）=32．2解析：分析可得：第1幅图中有1×2-1=1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有3×2-1=5个，…，故第n幅图中共有21个3解析：在4的基础上，依次多3个，得到第n个图中共有的棋子数．观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个．即第n个图中有4+3（1）=31．当6时，即原式=19．故第6个图形需棋子19枚4解析：此题只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解．解答：解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以15+3=18．表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所24+25-20+1=30．表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即28．故选D．认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1，2，3，…；第二列是对应第一列的2倍；等三列是对应第一列的3倍5解析：据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+（10-1）2=181个．解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个10×10的正方形图案中，完整的圆共有102+（10-1）2=181个．点评：本题难度中等，考查探究图形的规律．本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案．6解析：解：第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有（32-12）枚；第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有（42-22）枚；…由此可推出想第n个图案的白色棋子数为（2）22=4（1）．故第n个图案的白色棋子数为（2）22=4（1）．点评：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论7解析：根据题意分析可得：搭第1个图形需12根火柴；搭第2个图形需12+6×1=18根；搭第3个图形需12+6×2=24根；…搭第n个图形需12+6（1）=66根．解答：解：搭第334个图形需6×334+6=2010根火柴棒8解析：寻找规律，然后解答．每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．解答：解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．实数15=1+2+3+4+5，则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．故答案填：（6，5）．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．9解析：根据题意分析可得：第n行有n个小圆圈．故f（n）和n的关系是ƒ（n）= （n2）．10解析：根据题意可得：第n行有n个数；且第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的绝对值为；奇数为正，偶数为负；故第50行的最后一个数是1275．解答：解：第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的绝对值为，奇数为正，偶数为负，第50行的最后一个数是1275第一个图中白色正方形的个数为3×3-1；第二个图中白色正方形的个数为3×5-2第三个图中白色正方形的个数为3×7-3；…当其为第n个时，白色正方形的个数为3（21）5312解析：根据所给的等式，可以发现右边的底数是前边的底数的和，指数是平方，则最后的底数是1+2+310=5×11=55，则原式=552．解答：解：根据分析最后的底数是1+2+310=5×11=55，则原式=552．故答案552。
2022年中考数学专题复习 找规律题(含解析)
2022年中考数学专题复习：找规律1.以下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．假设圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，那么这9个数的和为【】．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，那么最小数为x－16。
∴x〔x－16〕=192，解得x=24或x=－8〔负数舍去〕。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。
和为144。
应选D。
2.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排10场比赛，那么参加比赛的球队应有【】A．7队B．6队C．5队D．4队【答案】C。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打〔x－1〕场球，第二个球队和其他球队打〔x－2〕场，以此类推可以知道共打〔1+2+3+…+x－1〕= x(x1)2-场球，根据方案安排10场比赛即可列出方程：x(x1)102-=，∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4〔不合题意，舍去〕。
应选C。
3.观察以下一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ． 【答案】2k2k+1。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕。
【分析】根据得出数字分母与分子的变化规律：分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，∴第k 个数分子是2k ，分母是2k +1。
∴这一组数的第k 个数是2k2k+1。
4. 填在以下各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ．【答案】900。
初三规律题的解题技巧
初三规律题的解题技巧
初三数学规律题解题技巧
一、发现找规律的方法
观察题目所给的数或式子，分析它们之间的相互联系，从而发现数或式子的变化规律。
二、掌握找规律的方法
1. 标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列数，要求我们根据这些数的变化规律找出其中的规律。
对于较复杂的找规律题，我们可以先将各个数列出来，然后分析它们的变化趋势，再根据前后的变化关系找出规律。
2. 试探法：有些题目，我们无法从整体上分析出规律，这时我们可以采用试探法。
从数列的第一个数开始，依次代入到公式中，观察结果的变化，从而找出规律。
3. 归纳法：对于一些较为复杂的找规律题目，我们可以采用归纳法。
通过对给出的数列进行观察和分析，归纳出数列中数的变化规律。
三、运用所发现的规律解题
根据所发现的规律，将题目中的数或式子代入到规律中，从而求出答案。
总之，解答初三数学规律题需要我们认真观察、分析、归纳和运用所发现的规律，从而找到解题的方法。
十道初中数学找规律的题型及解题思路
十道初中数学找规律的题型及解题思路这里有10道初中数学找规律的题目，涵盖了常见的数列、图形等多种类型，希望能帮助学生更好地掌握找规律的技巧：数列找规律1.等差数列：1.1, 4, 7, 10, ... 下一个数是多少？2.100, 97, 94, ... 第10个数是多少？2.等比数列：1.2, 4, 8, 16, ... 第8个数是多少？2.81, 27, 9, ... 第6个数是多少？3.混合数列：1.1, 4, 9, 16, 25, ... 下一个数是多少？（提示：考虑每个数的平方）2.2, 5, 10, 17, ... 下一个数是多少？（提示：观察相邻两数的差）4.周期数列：1.1, 2, 3, 1, 2, 3, ... 第20个数是多少？2.A, B, C, A, B, C, ... 第100个数是多少？图形找规律图形的变化：1.一组图形，每个图形由小方块组成，观察图形的变化规律，画出下一个图形。
图形的旋转：1.一个图形不断旋转，观察旋转的规律，画出旋转后的图形。
图形的翻转：1.一个图形不断翻转，观察翻转的规律，画出翻转后的图形。
数字与图形结合数字与图形对应：1.一组图形，每个图形对应一个数字，找出数字与图形之间的对应关系。
图形中的数字规律：1.一个图形中包含多个数字，找出数字之间的规律。
综合题型1.数字和图形的综合：1.一组图形和数字交替出现，找出数字和图形之间的关系。
解题技巧：•观察：仔细观察数列或图形的变化规律，找出其中的共同点和差异点。
•比较：比较相邻的数或图形，找出它们的递增、递减或其他变化关系。
•联想：将题目与以前学过的知识联系起来，寻找解题思路。
•归纳：根据观察和比较的结果，归纳出一般性的规律。
•验证：将得到的规律代入后面的数或图形中进行验证，确保规律的正确性。
注意事项：•找规律题的答案可能不唯一，只要找到一种合理的规律即可。
•遇到困难时，可以尝试从不同的角度去观察和分析。
初三专题---找规律
中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。
