典例精析类题典例_《认识无理数》类题典例
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
北师大版初中八年级数学下册第二章1 认识无理数
【归纳提升】 无理数“三要素” (1)是小数；(2)是无限小数；(3)不循环．
【变式一】：巩固 (2021·济南期中)下列数是无理数的是( B )
A．－59
·
B．π C．0 D．0.23
【变式二】：提升 (2021·苏州质检)如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，高为 h， h 可能是整数吗？可能是分数吗？
【一题多变】
用 48 m 长的篱笆材料，在空地上围成一个圆形的绿化场地，则该场地的面积是
(D )
A．整数
B．分数
C．自然数
D．无理数
【母题变式】 (变换条件)小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地，现共有 a 米长的篱笆材料， 他设计了两种方案，一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么
【变式一】：巩固Biblioteka (2021·太原期中)一个直角三角形两条直角边的边长分别为 3
和 5，斜边长 a，则 a 是一个___无__理__数_____数，它的整数部分是__5__．
【变式二】：提升 设面积为 5π 的圆的半径为 a. (1)a 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计 a 的值(精确到 0.1)
第二章 实数 1 认识无理数
识新知·自主预习
【旧知再现】 _整__数____和___分__数____ 统称有理数，它们都可以用有限小数和无限___循__环____(填 “循环”或“不循环”)小数来表示．
【新知初探】 阅读教材P21【做一做】，完成以下问题． 探究1：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大 正方形的边长为a，计算a2＝___2___. 思考：a可能是整数吗？可能是分数吗？为什么？ 因为12＝1，22＝4，1＜2＜4，所以a不可能是整数． 没有两个相同的分数相乘得2，故a不可能是分数． 结论：a___不__是____有理数．
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
典例精析
４３１ 判断 基因是否 位 于 Ｙ染色体 上。若该 基因 控 ．． 制 的性状 只在雄性 个体 中出现 ， 可判定 基 因位 于 Ｙ 则 染 色体上 。 ４３２ 判断基 因是否位于 ｘ染色体上 ．．
维普资讯
２ ７ － 期（ ３ ０ ＃ｇ６ 第１ 卷） ０
科学教育 Ｓｉ ｃ ｄ ｃｔｎ ｃ ｎｅ ｕａｏ ｅ Ｅ ｉ
・９ ７・
典 例 析 精
谢恩 民 （ 山东省单 县第二中 ２４０） 学 ７３ ０
ｌ 例题 。
子代
Ａ ａ
已知果蝇中直 毛和 分叉 毛是 一对相 对性状 （ 由一 对等位基 因 Ａ、控 制） 若实验室有 纯合 的直毛和分叉 ａ ，
此 图总结 了有氧 呼吸过程 的三个阶 段， 映了每 反
一
人民教育出版社 ２０ ０６年 １ 月第二版 ， 日制普通 １ 全 高级中学教科书《 生物》 必修 ） （ 第一册第 ７ ０页 ， 关于有 氧呼吸过程 的图解 （ 如下左 图）
个 阶段 的反应 物 和生 成物 ， 以及各 阶段产生 的能量
上
维普资讯
・
８ ０・
科学教 育 Ｓｉ ｃ ｄｃｔｎ ｃ ｎｅＥ ｕａｏ ｅ ｉ
２０ －￣６ 第 １ ０７ｑｇ 期（ ３卷） －
教 科 书 和 教 参 书 中 商榷 之处
杨 全 （ 市秀山 第一中 ４９０） 重庆 县 学 ０９ ０
ｌ 细胞有氧呼吸图解商榷之处
位置 ， 其具体答案见解析。
４ 解 题 一 般 思 路 一
在我们所学 的高 中生物 内容 中， 同位 置 的基 因 不 遗传类 型有 ： 质遗 传 、 细胞 细胞核遗传 两 大类 ， 中 细 其
2.1.1 认识无理数
二、探究新知
情景二:
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积
是多少？
S=22+12=5
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
b2=5
∵b2=5，4<b2<9 ，∴ 2<b<3， ∴b不是整数； ∵b2=5，∴b不是分数
b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数
二、探究新知
北师大版八年级上册
第二章
实数
2.1 认识无理数（一）
学习目标
1.通过拼图活动，发现生活中存在既不是 整数也不是分数的数 2.会判断给出的数是否为有理数
一、知识回顾
(1)什么是有理数？
整数和分数统称为有理数
(2)有理数的分类
有理数
整数 分数
有理数
正有理数 0 负有理数
二、探究新知 情景一：如图是两个边长为1的小正方形，通过剪一 剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
二、探究新知
拼法一：
拼法二：
二、探大正方形的边长为 a , a满足什么条件？ a2=2
(2) a可能是整数吗？可能是分数吗？
∵a2=2，1<a2<4 ，∴ 1<a <2，∴a不是整数；
∵a2=2，1/2、2/3等分数的平方仍然是分数
∴a不是分数 a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数
x不是整数,也不是分数， 不是有理数.
