函数逼近基本概念
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
数学专业文献综述范文
数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。
本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。
一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。
在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。
二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。
在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。
近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。
在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。
近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。
未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。
文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。
本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。
一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。
在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。
二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。
在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。
计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则 Tn1 (x) cos[(n 1)θ ] cos[(nθ θ )]
cos(nθ )cosθ sin(nθ )sinθ
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
cos(n 1)θ cos(nθ )cos θ sin(nθ )sin θ
Tn1 (x) 2cos(nθ )co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
cos[(2k
1)π] 2
计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
函数近似与逼近理论教案
函数近似与逼近理论教案一、简介函数近似与逼近是数学中的重要概念和方法。
它涉及到函数的逼近问题，旨在通过一系列逼近函数来接近原函数。
本教案将介绍函数近似与逼近的基本理论和方法，并通过案例演示实际应用。
二、函数近似的基本概念1. 函数逼近的概念函数逼近是指通过一系列逼近函数来接近原函数的过程。
原函数可以是已知函数或未知函数，逼近函数可以是多项式、三角函数等。
2. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常见的函数逼近方法，通过调整逼近函数的参数，使得逼近函数与原函数的残差的平方和最小。
三、函数逼近的方法和技巧1. 查表法查表法是一种简单而实用的函数逼近方法，通过查找已知函数表格中的数值，来逼近原函数的值。
2. 插值法插值法是一种通过已知函数值来逼近未知函数值的方法，常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 最小二乘逼近法最小二乘逼近法通过调整逼近函数的参数来最小化残差的平方和，常用的最小二乘逼近方法有多项式逼近和三角多项式逼近。
四、函数近似与逼近的应用案例1. 信号处理函数近似与逼近在信号处理中有广泛的应用，例如通过逼近函数对信号进行去噪、平滑和压缩等处理。
2. 数据拟合函数逼近可以用于数据拟合，通过逼近函数来拟合离散数据点，从而得到拟合曲线或曲面。
3. 图像处理在图像处理中，函数逼近可以用于图像的重建、去噪、边缘检测等方面，提高图像质量和处理效果。
五、教学过程安排1. 理论讲解首先，介绍函数近似与逼近的基本概念和方法，讲解最小二乘逼近等常见的函数逼近方法。
2. 案例演示通过具体的案例，演示函数逼近在信号处理、数据拟合和图像处理等方面的应用。
3. 实践操作提供适当的实践操作，让学生亲自操作并体验函数近似与逼近的方法，加深理解和掌握。
4. 总结讨论对教学内容进行总结，并引导学生进行讨论，思考函数逼近在其他领域的应用和潜力。
六、教学资源和参考文献1. 教学资源提供函数近似与逼近的相关教材、课件和案例资料等，供学生参考和学习。
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
数学分析中的逼近理论及基本应用
数学分析中的逼近理论及基本应用数学分析是数学中的一个重要分支，研究的主要对象是函数和序列的性质、极限、连续等。
函数逼近是数学分析的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用，是解决实际问题的一个重要工具。
本文将介绍数学分析中的逼近理论及其基本应用。
一、逼近理论1. 函数逼近函数逼近是指用简单的函数来近似复杂的函数。
在函数逼近中，我们首先需要定义一个逼近函数的集合，然后根据一定的逼近准则，选择逼近函数中的一个函数作为被逼近函数的近似函数。
通常选择的逼近函数具有一定的优良性质，例如在逼近函数中具有比较好的平滑性、可微性和可积性等。
2. 三角逼近三角逼近是指用三角函数来逼近周期函数。
三角函数的基本周期为 $2\pi$，所以可以用它来逼近周期函数。
三角逼近的目的是将周期函数分解为特定频率的正弦和余弦波的叠加，从而得到周期函数的频率分布和频率分量。
3. 插值逼近插值逼近是指用一个低次多项式来逼近一个离散的数据集。
在插值逼近中，我们首先需要确定逼近函数的次数，然后根据给定的数据点，构造一个逼近函数，使它在这些数据点处的函数值等于数据点的值。
通常采用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
4. 误差估计误差估计是指在进行逼近时，如何判断逼近函数的精度和可靠性。
误差估计方法通常有两种：点误差估计和区间误差估计。
点误差估计是指在给定的一个点上，用被逼近函数和逼近函数的差来估计误差。
区间误差估计是指在给定的一个区间上，用被逼近函数和逼近函数的差的最大值来估计误差。
二、逼近的应用1. 信号处理信号处理是指对信号进行分析、处理和提取有用信息的过程。
在信号处理中，逼近理论广泛地应用到信号分解和滤波中。
信号分解是将信号分解为一组组正弦和余弦波的叠加，以便分析其频率分布和频率分量；滤波是指通过选择合适的逼近函数，去除信号中的噪声和干扰成分，提取有用的信息。
2. 图像处理图像处理是指对数字图像进行处理和分析的过程。
逼近理论在图像处理中发挥了重要作用，例如，在图像压缩和去噪中，可以用逼近函数将图像分解为一组组正弦和余弦波的叠加，以便实现图像的压缩和去噪。
第三章 1 逼近论
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
逼近论第一第二章
