数学实验期末作业(缉私艇问题)
缉私艇追击走私船
该题如果用常规的高等数学知识求解，运算过程会变得很复杂。对此我们建 立了动态系统的数学模型，用计算机仿真法进行模拟和计算，直观地描绘出四人 的行进路线， 从而将整个模拟追赶的过程动态化， 最终得到与解析解相近的结果， 相比之下显然计算机仿真法更为实用和快捷。
六、实验扩展
程序第三行中“dt=a/v/100”原本为“ dt=0.01”,当正方形边长a 相对于行 进速度v不太大时，程序运行良好。但当 a很大而v较小时，程序运行极慢。经多 次调试后我们将时间步长确定为dt=a/v/100， 以达到无论正方形边长和人的行进 速度如何变化都不至于使程序运行时间过长。 但其缺点在于最终结果中的时间和 路程相对于理论值总有20‰的误差，即当a=1000时，无论v为何值，结果显示路 程为980，相差20；当a=2000时，则显示路程为1960，相差40，以此类推。所以 取得程序运行时间与实验结果精确度之间的平衡时本程序的改进扩展目标。
西安交通大学
数学实验报告
实验题目: 缉私艇追击走私船
小组成员
班 级 学 号 姓 名 任 务 成 绩
填写日期
2013 年 6 月 1 日
一、实验问题
使用计算机仿真方法求解下述问题：在正方形的四个顶点上各有一人，如下 图所示， 在某一时刻， 四人同时出发以匀速按顺时针方向追赶下一个人,如果他们 始终保持对准目标,试确定每个人的行进路线。
∙ ������ ∙ ∆������
������������ ������+1 = ������������ ������ +
∙ ������ ∙ ∆������
������������������+1 = ������������������ +
缉私艇追击走私船问题论文
基于微分模型下的缉私问题摘 要为了研究缉私艇追击走私船问题，我们通过对缉私船以及走私船之间的运动轨迹关系进行讨论，通过结合两者之间的相互关系，建立相应微分方程模型。
首先，对问题一，我们建立缉私船与走私船之间的坐标系，得出缉私船及走私船之间的关系并得到其微分方程。
然后将得到的微分方程方程简化，得到微分模型的方程⎪⎩⎪⎨⎧='==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,0)(,0)(1222c y c y b ar dx dy r dx y d x ， 对bar =与1之间的关系进行讨论，得到： 当1<=b a r 时，方程的解析解为211111112rcr c x r c x r c y rr -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+ 即当0=x 时, 缉私船能追上走私船，此时21r cr y -=，)()1(222a b bcr a cr a y t -=-== 当1≥=bar 时，缉私船不能追上走私船。
其次，对问题二，根据题设给出的条件c=3千米，a=0.4千米/秒，b=0.8千米/秒结合问题一建立的微分方程模型，通过matlab 软件绘制出缉私艇追赶走私船运动轨迹的图形。
然后我们利用计算机仿真算法，模拟缉私艇追击走私船的动态过程。
从而实现对缉私艇整个追击过程的完美拟合。
关键字：微分方程模型；matlab 仿真法；缉私艇追击过程AbstractTo study the anti-smuggling smuggling boat chase, we trajectory through the relationship between anti-smuggling boats and smuggling boat to discuss, through a combination of mutual relations between the two differential equations to model appropriate.First, a problem, we have established smuggling coordinate between the ship and the smuggling boat, draw anti-smuggling and smuggling boat relationship between ship and get their equations. The differential equation is then simplified to give the differential equation model⎪⎩⎪⎨⎧='==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,0)(,0)(1222c y c y b ar dx dy r dx y d x ， The relationship between a discussion, we get: At that 1<=bar time, the analytical solution for the equation 211111112rcr c x r c x r c y rr-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+ That 0=x time, the anti-smuggling boats can catch smugglers, then21r cr y -=，)()1(222a b bc r a cr a y t -=-== At that 1≥=bar time, the anti-smuggling boats can not catch smugglers. Secondly, the question two, according to the title given conditions set c = 3 one thousand meters, a = 0.4 km / s, b = differential equation model 0.8 km / sec combined with a problem created by matlab software to map out anti-smuggling catch smugglers trajectory graphics. Then we use computer simulation algorithms, simulated anti-smuggling smuggling boat chase dynamic process. Anti-smuggling in order to achieve the perfect fit throughout the course of the pursuit.Keywords: differential equation model; matlab simulation method; anti-smuggling chase procedure一、问题重述1.1问题的提出缉私艇追击走私船问题:海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶, 缉私艇立即以最大速度b追赶, 在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。
追击问题
我缉私雷达发现，距离c处有一走 私船正以匀速a沿直线行驶，缉私 舰立即以最大速度（匀速b）追赶。
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时 速度方向始终指向走私船，
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？ 如果能追上，需要用多长时间？
1：数学建模
dy y at tan , dx x0
如图:c=3km, a=0.4km/min, 分别取 b=0.6,0.8,1.2km/min时，缉私艇追赶 路线图形。 4 b=0.6
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 b=0.8 b=1.2
追赶时间分别为：
9.0000
5.0000
2.8125
d2y dy 2 r 1 ( ) x 2 dx dx y (c) 0, y , (c) 0
a 其中： r , b
即为缉私艇追击走私船的 数学模型。
2 求解析解
前面给出的二阶微分方程初值问题是属于 可降阶方程，故令：
dy p, dx
d y dp 2 dx dx
tk t
( xk 1, yk 1 ) ( xk xk , yk yk )
从而：
xk 1 xk xk bt cosk , yk 1 yk yk bt sin k
计算过程中，直线段代替了曲线段，当 时间段划分较细时，计算近似准确。
仿真算法：
可用MATLAB求解
>> syms x y r c;
>> dsolve('Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)', 'y(c)=0','x') ans =
东台市2013-2014学年度第一学期九年级数学期末调研测试 (1)
东台市2013-2014学年度第一学期期末调研测试九年级数学试卷(本试卷卷面总分:150分, 考试时间:120分钟,考试形式:闭卷)一、选择题.(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确答案，请把你认为正确的一个答案的代号填涂在答题纸的相应位置)1.下列等式是一元二次方程的是A ．2112=+x B ．032=-x C ．xx 213=- D ． 0332=+-x x2.如图，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，下列式子不正确．．．的是 A ． AB BCB =cos B ．AB BCB =sinC ． ABBCA =sin D ．ACBCA =tan 3. 双语阅读大赛上，初三年级一班到十班获得一等奖的人数分别是6，4，5，2，6，5，7，6，7，2，这组数据的平均数是A ．6B ． 5.5C ．5D ．34. 若关于x 的一元二次方程052=+-a x x 的一个根为6，则另一个根是 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．35. 在矩阵ABCD 中，cm AB 8=，cm CD 6=，以点A 为圆心，cm r 4=作圆，则直线BC 与⊙A 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 6. 抛物线1282++=x x y 的顶点坐标为A ．()4,4--B ．()4,4-C ．()4,4-D ．()4,4 7.