合情推理教案

一、教学目标：

（1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。

（2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用

二、教学重点、难点

1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用.

2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论.

三、教学方法：

启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。

1. 导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。

2.介绍数学史（预习）

简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想，

2.分析特例：问题1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？

歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，·

改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971，1002=139+863, ·

歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”

即:偶数＝奇质数＋奇质数

3.得出结论：

归纳推理定义：

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)

归纳推理的特点

1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.

2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。

3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。

归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理

⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想

(3）检验猜想

说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的

4.例题

例题1：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a +=

=+，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a =1n

。 1.问题引入：

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇。

2.分析特例

火星上有生命吗？为什么人们会猜测火星上有生命呢？

问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理的过程。

并回答下面两个问题：

1.为什么圆可以和球类比？

2.圆和球类比的规律是什么？

与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等

与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大

以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+( z-z0)2 = r2

类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.(简称：类比)

类比推理的特点

1.类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征。

2.类比推理是以旧的知识做基础，推测新的结果，具有发现的功能。

类比推理的一般步骤

①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征.

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，

从而得出一个猜想.

③检验这个猜想

4.例题

例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空

间中四面体性质的猜想．

直角三角形3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

3个边的长度a，b，c 2条直∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°，4个面的面积S1，S2，S3和S，3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S

结

论：222212

3S S S S =++规律总结：平面→空间，圆→球，线→面. 5.反馈练习(备用)

2：我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？ 从第二项起，每一项与其前一项的积等于一个常数的数列是等积数列.

从第二项起，每一项与其前一项的和等于一个常数的数列是等和数列.

3：（2001年上海)已知两个圆①x 2+y 2=1:与②x 2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r 2与②(x-c)2+(y-d)2=r 2（a ≠c 或b ≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.

三．合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

四：课堂小结：

1. 归纳推理的定义和特点是什么？

2. 类比推理的定义和特点是什么？

3. 合情推理的定义是什么？

五：作业：

选修2-2 P93 1.2