数列求和之错位相减法练习

数列求和之错位相减法专项练习

一、解答题

1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．

(1)求数列{a a}的通项公式；

}的前n项和．

(2)求数列{a a

2a−1

2.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a−

a a−1(a≥2)．

3.(1)设a a=a a−1，求证：{a a}为等比数列．

4.(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a．

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a−1)

(1)求数列{a a}的通项公式；

(2)若a a=a(a a−1)，求数列{a a}的前n项和a a．

13.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{a a}的通项公式；

(2)求数列{a a

2a a }的前n项和a

a

．

14.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的

等比中项，a a为{a a}的前n项和．

(1)求a a及a a；

(2)若a a=a a+1⋅3a a，求数列{a a}的前n项和．

15.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且

a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公

式；

16.(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a．

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+

a a+1.

(1)求数列{a a}的通项公式；

(2)令a a=(a a+1)

(a a+2)a a+1

，求数列{a a}的前n项和．

25.已知等比数列{a a}的前n项和为a a，且a a+1=2a a+1(a∈a∗)．

(1)求数列{a a}的通项公式；

(2)若数列{a a}满足a a=3a a−1，求数列{a a

a a }的前n项和a

a

．

26.各项均为正数的数列{a a}满足a1=1，a a+1

2−a a2=2(a∈a+).(1)求数列{a a}的通项公式;

27.(2)求数列{a a2

2a

}的前n项和a a．

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.已知数列{a a}的前n项和为a a，且满足3a a=2a a+1．

(1)求数列{a a}的通项公式；

(2)设数列{a a}满足a a=(a+1)a a，求数列{a a}的前n项和a a．

答案和解析

1.【答案】解：(1)设a a =a 1+(a −1)a ，

则(a 1+a )(a 1+3a )=6且a 1+5a =4，解得a 1=32，

a =12或a 1=−172，a =5

2， ∵a a >0， ∴a 1=32，a =1

2， ∴a a =

a

2

+1， (2)设{a a

2a −1}的前n 项和为a a ，

a a

2

a −1

=

a

2+12

a −1

=

a +2

2a

， ∴a a =3×(1

2)+4×(1

2)2+5×(12)3+⋯+(a +2)×(1

2)a ， ∴1

2a a =3×(1

2)2+4×(1

2)3+5×(1

2)4+⋯+(a +2)×(1

2)a +1，

①−②得：12a a =32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)a ]−(a +2)×(12)a +1=3

2+

14(1−12

a −1)1−12

]−(a +2)×(12

)a +1，

∴a a =4−

a +4

2a

【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

(1)设a a =a 1+(a −1)a ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．

2.【答案】解：(1)证明：当a =1时，a 1+a 1=1=2a 1，∴a 1=1

2，

当a ≥2时，{

a a +a a =a ,

a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，

∴a a =1

2a a −1+1

2，

∴a a −1=1

2(a a −1−1)，即a a =1

2a a −1(a ≥2)， 又a 1=a 1−1=−1

2≠0，

故数列{a a }是以−12为首项，以1

2为公比的等比数列； (2)∵a a =(−1

2)⋅(12)

a −1

=−(1

2

)a

，

∴a a =1−(12)a ， 当a ≥2时，a a =(12)

a −1

−(12

)a

=

(12)a

；

当a =1时，a 1=a 1=1

2，

∴a a =2⋅12+3⋅(12)2

+4⋅(12)3

+⋯+(a +1)⋅(1

2)a

，

又12

a a =2⋅(12

)2+3⋅(12

)3+4⋅(12

)4+⋯+(a +1)⋅(12

)

a +1

，

两式相减，得12a a

=1

+(12)2+(12)3+⋯+(12)a

−(a +1)⋅(12)

a +1

=1+14[1−(12

)a −1]1−12

−

(a +1)⋅(12

)

a +1

=3

2−(a +3)⋅(12

)a +1

，

故a a =3−(a +3)⋅(12)a

．

【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题． (1)运用当a ≥2时，{

a a +a a =a ,

a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，

即得到a a −1=1

2(a a −1−1)，即a a =1

2a a −1(a ≥2)，再根据a 1=a 1−1=−1

2≠

0即可证明{a a }为等比数列；

(2)由(1)得a a =(−12)⋅(12

)

a −1

=

−(12)a

，

即得a a =1−(12)a

，进而得到当a ≥2时，

a a =(12)

a −1

−(12)

a

=(1

2)a

，当a =1时a 1=a 1=1

2，然后用错位相减法求和即可

得解．

3.【答案】 解：(1)因为a a =2(a a −1)，①

当a ≥2时，a a −1=2(a a −1−1)，②

①−②得a a =2a a −2a a −1，即a a =2a a −1，

由①式中令a =1，可得a 1=2，

∴数列{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a a =2a 。

(2)由(1)知a a =a (2a −1)=a ⋅2a −a

a a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a −[1+2+3+⋯+(a −1)+a ]，

设a a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a ，-------------①