半径为8 cm 的圆的内接正三角形的边长为：A ．38cmB ．C ．8cmD ．4cm8.若关于x 的一元二次方程02=++b ax x 有两个不同的实数根n m ,)(n m <，方程12=++b ax x 有两个不同的实数根q p ,)(q p <，则q p n m ,,,的大小关系为A ．n q p m <<<B ．q n m p <<<C ．q n p m <<<D ．n q m p <<<第2题图二、填空题.(本题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把最后结果填在答题纸的相应位置) 9.实数14的算术平方根是是 ▲ . 10.方程0)3(=+x x 的两个根为1=x ▲ 2=x ▲ .11.如图，ABC ∆中，6=BC ，4=AB ，若ABC ∆的面积为9，则=B sin ▲ .12.用半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面积为 ▲ .13.如图， AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，40=∠AOC ，D 是BC 弧的中点，则=∠ACD▲ .14.从2，3，-1这三个数中任取两个不同的数分别作为点C 的横坐标和纵坐标，则点C 在第二象限的概率是 ▲ .15.如果关于x 的二次函数222a x ax y +-=的图象经过点()2,1-，则a 的值为 ▲ .16.如图，AB 是半径为10的⊙O 的一条弦，延长AB 至C ，使10==BC AB ，过C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，则=CD ▲ .17.对于实数b a ,定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=*)()(22b a b ab b a ab a b a 例如4*2，因为4>2,所以4*224428=-⨯=.若32=*x ，则x 的值为 ▲ .18.已知关于x 的二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a c cb b a +++++可化简为 ▲ .三、解答题. (本大题共10小题,计96分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)19．(本题满分8分)计算：021242130tan 60sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅20．(本题满分8分)用两种方法解方程：02522=+-x x第11题图第16题图第18题图第13题图21．(本题满分8分)在我市开展的“‘新华杯’中学双语课外阅读”活动中，某中学为了解八年级400名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：(1) 求这50个样本数据的众数和中位数；(2) 根据样本数据，估计该校八年级400名学生在本次活动中读书多于2册的人数。
数学建模综合实验缉私艇走私艇
数学建模综合实验缉私艇走私艇
为了保护国家利益和维护边境安全，海关和边境巡逻部门需要对走私活动进行严格监
控和打击。
因此，他们需要一艘高效的缉私艇，该艇不仅可以确保有效的监控和追缉走私
船只，而且还需要具备良好的性能和稳定性，以适应不同的海上环境。
为了设计这样一艘缉私艇，我们需要考虑以下因素：
1. 尺寸和外形：缉私艇需要足够大，以容纳所需的设备和人员。
同时，它需要具有
高度流线型的外形，以减少水阻和提高速度。
2. 推进系统：缉私艇需要一种高效的推进系统，以确保它可以快速移动和灵活操作。
通常，这种推进系统使用柴油发动机和水下推进器。
3. 船体材料和结构：缉私艇需要使用轻质但坚固的材料来构建船体。
同时，船体的
结构应该经过设计和测试，以确保它能在恶劣的海上环境下保持稳定性。
4. 船载设备和传感器：缉私艇需要搭载各种设备，如雷达、红外线探测器、声纳和
高清摄像头等，以帮助监测和追踪走私船只。
5. 操控系统：为了使船员能够更容易地操作缉私艇，需要科学地设计操控系统，包
括方向盘、油门控制器、仪表板和导航系统等。
6. 安全性和稳定性：缉私艇需要具备良好的安全性和稳定性，以应对各种潜在威胁，例如海浪和风浪。
通过考虑这些因素，我们可以设计出一艘高效的缉私艇，该艇可以帮助海关和边境巡
逻部门有效地打击走私活动，保障国家利益和边境安全。
2-数学实验举例：缉私艇追击走私船
matlab
5 结果分析
用求解析解的方法算得的解是最为精确的；用数值方法计算的结果 依赖于迭代终值的设定，减小迭代终值可以提高计算精度；用计算机仿 真法计算的结果依赖于时间迭代步长的选取和程序终止条件的设定，修 改终止条件的设定和减小时间迭代步长可以提高计算精度，减小误差。
6 实验任务