3
x
2
三、典例讲解
3.在下面的正方形网格中，画出一条长度是有理数的 线段和一条长度不是有理数的线段
四、课堂检测
1.已知a2=16.5，则正数a是（ D ）
有理数与实数中考专题复习-含答案
有理数与实数专题复习专题一 有理数与无理数的意义知识回顾１. 实数的分类２．在实际生活中正负数表示＿＿＿＿＿的量．典例分析例１：（2010四川巴中）下列各数：2π,错误！未找到引用源。
0．23·,cos60°，227，0．30003……，1 )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个解析：无理数是无限不循环的小数，其中的无理数有2π,0．30003……，1故选Ｃ． 评注：解决此类问题的关键是准确把握有理数，无理数及实数的概念，不能片面的从形式上判断属于哪一类数，另外对有关实数进行归类时，必须对已给出的某些数进行化简，以最简的结果进行归类．专题训练一1．(2010年南宁)下列所给的数中，是无理数的是( )A ．2B ． 2C ．12D ．0．1 ２．(2010年湖北襄樊)下列说法错误的是（ )A 2± 是无理数 C D ．2是分数３．（2010年上海）下列实数中，是无理数的为（ ）A ． 3．14B ． 13C ． 3D ． 9 ４．（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2专题二 实数的有关概念知识回顾１． 数轴：规定了＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿的直线叫数轴．数轴上的点与＿＿＿是一一对应．２．相反数:到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数a 的相反数是＿＿,零的相反数是＿＿，a 与b 互为相反数，则＿＿＿＿＿；３．绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0___()0(___)0(___||a a a a典例分析例1：（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ )A ．0的绝对值是0B ．31是无理数 C ．|—2|的相反数是２ D ．1的倒数是1-解析：Ａ评注：解决本题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义是表示点到原点的距离，还应理解“正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵；关于无理数应从概念上突破：表示无限不循环小数；|—2|＝２,２的相反数为－２；对于倒数，掌握它们的乘积为１．专题训练１．（2009年滨州）对于式子(8)--，下列理解：（1）可表示8-的相反数；（2）可表示1- 与8-的乘积；（3）可表示8-的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 ２．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如果a 与1互为相反数，则a 等于（ ）．A ．2B ．2-C ．1D ．1-３．（2010年山东菏泽）负实数a 的倒数是（ ）．A ．a -B ．1aC ．1a- D ．a ４．（2010年绵阳）－2是2的（ ）．A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根５．（2010年镇江）31的倒数是 ；21-的相反数是 ． ６．（2010年四川成都）若,x y 为实数，且20x ++=，则2010()x y +的值为________． 7．（2010吉林）如图，数轴上点A 所表示的数是_________．8（2010河南）若将三个数是 ．专题三 实数的大小比较知识回顾比较实数大小的一般方法：① 性质比较法：正数大于___,负数____0,正数_____任何负数；② 数轴比较法：在数轴上的实数，右边的数总是比左边的数___；差值法：③ 设a ，b 是任意实数，如a －b ．>0,则a ___b ，如a －b ．<0,则a b ，如a －b =0,则a ___b ;④ 商值法：如a ÷b ．>1,则a ___b ，如a ÷b ．<1,则a ___b ，如a ÷b ．=1,则a ___b ，⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。
专题21认识无理数-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【北师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.1认识无理数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•白云区二模）实数0，﹣1，4，π中，无理数是（ ） A ．4B ．πC ．0D ．﹣12．（2021春•普陀区期中）下列各数中，是无理数的是（ ） A ．﹣6.94B ．337C ．0D ．π23．（2021春•淮北月考）下列四个实数中，是无理数的是（ ） A ．2.021B ．πC ．227D ．3.141592654．（2020秋•工业园区期末）下列各数中，不是无理数的是（ ） A ．πB ．1327C ．0.1010010001…D ．π﹣3.145．（2020秋•徐州期末）下列四个数中，无理数是（ ） A ．237B ．0C ．0.12D ．π6．（2020秋•常州期末）下列各数中，无理数是（ ） A ．0.6⋅B ．227C ．π3D ．﹣2.6161161117．（2020秋•鼓楼区校级月考）在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2020秋•杏花岭区校级期中）在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.21⋅⋅，π，132中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2020秋•太平区期末）下列各数：﹣1，π3，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2），﹣3.1415，227，﹣0.3⋅，其中无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020秋•张家港市期中）下列一组数：﹣8，2.7，312，π2，−0.6⋅，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）其中是无理数有（ ） A ．0 个B ．1 个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020秋•泰兴市期末）在π2，3.14，0.02002…，﹣3，23中，无理数有 个．12．（2020秋•东台市期末）下列各数中：3.1415926，0.171171117……，﹣π，−17，0，0.5.，无理数有 个． 13．（2020秋•沭阳县期末）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： ． 14．（2020秋•高邮市期末）在数0、π、﹣0.1010010001，5.6⋅、227中，无理数有 个．15．（2021春•包河区期中）若|2a ﹣7|＝7﹣2a ，则a ＝ ．（请写出一个符合条件的正无理数） 16．（2021•雁塔区校级模拟）在下列各数13，π，√2−1，0.1212中，无理数是 ．17．（2020秋•北海期末）在0，5，π，−227这些数中，无理数是 ． 18．（2020秋•浦口区期中）在﹣0.5，π，−227，1.3⋅，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中，无理数有 个．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•兴化市月考）将下列各数填在相应的集合里：227，1﹣π，﹣0.2020020002…，0，﹣（﹣200%），﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2，3.14159 负数集合（ …） 正分数集合（ …） 自然数集合（ …） 无理数集合（ …）20．（2020秋•句容市月考）请将下列各数：12，7，﹣0.01，﹣3.2020020002…，﹣15，2.95⋅，0，π2；填入相应的括号内．（1）整数集合{ …}； （2）分数集合{ …}； （3）负有理数集合{ …}； （4）无理数集合{ …}．21．（2020秋•清江浦区期中）把下列数按照要求填入相应的集合内：+8.5，﹣325，0.35，0，3.14，12，0.3，π，10%，﹣2.626626662…无理数集合：{ …}； 负数集合：{ …}．22．（2020秋•亭湖区期中）请将下列各数填入相应的集合内： −74，0，π，311，﹣1.010010001…，0.5⋅有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}． 23．将下列这些数按要求填入相应的集合中：0.010010001…，4，﹣212，3.2，0，﹣1，﹣（﹣5），﹣|﹣5|，−π2．负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 24．将下列各实数填入相应的集合内：−83，|−67|，4，0，﹣27，0.36，+（﹣1.78），0.303003000…，π2，﹣8．整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数：{ …}； 非负数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}．。
