高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (45)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题 (45)

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最

长棱的长度为()

A. 2

B. √5

C. 2√2

D. 3

2.已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：

①l//α，l//β，α∩β=m，则l//m；

②α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ；

③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；

④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．

其中正确的命题有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：

①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；

②若，，且m//n，则；

③若m⊥α，，且m//n，则α⊥β；

④若m⊥α，，且m//n，则，

其中正确的命题是()

A. ①③

B. ②④

C. ③④

D. ①②

4.若a，b，c表示三条不重合的直线，β，γ表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是

①若a//β，b//β，则a//b②若a⊂β，b⊂γ，β//γ，则a//b

③若a⊥c，b⊥c，则a//b④若a⊥β，b⊥β，则a//b

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

5.若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是

A. 若l//m，m//α，则l//α

B. 若α⊥β，n⊥α，m//n，则m//β

C. 若α⊥β，l⊥α，m//β，则l//m

D. 若l⊥α，l//n，n⊥β，则α//β

6.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AB，C1D1，CC1的中点，用过点

E，F，G的平面截正方体，则截面图形的面积为()

A. √3

B. 2√3

C. 3√3

D. 6√3

7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=90°，AC与平面C1AB所成角为30°，则三

棱锥B−A1AC1的体积为()

A. 4

3B. 2√2

3

C. 2

3

D. 1

3

8.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，m//α，m⊥l，n⊥α，则下列四种位置关系中，不一定成立的

是()

A. m⊥n

B. m⊥β

C. n⊥l

D. n//β

9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个

结论：

①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN//BD1；④MN//平面BB1D1D.

其中所有正确结论的编号是()

A. ①④

B. ②④

C. ①③④

D. ②③④

二、多项选择题（本大题共3小题，共12.0分）

10. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线

段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形

记为S.则下列命题正确的是

A. 当CQ =12时，S 为等腰梯形

B. 当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R =13

C. 当34

D. 当CQ =1时，S 的面积为√62

11. 已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为√3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法

正确的是( )

A. 圆锥的高为1

B. 三角形PAB 面积的最大值为√3

C. 三角形PAB 内切圆半径的最大值为2−√2

D. 圆锥外接球的体积为32

3π

12. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，

P 为体对角线BD 1上的一点，且BP =λBD 1(λ∈(0,1))，现有以下判断：( ) A. A 1D ⊥C 1P

B. 若BD 1⊥平面PAC ，则λ=1

3

C. ΔPAC 周长的最小值是2√2+2√3

D. 若ΔPAC 为钝角三角形，则λ的取值范围为(0,23)

三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 已知A ∈α，P ∉α，PA ⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12

,√2)，平面α的一个法向量n ⃗ =(0,−12,−√2)，则直线PA 与平面α所成角的余弦值为_________． 14. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =2，AA 1=2√2，D 为棱A 1B 1的中点，

则异面直线AD 与CB 1所成角的大小为______________，直线CB 1与平面

CC 1A 1A 所成角的正弦值为______________．

15.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD

为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π

，PA=AD=2，AB=BC=1.点

2

Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，线段BQ

的长为___________．

16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，一个由两个全等且顶点重合的圆锥组成的沙漏置于其

中，圆锥的底面分别与A1B1C1D1和ABCD相切，F为C1D1的中点．P，E分别为CD和AB的中点，若点M在该正方体的表面上运动，使CF⊥平面PEM，则点M的轨迹所在的平面截沙漏表面所得的图形中焦点到该图形顶点的距离为________．

17.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D1为球心，√7为半径的球面与侧

面BCC1B1的交线长为________．

18.如图，M､N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC､CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，

使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论：

①异面直线AC与BD所成的角为定值．

②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°．

④三棱锥M−ACN体积的最大值为√2

．

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以上所有正确结论的序号是__________．

四、多空题（本大题共1小题，共4.0分）