1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地 方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全 速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计 算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) (2) (3) (4) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于 害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增 加0.1倍，在这种情况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。
⎧ dy 1 ⎡⎛ x ⎞ r ⎛ c ⎞ r ⎤ ⎪ = ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎨ dx 2 ⎢⎝ c ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ y (c ) = 0
3） r
=1
1 ⎛ x2 − c2 x⎞ ⎜ ⎟ ， y = 2 ⎜ 2c − c ln c ⎟ ⎝ ⎠
y → +∞ ，缉私艇不可能追赶上走私船。
2 ⎧ d2y ⎛ dy ⎞ ⎪x 2 = r 1 + ⎜ ⎟ ⎨ dx ⎝ dx ⎠ ⎪ ⎩ y (c ) = 0, y ′(c ) = 0
海上缉私模型论文数学建模MATLAB
.海上缉私问题建模题目二摘要针对海上缉私问题，要求出缉私船是否能追上走私船，或着是求缉私艇追上走私船的位置和时间，就需要知道走私船和缉私艇的位置坐标、大概的行驶路线、及二者的速度。
对于走私船和缉私艇的位置坐标，可以由二者的行驶路线 、速度、行驶时间之间的关系得到。
而走私船和缉私艇的位置坐标，可用三角函数、坐标关系、圆的位置关系求解。
当缉私船追上走私船时，走私船和缉私艇的位置坐标相同，即二者的横坐标相等，纵坐标相等。
在此期间，再加以MATLAB 软件进行求解。
关键字： 海上缉私 位置坐标 速度 MATLAB 软件问题重述分别对以下情况建立缉私船的位置和航线的数学模型，自己设定速度等参数，求数值解：(1) 走私船向正东方向非匀速直线行驶，其速度()a t 按正弦规律变化，如图1．已知缉私船以速度b 匀速追击， 1.5b d =（d 为常数），两船初始距离2c d =．图1(2) 两船速度大小都不变，走私船以速度a 沿着与正东方向成θ角的直线行驶，如图2．已知缉私船的速度 1.6b a =，两船初始距离c a =．取25θ=o 与65θ=o ，求数值解，并说明走私船按哪个角度逃跑较快？图2(3) 两船速度大小都不变，走私船以速度a 沿半径为r 的圆弧向P 点逃跑，现有两种方案，如图3．问两种方案是否都能到达P 点？已知圆弧半径r a =，缉私船的速度 1.4b a =，两船初始距离0.8c a =．方案1 方案2图3(4)两船速度都大小不变，走私船以速度a 先向正东方向直线行驶，一段时间（设尚未被缉私船追上）后改变方向，沿着与正东方向成θ角(90180)θ<≤o o的直线行驶，如图4．已知缉私船的速度 1.2b a =，两船初始距离 1.5c a =．取170θ=o ，求数值解．图4(4)(5) 开始两船速度大小都不变，走私船以速度a 向正东方向沿直线行驶，但当两船距离小于r 时，缉私船会发现被人追击，将沿正北方向以速度g 加速逃跑，如图5．已知0.5r a =， 1.5g a =，缉私船的速度 1.8b a =，两船初始距离3c a =，求数值解．图5(6) 实际在追击时，缉私船速度方向的改变并不连续，每隔时间t ∆变换一次角度，在两次变换之间，缉私船按直线运动．若两船速度大小都不变，走私船以速度a 向正东方向沿直线行驶，30a =（海里/小时），缉私船的速度50b =（海里/小时），两船初始距离25c =（海里），60t ∆=（秒）．试画出缉私船的航线图，建立此时的追击模型，比较与之前模型有何不同，并求数值解．问题分析问题一：要确定缉私船追上走私船的位置及时间，就必须确定缉私船、走私船的坐标。
MATLAB缉私艇追击走私船 数学建模
y
o始位置在点(0,0)， 走私船初始位置在点(0,0)， (0,0) 行驶方向为y轴正方向， 行驶方向为y轴正方向， 缉私艇的初始位置在点( ,0)， 缉私艇的初始位置在点(c,0)， 缉私艇行驶的路程为s 。 在时刻t 在时刻t： 走私船的位置到达点 R(0, at ) 缉私艇到达点 D ( x, y )
dy 1 x r c r = − dx 2 c x y (c ) = 0
3） r
=1
1 x2 − c2 x ， y = 2 2c − c ln c
y → +∞ ，缉私艇不可能追赶上走私船。 缉私艇不可能追赶上走私船。
MATLAB软件仿真法 软件仿真法 缉私艇的初始位在点( ,0)， 缉私艇的初始位在点(c,0)， (0 t = t k : 走私船的位置： , at k ) 走私船的位置： 缉私艇的位置： 缉私艇的位置 ( xk , yk )
y
走私船初始位在点(0,0)，方向为y轴正方向， 走私船初始位在点(0,0)，方向为y轴正方向， (0,0)
11.2 缉私艇追击走私船
1 实验目的 (1)学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题; (2)了解微分方程数值解的思想,掌握微分方程数值解的方法; (3)学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型,提高解决问题能力; (4)了解简单的计算机仿真和数据模拟的基本方法.
