拉式与Z变换公式
§8.6 z变换与拉氏变换的关系
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的
离散序列z变换式的关系式。
该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
Xz Rsezz-X essTX(s)的诸极点
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
R s z e z - e X s sT s s 1 zs z - - s 1 e s X T ss s 1 z- k 1 e z s 1 T z k - 1 z z 1
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆi tA2i
Ai epit
t <0 t 0 t >0
0
xinTAi
Ai epint
t <0 t 0 t >0
按抽样规律系 建时 立必 0 二 点 须 者 补 在 Ai联 2 足 ,即
幅角: =T=2p
s
z平 面
式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
拉普拉斯变换和Z变换常用表格
拉普拉斯变换和z 变换常用表格1.拉氏变换的基本性质附表1 拉氏变换的基本性质1()1()([n n k F s f t dt s s−+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z变换表附表2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==−−−− （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110−和011,,,,m m b b b b −都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=−=−++−++−+−=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=− （F-2）或iss is A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∑=−−n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F −−−=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −++−++−+−++−+−++−− 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r −个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1−r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r −=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds−→=−)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr −=→− (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s −−=−−→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−++−+−++−+−=++−−−n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=−−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−+−=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉氏变换表(包含计算公式)
1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换与Z变换
拉普拉斯变换与Z变换拉普拉斯变换与Z变换从傅⾥叶变换到拉普拉斯变换1. Fourier 变换：x(t)F⟶X(jω)X(jω)F−1⟶x(t)X(jω)=|X(jω)|幅度谱e j相位谱θ(jω)F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算2. 连续时间Fourier 变换收敛条件：狄⾥赫利条件1.∫+∞−∞|x(t|dt<∞，x(t)绝对可积2.在任何有限区间内，x(t)只有有限个最⼤值和最⼩值3.在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且不连续点上信号有有限值⼀些常见信号如阶跃、斜坡、周期都不满⾜绝对可积的条件，不能直接求F变换eg: 周期信号x(t)F⟷2πX1(jω)=∑∞k=−∞2πa kδ(ω−kω0)，当t→∞，x(t) 不趋于03. 解决⽅法：在⾃然界，指数信号exp(−x) 是衰减最快的信号之⼀，对信号乘上指数信号之后，很容易满⾜绝对可积的条件。
引⼊衰减因⼦e−σt，乘以x(t)，使t→∞,x(t)e−σt→0。
F{x(t)e−σt}=∫+∞−∞x(t)e−σt e−jωt dt=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔X(σ+jω)=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔L{x(t)}=X(s)=∫+∞−∞x(t)e−st dt双边Laplace变换正变换X(s) 称为X(t) 的象函数x(t)e−σt=F−1{X(σ+jω)}=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e jωt dωx(t)=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e(σ+jω)t dωx(t)=L−1{X(s)}=12πj∫σ+j∞σ−j∞X(s)e st ds Laplace反变换4. 衰减因⼦e−σt：e st=e(σ+jω)t=eσt e jωt数学含义：原函数乘以衰减因⼦以满⾜绝对可积条件物理含义：频率ω变换为复频率sω只能描述振荡的重复频率s不仅描述重复频率，还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率5. 关系：傅⾥叶变换可以看做是拉普拉斯的⼀种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)，拉普拉斯变换是傅⾥叶变换的推⼴，是⼀种更普遍的{表达形式。
z变换与拉氏变换的关系
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
N
N
xi nT Ai e pinT u nT
i 1
i 1
它的z变换为 Z x nT
N i 1
Ai 1 - e piT
z -1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列 样值有区别。
jImz
1
o Rez
z=1
（2）s平面上的虚轴（ =0，s =j）映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（ < 0）映射到z平面是单位圆的圆内；
s平面的右半平面（ >0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平行于虚轴的直线（ 常数）映射到z平面是圆。
s平面(s= +j
j
虚轴
=0, s=j)
0
z平面(z= rej
§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系
至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。
在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。
一．z平面与s平面的映射关系
二．z变换与拉氏变换表达式之对应
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t < 0 t 0 t > 0
0
xi
nT
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
§8.6 z变换与拉氏变换的关系
1
o Rez
z=1
（2）s平面上的虚轴（ =0，s =j）映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（ < 0）映射到z平面是单位圆的圆内；
s平面的右半平面（ >0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平行于虚轴的直线（ 常数）映射到z平面是圆。
s平面(s= +j jBiblioteka 虚轴=0, s=j)
0
z平面(z= rej
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系
至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。
在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。
一．z平面与s平面的映射关系
二．z变换与拉氏变换表达式之对应
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/6/27202 1/6/27J une
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。202 1/6/272 021/6/2 72021/6/27202 1/6/27
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
傅里叶变换、拉式变化、Z变化基本公式及性质
Sa (
2
)
W
Sa(W t)
1, W F ( ) 0, W
Sa 2 (
2
)
W Wt Sa2 ( ) 2 2
1
1 W , W F ( ) 0, W
2e u ( ), 0
a j (a j ) 2 02
2 j
1
,t 0
j , 0 F ( ) j, 0
1, t f (t ) 0, t 1 t , t f (t ) 0, t
e at cos 0tu(t ), Re{a} 0 e at sin 0tu(t ), Re{a} 0
s
2 2
sin t
z sin T z 2 z cos T 1
2
s s 2
2
cost
z ( z cos T ) z 2 z cos T 1
2
( s a)
2 2
e at sin t e at cos t
ze aT sin T z 2 2 zeaT cos T e 2 aT
常用的连续傅里叶变换
1 f (t ) 2
jt F ( )e d
F ( )
f (t )e
jt
dt
连续时间函数 f (t )
(t )
傅里叶变换 F ( ) 1
e jt
0
连续时间函数 f (t ) 1
e j t
0
傅里叶变换 F ( )
2 ( ) 2 ( 0 ) 2 cost 0 j 2 sint0