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15刚体的基本运动
于是得 a at an
例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动 π j j 0 sin t t 为时间， 时, 钢索的摆动规律为 ，其中 4 单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和 t=2s 时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。
v1 v2
a1 a2
O2 r2
v1 v2
a1 a2
由于 v1 r1w1
于是可得 即
r1 w 2 w1 r2
v2 r2w 2 a1 r11 a2 r2 2
w1 1 r2 w2 2 r1
r1 2 1 r2
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比 为传动比，记为i12，由上例可知
解：系统为匀变速转动，根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0
2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 5.96 m / s dv M点的切向加速度: at a 4.9m/s 2 dt M点的法向加速度:
2 2as v0 2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 an R 0.2m
解：用n1， n2 ， n3和n4分 别表示各齿轮的转速，且有 n2 n3 传动比i12，i34为 n1 z2 n3 z4 i12 , i34 n2 z1 n4 z3 n1n3 z2 z4 将两式相乘，得 n2 n4 z1 z3 因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
2
j =0.15 t3
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2
刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
3-1刚体的基本运动
3－1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度.
0
0
第三章 刚体的定轴转动
3－1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度（角速度）
lim
t 0
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
z
0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3－1
刚体的基本运动
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章 刚体的定轴转动
解 （1） 0 5 π rad s
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
理论力学08刚体的基本运动
[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系
刚体的基本运动
(代 数 量)
单位： rad/s 工程中常用转速：
n ： 转/分(r/ min)（rpm)
n与w 的关系为：
w 2n n (rad/s )
60 30
角位移
9
2. 角加速度:
设当 t 时刻角速度为w , t +△t 时刻角速度为w+△w
角 加速 度:a
lim w
t 0 t
dw
dt
d 2
dt 2
aR w2R
a w2
13
结论:
① v方向与w 转向一致, R ,与 R 成正比。
②各点的全加速度的大小与半径成正比，方向与各点转 动半径夹角都一致,且小于90o , 方向与角加速度一致。
各点速度分布图
a
各点加速度分布图 14
刚体定轴转动
转动方程
f (t)
角速度
w
d
dt
角加速度
a
dw
dt
d 2
④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
16
aA 1m/s 2 v0 1.5m/s
R 0.5m, r 0.3m
解： ① 滑轮3s内的转数； 因为绳子不可以伸长，所以有
aC aA 1m/s2,
a aC 1 2 rad/s 2
R 0.5
vC v0 1.5m/s
aA
5
刚体平动的特点： 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、加速度都
一样。 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，研究刚体
的平动可归结为研究点的运动。
6
§6-2 刚体的定轴转动
一、刚体定轴转动的定义 刚体运动时，其上（或扩大部分）有一条直线始终保持不动。 保持不动的直线称为转轴。
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体的基本运动
rB
rAB
vB rB与 vA rA
O
A rA
d d r A t B r B r A ( r B r A ) r AB
此结果表示：
当转动刚体上的一个大小不变的矢量，只要其方向发生变化， 其对时间的变化率等于刚体的角速度与本矢量的叉积。
整理课件
推论：若在转动刚体上，固结一组坐标系 Oxyz ，
整理课件
例3 轮系传动
1、皮带轮传动
v1=v=v2
v1=r11;
v2= r22;
i r2 1 n1 r1 2 n2
v1 n1 r1
v
n2 r2 v2
整理课件
2、齿轮传动
r11r22 r11= –r22;
i1 2
1 2
n1 n2
r2 r1
z2 z1
r1
r2
整理课件
3、齿轮箱传动
1 z2 ;
其相应的单位矢量为i ，j ，k ，该坐标系
随同刚体以角速度 绕某轴转动，则必定有：
di d t d j d t dk dt
i
j
k
泊桑公式
整理课件
解:
i14
1 4
z2 z4 z1 z3
z1
z2
1
(1)齿轮对数从 主
动 动
齿 齿
轮 轮
数乘 数乘
积 积
z4 4 z3 r
476 0 2 0 0 143 2 1 2 22 58 3.94
v
v=4r=3.94 m/s
角速度: 4 / 1 =0.05
整理课件
例5
已知： O 1AO 2B2r,0＝常数，
an|t20
a
|t2
刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
《刚体运动学》课件
总结词
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
第六章 刚体的基本运动