第一章 预 备 知 识§1 函数逼近论简介一、 函数逼近论（approximation of funcyions ）函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下面问题： 在选定的一类函数中寻找某个函数g ，使它是已知函数f 在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示 f 而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数f 的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作f 的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的；g 对f 的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
二、逼近函数类给定函数()f x ，用来逼近()f x 的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。
逼近函数类可以有多种选择。
n 次代数多项式，亦即一切形如公式0nk k k a x =∑（其中0,,n a a 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合；n 阶三角多项式，亦即一切形如公式01(cos sin )nk k k a a kx b kx =++∑(其中0,,n a a ,0,,n b b 是实数，0,1,,k n =）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。
其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。
在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。
三、逼近方法给定f 并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的。
例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。
所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()g x ，使它在一些预先指定的点上和()f x 有相同的值，或者更一般地要求()g x 和()f x 在这些指定点上某阶导数都有相同的值。
傅里叶级数 函数逼近
傅里叶级数函数逼近傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数的方法，它在数学和工程领域中具有广泛的应用。
函数逼近则是利用傅里叶级数或其他逼近方法来近似表示一个给定的函数。
傅里叶级数的基本思想是将一个周期为T的函数f(x)表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
具体而言，傅里叶级数可以表示为以下形式的级数：f(x) = a0 + Σ(ancos(nωt) + bnsin(nωt))。
其中，a0、an和bn是系数，ω是角频率，t是时间。
这个级数包含了无穷多个谐波分量，每个分量对应一个正弦或余弦函数。
系数an和bn决定了每个分量的振幅，而角频率则决定了每个分量的频率。
通过求解函数f(x)与正弦和余弦函数的内积，可以得到傅里叶级数的系数。
这样，我们就可以用有限项级数来逼近原始函数f(x)。
通常情况下，选择足够多的项，级数的逼近效果会更好。
函数逼近是利用傅里叶级数或其他逼近方法来近似表示一个给定函数的过程。
除了傅里叶级数，还有其他的逼近方法，如泰勒级数、插值法等。
这些方法的选择取决于所要逼近的函数的性质和所需的逼近精度。
函数逼近的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶级数可以用于信号的频谱分析和滤波，可以将复杂的信号分解成一系列简单的谐波分量。
在数值计算和数值分析中，函数逼近可以用于数值积分、数值解微分方程等问题。
在图像处理中，函数逼近可以用于图像的压缩和降噪等。
总结起来，傅里叶级数和函数逼近是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数的方法，通过选择适当的系数和项数，可以用有限项级数来逼近原始函数。
函数逼近在数学和工程领域具有广泛的应用。
函数逼近
3-1
3与预备知识
什么是函数逼近
对于一个给定的复杂函数 f (x), 在某个表达式较简单的函数类 Φ 中寻找一个函数 p(x), 使其在某种 度量下距离 f (x) 最近, 即最佳逼近. 这就是函数逼近. • • • • 函数 f (x) 通常较复杂, 但一般是连续的. 我们这里主要考虑 [a, b] 上的连续函数, 即 f (x) ∈ C [a, b]; 函数类 Φ 通常为多项式函数, 或分段多项式函数, 或有理函数, 或三角多项式函数, 等等; 在不同的度量下, f (x) 的最佳逼近可能不一样; 函数逼近通常采用基函数法.
2
例 3.1 常见的线性空间 • • • • • 3.1.4 Rn : 数域 R 上的 n 为线性空间; Cn : 数域 C 上的 n 为线性空间; C [a, b]: 定义在 [a, b] 上的实系数连续函数全体构成 R 上的线性空间; Hn : 次数不超过 n 的实系数多项式全体构成 R 上的 n + 1 维线性空间; C p [a, b]: 定义在 [a, b] 上的实系数 p 阶连续可导函数全体构成 R 上的线性空间; 范数与赋范线性空间
3.1 基本概念与预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 什么是函数逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 多项式逼近的理论基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 范数与赋范线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 内积与内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3 最佳逼近多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-8
数值分析第3章
20
定义了内积的线性空间称为内积空间. 定义中（1）的右端 (u称, v为) 的(u共,轭v)， 当K为实数域R时 (u, v) .(v, u) 如果 (u, v，) 则 称0 与 正交u ，这v 是向量相互垂 直概念的推广.
b a
f
2
(
x)dx
2
33
若 0 ,1,,n是 C[a, b]中的线性无关函数族，记 span{0 ,1,,n}, 它的格拉姆矩阵为
G G(0 ,1,,n )
(0 ,0 ) (0 ,1) (0 ,n )
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(1
,
n
)
(n ,0 )
(n ,1 )
(
n
,
n
)
（1.17）
Hn span{1, x,, xn},
且 (a0 , a1,, an ) 是 p(x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
8
对连续函数 f (x) C[a,b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a,b]是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p(x) Hn逼近，使误差
与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n，称为 n维
向量空间.
