电工技术——正弦量的相量表示法
3-1正弦量的表示方法
已知： i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
π
6
) A
π
3 求： i 、u 的相量表达式及相量图。
) V
i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
解：
π
π
6
3
) A
) V
I
141.4 j 30 j 30 I= e = 100e = 100∠ 30 A 2
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9 )
b. 复数的四则运算
已知：
jθ 1 A1 = a1 + jb1 = A1e
jθ 2 A2 = a 2 + jb2 = Ae
±A = ( a ± a ) + j( b ± b ) 加减：A 1 2 1 2 1 2
乘除：
⋅A = A ⋅ A e j ( θ 1 +θ 2 ) A 1 2 1 2
Im = 2
同理
Um U= 2
Em E= 2
•相位和初相位
i
i = 2 I sin (ω t + ϕ )
ωt
ϕ
相位（相位角）： ωt + ϕ
单位：弧度（ rad）、度（ ）
初相位： t = 0 时的相位，即 ϕ
相位差 两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1
ϕ2
i2
ϕ1
ωt
i1 = I m 1 sin(ω t + ϕ 1 )
30 60
311.1 − j 60 U= e = 220∠ − 60 V 2 相位哪一个超前？ 哪一个滞后？
正弦量的相量表示法教案
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。
2 ．掌握正弦量的相量表示法。
重点：正弦量的相量表示法。
难点：相量图一、相量法的引入一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。
但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。
由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。
相量法就是用复数来表示正弦量。
使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。
二、复数概述1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、均为实数，为虚数单位。
图 4-3 复数的图示法2 ．复数的图示法式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。
3 ．复数的表示形式及其相互转换其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。
4 ．复数的运算法则①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。
②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。
③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。
④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。
三、相量表示法1 ．正弦量与复数的关系= sin( ψ )= [ ]= [ ]正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。
2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量① 有效值相量：= / ψ② 最大值相量：= / ψ3 ．相量图在复平面上用一条有向线段表示相量。
相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。
这种表示相量的图称为相量图。
例 4-4 ：。
写出表示 1 和2 的相量，画相量图。
解： 1 =100 /60 ° V2 =50 /-60 ° V相量图见图 4-4 。
例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。
正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
电工电子技术：22 正弦量的相量表示法
6
I2
相量图
●同频率正弦量的运算
加减运算用相量图—平行四边形法则
例 u1 4 2 sin t 60
U2
u2 3 2 sin t 30
ua u1 u2
U a U 1 U 2 523
ua 5 2 sin t 23
ub u1 u2
U b U1 U 2 597
ub 5 2 sin t 97
I
I
相量式
I I
瞬时值 -- 小写 u, i, e；
最大值 -- 大写+下标m；
有效值 – 大写 U, I, E；
相量 --- 大写 + “.”
