向量组与矩阵的秩

定理6 n维向量组 件是矩阵
线性无关的充要条
的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。
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例 试证明n维列向量组α１，α２，…，αn线性无关 的充分必要条件是行列式
11 12 L D 21 22 L
M M
n1 n2 L
证 令矩阵
1n
2
n
0
M
n
n
A={α１，α２，…，αn} 则向量组α１，α２，…，αn线性无关
证 对任意的常数k1 , k2 , … , ks，
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上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
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定理5 在 r 维向量组
的各向量添上 n - r
个分量变成n维向量组
。
(1)如果
线性相关，
那么 (2)如果
也线性相关。 线性无关，
那么
也线性无关。
解 α1是α1，α2，α3，α4的一个线性无关的部分组， 显然α2不能由α1线性表示， 所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1，α2， 容易证明α3＝α1+α2 , 但α4不能由α1，α2线性表出，
所以α1 ,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1 ,α2 ,α4，
从而α1，α2，α3，α4的秩为3，
可由 线性相关。
推论1 如果向量组
可由
线性表出，且
线性无关，那么 。
推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相 同个数的向量。
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§4 向量组的秩与矩阵的秩
定义9 一向量组的一个部分组称为一个极大线 性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且
从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有
解令
β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4
于是得线性方程组
因为
k1 k2 k3 k4 1
kk11
k2 k2
k3 k3
k4 k4
2 1
k1 k2 k3 k4 1
11 1 1
1 1 1 1
D
16 0
1 1 1 1
1 1 1 1
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由克莱姆法则求出
所以
5
1
每一个向量组都可以经它自身线性表出。
如果向量组 线性表出，向量组 线性表出，那么向量组
线性表出。
可以经向量组 可以经向量组 可以经向量组
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如果
有
向量组
中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
可以经向量组
线性表出。
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向量组的等价具有下述性质：
(1)自反性：向量组
也可用矩阵形式表示： 若所给向量均为行向量，则有
若所给向量均为列向量，则有
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例 判断向量组
的线性相关性。
解 假设存在一组常数k1 ,k2 ,…,kn 使得
所以
即 因此
k1= k2 =…= kn= 0 线性关。
称为基本单位向量. 返回
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例 判断向量组
α１＝（１，１，１），α２＝（０，２，５），α3＝（１，３，６）
称为 的负向量，记为 。
向量的减法定义为
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向量的加法与数乘性质
满足（1）—（8）的 运算称为线性运算。
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§2 线性相关与线性无关
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n
维行向量组
可以排列成一个s×n分块矩阵
其中 为由A的第i行形成的子块，
称为A的行向量组。
的线性相关性.
解 对任意的常数k１，k２， k3都有
k１α１+k２α２+ k3α3=( k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3 ).
所以
当且仅当
k１α１+k２α２+ k3α3=0
kk11
2k2
k3 3k3
0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
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由(1)得
n维列向量组
可以排成一个n×s矩阵
其中 为由B的第j列形成的子块，
称为B的列向量组。
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定义6 向量组
称为线性相关的，如果
有P中不全为零的数k1,k2,…,ks，使
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
线性无关。
当
是行向量组时，它们线性相关就是指
有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
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当
为列向量时，它们线性相关就是
指有非零的s×1矩阵
，使
.
定义7 向量α称为向量组β１,β２，…，βt的一个
线性组合，或者说α可由向量组β１，β２，…，βt线
性表出(示)，如果有P中（经常省略P中）常数k１，k ２,…，kt使
α＝k１β１＋k２β２+…＋ktβt.
此时，也记
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(2)对称性: 如果向量组
等价，那么
也与
与它自己等价；
与 等价；
(3)传递性: 如果向量组
等价，而向量组
又与
与 等价, 那么
向量组
与
等价。
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§3 线性相关性的判别定理
称一个向量组中的一个部分向量组为原向量组的 部分组。
定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。
证 设向量组
有一个部分组线性相关。
第三章 向量组与矩阵的秩
第一节 n维向量 第二节 线性相关与线性无关 第三节 线性相关性的判别定理 第四节 向量组的秩与矩阵的秩 第五节 矩阵的初等变换 第六节 初等矩阵与求矩阵的逆 第七节 向量空间
§1 n维向量
定义 1 设P是由一些复数组成的集合, 其 中包括0与1. 如果P中任意两个数(这两个数可以 相同)的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数， 那么P就称为一个数域.
设这个部分组为
，则有不全为零的数
k1 , k2 , … , kr，使
因此
也线性相关。
推论 含有零向量的向量组必线性相关。
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定理4 设p1 , p2 , …, pn为1，2，…，n的一个排列，
和
为两向量组，其中
即
是对
各分量的顺序进行重
排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线
性相关性。
推论 当m>n时, m个n维向量组线性相关。
练习 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：
1 2 3
1 3 2
B 2
2
1 ;
C
0
2 1.
3 4 3
2 0 1
由于｜Ｂ｜＝２≠０，因此Ｂ的行(列)向量组线性无
关；
由于｜Ｃ｜＝０，所以C的行(列)向量组线性相关.
