典例精析类题典例_《认识无理数》类题典例

认识无理数

综合应用典例剖析

1．无理数的识别

【例1】下列实数是无理数的是（ ）

A ．1-

B ．13

C ．0 D

解析：1-与0是整数，13它是无理数，故选D ．

答案：D ．

【小结】无理数的识别方法：（1）定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；（2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为1的分数．从这个意义上来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数（两个整数的商）的形式．

2．无理数近似值的确定

【例2】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．

分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC 的长．

解：由勾股定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2＝34.

当5＜BC ＜6时，25＜BC 2＜36；

当5.8＜BC ＜5.9时，33.64＜BC 2＜34.81；

当5.83＜BC ＜5.84时，33.988 9＜BC 2＜34.105 6；

…

故当精确到十分位时，BC 约为5.8 m.

【小结】无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．

注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．

3．循环小数化为分数的方法

【例3】将无限循环小数0.12••化为分数．

解析：设0.12x ••=，则100x =12+0.12••，

所以100x -x =12，

即99x =12， 所以1299

x =． 【小结】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．