典例精析知识点典例_《认识无理数》知识点典例
认识无理数重难点典例剖析1．估计数值的大小难点突破：第一步应确定被估算数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出其近似值．【例1】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．(1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？(3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316；…则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65．(3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数．释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．2．无理数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．重点突破：学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750． 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．(3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例2】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，0，227，－5.23·，－π2． 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·； 无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，－π2．。
初一数学下册知识点《无理数》经典例题及解析
初一数学下册知识点《无理数》经典例题及解析副标题一、选择题（本大题共121小题，共363.0分）1.下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是=±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】此题考查了实数，数轴，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．解题时，根据实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，的概念对各说法进行判断即可.【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误；③负数有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是±=±4，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确，则其中错误的是3个.故选D．2.在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．常有三种表现形式：字母π等；开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等．故选：B．可化为4，根据无理数的定义即可得到无理数为1.010010001…，π．【解答】解：∵=4，∴无理数有：1.010010001…，π．故选B．3.在，，0，-2这四个数中，为无理数的是（）A. B. C. 0 D. -2【答案】A【解析】解：，0，-2是有理数，是无理数，故选：A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4.四个数0，1，，中，无理数的是（）A. B. 1 C. D. 0【答案】A【解析】解：0，1，是有理数，是无理数，故选：A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5.下列各数：-2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：在-2，0，，0.020020002…，π，中，无理数有0.020020002…，π这2个数，故选：C．依据无理数的三种常见类型进行判断即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．6.下列实数中的无理数是（）A. B. π C. 0 D.【答案】B【解析】解：，0，是有理数，π是无理数，故选：B．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．7.下列几个数中，属于无理数的是（）A. B. 2 C. 0 D.【答案】A【解析】解：2，0，是有理数；开方开不尽故是无理数．故选：A．由于无理数是开不尽方的数，或者无限不循环小数为无理数，由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，或者无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．8.下列实数中，是无理数的为（）A. -1B. -C.D. 3.14【答案】C【解析】解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是分数、是有理数，选项错误；C、正确；D、是有限小数，是有理数，选项错误．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9.下列实数中，是无理数的为（）A. -4B. 0.101001C.D.【答案】D【解析】解：A、-4是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B、0.101001是小数，属于分数，故本选项不符合题意；C、是小数，属于分数，故本选项不符合题意；D、是无理数，正确；故选D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10.下列说法中正确的是（）A. 带根号的数都是无理数B. 无限小数都是无理数C. 无理数都是无限不循环小数D. 无理数是开方开不尽的数【答案】C【解析】解：A、如=2，是整数，是有理数，选项错误；B、无限循环小数是有理数，选项错误；C、正确；D、π是无理数，不是开方开不进得到的数，选项错误．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．11.实数2，，，0中，无理数是（）A. 2B.C.D. 0【答案】B【解析】解：2，，0是有理数，是无理数，故选：B．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12.下列各数中，属于无理数的是（）A. B. 1.414 C. D.【答案】C【解析】解：=2是有理数；是无理数；故选：C．根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；本题考查无理数；能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．13.