（1）请你利用这个几何图形求的值为。
（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。
【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。
若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。
则第10圈的长为。
【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。
在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。
依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。
三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第七个数据是 。
【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。
【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
初中数学之10大找规律方法总结
初中数学之10大找规律方法总结
找规律是数学研究过程中十分重要的一个环节，下面总结了初
中数学中常用的10种找规律方法，希望能够对同学们的研究有所
帮助。
1. 相邻两项间的关系：找出相邻两个数之间的规律，如公差、
倍数关系等。
2. 累加法：将所求的数字列出来累加，看其和与第几项相关。
3. 累乘法：将所求的数字列出来累乘，看其积与第几项相关。
4. 因式分解法：将数字进行因式分解，观察其因子，找出规律。
5. 奇偶性法：观察数字的奇偶性和结尾数字的规律。
6. 交错相加法：在一串数字中，用加减交替的方法，找出数字
之间的规律。
7. 格式法：观察数字的表达方式，如小数、分数等，找到其规律。
8. 取整型列举法：将数字取整后列举出来进行分析找规律。
9. 归纳法：根据前几项找出规律，得到通项公式，推导出后面
的答案。
10. 逆向思维法：找出已知答案与所求数的关系。
以上10种方法可以根据题目的不同特点和难度灵活组合使用，既可以单独使用其中一种方法，也可以多种方法结合使用，找出有
用的部分，最终得出正确答案。
希望以上总结能够帮助同学们更好地理解并掌握找规律的方法，提高数学解题能力。
初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析(50道)
初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析(50道) 初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．观察上述图形并阅读相关文字，思考回答问题：显然四边形对角线有2条；五边形的对角线有5条；对于六边形的对角线条数，光靠“数”数，也能数出来，但已感到较麻烦！需寻找规律！从一个顶点A出发，显然有3条，同理从B出发也3条，每个顶点出发都是3条，但从C顶点出发，就有重复线段！用此方法算出六边形的对角线条数为a；且能归纳出n边形的对角线条数的计算方法；若一个n边形有35条对角线，则a和n的值分别为（）A．12，20 B．12，15C．9，10 D．9，122、寻找规律计算1 - 2+3 - 4+5 - 6+…+2021 - 2021等于 ( ) A．0 B．- 1 C．- 1008 D．10083、观察下列各式并找规律，再猜想填空：，则______ ．4、观察一列数：是（），，，，，……根据规律，请你写出第10个数A．C．B． D．共 20 页，第 1 页二、填空题5、观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：6、找规律填空：……7、已知察上面的计算过程，寻找规律并计算：= ．…，观8、观察分析下列数据，寻找规律：0，据应是_________.，，3，2，……那么第10个数9、找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起。
① 2张桌子拼在一起可坐______人；（1分） 3张桌子拼在一起可坐______人；（1分） n张桌子拼在一起可坐______人。
（3分）②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。
（3分）共 20 页，第 2 页10、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_________________．11、找规律填上合适的数：-2，4，-8，16，，64，……………12、用火柴棒按以下方式搭“小鱼”．…………搭1条“小鱼”需用8根火柴棒，搭2条“小鱼”需用14根火柴棒，搭3条“小鱼”需用20根火柴棒……观察并找规律，搭10条“小鱼”需用火柴棒的根数为．13、观察分析下列数据，寻找规律：0，么第10个数据应是．，，3，2，，3，……，那14、填空找规律(结果保留四位有效数字)． (1)利用计算器分别求：＝________；(2)由(1)的结果，我们发现所得的结果与被开方数间的规律是________； (3)运用(2)中的规律，直接写出结果：＝________，＝________．＝________，＝________，＝________，15、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a+b+c的值为．共 20 页，第 3 页16、找规律填上合适的数：﹣2，4，﹣8，16，，64，…17、观察下列数据：0，，，，，……,寻找规律，第9个数据应是 .18、观察烟花燃放图形，找规律:依此规律，第9个图形中共有_________个★.19、观察并分析下列数据,寻找规律: 0，,-,3,-2,,-3,……那么第10个数据是___________ ；第n个数据是_______________ .20、观察一下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:______________________.21、寻找规律，根据规律填空：，，，，，，…，第n个数是 .22、找规律,并按规律填上第五个数:.23、阅读下文，寻找规律．计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x，（1﹣x）（1+x+x）=1﹣x，（1﹣x）（1+x+x+x）=1﹣x…．（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x+…+x）= ．（2）根据你的猜想，计算：1+3+3+3…+3= ．（其中n是正整数）23n2n42323共 20 页，第 4 页24、找规律，如图有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中有个。
全国中考数学必考找规律题型总结
中考数学找规律典型题总结1、如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。
如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。
2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。
3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：A 、618B 、638C 、658 D 、6784、如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子。
6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上” 字分别需用 和 枚棋子；（2）第n 个“上”字需用 枚棋子。
7、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮(1)(2)(3)第4题住的部分有_______颗.8、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点，第n个图形中有个点。
9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”。
初中数学找规律常见公式
初中数学找规律常见公式找规律和常见公式是初中数学的重要内容之一，掌握了这些规律和公式可以帮助我们更快地解题，提高解题效率。
下面是一些常见的找规律和公式，供你参考：一、四则运算中的规律1.加法规律：a+b=b+a（交换律）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）a+0=a（零元素）2.乘法规律：a×b=b×a（交换律）(a×b)×c=a×(b×c)（结合律）a×1=a（单位元素）a×0=0（零元素）a×(b+c)=a×b+a×c（分配律）3.减法规律：a-b≠b-a（减法没有交换律）4.除法规律：a÷b≠b÷a（除法没有交换律）a÷0是没有意义的（除数不能为0）二、尺规作图中的规律1.垂直线和水平线的交点为直角。
2.两直线相交，相对角相等，即对顶角互等。
3.两直线平行，对应角相等。
4.两直线平行，交叉线与其中一条直线所成的内角和为180°。
三、等差数列和等比数列中的公式1.等差数列（通项公式）：an = a1 + (n - 1) × d其中，an 表示第n项，a1 表示首项，d 表示公差。
