4连续信源及信源熵

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信息论与编码第二章信源与信息熵

现概率是它自身的先验概率。
无记忆信源
{发出符号序列的无记忆信源
发出单个符号的无记忆信源
{
离散连续
2.1.1 无记忆信源
发出单个符号的离散无记忆信源
——指信源每次只发出一个符号代表一个消息，且消息的取值个数是有限的（或可列无限多个）。例如扔骰子，每次实验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。每次实验的结果不随实验次数变化，也不与先前的实验结果相关，因而该信源是单符号离
p( X1 , X 2 , X l , X L ) p( X l ) [ p( X )]L
l 1
L
2.1.2 有记忆信源
有记忆信源——在不同时刻发出的符号是相互依赖的。发出符号序列的有记忆信源 ——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一个消息的信源，且各符号之间是相互依赖的。
I=－log2(1/2m)=m bit
2.2.1 自信息量
自信息量I (xi)的特性：
⑴ I (xi)是非负值
⑵ 当p(xi) = 1时， I (xi) = 0
⑶ 当p (xi) = 0时， I (xi) =∞
⑷ I (xi)是先验概率p (xi)的单调递减函数，即当p (x1)＞p (x2)时， I (x1) ＜ I (x2) ⑸可加性：两个独立事件的联合信息量等于它们分别的信息量之和。
发出符号序列的无记忆信源
——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一个消息的信源，且各符号之间没有统计关联性。
需要用随机序列（或随机矢量） X =(X1, X2,…, Xl, …, XL)来描述信源输出的消息，用联合概率分布p(X1, X2,…, Xl, …, XL)来表示信源特性。 p (X 1 ) p (X 2 ) … p (X l ) … p (X L ) 若离散信源输出的每个符号是统计独立的，且具有相同的概率空间，则该信源是离散平稳无记忆信源，亦称为独立同分布（independently identical distribution，i. i. d.）信源。

连续信源高斯分布微分熵

连续信源高斯分布微分熵连续信源高斯分布微分熵在信息论中，熵是一个非常重要的概念，它用来度量一个随机变量的不确定性。

对于离散信源，我们可以通过计算每个符号出现的概率来计算熵。

但是对于连续信源，情况就变得复杂了。

在本文中，我们将讨论连续信源高斯分布微分熵的计算方法。

首先，我们需要了解高斯分布的概念。

高斯分布又称为正态分布，是一种连续概率分布。

它的概率密度函数可以表示为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。

高斯分布的图像呈钟形，均值处为最高点。

接下来，我们需要计算高斯分布的微分熵。

微分熵是指在连续信源中，每个微小的时间段内，信源输出的信息量。

对于高斯分布，微分熵的计算公式为：$$H=-\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\ln f(x)dx$$将高斯分布的概率密度函数代入上式，得到：$$H=\frac{1}{2}\ln(2\pi e\sigma^2)$$这个公式告诉我们，高斯分布的微分熵只与标准差有关，与均值无关。

标准差越大，微分熵越大，表示信源输出的信息量越大。

微分熵的计算对于信源编码和信道编码都有重要的意义。

在信源编码中，我们需要将信源输出的符号进行编码，使得编码后的信息量最小。

微分熵可以帮助我们评估不同编码方案的效果。

在信道编码中，我们需要将信源输出的符号通过信道传输到接收端，由于信道的噪声等原因，传输过程中会出现误码。

微分熵可以帮助我们评估信道的容量，即信道可以传输的最大信息量。

总之，连续信源高斯分布微分熵是一个重要的概念，它可以帮助我们评估信源编码和信道编码的效果，同时也可以帮助我们评估信道的容量。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的编码方案和信道方案，以达到最优的传输效果。