下列各数：1.414，，-，0，其中是无理数的为（）A. 1.414B.C. -D. 0【答案】B【解析】解：是无理数．故选：B．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．14.在实数-1.414，，π，，2+，3.212212221…，3.14中，无理数的个数是（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键，无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的数，如2π；根据无理数的定义求解即可.【解答】解：-1.414是有限小数，是有理数；是无理数，π是无理数；无限循环小数是有理数；2+是无理数；3.212212221…是无限不循环小数是无理数；3.14有限小数是有理数；∴无理数有4个.故选D．15.下列各数：，-π，-，0.，-0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），-中无理数的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．其中初中范围内学习的无理数有：与π有关的数；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．解答此题根据无理数的定义判断即可.【解答】解：题中的无理数有：-π，-，-0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）是无理数，共3个，故选B.16.在，，，，0，，，127，中，无理数的个数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义求解即可．【解答】解：，0.454455444555…，-是无理数，共3个.故选B．17.在-2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】解：根据判断无理数的3类方法，可以直接得知：是开方开不尽的数是无理数，属于π类是无理数，因此无理数有2个．故选：C．要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为3大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．本题考查了无理数的定义，判断无理数的方法，要求学生对无理数的概念的理解要透彻．18.下列四个数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：是无理数，，，（）2是有理数.故选A．19.在下列实数：、、、、-1.010010001…中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：、、-1.010010001…是无理数，故选C．20.下列实数中的无理数是（）A. 0.7B.C. πD. -8【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，-8为负数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选C．21.下列结论中正确的个数为（）（1）开方开不尽的数是无理数．（2）数轴上的每一个点都表示一个实数；（3）无理数就是带根号的数；（4）负数没有立方根；（5）垂线段最短．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本试题考查无理数，实数，立方根的概念，及垂线的性质．只要正确理解概念和垂线的性质不难得到正确答案．无限不循环小数叫做无理数，开方开不尽的数是无理数，π是无理数，有规律但无限循环的小数是无理数，实数与数轴上的点一一对应，任何一个实数都有立方根，直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简单的说，垂线段最短．【解答】解：根据无理数的定义，（1）正确，（3）不正确；由实数与数轴上的点一一对应，（2）正确；由立方根的性质，（4）不正确；由垂线的性质，（5）正确；故选C22.在实数，3.1415926，0.123123123…，π2，，，，，0.1010010001…（相邻两个1中间一次多1个0）中，无理数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：π2，，，0.1010010001…（相邻两个1中间一次多1个0）中是无理数，故选C．23.实数，，0，-π，，，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【解答】解：无理数有：，-π，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），共3个．故选：C．24.在实数3.14，-，-，1.7，，0，-π，4.262262226…（两个6之间一次增加一个“2”）中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．解答此题根据无理数的定义判断即可.【解答】解：无理数有：，-π，4.262262226…（两个6之间一次增加一个“2”）共3个．故选C.25.在、、、、中无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：-、是无理数，故选：B．26.在下列各实数中，属于无理数的是（）A. 0.1010010001B.C.D.【答案】C【解析】解：0.1010010001，-，=13是有理数，是无理数．故选：C．根据无理数的定义进行解答即可．本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，是解题的关键．27.在下列实数中，属于无理数的是（）A. 0B.C. 3D.【答案】B【解析】解：0、3、都是有理数，是无理数．故选B．根据无理数的定义在数0、、3、中，只有是无理数．本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示的无理数，如π等．28.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：观察图形，应用勾股定理，得AB=，BC=，AC=，∴三个边长都是无理数；故选D．29.下列各数中，3.14159，-，0.141141114…，2π，-，-，无理数的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：0.141141114…，2π,-是无理数，故选：C．根据无理数的定义求解即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．30.下列4个数：，，π，0，其中无理数是（）A. B. C. π D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，解决本题的关键是熟记无理数的定义．根据无理数的定义，即可解答．【解答】解：A、=3，是有理数；B、是有理数；C、π是无理数；D、0是有理数；故选：C．31.下列各数：、1.414、0.、、中，其中无理数有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：是无理数，故选：A．根据无理数的定义求解即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．32.下列说法中，不正确的个数有：（）①所有的正数都是整数．② |a|一定是正数．③无限小数一定是无理数．④（-2）8没有平方根．⑤不是正数的数一定是负数．⑥带根号的一定是无理数．A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】解：①所有的正数都是整数，如2.5，故说法①错误；②|a|一定是正数．如a=0，故说法②错误；③无限小数一定是无理数．无限不循环小数才是无理数，故说法③错误；④（-2）8没有平方根．有平方根为±16，故说法④错误，⑤不是正数的数一定是负数，如0既不是正数也不是负数，故说法⑤错误；⑥带根号的一定是无理数．如=2，故说法⑥错误．故选D．①根据正数和整数的定义即可判定；②根据绝对值的性质即可判定；③根据无理数的性质即可判定；④根据平方根的定义和乘方运算法则即可判定；⑤根据正负数的定义即可判定；⑥根据无理数的定义即可判定．本题主要考查了有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．33.