3期货定价理论
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15
3.2 远期合约定价
• 符号和标记：
– T：远期合约到期日 – t：当前时点 – S：交割品在当前时点的现货价格 – ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知） – K：远期合约规定的交割价格 – f：在当前时点远期合约多头的价值 – F：t时点的远期合约价格 –K：远期合约中的交割价格。 – r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。
r (T t )
F Se
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理 （Spot-Futures Parity Theorem）: 对于无收益资产 而言，远期价格等于其标的资产现货价格的无风险终 值。
21
21
证明
• 资产
26
扩展：远期价格的期限结构
描述的是不同期限远期价格之间的关系。 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交 割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时 刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收 益资产的现货-远期平价公式可知,
F Se r (T t )
F Se
R A1 m m
mn
Rm m / k Rk k 1 1 m
6
例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义 年利率为12%，问与之等价的连续复利年利率为多少？
Rm Rc m ln 1 m
18
远期价值、远期价格与期货价格
类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。
但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及 “期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投 资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价 的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏， 因此期货合约价值在每日收盘后都归零。
22
比较
合并 头寸 远期 合约
K
无风险 投资
K
到期现货价格
到期现货价格
组合A
组合B 23
例
• 券商基德公司（Kidder Peabody） • 交易员约瑟夫.吉特（Joseph Jett）
– 买入零息债券，并在期货市场上出售 – 3个月期利率为每年4%，零息债券市价70美元 （远期70.7） – 系统显示盈利为1亿美元，实际亏损3.5亿
价格为 90 美元。假设经纪商不对保证金支付利息，甲一直没
有追加保证金，甲的资金成本为年率 12% 。问甲卖空的净收 益为多少？ 答案：甲卖空GE股票的毛收益＝500×(100-90)=5,000
支付的GE红利＝500×2=1,000
保证金的资金成本=20%×500×100×12%÷4=300 甲的总收益＝5,000－1,000－300＝3,700
12% 4 / 12 Rk 12 1 1 11.88% 4
8
3.1.2
• 卖空
卖空（Short-Selling）
– 指的是客户从经纪商处借来证券出售，对证券价格进行投机的行 为。
• 特点
– 被卖空证券是经纪商从其他客户账户中借用出来的。 – 在平仓之前，证券所发生的现金流入，比如红利或者利息等，都 由卖空者代为支付。 – 卖空所得资金由经纪商进行保管，同时卖空者还需向经纪商缴纳 一定比例的保证金。 – 当卖空者平仓时，经纪商要在市场上买回被卖空证券。
28
3.2.2有固定现金流入的交割品
• 无套利定价
– F＝(S－I) er(T-t)，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
• 假如F>(S-I)er(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约 – T：交割远期合约，获得资金F和收入Ier(T-t)，偿还债务 – 利润：F－(S-I)er(T-t)
19
资产的分类
类型
1.无收益资产
典型代表
(1)贴现债券 (2)不支付股利的股票
2.支付已知现金收 (1)付息债券 益资产 (2)支付已知现金红利的股票 (3)贵金属 3.支付已知收益率 (1)货币：收益率为无风险利 资产 率，利率远期或外汇远期 (2)股票指数
20
3.2.1
• 无套利定价
无收入的交割品
17
远期价值、远期价格与期货价格
远期价格(F)是指使远期合约签订时价值为零的交割价 格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨 论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。 － 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交 割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理 论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就 都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 － 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远 期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割 价格。
12% Rc 4 ln 1 11 .82% 4
7
例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次， 名义年利率为12%。他的另外一笔存款是每月计息， 但是两者实际利率一致，那么按月计息的这笔存款 名义利率是多少？ m / k
Rm Rk k 1 m 1
12
无套利定价法。
基本思路为：构建两种投资组合， 令其终值相等，则其现值一定相等； 否则就可进行套利，即卖出现值较 高的投资组合，买入现值较低的投 资组合，并持有到期末，套利者就 可赚取无风险收益。 众多套利者这样做的结果，将使较 高现值的投资组合价格下降，而较 低现值的投资组合价格上升，直至 套利机会消失，此时两种组合的现 值相等。
2016-3-6 13
套利举例
• 假设市场无风险连续利率为 6% ，即期道琼斯工业平均指 数为10,000 点，3个月期道琼斯工业平均指数期货价格为 10,500点。假设我们可以按照无风险利率无限借贷，不存 在交易成本，经纪商为保证金支付的利息等于无风险利率， 同时道琼斯成份股未来 3个月不会支付利息。问：你将如 何进行套利？
1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和 空头地位。
答案：我们可以通过如下策略套利： •卖出一份3月期道琼斯工业平均指数期货（乘数为 10）；
•借入100,000美元，并买入相同份数的道琼斯成份股；
•在到期时，卖出股票，结算期货价差并偿还贷款。 利润将会是[10,500－10,000exp(0.06/4)]×10＝3,488.70美元。
14
3.2 远期合约定价