连续信源的最大熵与最大熵条件

青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。

2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。

3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。

2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。

3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。

4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。

发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。

信源熵的名词解释

信源熵的名词解释信源熵（Source Entropy）是信息论中一个重要的概念，用于衡量信息源的不确定性和信息的平均编码长度。

在信息论中，信息可以被看作是从一个信源中获取的，而信源熵用来描述这个信源的不确定性大小。

信源熵的计算方法是根据信源可能产生的符号的概率分布来进行的。

具体来说，如果一个信源有n个可能取值（符号）S1，S2，...，Sn，并且每个符号出现的概率分别为P1，P2，...，Pn，那么信源的熵H(S)可以通过下面的公式计算得出：H(S) = -P1log(P1) - P2log(P2) - ... - Pnlog(Pn)其中，log是以2为底的对数，P1，P2，...，Pn是概率分布。

信源熵的含义是，对于一个不确定性较大的信源，需要更长的编码长度来表示每一个符号，所以熵值越大，说明信息的平均编码长度越长。

相反，当一个信源的不确定性较小，即各个符号出现的概率分布较平均时，信息的平均编码长度较短，熵值较小。

以一个简单的例子来说明信源熵的概念。

假设有一个只有两个符号的信源，分别记为S1和S2，它们出现的概率分别为P1和P2。

如果这两个符号的概率分布相等（即P1 = P2 = 0.5），那么信源的熵就是最大的，因为这两个符号的不确定性相同，需要同样长度的编码来表示它们。

而如果其中一个符号的概率接近于1，另一个符号的概率接近于0，那么信源的熵就是最小的，因为其中一个符号的信息是确定的，只需要很短的编码来表示它。

这个例子可以帮助我们理解信源熵与不确定性之间的关系。

除了信源熵，信息论中还有一个重要的概念是条件熵（Conditional Entropy）。

条件熵是在已知一定的背景条件下，信源的不确定性大小，即在给定前提条件下的平均编码长度。

条件熵可以通过信源和条件之间的联合概率分布来计算，其公式为：H(S|T) = -ΣΣP(s, t)log(P(s|t))其中，P(s, t)表示符号s和条件t联合发生的概率。

信息论与编码2-信源及信源熵

随机英文字母信源，其中每个英文字母出现的概率是固定的。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。

信息论第3章信源及信息熵

举例
数学描述
离散信源（数字信源）
连续信号
文字、数据、离散化图象
离散随机变量序列
跳远比赛的结果、语音连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源（模拟信源）
语音、音乐、热噪声、图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马尔可夫链的研究。

第二章信源和信息熵

第二章信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后，朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息，考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少的熵，所以：
第二章信源和信息熵
离散平稳信源性质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布：联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少信息量才可确认？
第二章信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量：第二次测量获得信息量：第三次测量获得信息量：每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。

连续信源的最大熵与最大熵条件解析

2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。

3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。

2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。

3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。

4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。

[数学]信源与信息熵

[数学] 信源与信息熵1. 信源在信息论中，信源是指产生和发送信息的原始来源。

它可以是一个物理设备，如计算机、手机或者是一个概念、事件等。

无论信源是什么，它都可以看作是一个随机变量，可以取多个可能的取值。

举个例子，考虑一个硬币的抛掷过程。

在这个例子中，信源可以是硬币的结果，可以是正面或反面。

硬币抛掷过程是一个随机过程，因此信源可以看作是一个随机变量。

2. 信息熵信息熵是信息论中一个重要的概念，用于度量信源的不确定性或者信息的平均量。

它是由信源的概率分布决定的。

假设信源有n个可能的取值，记为$x_1, x_2, \\ldots, x_n$。

每个取值n n出现的概率为n(n n)，满足$\\sum_{i=1}^n p(x_i)= 1$。

那么，信源的信息熵n定义为$$ H = -\\sum_{i=1}^n p(x_i) \\log p(x_i) $$信息熵的单位通常是比特（bits）或者纳特（nats）。