在3.14，-，π，，-0.23，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：-，π，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．34.下列各数中是无理数的有（）-0.333…，，，-π，3π，3.1415．A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】解：无理数有，-π，3π，共3个，故选A．根据无理数的定义逐个判断即可．本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如π等．35.在，，，，，，每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．【解答】解：无理数有：-，π，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）共3个．故选C．36.下列各数：、、、0.020020002…（每相邻两个2之间依次多一个0）、、、，无理数有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：0.020020002…（每相邻两个2之间依次多一个0）、、是无理数，故选B．37.下列四个实数中，无理数是（）A. 3.14B. -πC. 0D.【答案】B【解析】解：-π是无理数，故选：B．根据无理数的定义，可得答案．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．38.在实数0，π，，，中，无理数的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：π，是无理数，故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．39.实数-2，0.3，，，-π中，无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：在实数-2，0.3，，，-π中无理数有：，-π共有2个．故选：A．无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．据此判断再选择．此题主要考查了无理数的概念，同时也考查了有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．40.在-2，，，3.14这4个数中，无理数是（）A. -2B.C.D. 3.14【答案】C【解析】【分析】据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：-2，，3.14是有理数，是无理数，故选C．41.下列都是无理数的是（）A. 0.07，，B. 0.7，，C. ，，πD. 3.14，，【答案】C【解析】解：，，π是无理数，故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．42.在实数：，3.141 59，，1.010 010 001…，4.，-π，中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：，1.010 010 001…，-π是无理数，故选：C．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．43.在实数，，，，3.14中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：，是无理数，故选：B．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．44.有下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②无限小数都是无理数；③实数与数轴上的点一一对应；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了立方根、无理数、实数的性质和近似数的性质.根据相关概念及性质即可解答.【解答】解：如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是±1或0，故①错误；无限不循环小数都是无理数，故②错误；实数与数轴上的点一一对应，故③正确；是无理数，不是分数，故④错误；近似数5.60所表示的准确数x的范围是：5.595≤x＜5.605，故⑤错误；故正确的有1个.故选A．45.下列实数中，无理数是（）A. B. C. D. 3.14【答案】B【解析】解：、、3.14是有理数，是无理数．故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…相邻两个2之间0的个数逐次加1，等有这样规律的数．46.下列各数中，无理数是（）A. 0B.C.D. 0.121221222…【答案】D【解析】解：0，，是有理数，0.121221222……是无理数，故选：D．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．47.在数-3.14，，0，π，，0.1010010001…中无理数的个数有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个【答案】A【解析】解：在数-3.14，，0，π，，0.1010010001…中，∵=4，∴无理数有，π，0.1010010001…共3个．故选A．的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．48.在下列实数中，无理数是（）A. B. C. 3.14 D.【答案】A【解析】解：A、是无理数；B、=2是整数，属于有理数；C、3.14是有限小数，是有理数；D、是分数，属于有理数；故选：A．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．49.下列四个实数中是无理数的是（）A. πB.C.D. 0【答案】A【解析】解：，0是有理数，π是无理数，故选：A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．50.下列说法错误的是（）A. 的平方根是±3B. 两个无理数的和一定是无理数C. （-1）2010是最小的正整数D. 实数与数轴上的点一一对应【答案】B【解析】解：A、=9，9的平方根是±3，故本选项说法正确，不符合题意；B、无理数π与-π的和为0，0是有理数，故本选项说法错误，符合题意；C、（-1）2010=1，1是最小的正整数，故本选项说法正确，不符合题意；D、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法正确，不符合题意；故选：B．根据算术平方根、平方根的定义判断A；根据无理数的定义以及运算法则判断B；根据正整数的定义判断C；根据实数与数轴的关系判断D．本题考查了算术平方根、平方根的定义，无理数的定义，正整数的定义，实数与数轴的关系等知识，都是基础知识，需熟练掌握．51.已知面积为8 的正方形边长是x，则关于x的结论中，正确的是( )A. x是有理数B. x不能在数轴上表示C. x是方程的解D. x是8 的算术平方根【答案】DB、x能在数轴上表示出来，故B不符合题意；C、x是x2=8的解，故C不符合题意；D、x是8的算术平方根，故D符合题意；故选：D．根据算术平方根的意义，无理数的意义，实数与数轴的关系，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用算术平方根的意义，无理数的意义，实数与数轴的关系是解题关键．52.下列实数中的无理数是（）A. 1.414B. 0C. -D.【答案】D【解析】解：∵无理数就是无限不循环小数，且1.414为有限小数，-为分数，0是整数，都属于有理数，为无限不循环小数，∴为无理数．故选：D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．53.实数，，，，其中为无理数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数，根据无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项. 【解答】解：实数是无理数，其余均是有理数.故选B.54.下列实数：，，，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：无理数有，π共2个，故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无。