2 实验问题 海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇 立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问 缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。
k +1
~ = a ( t + ∆t ) yk +1 k
matlab 综合实验
r a/b
模型求解
解法一 理论解析解 dy 令： p d 2 y dp dx dx 2 dx
dx dp r 2 x 1 p p (c ) 0
x p 1 p c
2
r
dy 1 x r c r c x dx 2 y (c ) 0
c 1 x y 2 1 r c
x0
a r 1 b
1 r
1 c r 1 x
r 1
cr 2 r 1
y
缉私艇不可能追赶上走私船。
r 1
1 x c x y c ln 2 2c c x 0 y
at k y k (0 xk ) (at k y k )
2 2
时间步长为 t ,则在时刻 t k t
xk 1 xk xk bt cosk ,
yk 1 yk yk bt sin k
仿真算法：
第一步：设置时间步长 t
速度a, b及初始位置
作业
有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北 方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米 /秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全 速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔 子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法 完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路 程是多少？
利用幂级数表达式 2 n 1 x3 x5 x n 1 arctan x x (1) 3 5 2n 1 1 1 1 n 1 1 (1) 4 3 5 2n 1
MATLAB缉私艇追击走私船_数学建模汇总
p(c)
0
p 1 p2 x r c
p
1
p2
c
r
x
x
d
2y
r
dx2
1 dy 2 dx
y(c)
0,
y(c)
0
r a/b
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
1)r a 1, b
y
c 2
1 1 r
x
1 r
c
1 1 r
x c
1r
cr 1 r2
t=t+dt;
jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);
jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);
zscy=a*t;
penadupsleo(t0(j.2st)x,jsty,'ro',zscx,zscy,'b*')艇：（0历.0时00：04219，6秒1.9，7）
1
t=9，5，2.8125（分钟）
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2) r a 1， b
y
c 2
1
1
r
x c
1 r
r
1 1
c r1
x
cr r2 1
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x 0 时， y ，缉私艇不可能追赶上走私船。
实验缉私艇追赶走私船模型实验
11
实例1:海上缉私
• 模型建立： • 建立直角坐标系 ：t=0时，艇在(0,0)
船在（0,c)；船速a，艇速b (b>a); 时刻t，艇在P(x,y), 船在Q(c, at)。 模型：
x(t)、y(t) 无解析解!
12
常微分方程初值问题的提法
f对y满足李普希茨（Lipschitz）条件，
44
图形结果
16
10
14
9
8
12
x(t)
7
10 6
8
5
6
y(t)
4
3 4
2
2
1
0
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x(t),y(t)图形
y=y(x)图形
45
模型数据分析
• 先固定b,c，而走私船的速度a变大为 30,35,…接近40，观察解的变化。修改a的输 入，并相应地延长t的终点。设a=35，t的终 点经试探，调整为1.6合适。
向前、后欧拉公式 梯形、改进欧拉公式
差商 代替 导数
龙格——库塔方法的基本思想
25
龙格——库塔方法的形式
龙格——库塔方法的一般形式：（参看P111） 龙格——库塔方法的经典形式：4级4阶公式