信息熵可以理解为平均需要多少比特或者纳特来表示信源的一个样本。

当信源的概率分布均匀时，信息熵达到最大值。

相反，当信源的概率分布集中在某几个取值时，信息熵较低。

3. 信息压缩信息熵在信息压缩中起到了重要的作用。

信息压缩是将信息表示为更短的形式，以便更有效地存储和传输。

根据信息论的哈夫曼编码原理，我们可以通过将频繁出现的符号用较短的二进制码表示，而将不经常出现的符号用较长的二进制码表示，从而实现信息的压缩。

在信息压缩过程中，我们可以根据信源的概率分布来选择合适的编码方式，以最小化编码长度和解码的平均长度之和。

4. 信息熵的应用信息熵在各个领域都有着广泛的应用。

在通信领域，信息熵可以用来评估信道的容量。

信道容量是一个信道在单位时间内可以传输的最大信息量。

通过计算信道的信息熵，我们可以确定如何更好地利用信道的带宽和传输速率。

在数据压缩领域，信息熵可以用来评估压缩算法的效果。

一个好的压缩算法应该能够将原始数据的信息量尽可能地减少，从而更高效地存储和传输数据。

信源熵公式

信源熵公式
信源熵是信息论中的一个重要概念，它是用来度量消息的丰富性和
复杂性的一种度量方法。

它的概念源于 Shannon 在 1948 年出版的文章Information Theory。

一、信源熵是什么
信源熵（即 Shannon 熵）是指数据量的复杂性程度的度量，即信息量
在消息中不确定性的度量。

它可以帮助我们测量消息中内容丰富程度，以及消息是否具有冗余性。

通俗来说，信源熵是一种度量消息中有多
少信息和无规律性的度量方法。

二、信源熵的计算公式
信源熵的计算公式是： H(p) = -∑p(i)logp(i) 。

其中，H(p)是具有信息量
p的信息源的熵，p(i)是每一种信息量的概率。

它很好地反映了消息的复杂性，但它不能用来衡量消息的可靠性，因
此不能按照 Shannon 熵来评估消息的独特性。

三、信源熵的应用
信源熵有很多应用，最重要的是在信号处理、声音分析、密码学、数
据库设计和模式分析等领域有广泛的应用。

例如在压缩文件时，可以
使用信源熵来确定哪些数据需要进行压缩处理，从而减小数据的量。

另外，信源熵也可以用来度量信号的复杂性，比如机器学习算法中的模型复杂度因子，可以使用信源熵来衡量模型的复杂度。

四、总结
信源熵是由 Shannon 在 1948 年提出的一种度量方法，它可以度量消息的复杂性和冗余性，可以帮助我们评估消息的信息量。

它被广泛应用于信号处理、声音分析、密码学、数据库设计和模式分析等领域，可以用来度量信号的复杂性，以及机器学习算法中的模型复杂度因子。

(信息论、编码及应用)第4章连续信源与连续信道

应用
连续信源的编码定理是信息论中最重要的定理之一，它为信源编码提供了理论依据和指导，广泛应用于数据压缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤波、神经网络等，对信源和信道进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编码、增量编码等，对信源进行编码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前提下，优先考虑能效，通过优化信源和信道的参数，降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE）等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相关参数，如信源的压缩比、信道的调制方式等，以实现匹配。

第二章基本信息论6_连续信源的熵

说明：相比放大前，信号放大后无穷大项小了 1/ 4 1比特，相对熵大了1比特，而绝对熵保持不变。 0
P( x )
1/ 2
1 dx1 3
0
x
P( x )
2 dx2
6 x
二、连续信源熵的性质
连续信源熵可正可负
H ( X )

1
p( x )log p( x )dx
1 1 lb dx 1比特/采样 3 2 2
2.6 连续信源的熵
一、连续信源熵的定义
连续信源：输出在时间和取值上都是连续的信源
连续信源
采样
离散信源
求信源熵
若连续信源的频带受限，为W，则根据采样定理，只要采样频率大于2W，则连续信源经采样离散后，不损失任何信息。 p( x ) 将连续信源离散化为离散信源，其信源熵为：
p( xi )dx log p( xi )dx
1
3
x
H ( X ) p( x )log p( x )dx

