函数逼近基本概念

则 |||称 为 | 线 S 上 性 范 的 ， 空 S 数 与 ||间 |一 | 起 赋称 范为 线性 ，空 X 记 . 间 为
例如 Rn 上 ，的 对 x(向 x1,,量 xn)T ，三 有种常
||x| |ma |xix|，称 为 范数或最大
1in
n
||x ||1 |x i|，称 为 1 范 数 ,
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
§3.1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
函数逼近 : 对 问于 题函A中 数给 类定的 f(x)函 要 , 数 求在 另一类较简单 算的 的便 函B于 数 A计 中 类找一个函 p(x),使p(x)与f(x)的误差在某种 下度 达量 到.意 最义 小 注：函数类 A 通常是 [a,b] 上的 连续函数，记作C[a,b] ，称为 连续函数空间。
定 理 2设 X为 一 个 内 积 u,v 空 X,有 间 ， 对
|(u,v)|2(u,u)(v,v).
(1.6)
称柯 为— 西 施瓦 （ C 茨 aucShcyhw ）a不 rz. 等 式
定理设 3 X为一个内积空 u1,u间 2,， ,unX,矩阵
(u1,u1) (u2,u1) (un,u1) G(u1,u2) (u2,u2) (un,u2)
如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
并且上述两种运下 算面 满 8条足 法则：
(1 ) ；
( 2 ) ( ) ( ) ；
( 3 )存 0 V ， 在 使 得 V ， 有 0 ， 0 称 V 的 为 ; 零
(4) V， 存在 V， 使得 0， 称为 的负元 记为 ；
(5)1；
(6)k(l)(k) l；
(7 )(k l) k l ；
三、内积与内积空间
R n 中 向 量 x 及 y 的 内 积 定 义 为 : ( x , y ) x 1 y 1 L , x n y n .
将其推广有如下定义 .
定义3设X是数域 K(R或C)上的线性空间u， ,v对X， 有K中一个数与之对为 应(u， ,v)， 记并满足条件： (1)(u,v)(v,u), u,vX;
i 1
1
||x ||2 nxi2 2， i 1
称 为 2范 数 .
类似地，C对[a,b]上的f (x)，可定义三种常用：范
|| f || max| f (x)|， 称为范数，
axb
|| f ||1 ab| f (x)| dx， 称为1范数,
1
|| f ||2 ab f 2(x)dx 2， 称为2范数.
maf(xx)p(x)
axb
其中ε为任意给的小正数. 这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（ Weierstrass）定理.
定理 1（魏尔斯特拉斯定理）
若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意 >0，
总存在代数多项式 p (x)，使对一切a ≤x ≤b 有
maf(xx)p(x)
axb
二、范数与赋范线性空间
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
1. 线性空间
定 义 设 V为 ：非 空 F为 集数 合 若 域 ， V 在 中 ，定 义 了 :
(1)加法 、 ： V， 存在唯 V与 一它们对应， 称之 与 为 的和， 记 .为
(2)数乘 ： V、 kF， 存在 唯 V与 一它 们对 应 称之 k与 为 的数乘 ， k. 记为
定 义 2 设 S是 线 性 空 间 ， xS， 如 果 存 在 唯 一 实 数 ||||， 满 足 条 件
(1) ||x||0, 当 且 仅 当 x0时 ,||x||0;
(正 定 性 )
(2) x||x||, R ;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(齐 次 性 )
(3) xy||x||||y||, x,yS.
(三 角 不 等 式 )
例 3、 次数不 n的 超 实 过 系数多项式的全体 Hn{anxna1xa0aiR}对多项式的 构 加 成 法 线 及 .
例 4、 [a,b]上连续函C数 [a,b]按 的通 全常 体函数与 的函 加 的乘法构成 . 线性空间
定 义 1设 集 合 S是 数 域 P上 的 线 性 空 间 ， 元 素 x1,x2,L,xnS,
( 8 )k ( ) k k .
则称V为F上的线性空 . 间
说 明V中 ：的 元 素 可 以 矩是 阵向 ，量 函， 数. ， 多
例 1、 实n维 向 量R 的 n{全 (a1， a体 2， ， an)aiR} 对 向 量 的 加成 法线 及性 数 . 空 乘间 构
例 2、 实数域 mn阶 上矩 的阵 Rm 的 n{a 全 (ij)m n体 aijR} 对矩阵的加 成法 线及 性 . 数 空乘 间构