26
常微分方程组和高阶方程 初值问题的数值方法
1、常微分方程组初值问题的数值方法 欧拉方法可直接推广
龙格——库塔方法也有类似的推广形式
②编写主程序 ts=0:3000; x0=[2;0]; [t,y]=ode15s(@vdp1000,ts,x0); plot(t,y(:,1),'r-')
数学建模综合实验缉私艇走私艇
数学建模综合实验缉私艇⾛私艇⼀.实验⽬的本综合实验旨在考察及训练学⽣对微分⽅程建模及Matlb 编程的灵活运⽤。
通过本实验了解数学建模的基本思想，并熟练掌握⽤数学软件解决数学问题的⽅法。
提⾼学⽣的综合能⼒。
⼆.实验内容1、已知微分⽅程组=-+=++00y x dtdy y x dtdx满⾜初始条件0|,1|00====t t y x ．（1）求上述微分⽅程组初值问题的特解(解析解)，并画出解函数()y f x =的图形．（2）分别⽤ode23、ode45求上述微分⽅程组初值问题数值解(近似解)，求解区间为[0,0.5]t ∈．利⽤画图⽐较两种求解器之间的差异．2、分别⽤ Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法求解微分⽅程初值问题=-=1)0(,cos 'y x e y y x 的数值解(步长h 取0.1)，求解范围为区间[0,3] ．3、海防某部缉私艇上的雷达发现正东⽅向15海⾥处有⼀艘⾛私船正以20海⾥/⼩时的速度向正北⽅向⾏驶，缉私艇⽴即以40海⾥/⼩时的速度前往拦截。
⽤雷达进⾏跟踪时，可保持缉私艇的速度⽅向始终指向⾛私船。
建⽴任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上⾛私船的位置，求出追上的时间，画出航线图形，并通过改变速度等参数进⾏讨论。
三. 实验⽅案（程序设计说明）第1题：使⽤ dsolve 函数、ode23、ode45求解器编程求解；第2题：利⽤ Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法的递推公式编程求解；第3题：实验⽅案如下： (⼀)建⽴模型以0=t 时刻缉私艇位置为原点，正东⽅向为正x 轴⽅向，正北⽅向为正y 轴⽅向建⽴直⾓坐标系，则缉私艇与⾛私船的初始距离15=a ，设缉私艇⾏驶的路程为s ，缉私艇航线任⼀点切线与x 轴正向夹⾓为θ，则有缉私艇：速度40=V j ，初始位置()0,0，t 时刻位置()y x , ⾛私艇：速度20=V z ，初始位置()0,15，t 时刻位置()t a z V ,。
12-缉私艇追走私船模型实验解析
再解释：
称 y( xn1 ) y( xn ) 为函数y( x )在区间 [ xn , xn1 ]上的平均斜率。 h
则用函数y(x)在区间[xn,xn+1]上的平均斜率代替 了曲线在点xn的斜率。 得到启发：只要对曲线在区间[xn,xn+1]上的平均 斜率提供一种算法，就可以得到一种计算yn+1的公 式。如果设法在区间内多预测几个点的斜率值，然 后将这些点处斜率值的加权平均值作为曲线在区间 上的平均值，由此构造出由yn计算yn+1的精度更高 的计算公式，这就是龙格-库塔方法的基本思想。
缉私艇的位置到达点 D( xk , yk ) 追赶方向可用方向余弦表示为：
0 xk cos k (0 xk )2 (atk yk )2
atk yk sin k (0 xk )2 (atk yk )2
R(0, atk )
k
D( x k , y k )
时间步长
的主要部分，因此比它们具有更高的精度。
这是一个隐式公式，可采用迭代法求解。
通常先用欧拉公式提供一个yn附近的初始迭代值，然后再用梯形
公式做迭代。
2）欧拉两步法 用函数y(x)在xn处的中心差商代替微分方程中的 导数，
y ( x n 1 ) y ( x n 1 ) f ( xn , y( xn )) 2h
end szy_imeu plot(x,szy_imeu,'r-','linewidth',2) f=x.^3.*exp(x)+x.^3.*sin(x)+2*x.^2; hold on plot(t,f,'b*--')
实验3缉私艇追击走私船
y x xy
的通解。
解
输入命令: y=dsolve('Dy=x+x*y','x') y =-1+exp(1/2*x^2)*C1
例2
求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
k 1 k k 1 k 1
~ 0 x k 1 ~ yk 1 a ( t k t )
第三步：计算缉私艇与走私船这两个动点之间的距离：
dk
2 ~ )2 ( y ~ ( x k 1 x y ) k 1 k 1 k 1