P( x )
1 1 lb dx 2 4 4 2比特/采样
6
1/ 4
0
2
信息量放大了2倍？
6 x
dx2 2dx1
1 1 lb lb dx2 2dx1 1 1 lb lb 2 dx1 1 1 lb dx1
H max ( X ) ln 2 e ln 2 eP 奈特/采样

1.433lb 2 eP 比特/采样
3、输出幅度平均值受限的信源
连续信源X输出非负信号的平均值受限，当其输出信号幅度为指数分布时，输出最大熵，最大熵随着X的数学期望（均值）的增大而增大。

第二章信源熵

英文字母中“e”出现的概率为0.105，“c” 出现的概率为0.023，“o”出现的概率为 0.001，分别计算他们的自信息量。答：I(e)=-logP(e)=-log0.105=3.25bit I(c)=-logP(c)=-log0.023=5.44bit I(o)=-logP(o)=-log0.001=9.97bit
②
公式：参考数学期望的性质，用各符号的自信息量加权平均表示总体的不确定性。
H ( X ) E[ I ( X )] p( xi )I ( xi ) p( xi ) log p( xi )
i i
③
单位：比特/符号或比特/符号序列
④
I. II.
性质：非负与热力学熵相同形式，H(X)又被定义为信源熵两个特殊情况符号 x i 的概率 pi 为零时，定义为pi log pi 0 当信源X只有一个符号，符号只有一个状态， p(x)=1,此时 H ( X ) 0 。

分析 {Xn，n=0,1,2，……}是一随机过程，其状态空间为：I={0,1}，且当Xn=i，i=0、1时， Xn+1所处的状态分布只与Xn=i有关，而与时刻n以前所处的状态无关，综上所述。该过程为一步转移的马尔可夫过程。 p, j i P i, j 0,1 一步转移的概率： P{ X j X i} q, j i 一步转移矩阵： p q

II.
III.

随机过程是随机函数的集合，若一随机系统的样本点数是随机函数，则称此函数为样本函数。这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。用{X（t），t Y }。具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

信源及信源熵课件

编码是将信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程。
编码的方式和格式取决于应用场景和需求。
编码的目的是为了便于信息的存储、传输和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据进行压缩编码，以减少存储空间和传输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的前提下，尽可能地减小编码后的数据量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐藏在普通数据中，实现隐蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加数据破解的难度，保护数据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项，替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制或其它形式的数字信号，实现数字通信，提高通信系统的传输效率和可靠性。
信源编码的原理基于信息论和概率统计的知识，通过对信源输出的概率分布进行分析，采用适当的编码方式实现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。

信源及信源熵

i
是
xi
的函数，
I (xi ) xi
9
2.2.1 自信息量
b. 自信息量的单位的确定 • 在信息论中常用的对数底是2，信息量的单位为比特（bit）； • 若取自然对数，则信息量的单位为奈特（nat）； • 若以10为对数底，则信息量的单位为笛特（det）。
这三个信息量单位之间的转换关系如下： 1 nat＝log2e l.433 bit， l det＝log210 3.322 bit
10
2.2.1 自信息量
几个例子
i.
一个以等概率出现的二进制码元（0，1）所包含的自信息量为：
I（0）= I（1）= - log2 （1/2）=log22=1 bit
ii. 若是一个m位的二进制数，因为该数的每一位可从0, 1两个数字中任取一个，因此有2m个等概率的可能组合。所以I= -log2(1/2m)=m bit，就是需要m比特的信息来指明这样的二进制数。
i 1
6
第二节离散信源熵和互信息
问题： • 什么叫不确定度？ • 什么叫自信息量？ • 什么叫平均不确定度？ • 什么叫信源熵？ • 什么叫平均自信息量？ • 什么叫条件熵？ • 什么叫联合熵？ • 联合熵、条件熵和熵的关系是什么？
7
第二节离散信源熵和互信息 • 什么叫后验概率？ • 什么叫互信息量？ • 什么叫平均互信息量？ • 什么叫疑义度？ • 什么叫噪声熵（或散布度）？ • 数据处理定理是如何描述的？ • 熵的性质有哪些？
信源及信源熵
第一节信源的描述和分类
1. 连续信源连续信源是指发出在时间和幅度上都是连续分布的连续消息（模拟消息）的信源，如语言、图像、图形等都是连续消息。
2. 离散信源离散信源是指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源，如文字、数字、数据等符号都是离散消息。