4
对次数不超过 n( n为正整数)的实系数多项式全体，
按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域
R上一个线性空间，用
H
表示，称为多项式空间.
n
所有定义在 [a,b] 上的连续函数集合，按函数加法和
计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式精编版
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
0 cos(mθ )cos(nθ )dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ )cos(nθ )dθ 0
根据积化
1 2
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
计算方法 (Numerical Analysis)
第4次 最佳一致逼近多项式
高等数学中的逼近理论与测度论
高等数学中的逼近理论与测度论在高等数学中，人们经常遇到一些用连续函数或多项式函数逼近非光滑函数或离散点集的问题，这就需要引入逼近理论和测度论。
逼近理论主要研究用连续函数、多项式函数或三角函数等函数类逼近某些函数的性质和方法，而测度论则是用来研究集合的大小和度量方法的数学分支。
接下来，我们将深入探讨这两个分支的一些基本概念和应用。
一、逼近理论的基本概念在逼近理论中，最基本的概念是逼近序列，即对于给定函数f(x)，构造一列函数 {f_n(x)}，使其能够逐渐逼近f(x)。
其中，{f_n(x)}可以是一列多项式函数、三角函数或连续函数等。
而原函数f(x)则是逼近序列的极限函数，在某些条件下，可以证明逼近序列能够收敛到原函数f(x)。
这便是逼近理论的核心问题之一。
另外，在逼近理论中，还有一些常见的逼近方法，比如最小二乘逼近和插值逼近等。
最小二乘逼近是指通过对样本数据进行拟合，使得拟合函数与样本数据之间的平方误差最小。
比如，我们有一些二维数据点(x_i, y_i)，我们需要用一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
而最小二乘逼近则是通过最小化误差函数来求解最优的拟合直线参数 a和 b。
插值逼近则是指通过一组已知离散点来构造一条连续的逼近函数。
比如，我们需要通过一组离散点来逼近函数 f(x)，我们可以采用拉格朗日插值法或牛顿插值法等来构造连续的逼近函数。
二、测度论的基本概念在测度论中，最基本的概念是集合的度量。
度量是指一种把集合映射到实数上的函数，它可以用来度量集合的大小和距离。
在实际应用中，最常见的度量是欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。
欧氏距离是指在欧氏空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
对于二维平面上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，它们之间的欧氏距离为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
曼哈顿距离是指在曼哈顿空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
数学中的逼近论
数学中的逼近论数学中的逼近论是一门研究数学对象在其定义域内的逼近性质的学科。
它涉及到函数逼近、级数逼近等方面的研究，具有广泛的应用和重要的理论价值。
本文将通过介绍逼近论的基本概念和主要内容，展示逼近论在数学领域中的重要性及其应用。
一、逼近论的基本概念逼近论中常用的概念包括逼近序列、收敛和一致收敛等。
下面将详细介绍这些概念及其应用。
1. 逼近序列在逼近论中，逼近序列是指一列数或函数，通过与某个数或函数的距离不断减小来逼近其极限值。
逼近序列的选取对于逼近结果的准确性起着重要的作用。
2. 收敛在逼近论中，收敛是指逼近序列逐渐趋于某个确定的值。
例如，当逼近序列中的数或函数的偏离程度逐渐变小，且最终无限接近某个数或函数时，我们称该逼近序列是收敛的。
3. 一致收敛一致收敛是逼近论中的重要概念之一。
当逼近序列在定义域内任意一个点上的逼近速度都相同，且当序列中的数或函数无限逼近时，我们称该逼近序列是一致收敛的。
一致收敛具有较强的收敛性质，其优点在于可以对逼近结果进行更准确的估计。
二、逼近论的主要内容逼近论的主要内容包括函数逼近、级数逼近等。
1. 函数逼近在逼近论中，函数逼近是指通过一系列逼近序列来逼近一个函数。
常见的函数逼近方法有泰勒展开、插值法等。
泰勒展开是利用函数在某一点附近的导数值来逼近函数的值，而插值法则是根据一组已知的函数值来逼近函数的值。
函数逼近在数学分析、数学物理等领域有着广泛的应用。
2. 级数逼近级数逼近是逼近论中的重要内容。
级数逼近是指通过逐渐累加部分和来逼近一个序列或函数。
常见的级数逼近方法有几何级数、幂级数等。