2.等差数列（前n项和公式）：Sn = (a1 + an) × n ÷ 2其中，Sn表示前n项和。
3.等比数列（通项公式）：an = a1 × q^(n - 1)其中，an 表示第n项，a1 表示首项，q 表示公比。
4.等比数列（前n项和公式）：Sn=a1×(q^n-1)÷(q-1)其中，Sn表示前n项和。
四、平面图形中的规律和公式1.正方形的对角线相等。
2.矩形的对角线相等。
3.平行四边形的对角线互相平分。
4.直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
5.等腰三角形中，底边上的高相等。
6.面积公式：长方形的面积：S=长×宽三角形的面积：S=底×高÷2平行四边形的面积：S=底×高梯形的面积：S=(上底+下底)×高÷2圆的面积：S=π×r^2其中，S表示面积，π表示圆周率，r表示半径。
中考数学找规律题总结
探索规律与定义新运算知识集结知识元数字规律知识讲解数字规律就是一列数按一定规律排列起来，常见的规律有：1、正整数规律：1、2、3、4、5、……可以表示为n（其中n为正整数）2、奇数规律：1、3、5、7、9、……可以表示为（其中n为正整数）3、偶数规律：2、4、6、8、10、……可以表示为2n（其中n为正整数）4、正、负交替规律变化：一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为（2）+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为5、平方数规律：1、4、9、16、……可以表示为（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2例题精讲数字规律例1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n个数是.例2.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。
例3.观察下列算式：；；；，…（1）左边各项的底数与右边幂的底数之间的关系是什么？（2）猜想的规律是什么？（3）用第五个关系式进行验证。
算式规律知识讲解算式规律就是一些等式按一定的规律排列起来，这类规律寻找的方法一般是：应对的一般原则：①找出等式中的各个部分；②找出等式中的各个部分中不变的部分；③找出等式中的各个部分中变化的部分、并寻找他们的变化规律.例题精讲算式规律例1.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。
例2.观察下列各式：；；；；…，把发现的规律用含自然数的式子表示:_______________________。
数字循环的规律知识讲解循环排列规律是运动着的规律，就是一列数或图形按几个固定的数或图形循环重复出现，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可，关键是找出“循环节数”。
初中数学找规律题型总结
初中数学找规律题型总结类型一：数字型规律题需要熟记的规律：正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…熟记常见的规律：① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦ 12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=14n2(n+1）解题方法1——看增幅：（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，例1：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2例2：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1例3：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. 解题方法2——标号找规律：通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
初中数学找规律的方法与技巧
初中数学找规律的方法与技巧1. 哎呀呀，初中数学找规律呀，那首先咱得瞪大眼睛仔细瞧！比如说数列 1，3，5，7，9，这不就是相邻两个数相差 2 嘛，那下一个数不就很容易猜出来是11 啦！这就像走在路上找脚印，顺着就能发现下一步往哪儿走。
2. 嘿，你还可以用画图的办法来帮忙找规律呢！像图形的排列规律，你就画出来看看嘛。
比如三角形、正方形、三角形、正方形这样的排列，一画就明白接下来该是三角形啦！就好像给图案排队，一下子就清楚顺序啦。
3. 还有哇，把数字拆开来分析也超有用的呢！像 123，234，345，你看每个数的个位、十位、百位是怎么变化的，不就能找到规律啦！这多像拆礼物一样，一层一层解开就发现里面的奥秘啦。
4. 哇塞，你可别小瞧了计算哦！通过计算前后数的差值或者比值也能找到规律呢。
比如 2，4，8，16，算一下比值都是 2 呀，那下一个肯定是 32 啦！这不就跟升级打怪一样，知道了打法就不难啦。
5. 咱还可以从特殊到一般来找规律呢！先找几个特殊的例子看看，然后总结出一般的规律。
就好像从几个小朋友身上发现他们共同的爱好，那这就是大家普遍的特点啦。
6. 哈哈，别忘了观察数字的奇偶性呀！奇数偶数的分布有时候也藏着规律呢。
像 1，4，9，16，奇数位置和偶数位置就有不同的规律呢！这就像区分男生女生，特点一下子就出来了嘛。
7. 找规律的时候要大胆假设呀！觉得是什么规律就试试看嘛。
如果不对再换个想法，就像试衣服一样，这件不合适就换另一件呗。
8. 记住，细心和耐心是关键哟！千万别着急，慢慢找肯定能发现规律。
就跟找宝藏一样，得慢慢挖才能找到呀！我觉得呀，初中数学找规律并不难，只要掌握了这些方法与技巧，再加上自己的细心观察和思考，就能轻松搞定啦！。
中考数学专题复习找规律问题之固定累加型
中考数学专题复习找规律问题之固定累加型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒…，则第7个图形有（ ）根火柴棒．A ．16B ．22C ．15D ．212．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（ ）A ．2020352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．2021352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．4040352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．4042352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．一组按规律排列的多项式：233547,,,,,a b a b a b a b +-+-其中第n （n 为正整数）个式子的次数是（ ） A ．nB ．21n -C ．31n -D ．2n4．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第一个图中有6枚棋子，第二个图中有9枚棋子，第三个图中有12枚棋子，第四个图中有15枚棋子，…若第n 个图中有2019枚棋子，则n 的值是（ ）． A ．670 B ．671C ．672D ．6735．电子跳蚤在数轴上的点K处，第一步从K向右跳1个单位到1K，第二步由1K向左跳2个单位到2K，第三步由2K向右跳3个单位到3K，第四步由3K向左跳4个单位到4K，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点50K处，若50K所表示的数是-26.5，则电子跳蚤的初始位置点K所表示的数是（）A．0B．-1C．-1.5D．1.56．已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（）A．0B．﹣1009C．﹣1011D．﹣20217．按一定规律排列的单项式a，222a-，333a，48a-，…，第n（n为正整数）个单项式是（）A．(1)n nn na-B．1(1)n nn na+-C．(1)(1)n nn na-+D．1(1)(1)n nn na+-+8．给定一列按规律排列的数：4381,,,,325，则这列数的第9个数是（）A．910B．95C．169D．20119．如图，图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图①共有9个黑点，图①共有12个黑点…，按此规律排列，则图①中黑点的个数为（）A．21B．24C．27D．30评卷人得分二、填空题10．根据表中数字的规律，则代数式()x y x--的值是__．2468512177237228x y11．某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，则铺设该广场共用地砖__________块．12．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第21个图案需要棋子_______枚．13．观察下列的“蜂窝图”2021个图案中的“”的个数是_______．14．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n 为正整数）个图形中共有的点数是__________．15．将图中①的正方形剪开得到图①，图①中共有4个正方形﹔将图中一个正方形剪开得到图①．