第七节 离散系统的稳定性分析

解：双线性变换，令Z 1 r 1 r
G（r）
(1
r
2.53 1 1
1)(1 r
r r
0.638)
2(1 r (1
r)(1 r) 2.165r)
1r 1r
求开环的频率特性， '为伪频率
r
j '
G( j ' )
2(1 j ' )(1 j ' ) j ' (1 2.165 j ' )
由上式可以求出开环的频率特性
连续系统：
等幅振荡 振荡收敛
单调收敛
振荡发散 单调发散
离散系统
等幅振荡
振荡发散 振荡收敛
单调收敛
单调发散
特征根位置： Z平面沿实轴从右向左 单调发散 单调衰减
等幅振荡
振荡衰减 发散振荡
其他位置单位圆由内向外 振荡衰减 等幅振荡 发散振荡
从右向左振荡频率增加
采样系统闭环极点选取原则
由上述分析可知，极点位于单位圆内是稳定 的，但应尽量避免选在左半圆，特别是靠近 负实轴边界处，此处振荡频率高而且衰减很 慢。最好位置选择在单位圆内正实轴上且靠 近原点，此时系统输出单调衰减，且收敛速 度极快。
T
T
( Z 1)( Z e Tu ) KZ (1e Tu )0
T
T
T
Z 2 K ( Z e Tu )(1e Tu ) Z e Tu 0
令Z r 1, r 1
T
T
T
T
K (1e
Tu
)r 2 2(1e
Tu
)
r
2(1e
Tu
)K (1e
Tu
)
0
a0r 2 a1r a2 0
K
a0 a2
a1 0
系统稳定性。
一 稳定条件及S，E平面对应关 系
Z eTS eT ( j )
j 2
eT e jT eT e s ,s采样频率, 则，Z eT , T
连续系统中，闭环传递函数极点均位于s平面
的左半平面( 0)时，系统稳定，由此可以对
应出Z，S平面稳定区域之间的映射关系。
S平面
0 系统稳定
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
r 1
r 1
r 1
9r3 r 0
r(9r 2 1) 0
r 0, r 1 3
有根在右半平面，所以系统不稳定。
双线性变换+劳斯判据不仅可以用于判
断稳定性，还可以用来分析放大系数、 采样周期对系统稳定性的影响。
对例1，利用劳斯判据分析 T和K对稳定性的影响
解：闭环特征方程为： 1＋G(z)0
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
来自百度文库
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
同理可得： Z 1 0； Z 1 0
r平面类似于S平面，与Z平面具有相同的映射关系，但是 在定量关系上它决不等效于S平面。
例: 系统特征方程
Z 3 3.5Z 2 3.5Z 1 0
令Z r 1,则系统特征方程为： r 1
( r 1)3 3.5( r 1)2 3.5( r 1) 1 0
概念介绍（反映系统动态品质） 一.等频线（等 线） 在S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
Z eTS eT *e jT
J s
S2 S 4
z
S
4
s
T
2
对应到Z平面上，映射成了从原点出发向外 辐射的一条直线，与实轴夹角T 2
S
3.等衰减系数曲线（等 线）
S平面上，极点S S j 1 2S j
[ s , s ] 为主频段，其他称为次频段。
22 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单 位圆，说明Z与S平面间的影射不是一一对 应，S中一点对应Z面中一点，但Z中一点对 应S平面中多个点。
例一：
轧钢机压下位置控制系统速度， T u 控制系
统等效时间常数，T u 100ms , 采样周期取为
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
系统。
1 r(t)=1(t)时
静态位置误差系数
R(z)
z
z 1
,
ess
lim [(z
z 1
1) 1 1 Go (z)
z ] z 1
1 1 Go (1)
若定义 K p lim Go (z) z 1
，则ess
1 1 K
p
对1、2型系统易知 Kp ，故
0型 1型
Kp
Go (1)
ess
1 1 Go (1)
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
双线性变换定义：
Z r 1 r Z 1或Z 1 r r Z 1
r 1
Z 1
1 r
Z 1
作用：把Z平面中单位圆内部映射到r平面的左半平面。
设r j, Z单位圆内部为 Z j 1 1, j 1
即 ( 1)2 2 ( 1)2 2 , 0 所以 Z 1 0；
lim [(z 1)2Go (z)]
z 1
令 ，则
G2 (1) lim (z 1)2Go (z)
z 1
，则ess
1 Ka
0型
Ka
ess
0
1型 2型
0
G2 (1)
T2
T2
G2 (1)
五.根的位置与暂态特性关系
在连续系统分析中，我们知道闭环传函的S平 面零极点分布，与输出的暂态特性有密切的 关系。例如极点在S平面左半平面负实轴上， 相当于单调的衰减过程，左半平面内的共轭 复数极点对应衰减的振荡过程，而衰减的快 慢决定于极点实部到原点的距离。对应于采 样系统，闭环系统脉冲传函极点在Z平面上的 位置，也与输出的暂态响应有密切关系。
G1(1) T
1 T
lim (z
z 1
1)Go (z)
T G1(1)
0
2
3
r(t)=0.5t2*1(t)时
R(z) T
z(z 1)
3
静态加速度误差系数
2(z 1)
2
ess
lim [(z
z 1
1) 1
1 Go (z)
T
z
(
z
1)
3
]
2(z 1)
T
2
lim
z1
(z
1
2
1) Go (z)
若定义 Ka
1 T2
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
0 临界稳定
0 不稳定
Z平面 Z 1 单位圆内
s
2
s
4
Z 1 S沿虚轴变化 0
s
4
s
2
Z 1
Z 1
Z 1
2 Z 10 1
Z 1
2
Z 1 1
稳定区
j
S 平 面
S平面
I
m
Z平稳面定区
由此可见，S平面的左半开平面对应于Z平 面上的单位圆内，Z平面上单位圆上逆时针 增加一个频段，即逆时针转一圈，所以称
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
四.采样系统稳态偏差
和连续系统一样，稳态分析也是分析和 设计采样系统的一个重要指标，在连续 系统中稳态偏差与系统的输入信号类型 以及系统本身类型有关，对采样系统也 是如此。同一个采样系统，对于阶跃函 数输入可能没有稳态误差，但是当输入 斜坡函数时，就有可能产生稳态误差， 另外，对同一类型的输入系统产生稳态 误差的大小还取决于该系统脉冲传函的 结构类型，参数。
tg 1 2
1 2
经过原点且实轴夹角为的辐射线
S 2
S 2
Z e( j ) e
T
1 2
e jT
在Z平面内, 等线为一对数螺旋线
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
二.稳定判据
1.劳斯判据 劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具
有负实部的基础上，只能应用于S平面，而 无法适用于Z平面。为了判断采样系统的稳 定性，必须采用双线性变换，把Z平面变换 到另外一复平面中，采用双线性变换和劳 斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析 的一种常用方法。
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性