典例精析 类型2 选择型阅读理解
典例精析类型2 选择型阅读理解例►[2019·青岛]When your dream is to become a footballer and play for Barcelona，nothing should get in your way—even if you have no feet.An 11yearold schoolboy Gabriel Muniz，who was born without feet，will fly from his home in Brazil to take part in the Spanish club’s summer training camp.Although he is disabled，Muniz is one of the top players at the school and captain of his gym class.He can run，dribble (运球)，pass and strike the ball as well as any of his ablebodied teammates.He spends all his spare time on the football pitch.His best friend Lucas Santos spoke about his abilities on a video for The Sun，“He is skillful，he goes after it，he is fearless and he knows how to organize plays.He also makes good passes.”Mum Sandra was thrilled that her son would achieve his dreams.She said，“He started walking before he was one.We would go after him，expecting him to keep falling，but he never fell.”Muniz’s gym teacher added，“Heis challenging the social norms (标准)．When he arrived there，no one believed in him.”But he showed to everyone that he could play as well as any other boy.So he was invited to go to Spain to show his talent.The Spanish La Liga soccer club has offered to fly Muniz to Spain in September，where he’ll be able to show off his “fancy footwork”and meet his idol，Barca soccer player Lionel Messi.Muniz wears a prosthetic (假体的) ankle and foot to help him get around in rainy weather.He knows that his dis ability means he’ll neve r be able to play for a professional football team and so Muniz is hoping that football will one day become a Paralympic (残奥会的) sport.1．Who praised Muniz’s football abilities?A．His idol，Messi. B．His best friend.C．His mum，Sandra. D．His gym teacher.2．The underlined word “thril led” in paragraph 3 ha s the similar meaning to ________．A．excited B．worriedC．disappointed D．interested3．The time order of the following sentences is Muniz________．①played football well and became captain of his school gym class②could walk without falling when he was very little③was asked to fly to Spain for a summer training campA．①②③B．③②①C．②①③D．②③①4．We can tell that Muniz ________ according to the passage.A．has difficulty in living a normal lifeB．dreams to play for a professional football teamC．will play football for the Spanish La Liga soccer clubD．hopes that playing football will be part of Paralympic Games.5．Which saying can express the spirit of the passage?A．Failure is the mother of success.B．Never put off tomorrow what we can do today.C．Where there is a will，there is a way.D．A good beginning is half done.语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
典例精析知识点典例_无理数
有理数与无理数的区别 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数 来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 有理数． 如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为 1 这样的
【例2】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141
ห้องสมุดไป่ตู้
592
6，－
4 3
，2.58，6.751
755
175
551
7…(相邻7，
1之间5的个数逐次加1)，0，22 7
，－5.2
3，－
2
．
分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和
分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141 592 6，－ 4 ，2.58，0，22 ，
3
7
－5.2 3 ；
无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的
个数逐次加1)，－ ．
2
3 分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化 为3 7 ．
50
有理数与无理数的主要区别： ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或 无限循环小数； ②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理 数不能．
无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不 循环的小数，无理数常见的形式主要有三种： （1）一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…（相邻两 个1之间0的个数逐次增加1）是无理数． （2）圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． （3）开方开不尽的数（下一节学到）．
1无理数的认识(第2课时)
要点归纳 像1.41421356…，2.2360679…，1.25992105…等这 些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们 都是无限不循环小数.