u2 3
190 1 • cos 90 j • 1 • sin90 j
90 1• cos 90 j • 1• sin 90
j
1 j
=
10 190
1 90
j
设：任一相量 A
A • j A 90
A A • j A 90
j
j为旋转因子
一个相量乘以j，该相量模不变，逆时针转90° 一个相量除以j（乘以 -j ），该相量模不变，顺时针转90°
有向线段表示正弦量 有向线段不等于正弦量
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;
有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
ω
u Um sin t
Um
t
在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有的电压电流为同
频率正弦量，此时， 可不考虑，主要研究正弦量的大小与初相位的变化
把相量表示在复平面的图形（可省略坐标轴）
U U
有效值相量图
5.1.1正弦电压与电流、正弦量的相量表示法 - 正弦电压与电流、正弦量的相量表示法
电工技术与电子技术—常见问题
模块五 正弦交流电路(1)
1．正弦交流电路中，有效值和最大值以及峰峰值之间有什么关系？有效值为220V 的交流电压最大值是不是380V ？
在正弦交流电路中，最大值是有效值的倍，峰峰值为最大值的2倍，也就是说
峰峰值是有效值的2倍。
有效值为220V 的交流电压其最大值为V ，也即311V 。
2. 正弦量采用相量表示时，正弦量的角频率为什么没有加以体现？
由于在采用相量表示法进行计算时，都是同频率的正弦量，所以在应用相量来表示正弦量以及画相量图的时候都是可以不用考虑正弦量的频率的。
3. 在计算交流电路时，到底采用有效值相量还是最大值相量？
两者都可以，最大值相量的模是最大值，而有效值相量的模是有效值，在计算时可以根据实际需要，如需要计算电压、电流的最大值时，可以用最大值相量，一般计算时采用有效值相量居多。
4. 正弦量的表示方法有哪些，为什么在电路计算过程中要采用相量分析法？
正弦量可以采用三角的形式以及波形图的方式来进行表示，也可以采用相量的方法来表示，由于在电路计算过程中会遇到很多正弦量的加减运算，采用相量表示法更容易进行计算，因此在正弦交流电路的计算过程中，都采用相量来表示正弦量。
5. 一个正弦量为30)V =+ﾰu t ，另外一个正弦量为
60)V =+ﾰu t ，这两个正弦量之间有没有相位差一说？
没有，相位差指的是两个同频率正弦量之间的相位之差，对于不同频率的正弦量两者比较相位差没有任何意义，因此两个不同频率的正弦量之间没有相位差一说。
03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量相量表示1、基本概念（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式电压tU u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
正弦交流电路的相量表示法
220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A
电工电子技术基础知识点详解2-1-正弦量的相量表示法(1)
电压的有效值相量
注意:
(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关系。
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Im ψ
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不 能划等号！
(2) 只有正弦周期量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。
三角式
r a2 b2b ψ arctan
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量。
+j
b
A
r
(1) 复数表示形式
O
a +1
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
1.正弦量的表示方法
u
波形图
O
t
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ V
必须
重点
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦量的相量表示法
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 (1) 复数表示形式
设A为复数
代数式 A =a + jb
+j b
r
O
A a +1
式中: a r cos ψ b r sinψ
正弦量的相量表示法
3. 相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ Uψ U(cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量在复平面中用有向线段表示出来
U1 220 20V U2 110 45V
电工技术：正弦交流电的相量表示法(2)
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
电工基础3、3正弦量的相量表示法
1、复数的几种表示方法
复数的代数表达式为： A=a+jb
复数的三角形式为： A=rcos θ +jrsin θ
复数的极坐标形式为： A=r θ
复数的指数形式为: A=re j θ
2、加减运算