• 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为 从当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。在组 合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债 的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的 证券。
• 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即
f Ke r (T t ) S I
25
25
例
• 汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为 HKD128.00，假设汇丰控股在今后3个月内都不会发放红 利，无风险连续利率为0.03，你认为6月15日到期的汇丰 控股远期股票合约的价格应该是多少？
F= Ser(T-t)=128×exp(0.03×3/12)=128.96
3.1.3
• 含义
套利（Arbitrage）
– 交易者通过精确的计算，发现不同市场中的相对价值差异，从而 采取相应的行动赚取无风险利润的行为。
• 跨市场套利
套利者利用不同市场相关证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨期套利
套利者利用同一市场不同期限证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨产品套利
套利者利用相关产品价值的偏离来赚取无风险利润。
计息次数
5
不同计息次数利率的换算
• 连续复利与m次复利
Rm Rc n Ae A1 m R Rc m ln 1 m m Rm m(e R / m 1)
c
mn
• m次复利与k次复利
R A1 k k
kn
3.2.1
• 无套利定价
– F＝Ser(T-t)
无收入的交割品
• 假如F>Ser(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约 – T：交割远期合约，获得资金F，偿还债务 – 利润：F－Ser(T-t)
• 假如F<Ser(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约 – T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓 – 利润： Ser(T-t) －F
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远期价值、远期价格与期货价格
远期价值(f)是指远期合约本身的价值。关于远 期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种 情形。
－ 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且 合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多 空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等 于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化， 多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。
• 假如F<(S-I)er(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约 – T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓。在(t-T)间支付 Ier(T-t)。 – 利润： (S-I)er(T-t) －F
– 资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其 中K等于远期合约价格。 – 资产组合B：现货资产S
• 证明
– – – – – 资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。 f+ Ke－r(T-t) =S f=S- Ke－r(T-t) 在订立合约时，期货合约的价值为0。 从而K= Ser(T-t)
*
r * (T * t )
两式消除掉S后，
F Fe
*
2016-3-6
r * (T * t ) r (T t )
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3.2.2有固定现金流入的交割品
• 无套利定价
– F＝(S－I) er(T-tபைடு நூலகம்，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke–r (T-t) 的 现金 。组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。
– 连续复利：
100×e0.10=110.52
4
实际利率与计息次数
10.60% 10.50%
10.40%
实际利率
10.30%
10.20%
10.10%
10.00%
9.90%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 100 200 365
3、期货定价理论
宋芳秀
内容提要
• 3.1 预备知识
• 3.2 远期合约定价 • 3.3 远期价格与期货价格
• 3.4 股票指数期货
• 3.5 外汇期货 • 3.6 商品期货 • 3.7 一般模型 • 3.8 期货价格与预期现货价格
2
3.1.1
复利计算
– 假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利， 那么n年之后，这笔存款的数额将升为：
A(1 R) n
– 半年计息一次
R A1 2
2n
– 每年计息m次
R A1 m
– 当m接近于无穷
mn
Ae Rn
3
例
• 例：假设存款金额为100，名义年利率为10%，存款期限为1 年，在年度计息的条件下，明年的期末存款余额为：
100×1.1 = 110
– 半年计息一次： 100×1.05×1.05 = 110.25 – 每季度计息一次： 100×1.0254＝110.38
9
建仓： 保证金
卖空
证券 经纪商 证券 市场 资金 证券所有权人
投机者
平仓：
资金 经纪商 证券 市场 资金
证券 证券所有权人
投机者
10
例
• 投资者甲通过经纪商卖空 500 股通用电气股票（ GE ），卖空 时 GE 每股股价是 100 美元。经纪商要求甲缴纳 20% 的保证金。 卖空之后 GE 股票一直不断下跌。 1 个月后 GE 股票支付每股 2 美元的红利。 3 个月后甲通知经纪商进行平仓，此时 GE 每股
3.2 远期合约定价
• 符号和标记：
– T：远期合约到期日 – t：当前时点 – S：交割品在当前时点的现货价格 – ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知） – K：远期合约规定的交割价格 – f：在当前时点远期合约多头的价值 – F：t时点的远期合约价格 –K：远期合约中的交割价格。 – r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。
r (T t )
F Se
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理 （Spot-Futures Parity Theorem）: 对于无收益资产 而言，远期价格等于其标的资产现货价格的无风险终 值。
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证明
• 资产