无限不循环小数称为无理数.
(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数， 故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
0.585885888588885…（两个5之间依次多1个8）
2、课本P24随堂练习
1 25 1.下列各数： ， 1，0.303 0， 0.23，， ， 2 2 7
当堂练习
003 (相邻两个
）
3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ A
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.下列各数中，是无理数的为（ C ） A. 3.14 B.
1 3
C. 0.305305530555
所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中，整数部分的数字容易估计，十 分位上的数字也可以采用试验的方法进行估 计，即2.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29， 因为4.84<5<5.29，所以2.22<x2<2.32，所以 2.2<x<2.3，所以十分位上的数字为2.
{
学习新知 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样 的大小关系？说说你的理由. (2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分 位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.
1 1
a 面积 为2 a
2 2
a
1.5
a的平方
2.25 1.96 2.1025 2.0736
检测反馈
典例精析知识点典例_估计数值的大小
重难点典例剖析
1．估计数值的大小 难点突破：第一步应确定被估算数的整数取值范围； 第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始 减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此 继续下去，可以求出其为x，请你回答下列问题． （1）x的整数部分是多少？ （2）把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ （3）x是有理数吗？请简要说明理由．
x≈2.65． （3）x不是有理数．因为没有一个整数的平方等于
7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x是 无限不循环小数．
释疑点 如何四舍五入 利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多 考查一位．
解：令正方形的面积为S，则S＝x²＝7， 当2＜x＜3时，4＜x²＜9， 当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x²＜7.29； 当2.64＜x＜2.65时，6.969 6＜x²＜7.022 5； 当2.645＜x＜2.646时，6.996 025＜x²＜7.001 316； …
则有： （1）x的整数部分为2. （2）精确到十分位时，x≈2.6，精确到百分位时，
认识无理数与平方根(方法大全)
认识无理数一、无理数的探索例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，AB=2，试解决下列问题：（1） 求BC ²的值；（2）请思考：BC 是个什么样的数字？会是有理数吗？ 例2 已知直角三角形的两条直角边分别为9和5，斜边长为x 。
（1）估计x 在哪两个整数之间；（2）如果把x 的结果精确到十分位，估计x 的值；如果精确到百分位呢？随堂练习一1、 已知等边三角形的边长为2，高为h ，请问：h 可能为整数吗？可能为分数吗？2、 长、宽分别是2和3，它的对角线可能为正数吗？可能为分数吗？3、 已知直角三角形的两条直角边分别为3和5，它的斜边可能为整数吗？可能为分数吗？二、无理数的概念例3下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，－••69.4,32，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成).在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.例4 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A 、面积为25的正方形； B 、 面积为254的正方形； C 、 面积为8的正方形； D 、面积为1.44的正方形.随堂练习二1、说说谁“有理”，谁“无理”以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________.2、请你辨别：如图1是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形图1边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个. 3、请你算一算：在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算： （1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？ （2）如果精确到百分位呢？巩固练习1、下列数中是无理数的是（ ）A 、0.12••32B 、2π C 、0 D 、722 2、下列说法中正确的是（ ）A 、不循环小数是无理数B 、分数不是有理数C 、有理数都是有限小数D 、3.1415926是有理数 3、下列语句正确的是（ ）A 、3.78788788878888是无理数B 、无理数分正无理数、零、负无理数C 、无限小数不能化成分数D 、无限不循环小数是无理数 4、在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A 、整数 B 、分数 C 、无理数 D 、不能确定 5、面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A 、小数B 、分数C 、无理数D 、不能确定6、在0.351，－32，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333,5.411010010001…中，无理数的个数有______.7、______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.8、x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 9、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)10、一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).11、已知：在数－43，－••24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.12、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？13、设面积为5π的圆的半径为y ，请回答下列问题： （1）y 是有理数吗？请说明你的理由； （2）估计y 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.