dω dr dv d = （ω× r ) = × r + ω× a= dt dt dt dt
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
大学物理学第五版马文蔚ch.ppt
§4-2 力矩 转动定律转动惯量
一、力矩 ①力臂：从转轴 z 与 截面的交点O到力 F 的作用线的垂直距离 d～力 F 对转轴的力臂
M
z
o
r
d
F
②力矩：
在垂直与转轴的平 面内，外力 F 与力线到 转轴的距离d(力臂)的乘 积定义为对转轴的力矩。
M r F
为正。 定轴转动，规定： 力矩逆时针方向 M
Fi
mi
F i Fi mi ai
建立自然坐标：切向、法向；
切向分量式为： Fit Fit mi ait mi ri
法向分量式为： mi ain Fin Fin ②利用 M r F ，即为：M ri Fit
注：切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直。
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。
设：oz 为定轴， P为 刚体中任一质点 i ，其 质量为 mi。质点 i 受外力 F i ，内力 Fi 的作用，均在与 Oz 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律：
z
Fi
Oi r i
Fit F it
v
r
d 角加速度矢量： dt
刚体运动学中所用 d 的角量关系及角量 ＝ dt 和线量的关系如下： v r
d d 2 2 dt dt at r an r 2
注意：、是矢量，由于在定轴转动中轴的方 位不变，故用正负表示其方向。 在刚体作匀加 0 0t 1 t 2 2 速转动时，相 2 应公式如下： 0 t 2 0 2 作业：P143 4-6 4-11
角动量 变化率
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1
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
O2 l
M
B
由于两条钢索O1A和O2B的长度相 等，并且相互平行，于是荡木AB在运
动中始终平行于直线O1O2，故荡木作 平移。
为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速
度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规
π2 16
l02
cos2
πt 4
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s) φ(rad) 00
v (m·s－1)
at (m·s－
2)
π 4
（0 水平向右）
0
an (m·s－2)
π2 16
02（l 铅直向上）
2 φ0
0
点和物体A的速度和加速度。
17
运动学
例 题 7-2
vM M
O αω
A
第七章 刚体的简单运动
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得
它的角速度和角加速度
w 0.45t2 0.9t
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad s－1 , 1.8 rad s－2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。
用自然法， 点在 t时间内，走过的弧长为
s= R
速度 v dS lim S dt t0 t
lim R Rw
t0 t
v wR
14
运动学
第七章 刚体的简单运动
切向加速度为
at
π 16
0l
0
8
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-2 刚体绕定轴的转动
1.刚体定轴转动的特征及其简 化
特点:刚体在运动时，其上 或其扩展部分有两点保持不动， 这种运动称为刚体绕定轴的转 动。该两点的连线称为刚体的 转轴。
9
运动学
第七章 刚体的简单运动
2.定轴转动刚体的转动方程
如图所示转角,是固定面A与固连在转动 刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体 的位置，它的符号规定如下：从z 轴正
定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为
s
0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v
ds dt
π 4
l0
cos
π 4
t
7
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
再求一次导，得A点的切向加速度
O1 φl
O2
at
dv dt
π2 16
l0
sin
πt 4
l
A点的法向加速度
A
M
B
O
（+）
an
v2 l
向看去,逆时针为正 ，顺时针为负。因 而刚体绕定轴转动的运动方程为
= f (t) 单位用弧度(rad)
10
运动学
第七章 刚体的简单运动
3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度
角速度：
w lim Δ d (代数量)
Δt0 Δt dt
角速度也为代数量。其正负号这样来确 定，从 z 轴的正端向负瑞看，刚体逆时 针转动为正，顺时针转动为负。单位用 rad/s(弧度/秒）。
这里 0是 t = 0 时转角 的值。 12
运动学
第七章 刚体的简单运动
(2) 匀变速转动
当 =常数,为匀变速转动时。有
w w0 t
0
w0t
1 t 2
2
w 2 w02 2 ( 0 )
这里 0和w 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
drA dt
vA
( drAB 0) dt
同理 :
aB
d 2 rB dt 2
d2 dt 2
(rA rAB )
d 2 rA dt 2
aA
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹
形状相同。
即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
5
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l
A O
（+）
O2 l
M
B
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
木摆动时钢索的摆动规律
为 时
0 sin
间，单位为s
π t，其中 t ；4转角φ0的
为 单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速度。
2
运动学