图①中共有7个正方形；将图①中一个正方形剪开得到图①，图①中共有10个正方形；…；如此下去．则图①中共有______________个正方形．16．如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，An 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为_____．17．一列数6，8，10，12，14，16…，则第n 个数为 _______．18．如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点A 顺时针旋转到11AB C △的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将11AB C △绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去……若点3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2B ，则点2022B 的坐标为________．19．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图①，再连接图①中间小三角形三边的中点得到图①，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有4005个三角形，则n 的值是_____________．20．如图是一组有规律的图案，第1个图形（如图1）由4个▲组成，第2个图形（如图2）由7个▲组成，第3个图形（如图3）由10个▲组成，第4个图形（如图4）由13个▲组成，……，则第6个图形由_____个▲组成，第n （n 为正整数）个图形由______个▲组成．21．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,A A A ，都在x 轴正半轴上，点123,,,B B B ，都在直线y kx =上，1130B OA ∠=︒，112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆，都是等边三角形，且11OA =，则点6B 的横坐标是_______．22．观察下列各式： （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1； （x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1； （x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1；……根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是___________________． 23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，﹣1)，P 5(2，﹣1)，P 6(2，0)，…，则点P 60的坐标是________．24．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4…表示，则顶点A 2021的坐标是________．评卷人得分三、解答题 25．把2100个连续的正整数1、2、3、…、2100，按如图方式排成一个数表，如图用一个正方形框在表中任意框住4个数，设左上角的数为x ．（1）另外三个数用含x 的式子表示出来，从小到大排列是 ； （2）被框住4个数的和为416时，x 值为多少？（3）能否框住四个数和为324？若能，求出x 值，若不能，说明理由；（4）从左到右，第1至第7列各数之和分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、a 7，求7个数中最大的数与最小的数之差． 26．用火柴棒按下图中的方式搭图形．（1）按图示规律填空： 图形符号① ① ① ① ①火柴棒根数（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒？ 27．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯，…… （1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n 个等式是：______．（2）①计算：1111 1223344950⨯⨯⨯⨯++++．①若a为最小的正整数，30b-=，求：()()()()()()()()111111122339797ab a b a b a b a b+++++++++++++．28．下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第5个图中共有___________根火柴；（2）第n个图形中共有___________根火柴（用含n的式子表示）；（3）请计算第2021个图形中共有多少根火柴？29．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）猜想并写出：1n(n1)+＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420152016++++⨯⨯⨯⨯＝；①111124466820142016++++⨯⨯⨯⨯＝．（3）探究并解决问题：如果有理数a，b满足|a﹣2|+|1﹣b|＝0，试求：1111(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)ab a b a b a b++++++++++的值．30．亮亮和同学观察下面一列数，探求其规律：111111,,,,,,23456---，并解决了下面的问题，相信你也能解决这些问题．（1）写出这列数的第7,8,9,10四个数；（2）第2020个数是什么？（3）如果这一列数无限排列下去，与哪一个数越来越近？参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据变化规律，后一个图形比前一个图形多3根火柴棒，然后写出第n 个图形的表达式从而可得结论． 【详解】解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有4+3=7根火柴棒； 第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒； …第n 个图形中火柴棒的根数有4+3×（n -1）=（3n +1）根火柴棒 当n =7时，3n +1=21+1=22 故选：B 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出后一个图形比前一个图形多3根火柴棒是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB =BC =AD ，再用三角形相似得出212253,()522A B A B ==，找出规律2021202120213()52A B =，即可求出第2021个正方形的面积． 【详解】解：①点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）， ①OA =1，OD =2，BC =AB =AD =5， ①正方形ABCD ，正方形A 1B 1C 1C ， ①①OAD +①A 1AB =90°，①ADO +①OAD =90°， ①①A 1AB =①ADO ， ①①AOD =①A 1BA =90°，①①AOD ①①A 1BA ， ①1AO ODA B AB =， ①1125A B =， ①152A B =， ①1111352A B AC A B BC ==+=， 同理可得，222935()542A B ==， 同理可得，3333()52A B =，同理可得，2020202020203()52A B =， ①第2021个正方形的面积=2202114040335522-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：C ． 【点睛】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律． 3．B 【解析】 【分析】根据根据第1个多项式为a b + ，第2个多项式为222132a b a b ⨯-=--，第3个多项式为332351a b a b ⨯-++=，第4个多项式为442471a b a b ⨯---=，第5个多项式为595251a b a b ⨯-+=+， 由此得到规律，即可求解．【详解】解：第1个多项式为211a b a b ⨯-+=+ 第2个多项式为222132a b a b ⨯-=-- 第3个多项式为332351a b a b ⨯-++= 第4个多项式为442471a b a b ⨯---= 第5个多项式为595251a b a b ⨯-+=+由此得到第n 个多项式为21n n a b -+第n （n 为正整数）个式子的次数是21n - ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】仔细观察，可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n 个图形中的棋子数与n 的关系，然后代入数值解方程即可求解． 【详解】解：观察发现：每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，所以第n 个图形中的棋子数为3+3n ，由3+3n =2019得：n =672， 故选：C ． 