圆锥曲线综合题向量精品PPT教学课件

圆锥曲线综合题 （向量的应用）
2020/12/6
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[例1] 已知点H(0,3),点P在x轴上,点Q
在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
当点P在x轴上移动时, 求动点M的 轨迹曲线C的方程.
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[解析] (1) 设P(a,0), Q(0, b), 则
AQ 、 BQ 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , k4 . 2020求 /12/6 k 1 k 2 证 k 3 k 4 且 k 1 k ： 2 k 3 k 4 0 ;17
[解析] (1)设点P、Q的坐标分别 (x1,为 y1)、
(x2,
y2),则ax122
y12 b2
1,
x22 a2
y
a b
(
x
c)
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
b2 x2
a4 b2
(x
c)2
a 2b2 .
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即 (b 2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
a 4c 2 ( b2
a 2b2 )
0,
x1 x2
(
a
4
b
c
2
2
a 2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2,c2 a2 a2.
y22 b2
1,
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即
x
2 1
a
2
a2 b2
y
2 1
,
x
2 2
a
2
a2 b2
y
2 2
.
k1
y1 x1
a
,k2
y1 , x1 a
k1k 2
y
2 1
x
2 1
a
2
y
2 1
a2 b2
y
2 1
b2 a2
,
同理可得：
k3k4
b2 a2
,
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于是 k1k2 k3k4 ,
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练习（2006年高考题）
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D
B
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[例2]
已知椭圆的中心为坐原标点O, 焦点
在x轴上, 斜率为1且过椭圆右焦点F的直线 交椭圆于A、B两点, OAOB与a (3,1)
共线.
求椭圆的离心率；
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[解析] 设椭圆方程为
x2 y2 a 2 b 2 1(a b 0 ),
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0), B 是右顶点
, F是
右焦点 ,点 A在 x轴正半轴上 , 且满足 OA 、
OB 、OF 成等比数列 , 过 F 作双曲线 C 在第 一、三象限的渐近线的 垂线 l,垂足为 P. (1) 求证 : PA OP PA FP ;
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x1x2 a 2 b2 .
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由OA
OB
( x1
x2 ,
y1
y2 ), a
(3,1),
OA OB与a共线 , 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0,
又y1 x1 c, y2 x2 c,
3( x1 x2 2c) ( x1 x2 ) 0,
(2) 当a在什么范围时, 对于抛物线上的 任意一点M (M与O不重合), ∠CMF恒为锐 角？
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[解析] (1) 设过 C的直线为 y k ( x a ),
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 将直线方程代入抛物线 方程则有 :
k 2 x 2 2(ak 2 p) x k 2a 2 0
x1
x2
3 2
c
,
即
2a 2 a2
c b
2
3c 2
, a 2
3b2 .
c a2 b2
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6a ,故离心率e c 6 .
3
a3
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利用向量的运算性质，特别是向量垂直、相 等、共线等，研究圆Байду номын сангаас曲线的几何性质。
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[例3] (05 年高考题 )已知双曲线 C ：
HP PM (a,3) (a,b) a 2 3b 0,
a 2 3b, 设M ( x, y), PM 3 MQ. 2
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
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体现了向量的工具性，以向量 为题目的背景，求轨迹的方程。题 目仍然可以进一步研究曲线的几何 性质。
F (c ,0 ), 则直线 AB 的方程为 y x c , 代入
x2 a2
y2 b2
1, 化简得
:
( a 2 b 2 ) x 2 2 a 2 cx a 2 c 2 a 2 b 2 0 .
令 A(x1,
y1 ),
B(x2,
y 2 ), 则 x 1
x2
2a 2c a2 b2
,
a 2c2 a 2b2
k1 k2
y1 x1 a
y1 x1 a
2 x1 y1
x
2 1
a
2
2b2 a2
x1 , y1
同利可得
:
x3
x4
2b2 a2
x2 . y2
设 O为原点 ,则
AP BP 2OP ,
AQ BQ 2OQ ,
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由条件:知 OPOQ,故OP与OQ共线.
于是x1 x2 , y1 y2
A(a2 ,0).PA(0,ab).
c
c
OP ( a 2 , ab ), cc
FP ( b 2 , ab ), cc
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PA OPab,PA FPab.
c2
c2
PA OPPA FP.
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PA OPab,PA FPab.
c2
c2
PA OPPA FP.
( 2)
e2 2. 即 e 2.
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[例4]
已知 A、 B为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
和双曲线
x2 a2
y2 b2
1的公共顶点
, P、 Q分别为
双曲线和椭圆上不同于 两点 A 、B 的动点 , 且有
( AP BP ) ( AQ BQ ) ( R , 1), 设 AP 、 BP 、
由(1)、 (2)得:k1 k2 k3 k4 0.
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[例5] 设有抛物线 y2=2px(p>0), 点F是
其焦点, 点C(a, 0)在正x轴上 (异于F点). 点O 为坐标系原点.
(1) 若过点C的直线与抛物线相交于A、 B,且恒有∠AOB=90, 求a的值;
(2)若l与 双 曲C的 线左右、两 支 分 别
交 于D点 、E,求 双 曲C的 线离 心e的 率取 值
范 围 .
[解析] (1) l：y a ( x c )
b
y
y
a (x c)
b
, 解得
bx
a
:
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P(a2 ,ab).OA、OB、OF成 等 比 数 , 列 cc