•A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
3、乘除运算
A·B=r1r2 θ1+θ2
A r1 1 2
A
数A的幅角； A在实轴上的投影a是它的实部； b
r
A在虚轴上的投影b称为其虚部。 0 a
＋1
复数A的代数表达式为：A=a+jb 由图又可得出复数A的模r和幅角θ分别为：
r a2 b2 极坐标形式： A=r θ
arctan b
a
＋j
br
0 a
A 由图还可得出复数A与模 a r cos
Z1Z2 3 00 ×3 -900 = 9 -900
Z1 Z2
3-j3
3 2 -450
= 2.12 -450
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=30 30°，B=40 60°。试 求A+B、A-B、A×B、A÷B。
A+B=（4+6）+j（5-2）=10+j3≈10.4 16.70
3.3.1
1、复数的图形表示
1）复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
复数及其运算规律
+j
3
2
A2
1
A1
-3 -2 -1 0 1 2 3 +1
《电工电子技术》课件——正弦量的相量表示法
正弦量用相量表示
同频率正弦量相加——平行四边形法则
由勾股定理得： U
UR2
U
2 L
因。UR IR UL IXL
U
(IR)2 (IX L)2 I
R2
X
2 L
arct an
XL R
正弦量用相量表示
串联电路电流相等。假设i Im sin t
电阻两端的电压：
uR Ri I m R sin t U m sin t
m
sin(t
2
)
电路两端的总电压：u uR uL
正弦量如何进行求和运算？
相量法
正弦量用相量表示
1. 描述正弦量的有向线段称为相量。若其长度用最大值表示，则用
•
•
符号：Um Im ，称为最大值相量。
2. 在实际应用中，长度更多采用有效值，则用符号：U•
•
I
称为有效值相量。
表示，
正弦量用相量表示
相量的复数表示
将相量U• 放到复平面上，如表所示： 相量前端点所对应的复数可以表示这个相量。
相量的复数表示
该相量长度 U 称为复数的模，模总是取正值。相量的模 = 正弦量 的有效值。
该相量与实轴正方向的夹角 称为复数的辐角。相量辐角 = 正弦
量的初相角。
相量的复数表示
•
U a jb
U (cos j sin )
正弦量的相量表示法
引入
电感线圈是由导线绕成的，导线有一定的直流电阻。因此，实际电 感可等效成一个理想电感与电阻串联。
引入 串联电路电流相等。假设i Im sin t
，则：
电阻两端的电压：
uR Ri I m R sin t U m sin t
正弦量的相量表示法正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示法正
弦量的相量表示方法
（1）正弦量的表示法
波形图、瞬时值表达式和相量的表示方法，如图1-15所示。
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
（2）正弦量的旋转矢量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示称为旋转矢量。
正弦量在各时刻的瞬时值与旋转矢量在对应时刻在纵轴上的投影一一对应。
由于矢量具有了正弦量的三要素，因而正弦量可以用矢量来表示。
只有正弦量才能用矢量表示，非正弦量不可以。
只有同频率的正弦量才能画在一张矢量图上，不同频率不行。
正弦量用矢量表示时，有两种方式：若其幅度用最大值表示，则用符号
；若其幅度用有效值表示，则用符号：
正弦量矢量作图方式，如图1-16所示。
（3）正弦量的复数表示法
正弦量的复数表示方法有四种表达形式：代数形式、三角函数形式、指数形式、极坐标形式。
复数的图示，如图1-17所示。
a，b都是实数，a称为A的实部，b称为A的虚部，j=称为虚数单位（数学中用i表示，电工技术中i已用来表示电流，故改用j表示）。
②三角函数形式：
A=r（cosφ+jsinφ）
式中
③指数形式：
更多：正弦交流电的电压和电流值
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正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
电工电子技术基础知识点详解2-3正弦量的相量表示
正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。
相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。
要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。
1. 复数复数的表示形式及相互关系设复平面有一复数A ，其模为r ，幅角为ψ ，如图1所示。
它可以用以下几种形式表示；(1) 复数的代数式: b a A j +=22b a r += 复数的模ab arctan =ψ 复数的辐角(2) 复数的三角式：)sin j (cos sin j cos ψψψψ+=+=A A A A(3) 复数的指数式: ψj re A =(4) 复数的极坐标式: ψ∠=r A上述复数的四种表达形式，可以互相转换。
ψψψψ∠==+=+=r re r b a A j )sin j (cos j复数的加减运算可用代数式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
说明：数学中虚数用i 表示。
电工中在相量表示时，为了不与电流i 相混淆，改用j 表示虚数。