【点睛】本题考查探索图形的变化规律、解一元一次方程，解答的关键是发现第n 个图形中棋子个数与n 的关系． 5．C 【解析】 【分析】根据题意，每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25，相应的等量关系为：原数字-25=-26.5． 【详解】解：设0K 点所对应的数为x ，由题意得：每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25， 则x -25=-26.5， 解得：x =-1.5．即电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数为-1.5． 故选C【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点．6．C【解析】【分析】根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从a 3开始2个一循环，本题即可求解．【详解】解：①a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 2020＝﹣|a 2019+1|，①a 2=-2，a 3=-1，a 4=0，a 5=-1，a 6=0，a 7=-1，……，a 2020=0，a 2021=-1，①从a 3开始2个一循环，①a 1+a 2+a 3+…+a 2021=（1-2）+（-1+0）×1009+（-1）=-1011．故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是得到这列数从a 3开始2个一循环的规律． 7．B【解析】【分析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案．【详解】解：a ＝（−1）2×1×1a 1，222a -＝（−1）3×2×2 a 2，333a ＝（−1）4×3×3 a 3，48a -＝（−1）5×4×4 a 4，…，第n （n 为正整数）为1(1)n n n na +-故选：B ．【点睛】本题考查算术平方根，数字的变化美，探索和发现每一项的系数、字母指数的变化规律是得出正确答案的关键．8．B【解析】【分析】把数列4381,,,,325变2468,,,,2345，分别观察分子和分母的规律即可解决问题．【详解】解：把数列4381,,,,325变2468,,,,2345，可知分子是从2开始的连续偶数，分母是从2开始的连续自然数，则第n个数为21nn+所以这列数的第9个数是189105=，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，将原式整理为2468,,,,2345，分别得出分子分母的规律是解本题的关键．9．B【解析】【分析】观察图形，找到图形中圆形个数的规律：第n个图形有3（n+1）个●，然后代入n＝7求解即可．【详解】解：观察图形得：第1个图形有3+3×1＝6个●，第2个图形有3+3×2＝9个●，第3个图形有3+3×3＝12个●，…第n个图形有3+3n＝3（n+1）个●，当n＝7时，3×（7+1）＝24，即第7个图形中●的个数为24，故选：B ．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大．10．-398【解析】【分析】根据图中的规律可得8(1)x y +=，求出x 与y 可得答案． 【详解】解：2521=+，12522=⨯+；21741=+，721744=⨯+；23761=+，2283766=⨯+；28165x ∴=+=，6588528y =⨯+=，()65(52865)398x y x --=--=-．故答案为：398-．【点睛】 考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．11．661【解析】【分析】由题意得：从里向外的第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，第二圈有有6块正方形和18块正三角形地砖，此后每一圈都比前一圈多12个正三角形，再列式计算即可得到答案.【详解】解：由题意得：从里向外的第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，第二圈有有6块正方形和18块正三角形地砖，此后每一圈都比前一圈多12个正三角形，所以第10圈含有的正三角形的个数有6129114（个），所以铺设该广场共用地砖：6+6+12+6+122++6+129+610+1 61830425466789010211461661（块）故答案为：661【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键. 12．65【解析】【分析】图案1中，黑色棋子个数为5；图案2中，黑色棋子个数为53+；图案3中，黑色棋子个数为533++；得出规律，进而求解出图案21中，黑色棋子个数．【详解】解：图案1中，黑色棋子个数为5；图案2中，黑色棋子个数为5353153(21)+=+⨯=+⨯-；图案3中，黑色棋子个数为53353253(31)++=+⨯=+⨯-；得出规律为图案n 中，黑色棋子个数为53(1)n +⨯-； 当21n =时，黑色棋子个数为53(1)53(211)65n +⨯-=+⨯-=故答案为：65．【点睛】本题主要考察了总结规律．解题的关键在于是否能够根据数据的特征推导出规律． 13．6064【解析】【分析】 通过分析前面4个，可以发现后一个图形比前一个图形中的“”的个数多3个，利用此规律，即可出第2021个图案中的“”的个数． 【详解】解：通过观察可以发现：第1个有4个，第2个有7个，第3个有10个，第4个有13个，由此可知，后一个图形比前一个图形要多三个“”， 故第n 个图形中的“”的个数为：43(1)31n n +-=+个．当2021n =时，有3202116064⨯+=个．故答案为：6064．【点睛】本题主要是考查了图形类的规律问题，通过观察前几个图形，找到对应规律，进而求得第n 个图形对应的个数，这是解决此类问题的重点．14．61n -##-1+6n【解析】【分析】根据第1个图形中的点数为561=- ；第2个图形中的点数为11621=⨯- ；第3个图形中的点数为17631=⨯- ；发现规律，即可求解．【详解】解：第1个图形中的点数为561=- ；第2个图形中的点数为11621=⨯- ；第3个图形中的点数为17631=⨯- ；由此发现规律：第n （n 为正整数）个图形中的点数为61n -．故答案为：61n -【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．15．25【解析】【分析】根据图形的变化发现规律即可求解．【详解】解：图①中的正方形剪开得到图①，图①中共有3×1+1=4个正方形；将图①中一个正方形剪开得到图①，图①中共有3×2+1=7个正方形；将图①中一个正方形剪开得到图①，图①中共有3×3+1=10个正方形；……发现规律：第n 个图中共有正方形的个数为：3（n -1）+1=3n -2；则图①中共有正方形的个数为3×9-2=25．故答案为：25．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并利用规律．16．14n - 【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n -1）个阴影部分的和．【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()11144n n -⨯-=． 故答案为：14n -． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．17．2n +4【解析】【分析】观察题目所给数字可以发现这一系列数字都是连续的正的偶数，只需要利用偶数的表示方法进行表示即可．【详解】解：观察题目可知：这列数是从6开始的连续的正的偶数，①第n 个数为2（n +2）＝2n +4．故答案为：2n+4．【点睛】本题主要考查了数字类规律，解题的关键在于能够准确根据题意观察出数字间的规律．18．()6066,2【解析】【分析】由勾股定理可计算出AB的长，其周长为p=6，①AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，①AOB经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n （OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，B2n(6n，2)．从而根据规律可求得B2022的坐标．【详解】①3,02A⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2B①3,22OA OB==在Rt①AOB中，由勾股定理得：222235222 AB OA OB⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭①①AOB的周长为35++2622p==①AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；①AOB再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，即B2n(6n，2)．①2022是偶数①B2022(6066，2)6066,2故答案为：()【点睛】本题是平面直角坐标系中坐标规律探索问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键．