分离变量法解高考压轴导数题
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分离参数法解高考压轴题
新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范
围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。 一 洛必达法则介绍
如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim
x g x f x x →或)
()
(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为
00或∞
∞． 1．（洛必达法则1）
型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件
（1）0)(lim )(lim 0
==→→x g x f x x x x
（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)
()(lim
（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()
(lim )()(lim 00（或为无穷大）．
把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．
2（洛必达法则2）
∞
∞
型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0
x g x f x x x x
（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；
（3）A x g x f x x =''→)
()
(lim
（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)
()
(lim )()(lim
00
（或为无穷大） 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立． 二 典型例题: 例1．（08江苏理14）
设函数3
()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即
[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331
a x x
≥
- 设()2331g x x x =
-，则()()'
4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()3
31f x ax x =-+≥0可化为a ≤
23
31x x
-，()()'
4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4
【答案】4
例1 （2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2
+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；