平方根一、算术平方根课前热身0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 算术平方根典型例题分析例1 求下列各数的算术平方根 （1）900 （2）1 （3）6449（4）14 （5）7例281的算术平方根为_________，04.0=_________例3 下列结果错误的有（ ）① 2)2(2±=-； ② 16的算术平方根是4； ③ 4112的算术平方根是27； ④ 2()π-的算术平方根是π A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例4、下列语句写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=；B 、7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2=-； C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7是7的算术平方根，即77=随堂练习三1、若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2、9的算术平方根是 ；2)32(的算术平方根是 ； 3、若22=+m ，则2)2(+m = ． 4、求下列各数的算术平方根： （1）36；（2）144121；（3）15；（4）0.64；（5）410-；（6）0)65(；（7）0；（8）—4；5、计算（1）81； （2）225； （3）4925 （4）-169二、平方根典型例题分析例1 求下列各数的平方根： （1）64 ； （2）;12149 （3）0.0004 ; （4）（();252- （5）11．例2 .判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2； (2)0； (3)－0.01； (4)－52； (5)－a 2；(6) 7例3 计算：(64)2= ；(12149)2= ；(2.7)2= 。
典例精析类题典例_无理数近似值的确定
3．循环小数化为分数的方法
••
【例3】将无限循环小数 0.12化为分数．
••
••
解析：设 0.12 x，则100x=12+ 0.12，
所以100x-x=12，
即99x=12，
所以 x 12 ． 99
【小结】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数
2．无理数近似值的确定 B
【例2】 如图所示，要从
离地面5 m的电线杆上的B处
向地面C处拉一条钢丝绳来固
定电线杆，要固定点C到A处
的距离为3 m，求钢丝绳BC
的长度（精确到十分位）．
A
C
分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这 个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算 BC的长．
解：由勾股定理，
化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．
得BC²＝AB²＋AC²＝34.
B
当5＜BC＜6时，25＜BC²＜36；
当5.8＜BC＜5.9时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.64＜BC²＜34.81；
当5.83＜BC＜5.84时，
33.988 9＜BC²＜34.105 6；
…
A
C
故当精确到十分位时，BC约为5.8 m.
【小结】无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌 握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无 理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1（或以 较大整数开始逐步减0.1），并求其平方确定被估算数的十 分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．
(word完整版)中考数学规律探索专题复习
中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。
【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。
21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。
有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二 图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： （2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
《认识无理数》word教案 (公开课)2022年北师大版 (9)
2.1 认识无理数本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，开展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比拟无理数与有理数的区别，并能区分出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与稳固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数〔如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <2 1<s<4 1.4<a 1.41<a 1.414<a 1.4142<a归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，那么a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885……，－…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).第三个环节：知识分类整理 有理数和无理数统称为实数。
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认识无理数
综合应用典例剖析
1．无理数的识别
【例1】下列实数是无理数的是（ ）
A ．1-
B ．13
C ．0 D
解析：1-与0是整数，13它是无理数，故选D ．
答案：D ．
【小结】无理数的识别方法：（1）定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；（2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为1的分数．从这个意义上来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数（两个整数的商）的形式．
2．无理数近似值的确定
【例2】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．
分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC 的长．
解：由勾股定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2＝34.
当5＜BC ＜6时，25＜BC 2＜36；
当5.8＜BC ＜5.9时，33.64＜BC 2＜34.81；
当5.83＜BC ＜5.84时，33.988 9＜BC 2＜34.105 6；
…
故当精确到十分位时，BC 约为5.8 m.
【小结】无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．
注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．
3．循环小数化为分数的方法
【例3】将无限循环小数0.12••化为分数．
解析：设0.12x ••=，则100x =12+0.12••，
所以100x -x =12，
即99x =12， 所以1299
x =． 【小结】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．。