第七章 刚体的简单运动
3
运动学
第七章 刚体的简单运动
1.刚体平移的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置 平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
2.刚体平移的特点: 如图所示，由刚体平移 的定义， rAB 常矢量
rB rA rAB
vB
drB dt
d dt
(rA
rAB )
dv dt
d dt
(wR)
dw
dt
R
R,
法向加速度为
an
v2
(wR)2
R
Rw 2
全加速度大小为
a an2 at 2 R 2 w 4 方向为 tan at R
an w 2R w 2
15
运动学
第七章 刚体的简单运动
结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
O2 l
M
B
由于两条钢索O1A和O2B的长度相 等，并且相互平行，于是荡木AB在运
动中始终平行于直线O1O2，故荡木作 平移。
为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速
度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规
π2 16
l02
cos2
πt 4
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s) φ(rad) 00
v (m·s－1)
at (m·s－
2)
π 4
（0 水平向右）
0
an (m·s－2)
π2 16
02（l 铅直向上）
2 φ0
0
点和物体A的速度和加速度。
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运动学
例 题 7-2
vM M
O αω
A
第七章 刚体的简单运动
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得
它的角速度和角加速度
w 0.45t2 0.9t
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad s－1 , 1.8 rad s－2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。
用自然法， 点在 t时间内，走过的弧长为
s= R
速度 v dS lim S dt t0 t
lim R Rw
t0 t
v wR
14
运动学
第七章 刚体的简单运动
切向加速度为
at
π 16
0l
0
8
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-2 刚体绕定轴的转动
1.刚体定轴转动的特征及其简 化
特点:刚体在运动时，其上 或其扩展部分有两点保持不动， 这种运动称为刚体绕定轴的转 动。该两点的连线称为刚体的 转轴。
9
运动学
第七章 刚体的简单运动
2.定轴转动刚体的转动方程
如图所示转角,是固定面A与固连在转动 刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体 的位置，它的符号规定如下：从z 轴正
定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为
s
0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v
ds dt
π 4
l0
cos
π 4
t
7
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
再求一次导，得A点的切向加速度
O1 φl
O2
at
dv dt
π2 16
l0
sin
πt 4
l
A点的法向加速度
A
M
B
O
（+）
an
v2 l
向看去,逆时针为正 ，顺时针为负。因 而刚体绕定轴转动的运动方程为
= f (t) 单位用弧度(rad)
10
运动学
第七章 刚体的简单运动
3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度
角速度：
w lim Δ d (代数量)
Δt0 Δt dt
角速度也为代数量。其正负号这样来确 定，从 z 轴的正端向负瑞看，刚体逆时 针转动为正，顺时针转动为负。单位用 rad/s(弧度/秒）。
这里 0是 t = 0 时转角 的值。 12
运动学
第七章 刚体的简单运动
(2) 匀变速转动
当 =常数,为匀变速转动时。有
w w0 t
0
w0t
1 t 2
2
w 2 w02 2 ( 0 )
这里 0和w 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
drA dt
vA
( drAB 0) dt
同理 :
aB
d 2 rB dt 2
d2 dt 2
(rA rAB )
d 2 rA dt 2
aA
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹
形状相同。
即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
5
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l
A O
（+）
O2 l
M
B
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
木摆动时钢索的摆动规律
为 时
0 sin
间，单位为s
π t，其中 t ；4转角φ0的
为 单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速度。
2
运动学
第七章 刚体的简单运动
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运动学
第七章 刚体的简单运动
1.刚体平移的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置 平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
2.刚体平移的特点: 如图所示，由刚体平移 的定义， rAB 常矢量
rB rA rAB
vB
drB dt
d dt
(rA
rAB )
dv dt
d dt
(wR)
dw
dt
R
R,
法向加速度为
an
v2
(wR)2
R
Rw 2
全加速度大小为
a an2 at 2 R 2 w 4 方向为 tan at R
an w 2R w 2
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运动学
第七章 刚体的简单运动
结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。