幂级数在解析函数、微分方程等领域起着重要作用，它可以用来逼近各种函数，揭示函数的性质。
三、逼近论的应用逼近论在数学领域中具有广泛的应用。
1. 数学分析逼近论是数学分析的重要基础，它为分析学中的极限理论、连续性理论等提供了理论支持。
逼近论的基本概念和方法还被广泛应用于函数的连续性、可微性等性质的研究中。
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如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
1. 线性空间
定 义 设 V为 ：非 空 F为 集数 合 若 域 ， V 在 中 ，定 义 了 :
(1)加法 、 ： V， 存在唯 V与 一它们对应， 称之 与 为 的和， 记 .为
(2)数乘 ： V、 kF， 存在 唯 V与 一它 们对 应 称之 k与 为 的数乘 ， k. 记为
§3.1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
函数逼近 : 对 问于 题函A中 数给 类定的 f(x)函 要 , 数 求在 另一类较简单 算的 的便 函B于 数 A计 中 类找一个函 p(x),使p(x)与f(x)的误差在某种 下度 达量 到.意 最义 小 注：函数类 A 通常是 [a,b] 上的 连续函数，记作C[a,b] ，称为 连续函数空间。
定 义 2 设 S是 线 性 空 间 ， xS， 如 果 存 在 唯 一 实 数 ||||， 满 足 条 件
(1) ||x||0, 当 且 仅 当 x0时 ,||x||0;
(正 定 性 )
(2) x||x||, R ;
(齐 次 性 )
(3) xy||x||||y||, x,yS.
(三 角 不 等 式 )
并且上述两种运下 算面 满 8条足 法则：
(1 ) ；
( 2 ) ( ) ( ) ；
( 3 )存 0 V ， 在 使 得 V ， 有 0 ， 0 称 V 的 为 ; 零
(4) V， 存在 V， 使得 0， 称为 的负元 记为 ；
(5)1；
(6)k(l)(k) l；
(7 )(k l) k l ；
定 理 2设 X为 一 个 内 积 u,v 空 X,有 间 ， 对
|(u,v)|2(u,u)(v,v).
(1.6)
称柯 为— 西 施瓦 （ C 茨 aucShcyhw ）a不 rz. 等 式
定理设 3 X为一个内积空 u1,u间 2,， ,unX,矩阵
(u1,u1) (u2,u1) (un,u1) G(u1,u2) (u2,u2) (un,u2)
三、内积与内积空间
R n 中 向 量 x 及 y 的 内 积 定 义 为 : ( x , y ) x 1 y 1 L , x n y n .
将其推广有如下定义 .
定义3设X是数域 K(R或C)上的线性空间u， ,v对X， 有K中一个数与之对为 应(u， ,v)， 记并满足条件： (1)(u,v)(v,u), u,vX;
maf(xx)p(x)
axb
其中ε为任意给的小正数. 这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（ Weierstrass）定理.
定理 1（魏尔斯特拉斯定理）
若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意 >0，
总存在代数多项式 p (x)，使对一切a ≤x ≤b 有
maf(xx)p(x)
axb
二、范数与赋范线性空间
例 3、 次数不 n的 超 实 过 系数多项式的全体 Hn{anxna1xa0aiR}对多项式的 构 加 成 法 线 及 .
例 4、 [a,b]上连续函C数 [a,b]按 的通 全常 体函数与 的函 加 的乘法构成 . 线性空间
定 义 1设 集 合 S是 数 域 P上 的 线 性 空 间 ， 元 素 x1,x2,L,xnS,
则 |||称 为 | 线 S 上 性 范 的 ， 空 S 数 与 ||间 |一 | 起 赋称 范为 线性 ，空 X 记 . 间 为
例如 Rn 上 ，的 对 x(向 x1,,量 xn)T ，三 有种常
||x| |ma |xix|，称 为 范数或最大
1in
n
||x ||1 |x i|，称 为 1 范 数 ,
i 1
1
||x ||2 nxi2 2， i 1
称 为 2范 数 .
类似地，C对[a,b]上的f (x)，可定义三种常用：范
|| f || max| f (x)|， 称为范数，
axb
|| f ||1 ab| f (x)| dx， 称为1范数,
Hale Waihona Puke 1|| f ||2 ab f 2(x)dx 2， 称为2范数.
( 8 )k ( ) k k .
则称V为F上的线性空 . 间
说 明V中 ：的 元 素 可 以 矩是 阵向 ，量 函， 数. ， 多
例 1、 实n维 向 量R 的 n{全 (a1， a体 2， ， an)aiR} 对 向 量 的 加成 法线 及性 数 . 空 乘间 构
例 2、 实数域 mn阶 上矩 的阵 Rm 的 n{a 全 (ij)m n体 aijR} 对矩阵的加 成法 线及 性 . 数 空乘 间构