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定理8 如果向量组 线性表出且 s > t ，那么
能由向量组 的极大线性无关组可
由
的极大线性无关组线性表出。
因此
的秩不超过
的秩。
定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可
扩充为一个极大线性无关组。
推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线
性无关的部分组都是极大线性无关组。
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例 求向量组α1＝(1，-1，0，3) ，α2＝(0,1,-1,2) , α3 ＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.
向量组的极大线性无关组具有的性质：
性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本 身等价。
性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都 等价。
性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同
个数的向量。
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定义10 向量组的极大线性无关组所含向量 的个数称为这个向量组的秩。
如果向量组 线性表出，那么
1
k1 4 , k2 4 , k3 k4 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
,
即β能由α１，α２，α3 , α4线性表出.
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例 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能 否由α,β线性表出?
解设 于是得方程组
γ=k１α+k２β
2k1 3k1
的话），所得的部分组都线性相关。
例 在向量组
中， 为它的一个极大线性无关组。
首先，由 与 的分量不成比例， 线性无关。
再添入 以后，由
可知所得部分组线
性相关，不难验证
也为一个极大线性无关组。
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定义9' 一向量组的一个部分组称为一个极大 线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的， 并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。
α1，α2，α4是它的一个极大线性无关组.
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定义11 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩
阵的列秩是指它的列向量组的秩。
定义12 在一个 sn 矩阵A中任意选定k行和k列，
显然, 全体有理数组成的集合、全体实数 组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这
三个数域一般分别用字母Q、R、C来表示. 全体
整数组成的集合不是数域.
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定义2
数域P中n个数组成的有序数组
（a1,a2,…,an）
行向量
列向量
称为P上一个n维向量，简称向量。
用小写的粗黑体字母来表示向量 。
k2
0 7
2k2 4
由第一个方程得k１=0，代入第二个方程得k２=7，
但k２不满足第三个方程，故方程组无解.
所以γ不能由α,β线性表出.
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定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充
要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证 充分性：设
中有一个向量能由其
他向量线性表出，不妨设
所以
证 对列向量来证明定理。
这里 A1 是列向量
构成的 r× s矩阵.
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如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
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引理1 n阶方阵A的行列式等于零的充分必要条 件是A的行(列)向量组线性相关。
行列式|A|≠0. 由于
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1
A
2
M
1
2
L
n
11 12 L
n
21
M
22
M
L
n1 n2 L
在上式两端取行列式，得
1n
2
n
M
n
n
|A|2=|A′||A|=D
故|A|≠0
D≠0,
所以α１，α２，…，αn线性无关
D≠0.
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定理7 n+1个n维向量组
必线性相关。
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个 向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称
为实向量；分量都是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量 也常看成n×1矩阵。
设k和l为两个任意的常数， 维向量，其中
为任意的n
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定义3 如果 和 对应的分量都相等，即
线性相关。
必要性：如果
零的数k1 ,k2 ,…,ks，使 设k1≠0,那么
线性相关，就有不全为
即 能由
线性表出。
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例如，向量组
是线性相关的，因为
显然，向量组α１，α２线性相关就表示α１＝kα２或者 α２＝kα１. 此时，两向量的分量成正比例.
在三维的情形，这就表示向量α１与α２共线. 三个 向量α１，α２，α3线性相关的几何意义就是它们共面.
l1=h1 , l2=h2 , …，lt=ht
因此表示式是唯一的。
定理 2′ 若α 可由向量组β１，β２，…，βt 线性表出,
且表示式是唯一的, 则β１，β２，…，βt 线性无关.
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定义8 如果向量组
中每个向量都
可以由
线性表出，就称向量组
可由
线性表出，如果两个向量组互相
可以线性表出，就称它们等价。
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例 设向量组
线性无关，
，
，试证向量组
线性无关。 证 对任意的常数x1 , x2 , x3 都有
设有k1,k2,k3，使
由
线性无关，故有
， 也
由于上述方程组的解只有 k1=k2=k3=0
所以
线性无关。
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α4=(1例,-1设,-1α,1)１,β=(=1,(11,,12,,11,)1,α).试２问=(1β,1能,-1否,-1由),αα3１=,(α1,-２1,,α1,-31, ), α4线性表出？若能，写出具体表达式.
kk11
2k2
k3 3k3
0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
k1 k3,
将其分别代入(2)和(3)得 k2 k3.
取定
k3 1,
得方程组的一组解为:
因此
k1=1，k2=1，k3= -1
１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0. 所以α１，α２，α3线性相关.
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ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为
。
定义4 向量
（a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn）
称为 与 的和，记为
。称向量
（ka1,ka2,…,kan） 为 与k（k∈P）的数量乘积，简称数乘，记为
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定义5 分量全为零的向量 （0，0，…，0）
称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,…,-an）
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定理2 设向量组
线性无关，而向量组
线性相关，则 能由向量组
线性表出，且表示式是唯一的。
证 由于
线性相关，就有不全为
零的数k1 , k2 ,…, kt , k，使
由
线性无关有k≠0。（否则，
线
性相关）因此
即 可由
线性表出。
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设 为任意两个表达式。 由
和
线性无关
得到