注意数形结合．19．1002【解析】【分析】分别数出图①、图①、图①中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图①中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n个图形中有多少三角形，列方程可解决问题．【详解】解：分别数出图①、图①、图①中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1=4×1-3；图①中三角形的个数为5=4×2-3；图①中三角形的个数为9=4×3-3；… 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n-3，即4n-3=4005，n=1002，故答案是1002．【点睛】本题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律．20．19（3n+1）##（1+3n）【解析】【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有3×2-3+1=4个三角形；第二个图形有3×3-3+1=7个三角形；第三个图形有3×4-3+1=10个三角形，据此进一步代入求得答案即可．【详解】解：观察发现：第一个图形有3×2-3+1=4个三角形；第二个图形有3×3-3+1=7个三角形；第三个图形有3×4-3+1=10个三角形；…第n 个图形有3（n +1）-3+1=3n +1个三角形；当n =6时，3n +1=3×6+1=19，故答案为：19；（3n +1）．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．21．48【解析】【分析】设①1n n n B A A +的边长为n a ，根据直线的解析式得出30n n A OB ∠=︒，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出30n n OB A ∠=︒，190n n OB A +∠=︒，从而得出13n n n B B a +=，由点1A 的坐标为(1,0)，得到11a =，2112a =+=，31214a a a =++=，412318a a a a =+++=，⋯，12n n a ，即可解决问题． 【详解】解：过1B 作1B C x ⊥轴于C ，过2B 作2B D x ⊥轴于D ，过3B 作3B E x ⊥轴于E ，如图所示：设①1n n n B A A +的边长为n a ，则121212AC A C A A ==，232312A D A D A A ==，⋯， 1132B C a ∴=，2232B D a =，3332B E a =，⋯， 13(2B ∴，3)2， 点1B ，2B ，3B ，⋯是直线y kx =上的第一象限内的点， 33k ∴=， 30n n A OB ∠=︒，又①1n n n A B A +为等边三角形， 160n n n B A A +∴∠=︒， 30n n OB A ∴∠=︒，190n n OB A +∠=︒， 13n n n n B B OB a +∴==， 11OA =，∴点1A 的坐标为(1,0)， 11a ∴=，2112a =+=，31214a a a =++=，412318a a a a =+++=，⋯， 12n n a ， 632a ∴=，∴点6B 的横坐标为633324822a =⨯=， 故答案为：48．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等，解题的关键是找出规律13n n n n B B OB a +==．22．22021﹣1【解析】【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x ﹣1）（xn +xn -1+…+x +1）=xn +1﹣1，把x =2，n =2020代入计算即可，【详解】解：根据题意得：（x ﹣1）（xn +xn -1+…+x +1）=xn +1﹣1，把x =2，n =2020代入得，22020+22019+22018+…+22+2+1=（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），=22021﹣1．故答案为：22021﹣1．【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．23．(20，0)【解析】【分析】根据P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，﹣1)，P 5(2，﹣1)，P 6(2，0)，…，可得到规律：P 3n （n ，0），据此即可得到答案．【详解】解：①P 3（1，0），P 6（2，0），P 9（3，0），…，①P 3n （n ，0），①当n=20时，P 60（20，0）．故答案为：(20，0) ．【点睛】本题是平面直角坐标系中点的规律问题，观察数据，找到规律是解题的关键．24．（-506，-506）【解析】【分析】根据正方形的性质找出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数）”，依此即可得出结论．【详解】解：观察发现：A1（-1，-1），A2（-1，1），A3（1，1），A4（1，-1），A5（-2，-2），A6（-2，2），A7（2，2），A8（2，-2），A9（-3，-3），…，①A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），①2021=505×4+1，①A2021（-506，-506），故答案为：（-506，-506）．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），”解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．25．（1）x+1、x+7、x+8；（2）x值为100；（3）不存在用正方形框出的四个数的和为324，见解析；（4）7个数中最大的数与最小的数之差为1800【解析】【分析】（1）根据数表的排列，可用含x的代数式表示出其它三个数；（2）根据四个数之和为416，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再由x不在第7列即可得出结论；（3）根据四个数之和为324，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再由x在第7列即可得出不存在用正方形框出的四个数的和为324；（4）根据数表的排布，可得出总共300行其每行最右边的数比最左边的数大6，用其×300即可得出结论．【详解】解：（1）观察数表可知：另外三个数分别为x+1、x+7、x+8．故答案为：x+1、x+7、x+8．（2）设正方形框出的四个数中最小的数为x，根据题意得：x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝416，解得：x＝100．①100＝14×7+2，①100为第2列的数，符合题意．答：被框住4个数的和为416时，x值为100．（3）设正方形框出的四个数中最小的数为x，依题意得根据题意得：x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝324，解得：x＝77，①77＝11×7，①77为第7列的数，不符合题意，①不存在用正方形框出的四个数的和为324．（4）本数表共2100个数，每行7个数，共排300行，即有7列，每列共300个数，①每一行最右边的数比最左边的数大6，①a7﹣a1＝6×（2100÷7）＝1800．答：7个数中最大的数与最小的数之差为1800．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，解题的关键是：（1）根据数表中数的规律找出其它三个数；（2）由四个数之和为416，列出一元一次方程；（3）由四个数之和为324，列出一元一次方程；（4）根据数表中数的规律，找出每行最右边数比最左边数大6．26．（1）4；6；8；10；12；（2）（2+2n）【解析】【分析】（1）由图形发现，后面的图形都比前面相邻的图形多2根火柴棒，由此计算得出答案即可；（2）利用表中的规律得出一般的规律即可．【详解】解：（1）填表如下：图形符号① ① ① ① ① 火柴棒根数4 6 8 10 12（2）搭第n 个图形需要（2n +2）根火柴．故答案为：（2n +2）【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，进一步利用规律解决问题． 27．（1）1115656=-⨯，()11111n n n n =-⨯++；（2）①4950；①1465119800 【解析】【分析】（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n 个算式；（2）①根据运算规律可得结果．①利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．【详解】 （1）根据规律得：第5个等式是1115656=-⨯，第n 个等式是()11111n n n n =-⨯++； （2）①11111223344950⨯⨯⨯⨯++++， 111111111223344950=-+-+-++-， 1150=-， 4950=； ①a 为最小的正整数，30b -=，1a ，3b =，原式111111324354698100=+++++⨯⨯⨯⨯⨯， 11111111111111(1)()()+()()23224235246298100=⨯-+⨯-+⨯-⨯-++⨯-， 1111111111(1)2324354698100=⨯-+-+-+-++-，1111(1)2299100=⨯+--， 1465119800=． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．28．（1）16；（2）31n +；（3）6064【解析】【分析】（1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解；（2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可；（3）将2021n =代入（2）中代数式求解即可．【详解】（1）根据图案可知，每个图形比前一个图形多3根火柴，第4个图案中火柴有13根，∴第5个图案中火柴有13316+=（根）；故答案为：16；（2）当1n =时，火柴的根数是3114⨯+=；当2n =时，火柴的根数是3217⨯+=；当3n =时，火柴的根数是33110⨯+=；，所以第n 个图形中火柴有31n +，故答案为：31n +；（3）当2021n =时，3202116064⨯+=，所以第2021个图形中共有6064根火柴．【点睛】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．29．（1）111n n -+；（2）①20152016；①10074032；（3）20162017． 【解析】（1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想；（2）①利用（1）中的结论得到原式=1-12+12-13+13-14+…+12015-12016，然后合并即可；①每个分数提14，然后利用（1）中的结论计算；；（3）根据|ab-2|+|1-b|=0，可以得到a、b的值，然后即可求得所求式子的值．【详解】解：（1）111 (1)1n n n n=-++；（2）①原式=1-12+12-13+13-14+…+12015-12016=1-12016=20152016；①原式=14（112⨯+123⨯+134⨯+…+110071008⨯）=14（1-12+12-13+13-14+…+11007-11008）=14（1-11008）=1007 4032；（3）①|a-2|+|1-b|=0，①a-2=0，1-b=0，解得a=2，b=1，①1111(1)(1)(2)(2)(2015)(2015) ab a b a b a b ++++++++++=1111... 21324320172016 ++++⨯⨯⨯⨯=1-12+12-13+13-14+…+12016-12017=1-1 2017=2016 2017．【点睛】本题考查了数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意题意，发现式子的特点，求出相应的值．30．（1）1111,,,78910--；（2）12020-；（3）0【解析】（1）根据题目中的数字，可以发现奇数个数都是负数，偶数个数都是正数，第几个数分母就是几，从而可以写出第7个，第8个，第9个，第10个数；（2）根据题目中的数字的特点，可以写出第2020个数；（3）根据分子都是1，分母越来越大，即可得到这列数无限排列下去，越来越接近哪一个数．【详解】（1）一列数为：111111,,,,,,23456---，第7、8、9、10四个数分别为：1111 ,,, 78910--；（2）一列数为：11111 1,,,,,,23456---，∴第2020个数是1 2020 -；（3）如果这一列数无限排列下去，越来越近0．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．。
中考数学找规律练习题(20道-后附答案)
中考数学找规律练习题（20道，后附答案）一：数式问题1.已知22223322333388+=⨯+=⨯，，244441515+=⨯，……，若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b +=．2.有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，其中a 1＝5×2＋1，a 2＝5×3＋2，a 3＝5×4＋3，a 4＝5×5＋4，a 5＝5×6＋5，…，当a n ＝2009时，n 的值等于（）A．2010B．2009C．401D．3343.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为．4.有一列数1234251017--，，，…，那么第7个数是．5.观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，……（1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．6.将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列．第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110……7.将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n=；②第i行第j列的数为（用i，j表示）．第1列第2列第3列…第n列第1行123…n第2行1+n2+n3+n…n2第3行12+n22+n32+n…n3………………二：定义运算问题8、有一列数1a，2a，3a， ，n a，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a=，则2007a为（）Ａ．2007Ｂ．2Ｃ．12Ｄ．1-三：剪纸问题9．如图（9），把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是（）10题图四：数形结合问题10、已知,A、B、C、D、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）11、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为．12、如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．四:图形问题13.如图所示，已知：点(00)A ，，3B ，，(01)C ，在ABC △内依次作yxO P 1P 2P 3P4P 5A 1A 2A 3A 4A 5（第12题图）2y x=第14题图C 2D 2C 1D 1CD AB等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于（）14.如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为．15.如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角O yx(A )A 1C112B A 2A 3B 3B 2B 1第13题图BCAE 1E 2E 3D 4D 1D 2D 3（第15题）（第16题）形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）.17.如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子枚．18.观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．19.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★．五：对称问题20.在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为1(11)A ，、2(02)A ，、3(11)A ，.一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点第1个图第2个图第3个图第4个图（第18题图）第17题图图案1图案2图案3……跳到以A为对称中心的对称点1P，第2次电子蛙由1P点跳到以2A为对1称中心的对称点P，第3次电子蛙由2P点跳到以3A为对称中心的对称2点P，…，按此规律，电子蛙分别以1A、2A、3A为对称中心继续跳下3去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P（_______，2009_______）.参考答案1、8+63=712、D3、－a11104、－7505、（1）n×=n-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即n×=n-；（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．试题解析：（1）猜想：n×=n-；（2）证：右边==左边，即n×=n-考点：规律型：数字的变化类．6、670，第三列7、1010（i-1）+j8、D 9、C 10、13π-2611、1012、1/513、14、15、16、2n+217、30218、19、4920、（2，2）。
中考数学复习课件 找规律分类专题 (共35张PPT)
找规律
数式规律
图形成倍变化规律
图形周期变化规律
图形累加型
一、数式规律 1.数字规律：关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，包括： ⑴递推变化规律：