第三章4连续信源及信源熵

(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内均匀分布，即
1
N
p(x)
(N
x (bi ai ) i 1
若一维随机变量X的取值区间是[0,∞)，其概率密度函数为
p(x)
1 m
e
x m
(x 0) m是X的均值
E[X ] m
xp(x)dx
0
0
x
1 m
e
x m
dx
m
指数分布连续信源的熵为
Hc ( X ) 0 p(x) log2 p(x)dx
0
p(x) log2
1 m
e
x m
dx
随机变量X的方差E[( X m)2 ] E[ X 2 ] m2 P2 m2 2
当均值m 0时，平均功率P 2
对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；
把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨论；
把平均功率受限当成是m=0情况下，方差受限的特例。
定义高斯分布的连续信源的熵记为Hc[p(x),X] 定义任意分布的连续信源的熵记为Hc[q(x),X] 已知Hc[p(x),X]=(1/2)log2(2πeσσ) 任意分布的连续信源的熵为
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2

离散和连续信源熵正负

离散和连续信源熵正负离散和连续信源熵正负一、信源熵的定义及概念信源熵是信息论中的基本概念，它是用来度量一个随机变量的不确定性或者信息量大小的。

在信息论中，随机变量表示一种不确定性的度量，信源则是产生这种不确定性的物理系统。

二、离散信源熵离散信源熵是指在一个有限符号集合中，每个符号出现的概率已知，且各符号出现概率之和为1时，该离散信源所产生的平均信息量。

1. 离散信源熵的计算公式设离散信源S={s1,s2,…,sn}，其每个符号si出现的概率为pi，则该离散信源所产生的平均信息量H(S)为：H(S)=-Σ(pi*log2(pi))其中log2表示以2为底数的对数。

2. 离散信源熵值特点(1) H(S)>=0：由于log2(pi)<=0，因此pi*log2(pi)<=0，从而Σ(pi*log2(pi))<=0。

因此H(S)<=0。

又因为pi>=0且Σpi=1，则必有至少一个pi=1且其他pi=0时取到等号。

即当所有符号都相等时取到最小值0。

(2) H(S)越大，该离散信源的不确定性越大，产生的信息量也就越多。

(3) H(S)的单位是比特(bit)，它表示每个符号所需的平均信息量。

三、连续信源熵连续信源熵是指在一个连续随机变量中，各取值概率密度函数已知时，该连续信源所产生的平均信息量。

1. 连续信源熵的计算公式设连续信源X的概率密度函数为f(x)，则该连续信源所产生的平均信息量H(X)为：H(X)=-∫f(x)*log2(f(x))dx其中∫表示积分符号。