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扩展：远期价格的期限结构
描述的是不同期限远期价格之间的关系。 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交 割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时 刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收 益资产的现货-远期平价公式可知,
F Se r (T t )
F Se
R A1 m m
mn
Rm m / k Rk k 1 1 m
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例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义 年利率为12%，问与之等价的连续复利年利率为多少？
Rm Rc m ln 1 m
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远期价值、远期价格与期货价格
类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。
但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及 “期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投 资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价 的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏， 因此期货合约价值在每日收盘后都归零。
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比较
合并 头寸 远期 合约
K
无风险 投资
K
到期现货价格
到期现货价格
组合A
组合B 23
例
• 券商基德公司（Kidder Peabody） • 交易员约瑟夫.吉特（Joseph Jett）
– 买入零息债券，并在期货市场上出售 – 3个月期利率为每年4%，零息债券市价70美元 （远期70.7） – 系统显示盈利为1亿美元，实际亏损3.5亿
价格为 90 美元。假设经纪商不对保证金支付利息，甲一直没
有追加保证金，甲的资金成本为年率 12% 。问甲卖空的净收 益为多少？ 答案：甲卖空GE股票的毛收益＝500×(100-90)=5,000
支付的GE红利＝500×2=1,000
保证金的资金成本=20%×500×100×12%÷4=300 甲的总收益＝5,000－1,000－300＝3,700
12% 4 / 12 Rk 12 1 1 11.88% 4
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3.1.2
• 卖空
卖空（Short-Selling）
– 指的是客户从经纪商处借来证券出售，对证券价格进行投机的行 为。
• 特点
– 被卖空证券是经纪商从其他客户账户中借用出来的。 – 在平仓之前，证券所发生的现金流入，比如红利或者利息等，都 由卖空者代为支付。 – 卖空所得资金由经纪商进行保管，同时卖空者还需向经纪商缴纳 一定比例的保证金。 – 当卖空者平仓时，经纪商要在市场上买回被卖空证券。
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3.2.2有固定现金流入的交割品
• 无套利定价
– F＝(S－I) er(T-t)，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
• 假如F>(S-I)er(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约 – T：交割远期合约，获得资金F和收入Ier(T-t)，偿还债务 – 利润：F－(S-I)er(T-t)
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资产的分类
类型
1.无收益资产
典型代表
(1)贴现债券 (2)不支付股利的股票
2.支付已知现金收 (1)付息债券 益资产 (2)支付已知现金红利的股票 (3)贵金属 3.支付已知收益率 (1)货币：收益率为无风险利 资产 率，利率远期或外汇远期 (2)股票指数
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3.2.1
• 无套利定价
无收入的交割品
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远期价值、远期价格与期货价格
远期价格(F)是指使远期合约签订时价值为零的交割价 格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨 论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。 － 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交 割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理 论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就 都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 － 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远 期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割 价格。
12% Rc 4 ln 1 11 .82% 4
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例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次， 名义年利率为12%。他的另外一笔存款是每月计息， 但是两者实际利率一致，那么按月计息的这笔存款 名义利率是多少？ m / k
Rm Rk k 1 m 1
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无套利定价法。
基本思路为：构建两种投资组合， 令其终值相等，则其现值一定相等； 否则就可进行套利，即卖出现值较 高的投资组合，买入现值较低的投 资组合，并持有到期末，套利者就 可赚取无风险收益。 众多套利者这样做的结果，将使较 高现值的投资组合价格下降，而较 低现值的投资组合价格上升，直至 套利机会消失，此时两种组合的现 值相等。
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套利举例
• 假设市场无风险连续利率为 6% ，即期道琼斯工业平均指 数为10,000 点，3个月期道琼斯工业平均指数期货价格为 10,500点。假设我们可以按照无风险利率无限借贷，不存 在交易成本，经纪商为保证金支付的利息等于无风险利率， 同时道琼斯成份股未来 3个月不会支付利息。问：你将如 何进行套利？
1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和 空头地位。
答案：我们可以通过如下策略套利： •卖出一份3月期道琼斯工业平均指数期货（乘数为 10）；
•借入100,000美元，并买入相同份数的道琼斯成份股；