找规 律
①有在数a基础上依次增加（或减少）相同的数m，通常写成a±mn或 a±m(n-1); ②有在数a基础上依次增加相同的倍数m，通常写成amn或am(n-1). ⑵循环变化规律（包括符号和绝对值）
找规 5.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于 律
点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交
于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；„，如此反复作等腰直角三角形，
(2×3 ,0)． 当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是___________
An [(
2 3 n1 2 3 n1 ) ,( ) ] 3 3
找规 4.在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示律 依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、„、正方形AnBnCnCn﹣1，使
得点A1、A2、A3、„在直线l上，点C1、C2、C3、„在y轴正半轴上，
5
对应边成比例或三角函数
4 AC 5 4 A1C1 A1C 5 A1C
4 4 A1C1 AC 5 5
4 A2C1 A1C1 4 4 A C A1C1 5 2 2 5 5 4 A2C2 A2C1 4 4 4 4 AC 5 5 5 5 5
4 4 An Cn ( ) 2 n AC 3 ( ) n 5 5
则点Bn的坐标是 (2n-1,2n-1) ．
由题意可得出
A1（1,0） B1(1,1) A2（2,1） B2(2,3) A3（4,3） B3(4,7), A4（8,7） B4(8,15) „ 递推变化，横坐标成倍数增长，
(word完整版)中考数学规律探索专题复习
中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。
【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。
21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。
有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二 图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： （2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
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（一）周期型（求商看余数）
1、如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2015个图案是（ ）
A B C D 2、如图，在直角坐标系中，已知点A （-3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2015的直角顶点的坐标为
3、(2014 广东省梅州市) 如图3，弹性小球从点P (0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当小球第1次碰到矩形的边时的点为P 1，第2次碰到矩形的边时的点为P 2，……第n 次碰到矩形的边时的点为P n 。
则点P 2的坐标是 ，点P 2014的坐标是 .
4、已知221
=，422
=，3
2=8，4
2=16，25
=32，……， 观察上面规律，试猜想2015
2的末位数是 .
5、观察下列算式：
,
65613,21873,7293,2433,
813,273,93,338
7654321========
……
用你所发现的规律写出2004
3
的末位数字是__________.
6、（2015•四川巴中）a 是不为1的数，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是
=；已知a 1=3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数．a 4是a 3差倒数，…依此类推，则a 2015= ．
心得体会：
（二）函数表达式型
1、用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用
含n 的代数式表示）.
…
2、(2014 湖南省娄底市) 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n
为正整数）个图案由个▲组成.
3、观察下列等式：，…… 则第n 个等式可以表示为。
4、“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。
按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。
5、如图，图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是 .
6、图6是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有根小棒．
7、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n 的代数式表示）.
解题策略：
1、图形规律转化为数的规律
2、借助函数模型解决一般规律
心得体会：
（三）幂指数型
1、（2014•湖北荆门）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是_____;
图6
2、“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。
3、《庄子。
天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图所示.
由图易得：
23
1111
.......
222
2n
++++= .
心得体会：
（四）坐标系综合型
注意：坐标涉及到数的符号和绝对值，易错点是负号。
1、(2014齐哈尔市) 如图，在平面直角坐标系xoy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O=2A1O，……，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为______.
2、(2014 山东省莱芜市) 如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为1234
,,,,
B B B B⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则
2014
B的坐标
为 .
3、（2014•湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…
根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．
心得体会：
（五）其他类
1、观察下列图形，请用你发现的规律，直接写出x=_________, y_________.
2、上面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的,根据此规律确定x的值为 .
B1
A2
B2
A1
B
A x
y
o
3、观察图形，解答问题：
（ 图① 图②
图③ 三个角上三个数的积 1×(－1)×2=－2
(－3)×(－4)×(－5)=－
60
三个角上三个数的和 1＋(－1)＋2=2
(－3)＋(－4)＋(－5)=－
12 积与和的商 －2÷2=－1,
（y x
当堂检测
1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块。
……
2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子 来表示。
……
3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。
①5，9，13，17， ， 。
②4，5，7，11，19， ， 。
③10，20，21，42，43， ， ，174，175。
④4，9，19，34，54， ， ，144。
⑤5，15，45，135， ， 。
⑥0，3，8，15，24， ， 。
⑦0，1，1，2，3，5， ， 。
4．给出下列算式：188132
2
⨯==-，2816352
2
⨯==-，3824572
2
⨯==-，4832792
2
⨯==-，…，观
y x 第三个
第一个
第二个
4
2
==s n
8
3
==s n
12
4
==s n
16
5
==s n
察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。
5．研究下列算式，你会发现有什么规律？
224131==+⨯；239142==+⨯；2416153==+⨯；2525164==+⨯……
请将你找出的规律用公式表示出来： 。
6．将1，21-
，31，41-，51，6
1
-，…按一定规律排成下表： 试找出1
2006
-在第 行第 个数
15
114
113
112
111
110
19
18
17
16
1514
13
1211-------。