2．正弦量的相量表示由上可知：复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由幅值、角频率、初相角三个特征来确定。
在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的，可以不考虑。
因此，一个正弦量由幅值(或有效值)何初相位就可确定。
比照复数，正弦量可用复数表示。
复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)复数的辐角即为正弦量的初相角为了与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称相量。
用大写字母加“·”表示。
若已知正弦电压为)sin(m ψω+=t U u ，相量式可写为ψψψψ∠==+=mj m m m )sin j (cos U e U U U 最大值相量 相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角或:ψψψψ∠==+=U e U U Uj )sin j (cos 有效值相量相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角综上所述，正弦量的相量表示，其实质是将同频率的正弦量变换成它的复数形式，这样就把正弦稳态交流电路中繁琐的三角函数运算变换成复数运算，从而简化了运算过程。
《电工电子技术》——正弦交流电路
dt
dt
Im sin(wt 90)
1 电压与电流之间的频率关系 电容元件两端的端电压与电流是同频率的正弦电量。
2 电压与电流之间的数值关系
最大值
Im
wCU m
Um 1 /(wC )
有效值
I wCU U U 1/(wC) X c
X c 等于电压有效值与电流有效值之比，单位为欧[姆]，称为容 抗。
计算过程请参考书本，相量图为：
2.3单一参数交流电路
2.3.1单一电阻元件正弦交流电路 一、单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间的关系
i
u
R
i u U m sin(wt u )
R
R
2U R
sin(wt
u
)
单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间有如下几种关系：
1 电压与电流之间的频率关系 在单一电阻电路中，通过电阻元件的电流与其两端电压是 同频率的正弦电量。
I Ie j i I i
I 为有效值
二、相量图
在复数平面上，用几何图形表示正弦量的相量的图，称为相 量图。
已知正弦电压： 相应的电压相量为
u 220 2 sin(wt 45)
U 22045
已知正弦电流： 相应的电流相量为：
i 8 2 sin(wt 30)
字母 T 表示，单位是秒（s）。正弦量在1秒时间内重复变化的
周期数称为频率，用小写字母 f 表示，单位为赫兹（Hz），如 果1秒钟内变化一个周期，频率是1Hz。周期与频率互为倒数关 系：
f 1 T
在我国，发电厂提供的交流电的频率为50Hz，其周期 T 0.02， 这一频率称为工业标准频率，也称工频。
《电工技术》任务4.1.3相量与相量图
4 143.1
A 4 j3 5 / 36.9
arctan(b )
a 36.9
2、极坐标→三角函数→代数式时的正确转换
A A A (cos jsin )
A cos j A sin
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
相量辐角=正弦量的初相角
•
如Um Um u Um sin(t )
——幅值相量
•
如U U u 2U sin(t )
——有效值相量
大写字母头上 加点
可不画坐标轴
2）相量图：用复平面的矢量表示相量
•
如： I 5600 A
•
U 10 1200 V
•
•
U 落后于I1800
注意：只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 才可以比较幅值和相位。
Re
本节小结：
1、正弦量的4种表示法； 2、复数的4种表示形式及运算规则； 3、相量表示法及相量图； 4、相量法及相量图法。
实训4-2：正弦交流信号的仿真测试
实训流程：
（1）本实训采用测量仪器中的函数信号发生器来产生正弦交流信号。双 击信号发生器面板可设置参数：波形为正弦波，频率1kHz，振幅10Vp （最大值），如图4.20左下角所示。
②乘除运算：以及坐标形式进行
乘法：模相乘，辐角相加 除法：模相除，辐角相减
例：
A1 r11 A2 r2 2 A1 A2 r1.r21 2 A1 A2 r1 r21 2
4）复数四则运算
已知复数A=5 ∠53.1 °，求：jA。
A 553.1
jA 190 553.1
5(53.1 90) 5143.1
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I 10 A 6
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• ③ 用指数式表示
U
220e
j 6
V
I 10e j6 A
E
110e
j
3
V
• （3）作出相量图如下图 所示。
图1 例1的相量图
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[例2] 已知图2(a)所示电路中,i1=8 s2in(t+60)A， i表2=达3式2。sin(t-30)A，试求总电流i的有效值及瞬时值
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设在复平面上(直角坐标系OX为实轴、 OY为虚轴)复数A(a,b)可表示为:
A = a + jb
在极坐标系中则表示为.