根据事先给定的距离，判断缉私艇是否已经追上 了走私船，从而判断退出循环还是让时间产生一个 步长，返回到第二步继续进入下一次循环； 第四步：当从上述循环退出后，由点列 ( xk 1 , yk 1 ) ~ ,~ ( x 和 k 1 yk 1 ) 可分别绘制成两条曲线 即为缉私艇和走私船走过的轨迹曲线。
ode23('zjwt',[3,0.0005],0)
若想看图中点的坐标可执行下面的命令： [t,y]= ode23('zjwt',[3,0.0005],0) plot(t,y) 此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.96013657712118） 执行下面的命令:
ode45('zjwt',[3,0.0005],0)
例1 y x, y (0) 0 function u=文件名(自变量,因变量) u=微分方程的右端 然后在指令窗口执行 ode23(‘文件名’,[0,2],0) 建立M文件, 格 式如左
融合多种思路的追缉问题的数学实验案例设计
融合多种思路的追缉问题的数学实验案例设计刘小兰;邓雪【摘要】It revolves around a pursuit problem related to differential equations.The solution idea is discussed from four aspects, that is, using two different ideas to build a mathematical model.Then find the analytical solution of the model and analyze the effect of the parameters on the solution.Find the numerical solution of the model and analyze the effect of the parameters on the solution.Finally, the simulation implementation of the problem is pursued.Both theoretical and numerical experimental results show when the speed ratio of the smuggling ship and the smuggling ship is greater than 1, the smuggling ship can catch up with the smuggling ship, and the closer the speed ratio is to 1, the longer the required time is.When the speed ratio of the smuggling ship and the smuggler is less than or equal to 1, the smuggling ship can not catch up with the smuggling ship.%围绕一道与微分方程有关的追缉问题, 从4个方面探讨其求解思路, 即运用两种不同思路建立数学模型;然后求模型的解析解, 并分析参数对解的影响;再求模型的数值解, 并分析参数对解的影响;最后是追缉问题的仿真实现.理论和数值实验结果都表明:当缉私舰和走私船的速度比大于1时, 缉私舰能追上走私船, 并且速度比越接近1, 所需要的追缉时间越长;当缉私舰和走私船的速度比小于等于1时, 缉私舰不能追上走私船.【期刊名称】《实验科学与技术》【年(卷),期】2019(017)001【总页数】4页(P28-31)【关键词】数学实验;追缉问题;微分方程;计算机模拟【作者】刘小兰;邓雪【作者单位】华南理工大学数学学院,广东广州 510640;华南理工大学数学学院,广东广州 510640【正文语种】中文【中图分类】G642.0数学实验是一门理论和实践相结合的数学基础课程，要求学生对一些实际问题建立数学模型、设计方案，并借助计算机等工具进行实现。
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问题：缉私艇问题续。
（1）在本问题的求解过程中，假定了走私艇的逃跑方向是正北方向，而初始缉私艇的位置在x 轴正向。
如果放宽这个假定，也就是当这个夹角是任意角度时，如何建立方程进行求解。
以下面数值为例进行求解：b=40,a=20,c=15,其中坐标系如课件上所述，走私船的方向为45°。
（2）如果有多个走私艇在一个位置上进行交易，而缉私艇向该方向追赶。
这些走私艇向不同方向四散逃走，问如何安排追赶路线？ （假定缉私艇追上一个立刻掉头追赶另外一个，中间没有时间停留）。
以下面数值为例进行求解：b=40,a1=20, a2=25, a3=30,c=15,三个角度分别为45°，90°和-60°。
