资源分配问题
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用动态规划法求解资源分配问题
1.某市电信局有四套通讯设备，准备分给甲、乙、丙三个地区支局，事先调查
了各地区支局的经营情况，并对各种分配方案作了经济效益的估计，如表所示，其中设备数为0时的收益，指已有的经营收益，问如何分配这四套设备，使总的收益最大？
解：分三个阶段1,2,3k =分别对应给甲、乙、丙三个地区支局分配设备，
0,1,2,3,4k s =表示在第k 阶段分配的设备套数，
()k k x s 表示第k 阶段分配k s 套设备所产生的收益
()k k f s 表示将k s 套设备分配给第k 阶段直到第3阶段所产生的收益
用逆推法得到基本递推方程
1144()max{()()},1,2,3
()0
k k k k k k f s x s f s k f s ++=+=⎧⎨
=⎩ 当3k =时
33333(0)48,(1)64,(2)68,(3)78,(4)78f f f f f ===== 当2k =时
223(0)max{(0)(00)}max{4840}88f x f =+-=+=
23223(0)(1)6440(1)max max 104(1)(0)4248x f f x f ++⎧⎫⎧⎫
===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
2322323(0)(2)6840(2)max (1)(1)max 64421085048(2)(0)x f f x f x f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
2323
22323(0)(3)4078(1)(2)6842(3)max max 118(2)(1)64506048(3)(0)x f x f f x f x f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭
23232232323(0)(4)4078(1)(3)4278(4)max (2)(2)max 68501246064(3)(1)6648(4)(0)x f x f f x f x f x f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭
当1k =时
112(0)max{(0)(0)}max{3888}126f x f =+=+= 12112(1)(0)4188(1)max max 140(0)(1)38102x f f x f ++⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
1211212(2)(0)4888(2)max (1)(1)max 4110414638108(0)(2)x f f x f x f ++⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
1212
11212(3)(0)6088(2)(1)48104(3)max max 156(1)(2)4110838118(0)(3)x f x f f x f x f ++⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭
12121121212(4)(0)6688(3)(1)60104(4)max (2)(2)max 4810816441118(1)(3)38124(0)(4)x f x f f x f x f x f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎪⎪+⎪+⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
故最大收益为164，具体分配方案为甲3套，乙0套，丙1套。
2.某物流公司有12支巡逻队负责4个仓库的巡逻。按规定对每个仓库可分别
派2～4支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故
把往四个仓库派巡逻队划分为4,3,2,1k =四个阶段，状态变量k s 为k 阶段初拥有的未派出的巡逻队数，决策变量k x 为k 阶段派出的巡逻队数，状态转移方
程为1k k k s s x +=-，
()k k P x 为k 阶段派出k x 个巡逻队时预期发生的事故数，()k k f s 为k 阶段派出k x 个巡逻队至四阶段时预期发生的事故数，用逆推法得到递推公式
1155()min{()()}
()0
k k k k k k f s P x f s f s ++=+⎧⎨
=⎩ 当4k =时
444(2)34,(3)31,(4)25f f f ===
当3k =时
334(4)min{(2)(2)}min{1434}48f P f =+=+= 34334(2)(3)1431(5)min min 45(3)(2)1234P f f P f ++⎧⎫⎧⎫
===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
3433434(2)(4)1425(6)min (3)(3)min 1231391134(4)(2)P f f P f P f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
34334(4)(3)1225(7)min min 37(3)(4)1131P f f P f ++⎧⎫⎧⎫
===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
334(8)min{(4)(4)}min{1125}36f P f =+=+=
当2k =时
223(6)min{(2)(4)}384886f P f =+=+= 23223(2)(5)3845(7)min min 83(3)(4)3648P f f P f ++⎧⎫⎧⎫
===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
2322323(2)(6)3839(8)min (3)(5)min 3645773048(4)(4)P f f P f P f ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
2322323(2)(7)3837(9)min (3)(6)min 3639753045(4)(5)P f f P f P f ++⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
2322323(2)(8)3836(10)min (3)(7)min 3637693039(4)(6)P f f P f P f ++⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
当1k =时
112(8)min{(2)(6)}1886104f P f =+=+=
12112(2)(7)1883(9)min min 101(3)(6)1686P f f P f ++⎧⎫
⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭
12112
12(2)(8)1877(10)min (3)(7)min 1683951286(4)(6)P f f P f P f ++⎧⎫
⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭ 1211212(2)(9)1875(11)min (3)(8)min 1677931283(4)(7)P f f P f P f ++⎧⎫
⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
12112
12(2)(10)1869(12)min (3)(9)min 1675871277(4)(8)P f f P f P f ++⎧⎫
⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+=+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪
++⎩⎭⎩⎭
故最优方案为：
甲仓库2支 乙仓库4支 丙仓库2支 丁仓库4支 预期发生的事故数为87。