jy
y
A
A=r/
变换关系为：
0
x
r a2 b2
arctg b a
或： a r cos b r sin
∴ A=r (cos + j sin )
又由欧拉公式得：A = r e j
复数运算
• 1、复数的加减 • 2、复数的乘除
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正弦量的表示方法：
i
① 波形图
t
② 瞬时值表达式 i sin1000 t 30
须小
③
相量（难点） ·
U
·
I
写
大写并加
“•”
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相量法：
• 一般情况下，只用有向线段的初始位置（t=0的位置） 来表示正弦量，即把有向线段的长度表示为正弦量的 大小，把有向线段与横轴正向的夹角表示为正弦量的 初相，这种表示正弦量的方法，叫做向量法。
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➢正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示 出这二个参数必须采用矢量或复数。 ➢正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相 量表示。且只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 ➢正弦量用相量表示可简化正弦交流电路的分析与计算。 ➢只包含幅值与初相位两个要素。 ➢相量表示：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有 向线段在纵轴上的投影值来表示。
（a） 电路图
(b) 相量图
图2 例2的电路及相量图
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解：先将正弦电流i1和i2用有效值相量来表 示，分别为
1=86I0A 2=3-I30A （1）用相量图求解
画出电流i1、i2的相量 1、 2I，如I 图3.13(b) 所示，然后用平行四边形法则求出总电
流i的相量。由于 1与 2的夹I 角为I 90，故
• 用直角坐标式表示
U 220cos( ) j220sin( ) (110 3 j110)V
6
6
I 10cos( ) j10sin( ) (5 3 j5)A
6
6
E 110cos j110sin( ) (55 j55 3)V
3
3
• ② 用极坐标式表示
U 220 V 6
I 10 A 6
除了要考虑它们的数值外，还要考虑相位问题， 这是与直流不同之处。
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作业：3-7、3-8、3-9、3-10
I
I12
I
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
82 62 10A
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这就是总电流i的有效值。相量与横轴的夹 角就是i的初相角。 = arctg 8 30o =23.1
6
所以总电流的瞬时表达式为 i=10 2 sin(t+23.1)A
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（2）用复数运算求解 因两相量之和为
=I 1+I2=8I60+3-30
=4+j6.90+5.18-j3 =9.18+j3.90 =1023.1A 故总电流的有效值为10A，初相角为23.1。 瞬时值表达式为
i=10 sin(t+23.12)A
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计算表明， 1I=8A，I2=3A，而I=10A， 显然 I 1I+ 2。I 这是因为同频率正弦量相加时，
电子电工技术精品课件
正弦量的相量表示法
复数知识：
• 复数式有三种表示方法：直角坐标式、 极坐标式和指数式
• ①直角坐标式
设A是一个复数,设a和b分别为它的实部和 虚部,则有
A=a+jb
式中
是虚数单位.
为复数的模。
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I
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②三角函数式
为复数的三角形式。
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• （1）相量是表示正弦量的复数，在正弦量的大写字母 上打“•”表示。
• （2）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 • （3）表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量式
(复数式)。 • (4)相量与正弦量只存在对应关系,而不是相等关系
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例1 已知电压、电流、电动势为 u=220 2 sin(t-/6)V，i=10 sin2(t+/6)A， e=110 sin(t+/3)V，2试写出他们的相量， 并作出有效值相量图。
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复数式有三种表示方法：直角坐标式、极坐标式和指数 式
i=Imsin(t+)的相量式为
•
Im Im (cos jsin ) Im Ime j
•
I I(cos jsin ) I Ie j
•
•
Im是电流的幅值相量，I 是电流的有效值相量。
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学习相量表示法时应注意的几个问题：
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解：已知Um=2202 V，Im=10 2A，
Em=110 V，u=-/6，i=/6，
e=/3 2 （1）求出各自对应的有效值
U Um 220 2 220V
2
2
I Im 10 2 10A 22
E Em 110 2 110V
2
2
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• （2）求出各自的有效值相量