（1）
缉私艇速度为b ，走私船速度为a ，初始距离为c 。
设走私船的速度方向与缉私艇初始速度方向呈θ角，因为缉私艇速度方向始终指向走私船方向，故两者大致轨迹如图所示。
根据x 与y 的速度关系可列出以下微分方程：
cos x dx
v b dt α=
= sin y dy v b dt α
==
即：
22(cos )
(cos )(sin )dx b c at x dt c at x at y θθθ+-=+-+-
22
(sin )(cos )(sin )dy b at y dt c at x at y θθθ-=+-+-
由dsolve 列方程无法得到x(t), y(t)的解析解，
通过变换消去t 可得到以下微分函数关系：
22[()sin cos ]1(sin cos )a
y c x y y y b θθθθ''''-+=
+-
α
θ
C
(x,y)
Q(c+atcos θ,atsinθ)
R(c+ycot θ,y)
y
x
走私船
缉私艇
再通过dsolve函数求解，仍无法得到y(x)的解析解。
因此只能用数值解法求其解。
给定初值：a=20，b=40，c=15，θ=45°。
使用MATLAB求解可得：
轨迹图
由图和数据初步判断大约在t=0.5到t=1之间缉私艇追上走私船。
将t的范围缩小到7-8
之间并提高精度使用matlab求出其数值解如下：
0.7034 24.8171 9.8993 24.9481 9.9481 0.7046 24.8632 9.9163 24.9649 9.9649 0.7058 24.9064 9.9378 24.9817 9.9817 0.7070 24.9438 9.9650 24.9985 9.9985 0.7082
24.9804
9.9931
25.0153
10.0153
0.7097 25.0551 9.9847 25.0367 10.0367
可以判断出：大约在第0.6755h 时，缉私艇追上走私船。
（在计算中通过改变函数ode45中t 的取值区间来提高其结果的精度，在0.6755h 时，x 已略微超过x1，y 也十分接近y1，所以判定为在这个时刻缉私艇追上走私船。
）
(2)
在这个问题中，三艘走私船各自以恒定的速度、恒定的方向行进。
从第一问中能够知道缉私艇在追一艘走私船时，走私船的速度和方向都对时间有所影响。
因为三艘船都不停地在各自所在的直线上匀速运动，所以初步猜测为：在追第一艘船时，选择一艘在最短时间内能够追上的船，追上后剩下的一艘最短时间内能够追上的船，最后再追第三艘走私船，这样所用时间会最短。
简单的理论依据：三艘走私船在从一个点向四周匀速扩散开来，以不变的速度追赶，
45° 60°
y
x
V1=20
V2=25
V3=30
(15,0)
Vj=40
要在最短时间内追到，则要使他们的相对距离在每被追上一个时保持最小，则每次追赶应该从最好追的一个点开始追赶。
从以上思想出发，计算（标记第i艘走私船为Zi,缉私艇为J）从零点开始分别追上Z1，Z2，Z3的时间：
t1在第一问已求出t1=0.6755h。
对于t2，改变a=25，θ=90°，通过数值法求出：
0.6395 14.9626 15.9697 15.0000 15.9885 0.6407 14.9478 16.0041 15.0000 16.0178 0.6418 15.0051 16.0198 15.0000 16.0448 0.6429 15.0284 16.0452 15.0000 16.0717 0.6439 14.9929 16.0769 15.0000 16.0986 0.6450 14.9722 16.1065 15.0000 16.1256 0.6460 15.0225 16.1269 15.0000 16.1505
可以判断出：大约在第0.6125h时，缉私艇追上走私船。
（在计算中通过改变函数ode45中t的取值区间来提高其结果的精度，在0.6125h时，x刚略微超过x1，y也十分接近y1，所以判定为在这个时刻缉私艇追上走私船。
）
即t2=0.6125h
可以判断出：大约在第1.1699h时，缉私艇追上走私船。
（在计算中通过改变函数ode45中t的取值区间来提高其结果的精度，在1.1699h时，y刚略微超过y1，x也十分接近x1且有略微下降，所以判定为在这个时刻缉私艇追上走私船。
）
即t3=1.1699h
因为t1=0.6755h，t2=0.6125h，可判断：t2<t1<t3
所以首先追赶Z2用时最短T1=0.6125h。
由此，可以知道：走私船与缉私艇速度方向夹角越小，追赶时间越长；走私船速度越大，追赶时间越长。
此时，已追赶上Z2，各点位置已发生变化，在原坐标系中，缉私艇坐标J(15,15.3125),Z1(23.6621,8.6621),Z3(24.1875,-15.9132),如图所示：
。