•在到期时，卖出股票，结算期货价差并偿还贷款。 利润将会是[10,500－10,000exp(0.06/4)]×10＝3,488.70美元。
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3.2 远期合约定价
• 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为 从当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。在组 合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债 的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的 证券。
• 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即
f Ke r (T t ) S I
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25
例
• 汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为 HKD128.00，假设汇丰控股在今后3个月内都不会发放红 利，无风险连续利率为0.03，你认为6月15日到期的汇丰 控股远期股票合约的价格应该是多少？
F= Ser(T-t)=128×exp(0.03×3/12)=128.96
3.1.3
• 含义
套利（Arbitrage）
– 交易者通过精确的计算，发现不同市场中的相对价值差异，从而 采取相应的行动赚取无风险利润的行为。
• 跨市场套利
套利者利用不同市场相关证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨期套利
套利者利用同一市场不同期限证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨产品套利
套利者利用相关产品价值的偏离来赚取无风险利润。
计息次数
5
不同计息次数利率的换算
• 连续复利与m次复利
Rm Rc n Ae A1 m R Rc m ln 1 m m Rm m(e R / m 1)
c
mn
• m次复利与k次复利
R A1 k k
kn
3.2.1
• 无套利定价
– F＝Ser(T-t)
无收入的交割品
• 假如F>Ser(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约 – T：交割远期合约，获得资金F，偿还债务 – 利润：F－Ser(T-t)
• 假如F<Ser(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约 – T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓 – 利润： Ser(T-t) －F
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远期价值、远期价格与期货价格
远期价值(f)是指远期合约本身的价值。关于远 期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种 情形。
－ 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且 合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多 空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等 于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化， 多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。
• 假如F<(S-I)er(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约 – T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓。在(t-T)间支付 Ier(T-t)。 – 利润： (S-I)er(T-t) －F
– 资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其 中K等于远期合约价格。 – 资产组合B：现货资产S
• 证明
– – – – – 资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。 f+ Ke－r(T-t) =S f=S- Ke－r(T-t) 在订立合约时，期货合约的价值为0。 从而K= Ser(T-t)
*
r * (T * t )
两式消除掉S后，
F Fe
*
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r * (T * t ) r (T t )
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3.2.2有固定现金流入的交割品
• 无套利定价
– F＝(S－I) er(T-tபைடு நூலகம்，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke–r (T-t) 的 现金 。组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。
– 连续复利：
100×e0.10=110.52
4
实际利率与计息次数
10.60% 10.50%
10.40%
实际利率
10.30%
10.20%
10.10%
10.00%
9.90%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 100 200 365
3、期货定价理论
宋芳秀
内容提要
• 3.1 预备知识
• 3.2 远期合约定价 • 3.3 远期价格与期货价格
• 3.4 股票指数期货
• 3.5 外汇期货 • 3.6 商品期货 • 3.7 一般模型 • 3.8 期货价格与预期现货价格
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3.1.1
复利计算
– 假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利， 那么n年之后，这笔存款的数额将升为：
A(1 R) n
– 半年计息一次
R A1 2
2n
– 每年计息m次
R A1 m
– 当m接近于无穷
mn
Ae Rn
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例
• 例：假设存款金额为100，名义年利率为10%，存款期限为1 年，在年度计息的条件下，明年的期末存款余额为：
100×1.1 = 110
– 半年计息一次： 100×1.05×1.05 = 110.25 – 每季度计息一次： 100×1.0254＝110.38
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建仓： 保证金
卖空
证券 经纪商 证券 市场 资金 证券所有权人
投机者
平仓：
资金 经纪商 证券 市场 资金
证券 证券所有权人
投机者
10
例
• 投资者甲通过经纪商卖空 500 股通用电气股票（ GE ），卖空 时 GE 每股股价是 100 美元。经纪商要求甲缴纳 20% 的保证金。 卖空之后 GE 股票一直不断下跌。 1 个月后 GE 股票支付每股 2 美元的红利。 3 个月后甲通知经纪商进行平仓，此时 GE 每股