2. 连续信源熵值特点(1) 连续信源熵与离散信源熵不同，它可以是负数。

(2) 连续信源熵越大，该连续信源的不确定性越大，产生的信息量也就越多。

(3) 由于f(x)*log2(f(x))<=0，因此H(X)>=0。

当概率密度函数f(x)=常数时取到最小值0。

但由于积分范围无限大，在实际应用中很难出现这种情况。

基本信息论_熵速率和信道容量

言能够传送的最大熵速率。其单位为比特/秒。 1、离散信道的信道容量用以传送离散消息的信道，称为离散信道。若离散信源有 N 个符号，符号间无相关性且等概率分布，则输出熵最大：
H max ( X ) p ( xi )log p( xi ) log N
i
若离散信道最多每秒传送 n 个信源符号，则最大熵速率，也即信道容量为：
' '
其中：H ' ( X / Y ) nH ( X / Y ) H ' (Y / X ) nH (Y / X )
为疑义度熵速率为散布度熵速率
[例]二元通信系统，信源以平均1000消息/秒的速率发送消息，计算信源熵速率和信宿端接收熵速率
p(x1)=1/4 x1=1 X空间 p(x2)=3/4 x2=0 5/6 y1=1 p(y1)=7/12 1/6 1/2 Y空间 y2=0 p(y2)=5/12
信宿端接收熵速率：R H ' ( X ) H ' ( X / Y ) =811 744 67 比特/秒
或平均互信息量：I ( X ;Y ) 0.067 比特/消息
信宿端接收熵速率：R I ' ( X ;Y ) nI ( X ;Y ) =1000 0.067 67 比特/秒
C W ln 2 eP
三、离散有噪声信道中的熵速率和信道容量
若信道无噪声，则
信源输出的熵速率 = 信宿接收的熵速率
信道容量 = 信源的最大熵速率
若信道有噪声，则
信源输出的熵速率 > 信宿接收的熵速率
信道容量 = 信宿端的最大接收熵速率
接收熵速率
信源熵：H (X) 信宿端的接收熵为平均互信息量：

第二章信源与信息熵

连续信源的概率空间：
PX(pax,(bx))或Rpx(x)
b
px(x)0, px(x)dx1或px(x)0, Rpx(x)dx1 a
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第2章信源与信息熵
3. 发出符号序列离散无记忆信源－－每次发出一组含两个以上的符号序列来代表一个消息
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第2章信源与信息熵
p ij m ,n 一 k 步步 p p ijik jm m 齐次 p p iijjk
注：平稳信源的概率分布特性具有时间推移不变性，而齐次马氏链只要转移概率具有时间推移不变性，因此一般情况下，平稳包含齐次。
p
k
ii

0
的
n中没有比1大的公因
子。
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第2章信源与信息熵
• 作业：2-1，2-2
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第2章信源与信息熵
第二章信源与信息熵
• 第二讲
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第2章信源与信息熵
上一讲复习
• 1. 信源的分类
连续信源信源
离散信源
随机波形信源其它单符号无记忆离散信源符号序列无记忆离散信源单符号有记忆离散信源符号序列有记忆离散信源
实际上信源发出的符号往往只与前面几个符号的依赖关系较强，而与更前面的符号依赖关系就弱。为此可以限制随机序列的记忆长度。
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第2章信源与信息熵
• 连续信源的离散化
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连续信源熵

– 平均互信息的非负性，对称性，信息处理定理 Hc XY Hc X Hc Y | X Hc Y Hc X | Y Hc Y | X Hc Y , Hc XY Hc X Hc Y
Ic (X ;Y ) 0 Ic ( X ;Y ) Ic (Y ; X ) Ic (X ; Z) Ic(X ;Y )
u du a a
Su
1 a
pX

u a

log

1 a
pX

u a

log
a

du
pU u log pU u log a du
Su
Hc U log a
Hc aX log a
2.5 连续信源
离散信源
信源的数学模型
– 随机变量、随机序列
信源的信息测度
– 简单离散信源：H(X) – 离散无记忆信源：H ∞(X) = HL(X)=H(X) – 离散有记忆信源：H∞(X) ≤ HL(X) ≤ H(X)
连续信源的数学模型
输出消息取值上连续的信源，如语音，电视信源等，对应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。
2
2
2 2

p(x) ln q(x)dx

p(
x)

1 2
ln
2
2

(x m)2
2 2
dx
1 ln 2 2 1 1 ln 2 e 2
2
22

p(x) ln q(x)dx q(x) ln q(x)dx